パイシステム

Family of sets closed under intersection

数学において、π系（パイシステム）とは、集合 の特定の部分集合の集まりであり、 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle P}$空ではありません。
• もしそうなら ${\displaystyle A,B\in P}$ ${\displaystyle A\cap B\in P.}$

つまり、はの空でない部分集合族であり、空でない有限交差に関して閉じている。^{[注 1]} πシステム の重要性は、2つの確率測度がπシステム上で一致する場合、そのπシステムによって生成される𝜎-代数上でも一致するという事実から生じる。さらに、積分の等式などの他の特性がπシステムで成立する場合、生成された 𝜎-代数でも同様に成立する。これは、特性が成立する部分集合の集合が𝜆-システムである場合に常に当てはまる。πシステムは、確率変数の独立性を確認するのにも役立つ。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$

これは望ましいことです。なぜなら、実際にはπ系は𝜎-代数よりも扱いやすいことが多いからです。例えば、無限個の集合によって生成される𝜎-代数を扱うのは厄介な場合があります。そこで、代わりに有限個の集合によって生成されるすべての𝜎-代数の和集合を調べることができます。これは、目的の𝜎-代数を生成するπ系を形成します。別の例として、実数直線のすべての区間と空集合の集合があります。これは、実数直線の部分集合の非常に重要なボレル𝜎-代数を生成するπ系です。 ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$ ${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$

定義

π系とは、空でない有限交差に関して閉じた集合の集合であり、これはその元の任意の2つの交差を含むことと同値である。このπ系内の任意の集合がπ系の部分集合である場合、それはπ系と呼ばれる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega .}$

の空でない部分集合族に対して、 によって生成されるπ系と呼ばれるπ系が存在する。これは、のすべての元を含む唯一の最小のπ系である。これは、を含むすべてのπ系 の共通集合に等しく、の元のすべての可能な空でない有限共通集合の集合として明示的に記述することができる。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$$

空でない集合族は、それが生成するπ系に空集合が要素として含まれない場合にのみ、有限交差特性を持ちます。

例

• 任意の実数と区間はπシステムを形成し、空集合も含まれる場合、区間はπシステムを形成します。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (-\infty ,a]}$ ${\displaystyle (a,b]}$
• 任意の位相空間の位相（開集合の集合）はπ系です。
• すべてのフィルタはπシステムです。空集合を含まないすべてのπシステムはプレフィルタ（フィルタベースとも呼ばれます）です。
• 任意の測定可能な関数 に対して、集合は  π系を定義し、によって生成されるπ系と呼ばれる（あるいは、によって生成されるπ系を定義する）。 ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle f.}$
• と がそれぞれと のπ系であるならば、 は直積のπ系である。 ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2},}$ ${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• すべての𝜎-代数はπ-システムです。

𝜆システムとの関係

上の𝜆-システムとは、を満たす部分集合の集合である。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• もしそうなら ${\displaystyle A\in D}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• が（ペアワイズ）互いに素な部分集合の列である場合、 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

任意の𝜎-代数はπ-系と𝜆-系の両方の性質を満たすことは事実であるが、任意のπ-系が𝜆-系であるということは真実ではなく、さらに任意のπ-系が𝜎-代数であるということさえ真実ではない。しかし、𝜆-系とπ-系の両方である任意の集合系は𝜎-代数であるという分類は有用である。これはπ -𝜆定理を証明するためのステップとして用いられる。

そのπ-𝜆定理

を𝜆系とし、を  π系とする。π -𝜆定理[ ^1]は、によって生成される𝜎代数がに含まれることを述べている。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

π - 𝜆定理は、多くの基本的な測度論的結果を証明するために用いられる。例えば、𝜎有限測度に対するカラテオドリ拡大定理の一意性の主張を証明する際に用いられる。 ^[2]

π - 𝜆定理は、単調類と代数の間に同様の関係を提供する単調類定理と密接に関連しており、多くの同じ結果を導くために用いることができる。π系は代数よりも単純な類であるため、 π系に含まれる集合を特定することが容易である一方で、検討対象の性質が𝜆系を決定するかどうかを確認することは比較的容易であることが多い。2つの定理の違いにもかかわらず、π -𝜆定理は単調類定理と呼ばれることもある。^[1]

例

を𝜎代数上の2つの測度とし、π系によって生成されるとする。 ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F=\sigma (I)}$ ${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$すべての人のために ${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}$

これは有限測度に対するカラテオドリー拡大定理の一意性宣言である。この結果がさほど注目に値しないと思われるなら、𝜎-代数におけるすべての集合を完全に記述することは通常非常に困難、あるいは不可能であるという事実を考えてみよう。したがって、測度の等式化問題は、そのようなツールなしには完全に絶望的となるだろう。 ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}$

証明のアイデア^[2]集合の集合を定義する最初の仮定により、とは一致するので2番目の仮定により、が𝜆-システムであることがさらに示される。π -𝜆定理から となり、となる。つまり、測度は に一致する。 $${\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}$$ ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\subseteq D.}$ ${\displaystyle \Omega \in D,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$ ${\displaystyle D=\sigma (I).}$ ${\displaystyle \sigma (I).}$

π-確率システム

π系は、測度論一般よりも確率論の研究においてより一般的に用いられている。これは主に独立性などの確率論的概念によるものであるが、 π -𝜆定理が確率論者ユージン・ディンキンによって証明されたという事実も影響している可能性がある。標準的な測度論の教科書では、通常、 π系ではなく単調類を用いて同じ結果を証明している。

分配の平等

π -𝜆 定理は、累積分布関数を用いたランダム変数の確率分布の一般的な定義の根拠となります。ランダム変数の累積分布は と定義されますが、変数の 一見より一般的な法則は確率測度 であり 、 はボレル𝜎代数です。ランダム変数と(2 つの異なる可能性のある確率空間上) は、同じ累積分布関数を持つ場合、分布(または法則) が等しく、 で表されます。つまり、 の場合です。定義の根拠は、 の場合、がπ系で一致するということであり、が生成し、 であるため、上記の例により次のようになります。 ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$ ${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

同様の結果は、ランダムベクトルの結合分布にも当てはまります。例えば、と が、それぞれπ系を生成する同じ確率空間上で定義された2つのランダム変数であるとします。の結合累積分布関数は、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ $${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

ただし、および はランダムなペアによって生成されたπシステム であるため 、 π -𝜆 定理を使用して、結合累積分布関数が の結合法則を決定するのに十分であることを示します。言い換えると、と が同じ分布を持つのは、それらが同じ結合累積分布関数を持つ場合のみです。 ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$ ${\displaystyle (X,Y),}$ ${\displaystyle (X,Y).}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle (W,Z)}$

確率過程理論では、2つの過程が分布において等しいとみなされる場合、それらはすべての有限次元分布で一致する。つまり、すべての ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

この証明はπ -𝜆定理の別の応用である。^[3]

独立確率変数

πシステム理論は、独立性の確率的概念において重要な役割を果たします。2つの確率変数が同一の確率空間上で定義されている場合、それらの確率変数が独立であることは、それらのπシステムがすべての確率変数に対して を満たす場合、すなわち が独立である場合にのみ求められます。これは、 πシステムを用いて の分布を決定する特別なケースです。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$ ${\displaystyle (X,Y).}$

例

をIID標準正規確率変数とする。半径と引数（arctan）変数を定義する。 ${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$ ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ $${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$$

とは独立した確率変数です。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Theta }$

これを証明するには、 π系が独立であることを示すだけで十分である。つまり、すべてのπ系とπ系に対して ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$ ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ $${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}$$

これが事実であることを確認するには、変数を変化させる練習が必要です。固定すると、確率は確率密度関数の積分として表すことができます。 ${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ ${\displaystyle Z.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$$

参照

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上の集合の族 ${\displaystyle \Omega }$ v t e
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督 ​ ${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数 （半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム （ディンキンシステム）				場合にのみ ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数 （𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター （フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても） ${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても） ${\displaystyle \cap }$				一度もない
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き ​	有限 交差	有限 結合	相対的な 補語	補完 する ${\displaystyle \Omega }$	可算 交差点	可算和 集合	含む ${\displaystyle \Omega }$	含む ${\displaystyle \varnothing }$	有限 交差 特性
さらに、半環とはπ-システムであり、すべての補集合はπ-システム内の集合の有限な非結合和集合に等しい。半代数はπ-システムであり、すべての補集合はπ-システム内の集合の有限な非結合和集合に等しい。半環はπ-システム内の任意の元であり、 ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• 集合上のイデアル – 有限和集合と有限部分集合に対して閉じた空でない集合族
• 独立性（確率論）  - ある出来事の発生が別の出来事の発生確率に影響を与えない場合
• 𝜆システム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に関して閉じた族
• 単調類定理 – 測度論と確率定理
• 確率分布 – 実験において特定の結果が発生する確率を表す数学的関数
• 集合環 – 和集合と相対補集合の下で閉じた集合族
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• 𝜎-イデアル – 部分集合と可算和集合に関して閉じた族
• 𝜎環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

注記

1. の部分集合の零項（0項）交差は慣例により と等しくなり、π系の元である必要はない。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

引用

1. カレンバーグ『現代確率論の基礎』2ページ
2. Durrett, 確率論と例, p. 404
3. カレンバーグ『現代確率論の基礎』48ページ

参考文献

• ガット、アラン (2005). 『確率：大学院課程』. Springer Texts in Statistics. ニューヨーク: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0。
• ウィリアムズ、デイヴィッド（1991年）『マーチンゲール法による確率論』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-40605-6。
• リチャード・ダレット(2019). 確率：理論と例(PDF) . ケンブリッジ統計・確率数学シリーズ. 第49巻 (第5版). ケンブリッジ, ニューヨーク州,ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . 2020年11月5日閲覧。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi-system&oldid=1315604385"