5セル

5細胞
（4単体）
5細胞; （4単体）
	単純な回転を実行する5セルの3D正射影
タイプ	凸正4次元多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3}
コクセター図
細胞	5 {3,3}
顔	10 {3}
エッジ	10
頂点	5
頂点図形	; （四面体）
ペトリー多角形	五角形
コクセターグループ	A 4、[3,3,3]
デュアル	自己双対
プロパティ	凸面、等角面、等値面、等面体面、射影的に一意な面
均一インデックス	1

幾何学において、五胞体（ごほうたい、ごうぼうたい、ごうたい、ごうぶつ）は、シュレーフリ記号{3,3,3}で表される凸四次元多面体である。これは、5つの正四面体胞で囲まれた5頂点の四次元物体である_。C5、超四面体、ペンタクロロン、^[1]、ペンタトープ、ペンタヘドロイド、^{[2] 、四}面体ピラミッド、または4単体（コクセターの多面体）^[3]とも呼ばれ、最も単純な凸四次元多面体であり、三次元の四面体や二次元の三角形に類似している。五胞体は、正四面体の底面と4つの正四面体の側面を持つ4次元ピラミッドである。 $\alpha _{4}$

正5 セルは5 つの正四面体で囲まれ、6 つの正凸 4 次元多面体(プラトン立体の 4 次元版) のうちの 1 つです。正 5 セルは、正四面体のすべての頂点から 1 辺の長さだけ離れた 5 番目の頂点を追加することで、正四面体から構築できます。これは 3 次元空間では実行できません。正 5 セルは、「10 本のマッチ棒を使用して、すべて同じサイズの 10 個の正三角形を作成します。すべての三角形の各辺は、正確に 1 本のマッチ棒であり、三角形とマッチ棒は互いに交差しません」という問題に対する解です。3次元では解は存在しません。

プロパティ

5 セルは 4 次元単体であり、最も単純な4 次元多面体です。言い換えると、5 セルは高次元の四面体に相当する多角形です。 ^[4] 5 セルは、すべてが同じ超平面上にない 5 点によって形成されます(四面体はすべて同じ平面上にない 4 点によって形成され、三角形はすべて同じ直線上にない 3 点によって形成されるのと同様)。このような 5 点は 5 セルを構成しますが、通常は正則 5 セルではありません。正則5 セルは、1 つを除いて他の正則凸 4 次元多面体のいずれにも見つかりません。1 つを除いて、600 頂点の120 セルは、 120 個の正則 5 セルの複合体です。

5次元多面体は自己双対であり、その双対多面体は5次元多面体自身である。^[5] 3次元空間との最大交差は三角柱である。その二項角はである。^[6] ${\textstyle \arccos(-1/4)\approx 75.52^{\circ }}$

これは、与えられた半径または頂点数における体積の順に並べた、6つの凸正4次元多面体の列の最初のものである。^[7]

双対構成の 2 つの 5 セルの凸包は、二分蝶形 30 セルであり、二分円切断 5 セルの双対です。

構成として

この配置行列は5セルを表します。行と列は、頂点、辺、面、セルに対応します。対角数は、各要素が5セル全体にいくつ出現するかを示します。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示します。この自己双対多面体の行列は、180度回転したものと同一です。^[8] k面は対角線の左側の行として読み取ることができ、k図形は対角線の後ろの行として読み取ることができます。^[9]

k面	f _k	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃	k -イチジク
（）	f ₀	5	4	6	4	{3,3}
{ }	f ₁	2	10	3	3	{3}
{3}	f ₂	3	3	10	2	{ }
{3,3}	f ₃	4	6	4	5	（）

5 セルのこれらの要素はすべて、ブランコ・グリュンバウムの5 点のベン図に列挙されています。これは文字通り、平面に投影された通常の 5 セルの図解です。

測地線と回転

5セルには、頂点を通る二角形中心平面のみがあります。5セルには10個の二角形中心平面があり、各頂点のペアは5セルの軸ではなく辺です。各二角形平面は他の3つの平面と直交しますが、どの平面とも完全に直交しません。5セルの特性等傾斜回転は、不変平面のペアとして、これらの10個の二角形平面と、それらの完全に直交する中心平面を持ちます。中心平面は、5セルのどの頂点とも交差しない0角形平面です。

下図は、回転する5セルの4次元部分を圧縮し、色分けして視覚化した図である。クリフォード・トーラスは、長方形（ラッピング）の形で描かれている。

4D回転の可視化
XY平面で回転するだけ
ZW平面で単純に回転する
XY平面とZW平面で4:3の角速度比で二重回転
左等斜回転
右等斜回転

予測

A ₄コクセター平面は、5 セルを正五角形と正五芒星に投影します。A ₃コクセター平面への 5 セルの投影は、正四角錐です。A ₂コクセター平面への 5 セルの投影は、正三角形の両錐（ 2 つの四面体を面と面を合わせて接合したもの）で、2 つの対角頂点が中心に配置されています。

正投影図
A _k コクセター平面	A4	A3	A ₂
グラフ
二面対称性	[5]	[4]	[3]

3次元への投影
5セルを頂点優先で3次元に投影すると、正四面体の投影包絡線が形成されます。5セルの最も近い頂点は、赤で示されているように、正四面体の中心に投影されます。最も遠いセルは正四面体の包絡線自体に投影され、残りの4つのセルは、中心の頂点を囲む4つの平坦化された正四面体領域に投影されます。	5セルを3次元に辺優先投影すると、三角形の両錐体包絡線が形成されます。最も近い辺（ここでは赤で示されています）は両錐体の軸に投影され、それを囲む3つのセルは、この軸の周りに互いに120度ずつ配置された3つの四面体体積に投影されます。残りの2つのセルは、両錐体の両半分に投影され、ペンタトープの反対側に位置します。
5セルを面優先投影して3次元に投影すると、三角形の両錐体包絡線が形成されます。最も近い面は赤で示されています。この面で交わる2つのセルは、両錐体の2つの半分に投影されます。残りの3つのセルは、4次元の視点から見るとペンタトープの反対側にあり、分かりやすくするために画像から抜粋されています。これらのセルは、辺優先投影の場合と同様に、両錐体の中心軸の周りに配置されています。	5つのセルを3次元にセルファースト投影すると、四面体状のエンベロープが形成されます。最も近いセルはエンベロープ全体に投影されるため、4次元の視点から見ると他の4つのセルが隠れてしまいます。そのため、ここではレンダリングされていません。

不規則な5セル

5元セルのような単体の場合、ある種の不規則な形状は、ある意味では正則な形状よりも基本的である。正則な5元セルは4元空間や正則な4元多面体を満たすことができないが、不規則な5元セルの中には満たすことができるものがある。これらの特徴的な5元セルは、様々な4元多面体を生み出す様々な対称群の基本領域である。

オルソスキーム

4-オルソスキームは、10 面すべてが直角三角形である 5 つのセルです。(5 つの頂点は、互いに面結合した5 つの四面体セルを形成し、合計 10 のエッジと 10 の三角形の面を持ちます。)オルソスキームは、すべてのエッジが相互に垂直であるツリーの凸包である不規則な単体です。4 次元オルソスキームでは、ツリーは 5 つの頂点すべてを 3 つの直角ターンを形成する直線パスで接続する 4 つの垂直なエッジで構成されます。オルソスキームの要素もオルソスキームです (正単体の要素も正単体であるのと同じです)。4-オルソスキームの各四面体セルは3-オルソスキームであり、各三角形の面は 2-オルソスキーム (直角三角形) です。

オルソスキームは正多面体の特性単体です。なぜなら、各正多面体は、その特定の特性オルソスキームの境界面における反射によって生成されるからです。 ^[10]たとえば、等しい長さの垂直辺を持つ 4 次元オルソスキームの特殊なケースは、3 次元立方体の 4 次元アナログである 4 次元立方体 (テッセラクトまたは 8 セルとも呼ばれる) の特性オルソスキームです。4次元オルソスキームの3 つの垂直辺が単位長さである場合、そのすべての辺の長さは√ 1、√ 2、√ 3、または√ 4となり、これは単位 4 次元立方体の弦の長さ(4 次元立方体の辺とさまざまな対角線の長さ) とまったく同じです。したがって、この 4 次元正射影は 4 次元立方体に適合し、4 次元立方体は (すべての通常の凸多面体と同様に)その特徴的な正射影のインスタンスに分解できます。

3次元直交配位図は簡単に図示できますが、4次元直交配位図は視覚化が困難です。4次元直交配位図は、 3次元直交配位図を底辺とする正四面体ピラミッドです。3次元直交配位図よりも辺が4つ多く、底辺の4つの頂点と頂点（5マスの5番目の頂点）を結んでいます。3次元立方体の図に示されている6つの3次元直交配位図から、どれか1つを選んでください。立方体の8つの頂点のうち4つに接し、それらの4つの頂点は2つの直角に曲がる3辺の経路で結ばれていることに注目してください。この 3-直交配座が 4-直交配座のベースであると想像してください。これにより、4 つの頂点のそれぞれから、見えない 4-直交配座のエッジが 5 番目の頂点 (3-立方体の外側にあり、図にはまったく表示されません) に接続されます。4 つの追加エッジはすべて同じ頂点に到達しますが、長さはすべて異なります。最初のエッジは、3 エッジ直交パスの一方の端で、3 回目の 90 度回転を行って 4 番目の直交√ 1エッジでパスを延長し、頂点に対して垂直に 4 次元に到達します。4 つの追加エッジの 2 番目は、立方体面の√ 2対角線です (図示の 3-立方体ではなく、テッセラクトにある 8 つの 3-立方体のうちの別の立方体の面)。3 番目の追加エッジは、 3-立方体の√ 3対角線です (これも、元の図示の 3-立方体ではありません)。 4つ目の追加辺（直交経路の反対側の端）は、テッセラクト自体の長径であり、長さは√4です。この辺はテッセラクトの中心を正確に通り、対蹠頂点（反対側の3次元立方体の頂点）（頂点）に達します。したがって、4次元立方体の特性5マスには、 √1の辺が4つ、√2の辺が3つ、√3の辺が2つ、√4の辺が1つあります。

4キューブ24個の4-直交図に分解できる 8通りの方法があり、6つの4次元直交配色が4つの直交する√4四次元方形の長径をそれぞれ囲みます。4次元立方体は、同じ特徴を持つ4次元直交配色の384個の小さなインスタンスに分解することもできますが、その方法は1通りで、すべての対称超平面を一度に分割することで、384個の4次元直交配色に分割され、それらはすべて4次元立方体の中心で交わります。

より一般的には、任意の正多面体は、その特徴的直交配座のg個のインスタンスに分割でき、それらはすべて正多面体の中心で交わります。 ^[11]数gは多面体の位数であり、単一の鏡面直交配座インスタンスをそれ自身の面に反射させたときに、多面体を構成する特徴的直交配座の反射インスタンスの数です。さらに一般的には、特徴的単体は、多面体のすべての必須要素を備えているため、一様多面体を埋めることができます。また、要素間の必要な角度 (90 度以上) もすべて備えています。特徴的単体は多面体の遺伝コードです。スイスアーミーナイフのように、複製によって多面体を構成するために必要なすべてのものが 1 つずつ含まれています。

正5セルを含むすべての正多面体は、その特性正多面体を持つ。正5セルの特性5セルである4正多面体が存在する。これは、正四面体の特性四面体に基づく四面体ピラミッドである。正5セルはこの特徴的な4-直交図は120例に分解できる。唯一の方法は、すべての対称超平面を一度に通過することです。これにより、通常の 5 セルの中心ですべてが交わる 120 個の 4 直交スキームに分割されます。

通常の5セルの特徴^[12]
	エッジ^[13]	アーク		二面角^[14]
𝒍	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	104°30′40″	$\pi -2\eta$	75°29′20″	$\pi -2\psi$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {1}{10}}}\approx 0.316$	75°29′20″	$2\eta$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^[あ]	${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}\approx 0.183$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-\eta$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}\approx 0.103$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-\eta$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{20}}}\approx 0.387$	75°29′20″	$2\eta$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{20}}}\approx 0.224$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-\eta$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}\approx 0.129$	52°15′20″	${\tfrac {\pi }{2}}-\eta$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$

$_{0}R^{4}/l$	${\sqrt {1}}=1.0$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{8}}}\approx 0.612$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}=0.25$

$\eta$		37°44′40″	${\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}$

正5次元多面体の特性5セル（4次元直交配位）は、その基本特性四面体（3次元直交配位）よりも4辺多く、これらの辺は底辺の4つの頂点と頂点（正5次元多面体の中心にある、4次元直交配位の5番目の頂点）を結んでいます。正4次元多面体の中心で交わる各4次元直交配位の4辺の長さは不等です。これは、これらの辺が正4次元多面体の4つの特性半径、すなわち頂点半径、辺中心半径、面中心半径、およびセル中心半径であるためです。正 5 セルが単位半径で辺の長さである場合、その特性 5 セルの 10 辺は、直角三角形の外部面の周りで長さ、、 (特性角𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺)、^[a]プラス、、(特性四面体の外部 3 直交配位面の他の 3 辺は、正四面体の特性半径です) プラス、、、(正 5 セルの特性半径である辺) となります。直交配位の直交辺に沿った 4 辺のパスは、、、で、最初に正 5 セルの頂点から正 5 セルの辺の中心まで行き、次に 90° 回転して正 5 セルの面の中心に行き、次に 90° 回転して正 5 セルの四面体セルの中心に行き、最後に 90° 回転して正 5 セルの中心に戻ります。 ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{10}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{20}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{20}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}$ ${\sqrt {1}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{8}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{30}}}$ ${\sqrt {\tfrac {2}{15}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{60}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{16}}}$

等長変換

5 セルには対称性の低い形式が多数存在し、その中には均一な多面体の頂点図形として見られるものも含まれます。

対称	[3,3,3] オーダー120	[3,3,1] 命令24	[3,2,1] 順序12	[3,1,1] 順序6	~[5,2] ⁺ 次数 10
名前	通常の5セル	四面体ピラミッド		三角錐
シュレーフリ	{3,3,3}	{3,3}∨( )	{3}∨{ }	{3}∨( )∨( )
頂点図の例	5単体	切断された5単体	ビットトランケーテッド5シンプレックス	5単体の切断	全切頂4単体ハニカム

正四面体ピラミッドは、5セル（多面体ピラミッド）の特殊なケースであり、3次元空間超平面上の正四面体底面と、超平面上の頂点として構成されます。ピラミッドの4つの側面は、三角錐のセルで構成されています。

多くの均一5次元多面体には、シュレーフリ記号( )∨{3,3}を持つ四面体ピラミッド 頂点図形があります。

対称性[3,3,1]、次数24
名前コクセター	{ }×{3,3,3}	{ }×{4,3,3}	{ }×{5,3,3}	t{3,3,3,3}	t{4,3,3,3}	t{3,4,3,3}
シュレーゲル図

他の一様5次元多面体は、不規則な5セル頂点図形を持つ。一様多面体の頂点図形の対称性は、コクセター図の環状ノードを除去することによって表現される。

対称	[3,2,1], 次数12		[3,1,1]、順序6		[2 ⁺ ,4,1]、次数8	[2,1,1]、順序4
シュレーフリ	{3}∨{ }		{3}∨( )∨( )		{ }∨{ }∨( )
シュレーゲル図
名前コクセター	t ₁₂ α ₅	t ₁₂ γ ₅	t ₀₁₂ α ₅	t ₀₁₂ γ ₅	t ₁₂₃ α ₅	t ₁₂₃ γ ₅

対称	[2,1,1]、順序2			[2 ⁺ ,1,1]、順序2	[ ] ⁺、1次
シュレーフリ	{ }∨( )∨( )∨( )			( )∨( )∨( )∨( )∨( )
シュレーゲル図
名前コクセター	t ₀₁₂₃ α ₅	t ₀₁₂₃ γ ₅	t ₀₁₂₃ β ₅	t ₀₁₂₃₄ α ₅	t ₀₁₂₃₄ γ ₅

工事

ボルダイク・コクセター螺旋として

5セルは、4次元リングに折り畳まれた5つの連鎖四面体のBoerdijk–Coxeterヘリックスとして構築できます。 ^[15]^{[検証に失敗] 10個の三角形面は、}三角形のタイリング内の2Dネットで見ることができ、各頂点の周りに6つの三角形がありますが、4次元に折り畳むとエッジが一致するようになります。紫色のエッジは、5セルのペトリ多角形である正五角形を形成します。青色のエッジは、1つおきの頂点を接続し、5セルのクリフォード多角形である五芒星を形成します。五芒星の青いエッジは、5セルの等傾斜の弦です。等傾斜は、クリフォード変位としても知られる、等傾斜回転中に頂点がたどる円形の回転パスです。

ネット

5つの四面体の網を4次元空間で折り畳み、各四面体が他の4つの四面体と面結合するようにすると、結果として得られる5セルは合計5つの頂点、10の辺、10の面を持つ。各頂点には4つの辺が接し、各辺には3つの四面体セルが接する。これにより、6つの四面体がそのセルとなる。^[6]

座標

最も単純な直交座標系は、辺の長さがで、黄金比がであるものです。^[16]これらの座標は原点中心ではありませんが、それぞれからを引くと、4次元多面体の外心が半径の原点に移動し、次の座標が得られます。 $(2,0,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,2),(\phi ,\phi ,\phi ,\phi ),$ $2{\sqrt {2}}$ $\phi$ $(1,1,1,1)/(2-{\tfrac {1}{\phi }})$ $2(\phi -1/(2-{\tfrac {1}{\phi }}))={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888$ ${\begin{aligned}\left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2),&\quad \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)\\\left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)&\quad \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)\\\left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)\end{aligned}}$

上記と同じ半径と辺の長さを持つ次の原点中心座標のセットは、3 次元空間内の正四面体底面を持つ超ピラミッドとして見ることができます。

\left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)

\left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)

これらの座標系、または前の座標系をでスケーリングすると、原点を中心とした単位半径の5辺の長さを持つ正多角形が得られます。超ピラミッドの座標は次のようになります。 ${\tfrac {\sqrt {5}}{4}}$ ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$

\left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4

\left(0,0,0,1\right)

原点を中心とし、辺の長さが 2、半径がである別の 5 セルの正三角形の頂点の座標は次のとおりです。 ${\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265$

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)

\left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)

これらを単位半径と辺の長さにスケーリングすると次のようになります。 ${\sqrt {\tfrac {5}{8}}}$ ${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}$

\left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})

\left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})

\left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})

\left(-1,0,0,0\right)

4 次元単体（辺が√ 2で半径が 1）の頂点は、5 次元空間の超平面上で、（0,0,0,0,1）または（0,1,1,1,1）の（異なる）順列として、より簡単に構築できます。これらの位置では、それぞれ5 次元直交複体または修正五面体の面になります。

化合物

2つの5セルの双対配置の複合体は、このA5コクセター平面投影図に示されています。赤色と青色の5セルの頂点と辺が示されています。この複合体は[[3,3,3]]対称性を持ち、次数は240です。これら2つの5セルの交差は、一様でビットトランケーテッドな5セルです。＝∩。

この複合語は、2次元の六十四卦の4次元版として見ることができます。6/2⁠ } と2 つの四面体の3D複合体です。

注記

^ ab (Coxeter 1973) では、正多面体の3つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表すためにギリシャ文字 𝝓 (ファイ) が用いられています。𝝓 は黄金比定数 ≈ 1.618 を表すのに一般的に用いられますが、Coxeter はこの定数に 𝝉 (タウ) を用いています。そこで、ここでは Coxeter の慣例を逆にし、特性角を表すのに 𝝉 を用います。

引用

^ ジョンソン2018、249ページ。
^ Ghyka 1977、68ページ。
^ Coxeter 1973, p. 120, §7.2. 図 7.2Aを参照。
^ 宮崎・石井 2021、46頁。
^ ディウデア 2018、41ページ。
^ ab 秋山、ヒトマツ、佐藤 2012.
^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii): 4次元における16個の正多面体{ p,q,r }。
^ Coxeter 1973, p. 12, §1.8. 構成。
^ 「ペン」.
^ Coxeter 1973、pp. 198–202、§11.7 正規図形とその切り捨て。
^ Kim & Rote 2016、pp. 17–20、§10 4次元点群のCoxeter分類。
^ Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii)；「5セル、𝛼4 _」。
^ Coxeter 1973、p. 139、§7.9 特性単体。
^ Coxeter 1973、p. 290、表I(ii)；「二面角」。
^ バンチョフ 2013.
^ Coxeter 1991, p. 30, §4.2. 結晶学的正多面体。

参考文献

秋山仁；ヒトツマツ、罪。佐藤育朗 (2012) 「正多面体の要素番号の決定」。ジオメトリエ・デディカタ。159 : 89–97 .土井:10.1007/s10711-011-9647-3。
Diudea, MV (2018). 多重殻多面体クラスター. 炭素材料：化学と物理学. 第10巻. Springer . doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2。
ギカ、マティラ（1977年）『芸術と人生の幾何学』ドーバー出版ISBN 978-0-486-23542-4。
ジョンソン、NW (2018). 「有限対称群、11.5 球面コクセター群」.幾何学と変換. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-107-10340-5。
宮崎功; 石井正 (2021). 「4次元正多角形の射影における対称性」. Darvas, György (ed.). Complex Symmetries. doi :10.1007/978-3-030-88059-0. ISBN 978-3-030-88059-0。
T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
HSMコクセター：
- コクセター, HSM (1973).正多面体（第3版）. ニューヨーク: ドーバー.
  - p. 120, §7.2. 図7.2Aを参照
  - p. 296、表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体（n≥5）
- コクセター、HSM（1991）、Regular Complex Polytopes（第2版）、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  - （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - （論文24）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Kim, Heuna; Rote, G. (2016). 「4次元における点集合の合同性検定」arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章 409ページ: ヘミキューブ: 1 _n1）
ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.（1966）
バンチョフ, トーマス・F. (2013). 「4次元空間における正多面体のトーラス分解」. セネシャル, マージョリー (編). Shaping Space . Springer New York. pp. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8。

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「ペンタトープ」。MathWorld。
Klitzing、リチャード。「4D 均一多面体 (ポリコラ) x3o3o3o - ペン」。
Der 5-Zeller (5 セル) R ⁴のマルコメラーの正多面体(ドイツ語)
ジョナサン・バウワーズ、レギュラー・ポリコーラ
Java3Dアプレット
パイロコロン

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[reversed_greek_symbols-15] (Coxeter 1973) では、正多面体の3つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表すためにギリシャ文字 𝝓 (ファイ) が用いられています。𝝓 は黄金比定数 ≈ 1.618 を表すのに一般的に用いられますが、Coxeter はこの定数に 𝝉 (タウ) を用いています。そこで、ここでは Coxeter の慣例を逆にし、特性角を表すのに 𝝉 を用います。

[FOOTNOTEJohnson2018249-1] ジョンソン2018、249ページ。

[FOOTNOTEGhyka1977[httpsbooksgooglecombooksidh1Wm6tHAKHcCpgPA68_68]-2] Ghyka 1977、68ページ。

[FOOTNOTECoxeter1973120§7.2._see_illustration_Fig_7.2<small>A</small>-3] ^ Coxeter 1973, p. 120, §7.2. 図 7.2Aを参照。

[FOOTNOTEMiyazakiIshii2021[httpsbooksgooglecombooksidd2VXEAAAQBAJpgPA46_46]-4] 宮崎・石井 2021、46頁。

[FOOTNOTEDiudea2018[httpsbooksgooglecombooksidp_06DwAAQBAJpgPA41_41]-5] ディウデア 2018、41ページ。

[FOOTNOTEAkiyamaHitotumatuSato2012-6] 秋山、ヒトマツ、佐藤 2012.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-7] Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii): 4次元における16個の正多面体{ p,q,r }。

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8._Configurations-8] Coxeter 1973, p. 12, §1.8. 構成。

[9] 「ペン」.

[FOOTNOTECoxeter1973198–202§11.7_Regular_figures_and_their_truncations-10] Coxeter 1973、pp. 198–202、§11.7 正規図形とその切り捨て。

[FOOTNOTEKimRote201617–20§10_The_Coxeter_Classification_of_Four-Dimensional_Point_Groups-11] Kim & Rote 2016、pp. 17–20、§10 4次元点群のCoxeter分類。

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"5-cell,_𝛼<sub>4</sub>"-12] Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii)；「5セル、𝛼4 _」。

[FOOTNOTECoxeter1973139§7.9_The_characteristic_simplex-13] Coxeter 1973、p. 139、§7.9 特性単体。

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-14] Coxeter 1973、p. 290、表I(ii)；「二面角」。

[FOOTNOTEBanchoff2013-16] バンチョフ 2013.

[FOOTNOTECoxeter199130§4.2._The_Crystallographic_regular_polytopes-17] Coxeter 1991, p. 30, §4.2. 結晶学的正多面体。

シュレーフリ	{3,3,3}	t{3,3,3}	r{3,3,3}	rr{3,3,3}	2t{3,3,3}	tr{3,3,3}	t _0,3 {3,3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}	t _0,1,2,3 {3,3,3}
コクセター
シュレーゲル

n次元の1k2 図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセターグループ	E ₃ =A ₂ A ₁	E ₄ =A ₄	E ₅ =D ₅	E ₆	E ₇	E8	E ₉ = = E ₈⁺ ${\tilde {E}}_{8}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
コクセター図
対称性（秩序）	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[[3 ^2,2,1 ]]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	103,680	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	1 _−1,2	102	1 ₁₂	1 ₂₂	1 ₃₂	1 ₄₂	1 ₅₂	1 ₆₂

n次元の2 _k ₁ 図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセターグループ	E ₃ =A ₂ A ₁	E ₄ =A ₄	E ₅ =D ₅	E ₆	E ₇	E8	E ₉ = = E ₈⁺ ${\tilde {E}}_{8}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
コクセター図
対称	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[[3 ^1,2,1 ]]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
注文	12	120	384	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	2 _−1,1	201	2 ₁₁	2 ₂₁	2 ₃₁	2 ₄₁	2 ₅₁	2 ₆₁

{p,3,3}多面体
空間	S ³			H3
形状	有限			パラコンパクト	非コンパクト
名前	{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	... {∞,3,3}
画像
セル {p,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

{3,3,p}多面体
空間	S ³			H3
形状	有限			パラコンパクト	非コンパクト
名前	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
画像
頂点図形	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

{p,3,p} 個の正多角形ハニカム
空間	S ³	ユークリッド E ³	H3
形状	有限	アフィン	コンパクト	パラコンパクト	非コンパクト
名前	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	... {∞,3,∞}
画像
細胞	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
頂点図形	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

5セル