6次四面体ハニカム
ポアンカレ円板モデル内の透視投影図
種類	双曲型正則ハニカムパラコンパクト一様ハニカム
シュレーフリ記号	{3,3,6} {3,3 ^[3] }
コクセター図	↔
セル	{3,3}
面	三角形{3}
辺図形	六角形{6}
頂点図形	三角形タイリング
双対	六角形タイリングハニカム
コクセター群	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] , [3,3 ^[3] ] ${\overline {P}}_{3}$
性質	正則、準正則

双曲3次元空間において、6次四面体ハニカムはパラコンパクト正則空間充填モザイク（またはハニカム）です。無限数の面からなる頂点図形を持ち、すべての頂点が無限遠の理想点であるため、パラコンパクトです。シュレーフリ記号{3, 3, 6}を用いると、6次四面体ハニカムは各辺の周りに6つの理想四面体を持ちます。すべての頂点は理想であり、三角形のタイリング頂点図形の各頂点の周りには無限個の四面体が存在します。^[¹^]

幾何学的なハニカムは、多面体または高次元のセルを空間に充填したもので、隙間がありません。これは、任意の次元におけるより一般的な数学的なタイリングまたはモザイク模様の例です。

ハニカムは通常、凸型均一ハニカムのように、通常のユークリッド（「平坦」）空間に構築されます。また、双曲型均一ハニカムのように、非ユークリッド空間に構築されることもあります。任意の有限均一多面体は、その外接球に投影して、球面空間に均一なハニカムを形成できます。

対称性の構築

6次四面体ハニカムには、シュレーフリ記号{3,3 ^[3] }で表される均一ハニカムという2番目の構成があります。この構成には、交互に変化する四面体セルの種類、または色が含まれます。コクセター記法では、この半対称性は[3,3,6,1 ⁺ ] ↔ [3,((3,3,3))]、または[3,3 ^[3] ]と表されます。↔。

関連する多面体とハニカム

6次四面体ハニカムは、2次元の無限次三角形のタイリング{3,∞}に類似しています。どちらのタイル張りも正則で、三角形と理想的な頂点のみを含みます。

6次四面体ハニカムは、 3次元空間における正則双曲型ハニカムでもあり、パラコンパクトである11個のハニカムの1つです。

11個のパラコンパクト正則ハニカム
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

このハニカムは、[6,3,3]コクセター群に属する15個の均一なパラコンパクトハニカムの1つであり、その双対である六角形タイリングハニカムも同様です。

[6,3,3]ファミリーハニカム
{6,3,3}	r{6,3,3}	t{6,3,3}	rr{6,3,3}	t _0,3 {6,3,3}	tr{6,3,3}	t _0,1,3 {6,3,3}	t _0,1,2,3 {6,3,3}


{3,3,6}	r{3,3,6}	t{3,3,6}	rr{3,3,6}	2t{3,3,6}	tr{3,3,6}	t _0,1,3 {3,3,6}	t _0,1,2,3 {3,3,6}

6次の四面体ハニカムは、正多面体と四面体セルを持つハニカムの列の一部です。

{3,3,p}多面体
空間	S ³			H ³
形	有限			パラコンパクト	非コンパクト
名称	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	… {3,3,∞}
像
頂点図形	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

これは、三角形のタイリング頂点図形を持つハニカムの列の一部でもあります

双曲型均一ハニカム：{ p ,3,6}と{ p ,3 ^[3] }
v
t
e
形	パラコンパクト				非コンパクト
名称	{3,3,6} {3,3 ^[3] }	{4,3,6} {4,3 ^[3] }	{5,3,6} {5,3 ^[3] }	{6,3,6} {6,3 ^[3] }	{7,3,6} {7,3 ^[3] }	{8,3,6} {8,3 ^[3] }	... {∞,3,6} {∞,3 ^[3] }

像
セル	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

修正された6次四面体ハニカム

修正された6次四面体ハニカム
種類	パラコンパクト一様ハニカム半正則ハニカム
シュレーフリ記号	r{3,3,6} または t ₁ {3,3,6}
コクセター図	↔
セル	r{3,3} {3,6}
面	三角形{3}
頂点図形	六角柱
コクセター群	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] , [3,3 ^[3] ] ${\overline {P}}_{3}$
性質	頂点推移的、辺推移的

修正された6次四面体ハニカム、t ₁ {3,3,6} は、六角柱の頂点図形に配置された八面体と三角形のタイリングセルを持ちます。

ポアンカレ円板モデルにおける透視投影図

r{p,3,6}
v
t
e
空間	H ³
形	パラコンパクト				非コンパクト
名称	r{3,3,6}	r{4,3,6}	r{5,3,6}	r{6,3,6}	r{7,3,6}	… r{∞,3,6}
像
セル{3,6}	r{3,3}	r{4,3}	r{5,3}	r{6,3}	r{7,3}	r{∞,3}

切頂6次四面体ハニカム

切頂6次四面体ハニカム
種類	パラコンパクト均一ハニカム
シュレーフリ記号	t{3,3,6} または t _0,1 {3,3,6}
コクセター図	↔
セル	t{3,3} {3,6}
面	三角形{3} 六角形{6}
頂点図形	六角錐
コクセター群	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] , [3,3 ^[3] ] ${\overline {P}}_{3}$
性質	頂点推移

切頂6次四面体ハニカム（t _0,1 {3,3,6}）は、切頂四面体と三角形のタイリングセルが六角錐の頂点図形に配置されています。

二切頂6次四面体ハニカム

二切頂6次四面体ハニカムは、二切頂六角形タイリングハニカムと同等です。

斜交接型六面体ハニカム

斜交接型六面体ハニカム
種類	パラコンパクト均一ハニカム
シュレーフリ記号	rr{3,3,6} または t _0,2 {3,3,6}
コクセター図	↔
セル	r{3,3} r{3,6} {}x{6}
面	三角形{3} 正方形{4} 六角形{6}
頂点図形	二等辺三角柱
コクセター群	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] , [3,3 ^[3] ] ${\overline {P}}_{3}$
性質	頂点推移

6次四面体ハニカム（t _0,2 {3,3,6}）は、立方八面体、三六角形のタイリング、および六角柱のセルが二等辺三角柱の頂点図形に配置されています。

6次四面体ハニカム（片切形）

6次四面体ハニカム（片切形）
種類	パラコンパクト均一ハニカム
シュレーフリ記号	tr{3,3,6} または t _0,1,2 {3,3,6}
コクセター図	↔
セル	tr{3,3} t{3,6} {}x{6}
面	正方形{4} 六角形{6}
頂点図形	鏡映蝶形
コクセター群	${\overline {V}}_{3}$ , [3,3,6] , [3,3 ^[3] ] ${\overline {P}}_{3}$
性質	頂点推移

片切頂6次四面体ハニカムt _0,1,2 {3,3,6} は、切頂八面体、六角形タイリング、六角柱セルが鏡映蝶形頂点図形で接続されています。

切頂6次四面体ハニカム

二切頂6次四面体ハニカムは、二切頂六角形タイリングハニカムと同等です。

切頂6次四面体ハニカム

切頂6次四面体ハニカムは、切頂6角形タイリングハニカムと同等です。

切頂6次四面体ハニカム

ランシカンテラテッド6面体ハニカムは、ランシトランケーテッド六角形タイリングハニカムと同等です。

オムニトランケーテッド6面体ハニカム

オムニトランケーテッド6面体ハニカムは、オムニトランケーテッド六角形タイリングハニカムと同等です。

参照

参考文献

^ Coxeter『幾何学の美』、1999年、第10章、表III

コクセター著『正多面体』第3版、ドーバー出版、1973年。ISBN 0-486-61480-8（表IおよびII：正多面体とハニカム、294～296ページ）
『幾何学の美：12のエッセイ』（1999年）、ドーバー出版、LCCN 99-35678、ISBN 0-486-40919-8（第10章、双曲空間における正ハニカム、ウェイバックマシンで2016年6月10日にアーカイブ）表III
ジェフリー・R・ウィークス著 『空間の形』第2版 ISBN 0-8247-0709-5（第16～17章：3次元多様体上の幾何学 I、II）
ノーマン・ジョンソン 均一多面体原稿
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
- NWジョンソン：幾何学と変換、(2018) 第13章：双曲型コクセター群

[1] Coxeter『幾何学の美』、1999年、第10章、表III

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