Types of special mathematical functions
s のいくつかの値に対する上側不完全ガンマ関数: 0 (青)、1 (赤)、2 (緑)、3 (オレンジ)、4 (紫)。 Mathematica 13.1 の ComplexPlot3D 関数を使用して作成した、複素平面における正規化不完全ガンマ関数 Q(2,z) の -2-2i から 2+2i までの色付きプロット 数学 において 、 上側 不完全ガンマ関数 と下側不完全ガンマ関数は、特定の 積分 などのさまざまな数学の問題の解として生じる 特殊関数 の一種です 。
それぞれの名称は、積分の定義に由来しています。 ガンマ関数 と同様に定義されますが、積分極限はガンマ関数と異なります（つまり「不完全」です）。ガンマ関数は、ゼロから無限大までの積分として定義されます。これは、ゼロから可変の上限までの積分として定義される下側不完全ガンマ関数とは対照的です。同様に、上側不完全ガンマ関数は、可変の下限から無限大までの積分として定義されます。
意味 上側の不完全ガンマ関数は次のように定義されます。 一方、下側の不完全ガンマ関数は次のように定義されます。 どちらの場合も、 sは複素パラメータであり、 s の実部は 正になります。 Γ ( s , x ) = ∫ x ∞ t s − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,} γ ( s , x ) = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t . {\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt.}
プロパティ 部分積分 により、 再帰関係 が求まり 、 通常のガンマ関数は 次
のように定義されるので 、 Γ ( s + 1 , x ) = s Γ ( s , x ) + x s e − x {\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}} γ ( s + 1 , x ) = s γ ( s , x ) − x s e − x . {\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.} Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt} Γ ( s ) = Γ ( s , 0 ) = lim x → ∞ γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)} γ ( s , x ) + Γ ( s , x ) = Γ ( s ) . {\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}
複素数値への継続 上記で定義した実数 s と xに対する下側不完全ガンマ関数と上側不完全ガンマ関数は、 x と s の両方に関して、複素数 x と s のほぼすべての組み合わせに対して定義される 正則関数 に展開できます 。 [1] 複素解析は、実数不完全ガンマ関数の特性が、その正則関数にどのように拡張されるかを示しています。
下側不完全ガンマ関数
正則拡大 下側不完全ガンマ 関数に対する再帰関係を繰り返し適用すると、 次のべき級数 展開が得られる 。 [2] k → ∞ のときに Γ( z + k ) の 絶対値 が急速に増加すること、および Γ( z ) の逆数が 整関数 である ことから 、右端の和の係数は明確に定義され、局所的には すべての複素 s および xについて和は 一様に収束する。 ワイエルシュトラス の定理により 、 [3] と表記されることもある極限関数は 、 [4] z (固定の s の場合) および s (固定の z の場合)の両方に関して 整 であり 、 [1] ハートッグスの定理 により C × C 上で正則である 。 [5] したがって、次の 分解 [1] は、
実下側不完全ガンマ関数を、 z および s について、共同でも個別にも、 正則関数 として拡張する。 および Γ関数 の特性から 、最初の 2 つの因子が （ z = 0 または s が正でない整数） の 特異点を捉え、最後の因子がその零点に寄与することがわかります。 γ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ x s e − x x k s ( s + 1 ) ⋯ ( s + k ) = x s Γ ( s ) e − x ∑ k = 0 ∞ x k Γ ( s + k + 1 ) . {\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.} γ ∗ {\displaystyle \gamma ^{*}} γ ∗ ( s , z ) := e − z ∑ k = 0 ∞ z k Γ ( s + k + 1 ) {\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}} γ ( s , z ) = z s Γ ( s ) γ ∗ ( s , z ) , {\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z),} z s {\displaystyle z^{s}} γ ( s , z ) {\displaystyle \gamma (s,z)}
多価性 複素 対数 log z = log | z | + i arg z は2 πi の倍数までしか決まらない ため、 多価関数となります。複素対数を含む関数は、通常この性質を継承します。 複素べき乗 や、 その分解に z s が 現れることからγ 関数もこれに含まれます 。
多価関数の不確定性は、値の選択方法を明示的に指定する必要があるため、複雑な問題を引き起こします。これに対処するための戦略は以下のとおりです。
（最も一般的な方法） 多価関数の領域 Cを、 C × C 内の適切な多様体、すなわち リーマン面 によって置き換える。これにより多価性は解消されるが、その背後にある理論を理解する必要がある。 [6] 多値関数が個別の単一値 ブランチ に分解され、個別に処理できるようにドメインを制限します。 このセクションの式を正しく解釈するには、以下の規則に従う必要があります。特に断りのない限り、以下の規則が適用されます。
セクター C 内の頂点が z = 0 であるセクターは、 複素表現の適切な定義域であることがしばしば証明されています。セクター D は、 z ≠ 0 かつ α − δ < arg z < α + δ （ただし、何らかの α および 0 < δ ≤ π ） を満たす すべての複素 zから構成されます。 α は任意に選択できることが 多く、その場合は指定されません。 δが指定されていない場合は π であると見なされ 、セクターは実際には平面 C全体ですが、 z = 0を起点として − α の方向を指す 半直線は例外で 、通常は 分岐カット として機能します。 注: 多くのアプリケーションやテキストでは、 α は暗黙的に 0 と見なされ、セクターは正の実軸を中心に配置されます。
支店 特に、そのようなセクター D 上には、虚数部が範囲 ( α − δ 、 α + δ ) に制限された単値の正則対数が存在する。このような制限された対数に基づくと、 z s および不完全ガンマ関数は、 D (または C × D )上の単値の正則関数に縮小され 、 D 上の多値関数の枝と呼ばれる。 α に 2 π の倍数を追加すると、同じセット D 上に相関する枝の異なるセットが得られる。ただし、ここでの特定のコンテキストでは、 α は固定であると想定され、関連するすべての枝はそれに関連付けられている。 | α | < δ の場合、枝は、正の実軸上の実際の類似物に等しいため、 主 枝と呼ばれる。注: 多くのアプリケーションおよびテキストでは、公式は主枝に対してのみ有効です。
ブランチ間の関係 複素べき関数と下側不完全ガンマ関数の異なる枝の値は、 k を適切な整数 として 、 [1] の乗算によって互いに導くことができる。 e 2 π i k s {\displaystyle e^{2\pi iks}}
分岐点付近の挙動 上記の分解はさらに、γ が z = 0付近で 漸近的に 次のように振舞うことを示しています。 γ ( s , z ) ≍ z s Γ ( s ) γ ∗ ( s , 0 ) = z s Γ ( s ) / Γ ( s + 1 ) = z s / s . {\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}
正の実数 x 、 y 、 s に対して、 ( x 、 y ) → (0、 s ) のとき、 x y /y → 0 となります。これは、 実数 s > 0に対して γ ( s 、 0) = 0 と設定することを正当化するように見えます。しかし、複素数領域では状況が多少異なります。 (a) s の実部が正であり、 (b) 値 u v が 有限の枝の集合 からのみ取得される場合に限り、それらは ( u 、 v ) → (0、 s ) としてゼロに収束することが保証され、 γ ( u 、 v ) も同様です。 γ ( b ) の 単一の 枝 では自然に満たされるため、 正の実部を持つ s に対して γ ( s 、 0) = 0 は 連続極限 となります。また、このような連続は決して 解析的なもの ではないことにも注意してください。
代数的関係 実数 γ ( s , z ) に見られるすべての代数関係式と 微分方程式は 、その正則関数にも同様に成立する。これは、実区間上で有効な正則関数間の方程式はどこでも成立するという 恒等定理 の帰結である。特に、再帰関係 [2] と ∂γ ( s , z )/ ∂z = z s −1 e − z [2] は、対応する枝においても保存される。
積分表現 最後の関係式は、 s を 固定した場合、 γ は 正則関数 z s −1 e − z の原始微分または反微分で あることを示しています 。したがって、任意の複素数 u , v ≠ 0 に対して、 積分経路が 被積分関数の枝の領域に完全に含まれる
限り、が成立します。さらに、 s の実部が正の場合、 u → 0 に対して 極限 γ ( s , u ) → 0が適用され、最終的に γ の複素積分定義に到達します [1] ∫ u v t s − 1 e − t d t = γ ( s , v ) − γ ( s , u ) {\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)} γ ( s , z ) = ∫ 0 z t s − 1 e − t d t , ℜ ( s ) > 0. {\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,dt,\,\Re (s)>0.}
ここでは、先頭にのみ 0 を含む積分パス（それ以外は積分対象のブランチのドメインに制限）が有効です。たとえば、 0 と z を結ぶ直線などです 。
制限 z → +∞
実数値 γ の主枝の積分表現が与えられたとき、すべての正の実数 s 、 x に対して次の式が成り立つ ： [7] Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t = lim x → ∞ γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,dt=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}
s 複雑な この結果は複素数 s に拡張されます。まず 1 ≤ Re( s ) ≤ 2 かつ 1 < a < b と仮定します。次に、 途中で [ 8]が使用されています。 a が 十分に大きい場合のみ最終積分が任意に小さくなるため、 γ ( s , x ) は、ストリップ 1 ≤ Re(s) ≤ 2上で x → ∞ に対して正則関数 [3] に一様収束します 。これは、恒等定理により Γ(s) でなければなりません。再帰関係 γ ( s , x ) = ( s − 1) γ ( s − 1, x ) − x s − 1 e − x の極限を取り、 x → ∞ およびすべての n に対して lim x n e − x = 0 で あることに注目すると、 γ ( s , x ) はストリップの外側でも、 Γ 関数の再帰関係に従う関数に収束することが示 これは 、正でない整数でないすべての複素数、 x が 実数 、 γ が 主であるときに従います。 | γ ( s , b ) − γ ( s , a ) | ≤ ∫ a b | t s − 1 | e − t d t = ∫ a b t ℜ s − 1 e − t d t ≤ ∫ a b t e − t d t {\displaystyle \left|\gamma (s,b)-\gamma (s,a)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|t^{s-1}\right|e^{-t}\,dt=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,dt\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,dt} | z s | = | z | ℜ s e − ℑ s arg z {\displaystyle \left|z^{s}\right|=\left|z\right|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}} Γ ( s ) = lim x → ∞ γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}
セクターごとの収束 ここで、 u をセクター | arg z | < δ < π /2から取り、 δ を固定し （ α = 0 ）、 γを このセクターの主枝とし、 Γ ( s ) − γ ( s , u ) = Γ ( s ) − γ ( s , | u | ) + γ ( s , | u | ) − γ ( s , u ) . {\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}
上で示したように、 | u | が十分に大きい場合、最初の差は任意に小さくすることができます 。 2 番目の差により、次の推定が可能になります。
ここで、 γ の積分表現と上記の| z s | に関する式 を使用しました。 u と | u | を結ぶ半径 R = | u | の円弧に沿って 0 の周りを積分すると 、最後の積分は次のようになります。 ここで、 M = δ (cos δ ) −Re s e Im sδ はu や R に依存しない定数です。 再び、 大きな xに対する x n e − x の挙動を参照すると、 R が ∞ に向かって増加する につれて、最後の式が 0 に近づくことがわかります 。 合計すると、次のようになります。 s が非負の整数でない 場合、 0 < ε < π /2 は任意に小さいですが固定であり、 γ は このドメインの主枝を示します。 | γ ( s , | u | ) − γ ( s , u ) | ≤ ∫ u | u | | z s − 1 e − z | d z = ∫ u | u | | z | ℜ s − 1 e − ℑ s arg z e − ℜ z d z , {\displaystyle \left|\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)\right|\leq \int _{u}^{|u|}\left|z^{s-1}e^{-z}\right|dz=\int _{u}^{|u|}\left|z\right|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,dz,} ≤ R | arg u | R ℜ s − 1 e ℑ s | arg u | e − R cos arg u ≤ δ R ℜ s e ℑ s δ e − R cos δ = M ( R cos δ ) ℜ s e − R cos δ {\displaystyle \leq R\left|\arg u\right|R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }} Γ ( s ) = lim | z | → ∞ γ ( s , z ) , | arg z | < π / 2 − ϵ , {\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\to \infty }\gamma (s,z),\quad \left|\arg z\right|<\pi /2-\epsilon ,}
概要 γ ( s , z ) {\displaystyle \gamma (s,z)} は：
固定の正の整数s の場合、 z は 整数 。 整数でない固定のs に対して z の 多値 正則性を 持ち、 分岐点 は z = 0 です。 各枝は s において固定の z ≠ 0 に対して 有理型 であり、非正の整数 s に単純な極を持つ。
上側不完全ガンマ関数 上側不完全ガンマ関数 に関しては 、 右辺が存在する 点 ( s , z )において、 z または s に関する 正則拡大が [1] によって与えられます。 は多価関数であるため、 についても同様です が、主値に制限すると の単価主枝のみが得られます 。 Γ ( s , z ) = Γ ( s ) − γ ( s , z ) {\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)} γ {\displaystyle \gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } Γ {\displaystyle \Gamma }
上式においてs が非正の整数である 場合、差のどちらの部分も定義されておらず、 ここで s → 0に対して展開される 極限過程 によって欠損値が補われる。 複素解析は が固定された z に対してその極限の 近傍 で 有界で あることが証明される ため、 正則性 を 保証する 。 Γ ( s , z ) {\displaystyle \Gamma (s,z)}
極限を決定するには、 z = 0 における のべき級数 が有用である。 の積分定義において のべき級数を で置き換えると、次式が得られる（ここでは x 、 s は 正の実数と仮定する ）。 または [4] これは、関数全体の級数表現として、すべての複素数 x （および 非正整数でない
すべての複素数 s ）に対して収束する。 γ ∗ {\displaystyle \gamma ^{*}} e − x {\displaystyle e^{-x}} γ {\displaystyle \gamma } γ ( s , x ) = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t = ∫ 0 x ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k t s + k − 1 k ! d t = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x s + k k ! ( s + k ) = x s ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k k ! ( s + k ) {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}} γ ∗ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k k ! Γ ( s ) ( s + k ) , {\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}},} γ ∗ {\displaystyle \gamma ^{*}}
実数値への制限がなくなると、この級数は次のように展開できるようになります。 γ ( s , z ) − 1 s = − 1 s + z s ∑ k = 0 ∞ ( − z ) k k ! ( s + k ) = z s − 1 s + z s ∑ k = 1 ∞ ( − z ) k k ! ( s + k ) , ℜ ( s ) > − 1 , s ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}
s → 0 の とき : [9]
（ここで は オイラー・マスケロニ定数 ）したがって、
は s → 0 の上側不完全ガンマ関数の極限関数であり、 指数積分 としても知られています 。 [10] z s − 1 s → ln ( z ) , Γ ( s ) − 1 s = 1 s − γ + O ( s ) − 1 s → − γ , {\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\to \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\to -\gamma ,} γ {\displaystyle \gamma } Γ ( 0 , z ) = lim s → 0 ( Γ ( s ) − 1 s − ( γ ( s , z ) − 1 s ) ) = − γ − ln ( z ) − ∑ k = 1 ∞ ( − z ) k k ( k ! ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (0,z)&=\lim _{s\to 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-\left(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}}\right)\right)\\&=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k\,(k!)}}\end{aligned}}} E 1 ( z ) {\displaystyle E_{1}(z)}
再帰関係により、 正の整数 n に対するの値は、この結果から導くことができる。 [11] したがって、上側不完全ガンマ関数は、 すべての s および z ≠0に対して、 z と sの 両方に関して存在し、正則であることが証明される。 Γ ( − n , z ) {\displaystyle \Gamma (-n,z)} Γ ( − n , z ) = 1 n ! ( e − z z n ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k ( n − k − 1 ) ! z k + ( − 1 ) n Γ ( 0 , z ) ) {\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+\left(-1\right)^{n}\Gamma (0,z)\right)}
Γ ( s , z ) {\displaystyle \Gamma (s,z)} は：
固定された正の整数s の場合、 z は 整数 。 固定されたs に対して z の 多値 正則性 があり、 分岐点 は z = 0 です。 は、実部が正で z = 0 ( のときの極限) の s に対して と等しくなります が、これは連続的な拡張であり、 解析的な拡張 ではありません(は実数 s < 0 に対しては成立し ません )。 Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} ( s i , z i ) → ( s , 0 ) {\displaystyle (s_{i},z_{i})\to (s,0)} 各枝上で、 z ≠0 を固定して s 全体 になります 。
特別な値 Γ ( s + 1 , 1 ) = ⌊ e s ! ⌋ e {\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}} s が正の 整数 の場合 、 Γ ( s , x ) = ( s − 1 ) ! e − x ∑ k = 0 s − 1 x k k ! {\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}} s が正の 整数 の場合 、 [12] Γ ( s , 0 ) = Γ ( s ) , ℜ ( s ) > 0 {\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0} 、 Γ ( 1 , x ) = e − x {\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}} 、 γ ( 1 , x ) = 1 − e − x {\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}} 、 Γ ( 0 , x ) = − Ei ( − x ) {\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)} のために 、 x > 0 {\displaystyle x>0} Γ ( s , x ) = x s E 1 − s ( x ) {\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)} 、 Γ ( 1 2 , x ) = π erfc ( x ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)} 、 γ ( 1 2 , x ) = π erf ( x ) {\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)} 。 ここで、 は 指数積分 、 は一般 化 指数積分 、 は 誤差関数 、は 相補誤差関数 です 。 Ei {\displaystyle \operatorname {Ei} } E n {\displaystyle \operatorname {E} _{n}} erf {\displaystyle \operatorname {erf} } erfc {\displaystyle \operatorname {erfc} } erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) {\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}
漸近的挙動 γ ( s , x ) x s → 1 s {\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\to {\frac {1}{s}}} として 、 x → 0 {\displaystyle x\to 0} Γ ( s , x ) x s → − 1 s {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\to -{\frac {1}{s}}} （ 実数 s に対して、 Γ( s , x ) ~ − x s / s の誤差はs ≠ −1 の場合は O ( x min{ s + 1, 0} ) 程度、 s = −1 の 場合は O ( ln ( x ))程度で ある ） x → 0 {\displaystyle x\to 0} ℜ ( s ) < 0 {\displaystyle \Re (s)<0} Γ ( s , x ) ∼ Γ ( s ) − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x s + n n ! ( s + n ) {\displaystyle \Gamma (s,x)\sim \Gamma (s)-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{s+n}}{n!(s+n)}}} 漸近級数 として 表される 。 [ 13] x → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} s ≠ 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle s\neq 0,-1,-2,\dots } Γ ( − N , x ) ∼ C N + ( − 1 ) N + 1 N ! ln x − ∑ n = 0 , n ≠ N ∞ ( − 1 ) n x n − N n ! ( n − N ) {\displaystyle \Gamma (-N,x)\sim C_{N}+{\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\ln x-\sum _{n=0,n\neq N}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{n-N}}{n!(n-N)}}} 漸近級数 として 、および 、、、 ここ で オイラー・マスケローニ定数 である 。 [13] x → 0 + {\displaystyle x\to 0^{+}} N = 1 , 2 , … {\displaystyle N=1,2,\dots } C N = ( − 1 ) N + 1 N ! ( γ − ∑ n = 1 N 1 n ) {\textstyle C_{N}={\frac {(-1)^{N+1}}{N!}}\left(\gamma -\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)} γ {\displaystyle \gamma } γ ( s , x ) → Γ ( s ) {\displaystyle \gamma (s,x)\to \Gamma (s)} として 、 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } Γ ( s , x ) x s − 1 e − x → 1 {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\to 1} として 、 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } Γ ( s , z ) ∼ z s − 1 e − z ∑ k = 0 Γ ( s ) Γ ( s − k ) z − k {\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}} 漸近級数 として 表される 。 [ 14] | z | → ∞ {\displaystyle |z|\to \infty } | arg z | < 3 2 π {\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }
下ガンマ関数はべき級数展開を使って評価できる: [15] ここで は ポッホハマー記号 である 。 γ ( s , z ) = ∑ k = 0 ∞ z s e − z z k s ( s + 1 ) … ( s + k ) = z s e − z ∑ k = 0 ∞ z k s k + 1 ¯ {\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)\dots (s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}} s k + 1 ¯ {\displaystyle s^{\overline {k+1}}}
別の展開は、 M がクンマーの 合流型超幾何関数 であるときです 。 γ ( s , z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! z s + k s + k = z s s M ( s , s + 1 , − z ) , {\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}
クンマーの合流型超幾何関数との関連 z の実部が 正のとき、 は 無限大の収束半径を持ちます。 γ ( s , z ) = s − 1 z s e − z M ( 1 , s + 1 , z ) {\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)} M ( 1 , s + 1 , z ) = 1 + z ( s + 1 ) + z 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) + z 3 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) + ⋯ {\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }
再び 合流超幾何関数 とクンマーの恒等式を用いると、 Γ ( s , z ) = e − z U ( 1 − s , 1 − s , z ) = z s e − z Γ ( 1 − s ) ∫ 0 ∞ e − u u s ( z + u ) d u = e − z z s U ( 1 , 1 + s , z ) = e − z ∫ 0 ∞ e − u ( z + u ) s − 1 d u = e − z z s ∫ 0 ∞ e − z u ( 1 + u ) s − 1 d u . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1{-}s,1{-}s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}du\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1{+}s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}du\\&=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}du.\end{aligned}}}
実際の数値の計算には、 ガウスの連分数が 便利な展開を提供します。 γ ( s , z ) = z s e − z s − s z s + 1 + z s + 2 − ( s + 1 ) z s + 3 + 2 z s + 4 − ( s + 2 ) z s + 5 + 3 z s + 6 − ⋱ . {\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}
この連分数は、 s が負の整数でない 限り、すべての複素数 zに対して収束します。
上ガンマ関数は連分数 [16] と [ 引用が必要 ]を持つ。 Γ ( s , z ) = z s e − z z + 1 − s 1 + 1 z + 2 − s 1 + 2 z + 3 − s 1 + ⋱ {\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}} Γ ( s , z ) = z s e − z 1 + z − s + s − 1 3 + z − s + 2 ( s − 2 ) 5 + z − s + 3 ( s − 3 ) 7 + z − s + 4 ( s − 4 ) 9 + z − s + ⋱ {\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}
乗法定理 次の 乗法定理 が成り立つ [ 引用が必要 ] ： Γ ( s , z ) = 1 t s ∑ i = 0 ∞ ( 1 − 1 t ) i i ! Γ ( s + i , t z ) = Γ ( s , t z ) − ( t z ) s e − t z ∑ i = 1 ∞ ( 1 t − 1 ) i i L i − 1 ( s − i ) ( t z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}
ソフトウェア実装 不完全ガンマ関数は、さまざまな コンピュータ代数システム で利用できます。
直接的に利用できない場合でも、 スプレッドシート （およびコンピュータ代数パッケージ）に一般的に含まれる関数を使用することで、不完全な関数値を計算することは可能です。例えば Excelでは、 ガンマ関数と ガンマ分布 関数を組み合わせること で計算できます 。
下側の不完全関数: 。 γ ( s , x ) {\displaystyle \gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)上の不完全関数: 。 Γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s,x)} = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))これらはガンマ分布の累積分布関数 の定義から導かれます 。
Python では 、Scipy ライブラリが の不完全ガンマ関数の実装を提供していますが、最初の引数に負の値を指定することはできません。mpmath ライブラリの scipy.special関数は、すべての複素引数をサポートします。 gammainc
正規化ガンマ関数とポアソン確率変数 関連する 2 つの関数は、正規化されたガンマ関数です。
これは 、形状パラメーター と スケール パラメーター が 1 である ガンマ ランダム変数 の 累積分布関数 です 。 P ( s , x ) = γ ( s , x ) Γ ( s ) , Q ( s , x ) = Γ ( s , x ) Γ ( s ) = 1 − P ( s , x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}} P ( s , x ) {\displaystyle P(s,x)} s {\displaystyle s}
が整数の とき、 は ポアソン確率変数 の累積分布関数である 。 が 確率変数のとき、 s {\displaystyle s} Q ( s + 1 , λ ) {\displaystyle Q(s+1,\lambda )} X {\displaystyle X} P o i ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Poi} (\lambda )} Pr ( X ≤ s ) = ∑ i ≤ s e − λ λ i i ! = Γ ( s + 1 , λ ) Γ ( s + 1 ) = Q ( s + 1 , λ ) . {\displaystyle \Pr(X\leq s)=\sum _{i\leq s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s+1,\lambda )}{\Gamma (s+1)}}=Q(s+1,\lambda ).}
この式は部分積分を繰り返すことで導き出すことができます。
P ( s , x ) {\displaystyle P(s,x)} これらは scipy では [17] と [18] として実装されている 。 Q ( s , x ) {\displaystyle Q(s,x)} gammaincgammaincc
デリバティブ 上記の積分表現を使用すると、上側不完全ガンマ関数の x に関する導関数は、次のよう になります。 最初の引数に関する導関数は [19] で与えられ 、 2 番目の導関数 は、次のようになります。ここ で、関数は Meijer G 関数 の特殊なケースです。 この特殊なケースは、 すべての 連続する導関数を表現できるため、独自の内部 閉包 特性を持っています。 一般に、
は ポッホハマー記号 によって定義される 置換 です 。 この ようなすべての導関数は、次から連続して生成できます。 および この関数は 、 が 負の整数またはゼロではない
ことを理解すれば 、 に対して有効なその級数表現から計算できます 。 このような場合、極限を使用する必要があります。 の結果は、 解析接続 によって取得できます 。 この関数のいくつかの特殊なケースは簡略化できます。たとえば、 、 で、は 指数積分 です 。 これらの導関数と関数は、 上側不完全ガンマ関数の積分定義を繰り返し微分することにより、多数の積分の正確な解を提供します。 [20] [21] 例えば、 この式はさらに 拡張または一般化され、 ラプラス変換 や メリン変換 の膨大なクラスにまで拡張することができます 。 コンピュータ代数システム と組み合わせることで、特殊関数の利用は、特に実用的な工学アプリケーションで遭遇する定積分を解くための強力な手段となります（ 詳細について
は 記号積分を参照してください）。 Γ ( s , x ) {\displaystyle \Gamma (s,x)} ∂ Γ ( s , x ) ∂ x = − x s − 1 e − x {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}} s {\displaystyle s} ∂ Γ ( s , x ) ∂ s = ln x Γ ( s , x ) + x T ( 3 , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)} ∂ 2 Γ ( s , x ) ∂ s 2 = ln 2 x Γ ( s , x ) + 2 x [ ln x T ( 3 , s , x ) + T ( 4 , s , x ) ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]} T ( m , s , x ) {\displaystyle T(m,s,x)} T ( m , s , x ) = G m − 1 , m m , 0 ( 0 , 0 , … , 0 s − 1 , − 1 , … , − 1 | x ) . {\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).} ∂ m Γ ( s , x ) ∂ s m = ln m x Γ ( s , x ) + m x ∑ n = 0 m − 1 P n m − 1 ln m − n − 1 x T ( 3 + n , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)} P j n {\displaystyle P_{j}^{n}} P j n = ( n j ) j ! = n ! ( n − j ) ! . {\displaystyle P_{j}^{n}={\binom {n}{j}}j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.} ∂ T ( m , s , x ) ∂ s = ln x T ( m , s , x ) + ( m − 1 ) T ( m + 1 , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)} ∂ T ( m , s , x ) ∂ x = − T ( m − 1 , s , x ) + T ( m , s , x ) x {\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {T(m-1,s,x)+T(m,s,x)}{x}}} T ( m , s , x ) {\displaystyle T(m,s,x)} | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} T ( m , s , z ) = − ( − 1 ) m − 1 ( m − 2 ) ! d m − 2 d t m − 2 [ Γ ( s − t ) z t − 1 ] | t = 0 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z s − 1 + n n ! ( − s − n ) m − 1 {\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-s-n\right)^{m-1}}}} | z | ≥ 1 {\displaystyle |z|\geq 1} T ( 2 , s , x ) = Γ ( s , x ) / x {\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x} x T ( 3 , 1 , x ) = E 1 ( x ) {\displaystyle x\,T(3,1,x)=\mathrm {E} _{1}(x)} E 1 ( x ) {\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)} T ( m , s , x ) {\displaystyle T(m,s,x)} ∫ x ∞ t s − 1 ln m t e t d t = ∂ m ∂ s m ∫ x ∞ t s − 1 e t d t = ∂ m ∂ s m Γ ( s , x ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}dt={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}
不定積分と定積分 次の不定積分は、 部分積分 （ どちらの場合も 積分定数は 省略）を使用して簡単に得られます。
下側不完全ガンマ関数と上側不完全ガンマ関数は、 フーリエ変換 を介して接続されます。 これは、たとえば、（Gradshteyn et al. 2015、§7.642）の適切な特殊化によって得られます。 ∫ x b − 1 γ ( s , x ) d x = 1 b ( x b γ ( s , x ) − γ ( s + b , x ) ) , ∫ x b − 1 Γ ( s , x ) d x = 1 b ( x b Γ ( s , x ) − Γ ( s + b , x ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}} ∫ − ∞ ∞ γ ( s 2 , z 2 π ) ( z 2 π ) s 2 e − 2 π i k z d z = Γ ( 1 − s 2 , k 2 π ) ( k 2 π ) 1 − s 2 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}dz={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}
注記 ^ abcdef 「DLMF: §8.2 定義と基本的性質 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」. dlmf.nist.gov . ^ abc 「DLMF: §8.8 再帰関係と導関数 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」. dlmf.nist.gov . ^ ab Donald E. Marshall (2009年秋). 「複素解析」 (PDF) . 数学534 (学生用配布資料). ワシントン大学. 定理3.9、p.56. オリジナル (PDF) から2011年5月16日時点のアーカイブ。 2011年 4月23日 閲覧 。 ^ ab "DLMF: §8.7 級数展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数". dlmf.nist.gov . ^ Paul Garrett. 「ハートッグスの定理：個別解析性は結合解析性を意味する」 （PDF） . cse.umn.edu . 2023年 12月21日 閲覧 。 ^ C. Teleman. 「リーマン面」 (PDF) . berkeley.edu . 2023年 12月21日 閲覧 。 ^ 「DLMF: §5.2 定義 ‣ プロパティ ‣ 第5章 ガンマ関数」. dlmf.nist.gov . ^ 「DLMF: §4.4 特殊な値と限界 ‣ 対数、指数、べき乗 ‣ 第4章 基本関数」. dlmf.nist.gov . ^ 最後の式を参照してください。 ^ 「DLMF: §8.4 特殊値 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」. dlmf.nist.gov . ^ 「DLMF: 8.4 特別な値」。 ^ Weisstein, Eric W. 「不完全ガンマ関数」 。MathWorld 。 （式2） ^ ab Bender & Orszag (1978). 科学者とエンジニアのための高度な数学的手法 . Springer. Bibcode :1978amms.book.....B. ^ 「DLMF: §8.11 漸近近似と展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」. dlmf.nist.gov . ^ 「DLMF: §8.11 漸近近似と展開 ‣ 不完全ガンマ関数 ‣ 第8章 不完全ガンマ関数と関連関数」. dlmf.nist.gov . ^ アブラモヴィッツとステガン p. 263、6.5.31 ^ "scipy.special.gammainc — SciPy v1.11.4 マニュアル". docs.scipy.org . ^ "scipy.special.gammaincc — SciPy v1.11.4 マニュアル". docs.scipy.org . ^ KO Geddes 、ML Glasser、RA Moore、TC Scott、「 特殊関数の微分による基本関数を含む定積分のクラスの評価」 、AAECC（工学、通信、コンピューティングにおける適用可能代数）、第1巻、（1990年）、pp. 149–165、[1] ^ Milgram, MS (1985). 「一般化積分指数関数」. Math. Comp . 44 (170): 443– 458. doi : 10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4 . MR 0777276. ^ Mathar (2009). 「1から無限大までのexp(i*pi*x)*x^(1/x)上の振動積分の数値評価」 arXiv : 0912.3844 [math.CA]. 、アプリB
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,x)&=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\,dt=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\,dt\\[1ex]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\right)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d971e2f74c87a01fc2b6690a7e1ea13d8f2049)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}&=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}\\[1ex]&={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(-z\right)^{k}}{k!(s+k)}},&\Re (s)>-1,\,s\neq 0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a45d9dcd150239034fd6f918d3923432d72b54e4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(s,x)&={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},\\[1ex]Q(s,x)&={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec55e479ed11354fd61908d46ba0982e317b45f)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x\left[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442e90c89d5cb3dcacb43c280856a293ea7ce2bb)
![{\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {\left(-1\right)^{m-1}}{(m-2)!}}\left.{\frac {d^{m-2}}{dt^{m-2}}}\left[\Gamma (st)z^{t-1}\right]\right|_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {\left(-1\right)^{n}z^{s-1+n}}{n!\left(-sn\right)^{m-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7973ef460907c11d7079ee2d7d9edec221796a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{b-1}\gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),\\[1ex]\int x^{b-1}\Gamma (s,x)\,dx&={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9168e1bcd7e2356ed5db1ef1df7ca3f54e39e4e5)
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