有限交差特性

数学の一分野である一般位相幾何学において、集合の部分集合族は、その有限部分族の任意の有限部分が空でない交差を持つ場合、有限交差性(FIP) を持つといわれる。また、有限部分族の任意の有限部分が無限交差を持つ場合、強有限交差性(SFIP)を持つといわれる。有限交差性を持つ集合は、中心系やフィルタ部分基底とも呼ばれる。^[1] $A$ $X$ ${\mathcal {A}}$

有限交差性は、閉集合の観点から位相コンパクト性を再定式化するために用いることができ、これが最も顕著な応用である。その他の応用としては、特定の完全集合が無数であることを証明することや、超フィルタを構成することなどが挙げられる。

意味

を集合とし、の部分集合族（の冪集合の部分集合）とする。から有限個の部分集合の交差が常に空でない場合、は有限交差性を持つという。また、その交差が常に無限である場合、は強有限交差性を持つという。^[1] $X$ ${\mathcal {A}}$ $X$ $X$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$

フィルタの研究において、集合族の共通集合は、ヒマワリとほぼ同じ語源から、その核と呼ばれます。核が空である族は自由、空でない核を持つ族は固定と呼ばれます。 ^[2]

例と非例

空集合は有限交差特性を持つどのファミリーにも属することはできません。

が空でない核を持つ場合、有限交差性は自明に成り立ちます。逆は一般には偽です（ただし、が有限の場合には自明に成り立ちます）。例えば、固定された無限集合のすべての余有限部分集合の族、すなわちフレシェフィルタは、その核が空であるにもかかわらず、有限交差性を持ちます。より一般的には、任意の適切なフィルタは有限交差性を持ちます。 ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$

有限交差性は、対交差が空でないことを条件とするよりも厳密に強い。例えば、族は空でない対交差を持つが、有限交差性を持たない。より一般的には、を自然数とし、を元を持つ集合とし、をその中の1つを除くすべての元を含む部分集合から構成されるとする。この場合、からの部分集合の交差が空でないが、有限交差性を持たない。 $\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}$ $n$ $X$ $n$ ${\mathcal {A}}$ $X$ $n$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$

エンド型構造

が空でない集合の減少列である場合、族は有限交差性を持ちます（さらに $π$ 系でもあります）。それぞれが無限である場合、強い有限交差性も持ちます。 $A_{0}\supseteq A_{1}\supseteq A_{2}\cdots$ ${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{0},A_{1},A_{2},\ldots \right\}}$ $A_{i}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

より一般的には、包含によって全順序付けされた空でない集合の族は有限交差性を持ち、包含によって全順序付けされた無限集合の族は強有限交差性を持つ。同時に、核は空である可能性がある。の部分集合族を考えてみよう。 $[a,+\infty )$ $a\in \mathbb {R}$

「汎用」セットとプロパティ

ルベーグ測度が1であるボレル部分集合の族はすべて有限交差性を持ち、コメアグレ集合の族も同様である。^[3]^[4] $[0,1]$

かつ、すべての正の整数に対して、の部分集合は^の小数点桁目にを持つすべての要素から成り、の有限個の共通集合は空ではありません。つまり、の有限個の桁と残りのだけを取ります。しかし、のすべての要素についての共通集合は空です。なぜなら、のどの要素も桁がすべてゼロではないからです。 $X=(0,1)$ $i$ $X_{i}$ $X$ $0$ $i$ $X_{i}$ $0$ $1$ $X_{i}$ $i\geq 1$ $(0,1)$

生成されたフィルタとトポロジ

が空でない集合である場合、族はFIPを持ちます。この族は、によって生成される上の主フィルタと呼ばれます。部分集合がFIPを持つのも、ほぼ同じ理由からです。つまり、カーネルは空でない集合を含みます。が開区間である場合、集合は実際にはまたはのカーネルと等しく、したがっては各フィルタの要素です。しかし、一般に、フィルタのカーネルはフィルタの要素である必要はありません。 $K\subseteq X$ ${\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$ ${\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ and }}I{\text{ an open interval}}\}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$

真フィルターは有限交差性を持つ。位相空間内の点におけるすべての近傍部分基底は有限交差性を持ち、点におけるすべての近傍基底とすべての近傍フィルターも同様である（それぞれが、特に近傍部分基底でもあるため）。

との関係 $π$ -システムとフィルター

π –系とは $、$ その集合族のうち1つ以上の集合の有限交点に関して閉じた集合族である。集合族⁠ ⁠ ${\mathcal {A}}$ に対して、から1つ以上の集合の有限交点すべてを含む集合族は、によって生成される $π$ –系と呼ばれる。これは、を部分集合として持つ最小の $π$ –系だからである。 $\pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\},$ ${\mathcal {A}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

におけるの上方閉包は、集合です。任意の族に対して、有限交差特性は次のいずれかと同等です。 $\pi ({\mathcal {A}})$ ${\textstyle X}$ $\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ for some }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

によって生成されるπシステムは空集合 $を$ 要素として持たない。つまり、 ${\mathcal {A}}$ $\varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).$
この集合は有限交差特性を持ちます。 $\pi ({\mathcal {A}})$
このセットは（適切な）^[5]プレフィルタである。 $\pi ({\mathcal {A}})$
この族はある（適切な）前置フィルタのサブセットである。^[1] ${\mathcal {A}}$
上方閉包は上の（適切な）フィルタです。この場合、はによって生成された上のフィルタと呼ばれます。これは、がを部分集合として含む上の（に関して）最小のフィルタであるためです。 $\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}$ $X$ $\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}$ $X$ ${\mathcal {A}}$ $\,\subseteq \,$ $X$ ${\mathcal {A}}$
${\mathcal {A}}$ ^{何らかの（適切な） [5]}フィルタのサブセットである。^[1]

アプリケーション

コンパクトさ

有限交差特性は、コンパクト性の別の定義を定式化する際に役立ちます。

定理—空間がコンパクトであるためには、有限交差性を持つ閉部分集合のすべての族が空でない交差を持つ必要がある。 ^[6]^[7]

このコンパクト性の定式化は、ティコノフの定理のいくつかの証明で使用されています。

完全空間の無数性

もう 1 つの一般的な応用は、実数が可算数でないことを証明することです。

定理—は、一点集合が開集合ではないという性質を満たす、空でないコンパクトハウスドルフ空間とします。このとき、は無数です。 $X$ $X$

定理の記述にある条件はすべて必須です。

ハウスドルフ条件を排除することはできません。離散位相を持つ可算集合 (少なくとも 2 つの点を持つ)はコンパクトで、複数の点を持ち、1 点集合が開集合ではないという特性を満たしますが、非可算ではありません。
有理数の集合が示すように、コンパクト性条件を排除することはできません。
離散位相を持つ有限空間が示すように、一点集合は開集合にはなり得ないという条件を排除することはできません。

証拠

が空で開集合であり、がの点である場合、その閉包がを含まない近傍が存在することを示します（はに含まれる場合と含まれない場合があります）。とは異なるを選択してください（の場合、に対してそのようなが存在する必要があります。そうでなければは開集合になります。が空でないため、これが可能な場合）。次に、ハウスドルフ条件により、との互いに素な近傍をそれぞれとから選択します。すると、に含まれるの近傍が存在しますが、その閉包はを望みどおりに含みません。 $U\subseteq X$ $x$ $X,$ $V\subset U$ $x$ $x$ $U$ $y\in U$ $x$ $x\in U$ $y$ $U$ $x\notin U,$ $U$ $W$ $K$ $x$ $y$ $K\cap U$ $y$ $U$ $x$

ここで、は一対一であり、の像を表すものとします。を最初の開集合とし、の閉包がを含まない近傍を選択します。次に、の閉包がを含まない近傍を選択します。この処理を続行し、の閉包がを含まない近傍を選択します。すると、の集合は有限交差特性を満たし、したがってのコンパクト性により、それらの閉包の交差は空ではありません。したがって、この交差には点があります。はの閉包に属さないため、はこの交差に属せません。これは、がすべてのに対してと等しくなく、が射影的ではないことを意味します。したがって、は無数です。 $f:\mathbb {N} \to X$ $\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ $f.$ $X$ $U_{1}\subset X$ $x_{1}.$ $U_{2}\subset U_{1}$ $x_{2}.$ $U_{n+1}\subset U_{n}$ $x_{n+1}.$ $\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ $X.$ $x$ $x_{i}$ $x_{i}$ $U_{i}.$ $x$ $x_{i}$ $i$ $f$ $X$

系—を持つすべての閉区間は非可算である。したがって、は非可算である。 $[a,b]$ $a<b$ $\mathbb {R}$

系—すべての完全で局所コンパクトなハウスドルフ空間は無数である。

証拠

を完全コンパクトハウスドルフ空間とすると、定理は直ちにが無数であることを示唆する。が完全コンパクトで局所コンパクトだがコンパクトではないハウスドルフ空間である場合、の一点コンパクト化は完全コンパクトハウスドルフ空間となる。したがって、の一点コンパクト化は無数である。無数集合から点を一つ取り除いても無数集合が残るので、も無数である。 $X$ $X$ $X$ $X$ $X$ $X$

ウルトラフィルター

が空でなく、有限交差性を持つとする。すると、（）における超フィルタが存在し、となる。この結果は超フィルタ補題として知られている。^[8] $X$ $F\subseteq 2^{X}.$ $F$ $U$ $2^{X}$ $F\subseteq U.$

参照

セットのフィルター - 「大きな」セットを表すサブセットのファミリー
位相幾何学におけるフィルタ – 位相幾何学におけるすべての基本的な概念と結果を記述し特徴付けるためにフィルタを使用する
近傍システム – 数学における概念
セット上のウルトラフィルター – 最大適正フィルター

参考文献

注記

引用

^ abcd Joshi 1983、242−248頁。
^ Dolecki & Mynard 2016、27–29、33–35頁。
^ ブルバキ 1987年、57-68頁。
^ ウィランスキー 2013、44～46頁。
^ ab セット上のフィルタまたはプレフィルタは適切または空集合を要素として含まない場合、非退化である。多くの（ただし全ての著者ではない）著者と同様に、本稿でも「プレフィルタ」と「フィルタ」の定義の一部として非退化を前提とする。
^ ムンクレス 2000、169ページ。
^ 空間がコンパクトであるためには、fip を持つ任意の閉集合族がPlanetMathで空でない交差を持つ必要がある。
^ チルマズ、ラスロー;ハイナル、アンドラーシュ(1994)、マテマティカイロジカ(ハンガリー語)、ブダペスト:エトヴェシュロラーンド大学。

一般的な情報源

ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
ブルバキ、ニコラス(1989) [1967]。一般トポロジー 2: 第 5 章から第 10 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。 Vol. 4. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC 246032063。
ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190。
コンフォート、ウィリアム・ウィスター著、ネグレポンティス、スティリアノス著（1974年）『限外濾過膜の理論』第211巻、ベルリン・ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC 1205452。
チャザール、アコス(1978)。一般的なトポロジ。翻訳はチャザール、クララ。ブリストルイングランド: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011。
Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
ドゥグンジ、ジェームズ（1966年）『トポロジー』ボストン：アリン・アンド・ベーコン社、ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485。
ジョシ、KD (1983).一般位相幾何学入門. ニューヨーク: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750。
Koutras, Costas D.; Moyzes, Christos; Nomikos, Christos; Tsaprounis, Konstantinos; Zikos, Yorgos (2021年10月20日). 「弱フィルタと超フィルタについて：知識表現からの（そして知識表現のための）集合論」Logic Journal of the IGPL . 31 : 68–95 . doi :10.1093/jigpal/jzab030.
MacIver R., David (2004年7月1日). 「解析とトポロジーにおけるフィルタ」(PDF) . 2007年10月9日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。(トポロジーとメトリック空間におけるフィルターの入門的なレビューを提供します。)
マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260。（印刷障害のある利用者もアクセス可能）
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ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114。
ウィランスキー、アルバート（2008年10月17日）[1970].解析のための位相幾何学. ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899。

外部リンク

「有限交差特性」。PlanetMath。

${\mathcal {F}}$ 上の集合の族 $\Omega$ v t e
必ず真である ${\mathcal {F}}\colon$ か、または次の条件を満たしている: ${\mathcal {F}}$	監督 $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	FIP
$π$ システム
セミリング										一度もない
半代数（半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ $A_{i}\searrow$	場合にのみ $A_{i}\nearrow$
𝜆システム（ディンキンシステム）				場合にのみ $A\subseteq B$			またはそれらが互いに素である場合のみ $A_{i}\nearrow$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数（𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター（フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても） $\cup$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても） $\cap$				一度もない
必ず真である ${\mathcal {F}}\colon$ か、または次の条件を満たしている: ${\mathcal {F}}$	下向き	有限交差	有限結合	相対的な補語	補完する $\Omega$	可算交差点	可算和集合	含む $\Omega$	含む $\varnothing$	有限交差プロパティ
さらに、*半環と* $はπ$ 系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。*半代数*はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、 $B\setminus A$ ${\mathcal {F}}.$ $\Omega \setminus A$ ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

[FOOTNOTEJoshi1983242−248-1] Joshi 1983、242−248頁。

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627–29,_33–35-2] Dolecki & Mynard 2016、27–29、33–35頁。

[FOOTNOTEBourbaki198757–68-3] ブルバキ 1987年、57-68頁。

[FOOTNOTEWilansky201344–46-4] ウィランスキー 2013、44～46頁。

[ProperDef-5] セット上のフィルタまたはプレフィルタは適切または空集合を要素として含まない場合、非退化である。多くの（ただし全ての著者ではない）著者と同様に、本稿でも「プレフィルタ」と「フィルタ」の定義の一部として非退化を前提とする。

[FOOTNOTEMunkres2000169-6] ムンクレス 2000、169ページ。

[7] 空間がコンパクトであるためには、fip を持つ任意の閉集合族がPlanetMathで空でない交差を持つ必要がある。

[8] チルマズ、ラスロー;ハイナル、アンドラーシュ(1994)、マテマティカイロジカ(ハンガリー語)、ブダペスト:エトヴェシュロラーンド大学。

v t e 集合論
概要	集合（数学）
公理	補助選択可算な依存グローバル構築可能性（V=L）決定性射影的拡張性無限サイズの制限ペアリングパワーセット規則性連合マーティンの公理公理スキーマ交換仕様
オペレーション	デカルト積補集合（すなわち差集合）ド・モルガンの法則分離和集合アイデンティティ交差点パワーセット対称差連合
概念方法	ほとんど基数基数（大きい）クラス構築可能な宇宙連続体仮説対角線上の議論要素順序付きペアタプル家族強制一対一対応序数集合構築記法超限帰納法ベン図
セットタイプ	アモルファス可算空の有限（遺伝的）フィルターベース路盤ウルトラフィルターファジー無限(デデキント無限) 再帰的シングルトンサブセット ·スーパーセット推移的数えられないユニバーサル
理論	代替公理的ナイーブカントールの定理ツェルメロ一般的なプリンキピア・マテマティカ新しい基盤ツェルメロ・フランケルフォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデルモース・ケリークリプキ・プラテックタルスキ・グロタンディーク
パラドックス問題	ラッセルのパラドックスサスリンの問題ブラリ・フォルティのパラドックス
集合論者	ポール・バーネイズゲオルク・カントルポール・コーエンリチャード・デデキントアブラハム・フランケルクルト・ゲーデルトーマス・ジェックジョン・フォン・ノイマンウィラード・クワインバートランド・ラッセルトラルフ・スコーレムエルンスト・ツェルメロ