σ代数

Algebraic structure of set algebra

数学的解析学と確率論において、σ-代数（シグマ代数）は、測定可能な集合を定義する形式論の一部です。例えば、微積分学や解析学では、σ-代数（ σ体とも呼ばれ、σはドイツ語の「Summe」（^{[1] 「合計」を意味する）に由来）は、}面積や体積を持つ集合の概念を定義するために使用されます。確率論では、σ-代数は、明確に定義された確率を持つ事象を定義するために使用されます。このように、σ-代数は大きさの概念を形式化するのに役立ちます。

正式には、集合 上のσ-代数は、補集合、可算和集合、可算積集合の下で閉じた部分集合の空でない集合である。順序付き対は可測空間と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

集合はアンビエント空間（例えば2次元平面や6面サイコロを振った時の出目の集合（{1,2,3,4,5,6}）など）であると理解され、集合は明確に定義されたサイズを持つと宣言された部分集合の選択です。σ-代数の閉包要件は、サイズの組み合わせに関する私たちの直感的な考え方を捉えるために設計されています。つまり、あるイベントが発生する確率が明確に定義されている場合、そのイベントが発生しない確率も明確に定義されている必要があります（補集合の閉包）。複数の集合のサイズが明確に定義されている場合、それらの組み合わせのサイズも明確に定義されている必要があります（可算な和集合）。複数のイベントの発生確率が明確に定義されている場合、それらがすべて同時に発生するイベントも明確に定義されている必要があります（可算な積集合）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

σ-代数の定義は、位相（すべての和集合に対して閉じている必要があるが、有限の交差に対してのみ閉じており、その集合のすべての補集合を必ずしも含んでいない）や集合代数（有限の和集合と交差に対してのみ閉じている）などの他の数学的構造に似ています。

σ-代数の例

上の可能なσ-代数がの場合、 は空集合となる。一般に、有限代数は常にσ-代数となる。 ${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,\{a,b\},\{c,d\},\{a,b,c,d\}\},}$ ${\displaystyle \varnothing }$

が の可算分割である場合、分割内の集合のすべての和集合（空集合を含む）の集合は σ 代数です。 ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \},}$ ${\displaystyle X}$

より有用な例は、すべての開区間から始めて、すべての可算和集合、可算積集合、および相対補集合を追加し、関連する閉包特性が達成されるまで（すべての可算順序数を通じての超限反復によって）このプロセスを継続することによって形成される実数直線の部分集合の集合です（ボレル階層と呼ばれる構成）。

モチベーション

σ-代数の主な動機は、測度の定義、集合の限界の操作、集合によって特徴付けられる部分情報の管理の 3 つ以上です。

測定

上の測度は、の部分集合に非負の実数を割り当てる関数です。これは、集合の「大きさ」または「体積」という概念を明確に定義するものと考えることができます。 の無限列の場合でも、互いに素な集合の和の大きさは、個々の集合の大きさの和となるようにしたいと考えます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$

のすべての部分集合にサイズを割り当てたいのですが、多くの自然な設定ではこれは不可能です。たとえば、選択公理によれば、実数直線の部分集合に対する通常の長さの概念をサイズとすると、ヴィタリ集合のように、サイズが存在しない集合も存在します。このため、代わりに の特権部分集合のより小さなコレクションを検討します。これらの部分集合は可測集合と呼ばれます。これらは、可測集合に期待される演算に関して閉じています。つまり、可測集合の補集合は可測集合であり、可測集合の可算和集合は可測集合です。これらの特性を持つ空でない集合のコレクションは σ-代数 と呼ばれます。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

集合の極限

測度の多くの用法、例えばほぼ確実に収束するという確率概念は、集合の列の極限を伴います。このためには、可算な和集合と可算な積集合の下での閉包が最も重要です。集合の極限はσ-代数上で以下のように定義されます。

• の部分集合列の極限（上限または外極限）は、これらの集合の無限個に含まれる点（または、それらの共末端に含まれる点）すべてから構成される。つまり、すべて を含む集合の無限部分列（ただし）が存在する場合、かつその場合に限り、 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• の部分集合列の極限、すなわち内極限は、これらの集合のうち有限個を除くすべてに含まれる点（あるいは、最終的にすべてに含まれる点）から構成される。つまり、すべての集合がそれを含むような添え字が存在する場合、そしてその場合のみ、 ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$ ${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

内側の極限は常に外側の極限のサブセットです。 つまり、これら 2 つのセットが等しい場合、それらの極限が存在し、この共通セットに等しくなります。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

サブσ-代数

確率論の多く、特に条件付き期待値が関わる場合、観測可能な情報全体のうち一部だけを表す集合が問題となります。この部分的な情報は、主σ-代数のサブセットであるより小さなσ-代数で特徴付けることができます。これは、部分的な情報にのみ関連し、部分的な情報によってのみ決定されるサブセットの集合で構成されます。正式には、 が上のσ-代数である場合、 が のサブσ-代数であり、 がである場合には の部分σ-代数です。 ${\displaystyle \Sigma ,\Sigma '}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma '\subseteq \Sigma }$

ベルヌーイ過程は簡単な例です。これは、無限長のランダムなコイン投げの列で構成され、表（）または裏（）が出ます。標本空間Ωは、またはのあらゆる可能な無限列で構成されます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T:}$ $${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

完全なシグマ代数は、最初のコイン投げの一部またはすべてを観察した後に得られる可能性のある情報を考慮することで、部分代数の昇順列から生成できます。この部分代数の列は次のように与えられ ます。これらの各代数は前のものよりも細かく、したがってフィルタリングとして順序付けることができます。 ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{\Omega \}:A\subseteq \{H,T\}^{n}\}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\subseteq {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty }}$$

最初の部分代数は自明な代数です。つまり、空集合と全空間の2つの要素しか持ちません。2番目の部分代数は4つの要素を持ちます。つまり、 の2つに加えて、で始まる列と で始まる列の2つです。各部分代数は前のものよりも細かくなります。 番目の部分代数は要素を持ちます。つまり、全空間を、反転後に観測される可能性のあるすべての列に分割します。これには、一部の反転が観測されない可能性も含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\{\varnothing ,\Omega \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n+1}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$

極限代数は、他のすべてのσ-代数を含む最小の代数である。これは、積空間上の積位相または弱位相によって生成される代数である。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \{H,T\}^{\infty }.}$

定義と特性

意味

をある集合とし、をその冪集合 （の部分集合全体の集合）とします。このとき、部分集合が以下の3つの性質を満たすとき、その部分集合はσ-代数と呼ばれます。 ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$

1. ${\displaystyle X}$は です。 ${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle \Sigma }$は補集合に関して閉じている：ある集合がに含まれるなら、その補集合も に含まれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$は可算和集合に関して閉じている：が含まれている場合、 も含まれている ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

これらの特性から、σ-代数は可算交差に関しても閉じていることがわかります(ド・モルガンの法則を適用することにより)。

また、(1)が含まれ、(2)がその補集合である空集合 も含まれることを主張しているので、空集合も含まれることがわかります。さらに、が3つの条件をすべて満たしている ので、が最小のσ-代数であることが分かります。最大のσ-代数は ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X).}$

σ-代数の元は可測集合と呼ばれる。が集合であり が上のσ-代数であるような順序対は可測空間と呼ばれる。2つの可測空間間の関数は、すべての可測集合の逆像が可測であるとき、可測関数と呼ばれる。可測空間の集合は圏を形成し、可測関数は射となる。測度は、σ-代数から への特定の種類の関数として定義される。 ${\displaystyle (X,\Sigma ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [0,\infty ].}$

σ-代数はπ-系とディンキン系（λ-系）の両方である。逆もまた成り立ち、ディンキンの定理（下記参照）による。

ディンキンのπ-λ定理

この定理（あるいは関連する単調類定理）は、特定のσ-代数の性質に関する多くの結果を証明するための重要なツールである。この定理は、以下の2つのより単純な集合の類の性質を利用している。

• π-システム とは、有限個の交差に対して閉じた部分集合の集合であり、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$
• ディンキンシステム(または λ システム)は、補集合と互いに素な部分集合の可算な和集合に対して閉じた、 を含む部分集合の集合です。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

ディンキンのπ-λ定理は、π-システムであり、を含むディンキンシステムであるならば、によって生成されるσ-代数はに含まれる、というものである 。ある種のπ-システムは比較的単純なクラスであるため、すべての集合が検討中の性質を持つことを証明するのは難しくないかもしれない。一方で、その性質を持つすべての部分集合の集合がディンキンシステムであることを示すことも簡単である。ディンキンのπ-λ定理は、すべての集合が性質を持つことを意味するので、任意の集合についてその性質を確認するという作業を回避できる。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma (P)}$ ${\displaystyle \sigma (P).}$

π-λ定理の最も基本的な用途の一つは、別々に定義された測度や積分の同値性を示すことである。例えば、確率変数の確率を、確率を計算する際に一般的に用い られるルベーグ・スティルチェス積分と等しくするために使用される。ここで、 は の累積分布関数であり、 はで定義される。一方、は確率測度であり、ある標本空間の部分集合のσ-代数 上で定義される。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega .}$

σ-代数の結合

空間上のσ-代数の集合を仮定する ${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

会う

σ-代数の集合の交わりはσ-代数である。σ-代数としての性質を強調するために、しばしば次のように表記される。 $${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$$

証明の概要：を交差と表記する。 は任意の に含まれるので、 は空ではない。 任意の に対して補集合と可算和の下で閉包であることから、に対しても同じことが成り立つはずである。したがって、はσ-代数である。 ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha },\Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}.}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

参加する

σ-代数の集合の和集合は、一般にσ-代数でも代数でもないが、結合として知られるσ-代数を 生成する。結合を生成するπ-システムは、 証明の概要：の場合によって、それぞれがであることが示されている。これは、 部分集合の集合によって生成されるσ-代数の定義によって示唆される。一方、ディンキンのπ-λ定理によって、 $${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}},}$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subseteq {\mathcal {P}}.}$$ $${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subseteq \sigma ({\mathcal {P}})}$$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$$ $${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subseteq \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$$

部分空間のσ-代数

が のサブセットであり、 が測定可能な空間であるとします。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$

• この集合は、σ-代数の部分集合である。 ${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$ ${\displaystyle Y.}$
• は測定可能な空間であるとする。その集合はσ-代数の部分集合である。 ${\displaystyle (Y,\Lambda )}$ ${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$ ${\displaystyle X.}$

σ環との関係

σ環は単に普遍集合^[3]を含むσ環である。σ環は必ずしもσ環である必要はない。例えば、実数直線上のゼロのルベーグ測度の可測部分集合はσ環であるが、実数直線は無限測度を持ち、それらの可算和によって得ることができないため、σ環ではない。ゼロ測度の代わりに有限のルベーグ測度の可測部分集合をとれば、それらは環ではあるがσ環ではない。なぜなら、実数直線はそれらの可算和によって得ることができるが、その測度は有限ではないからである。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$

印刷上の注意

σ-代数は、カリグラフィの大文字、またはフラクトゥール書体を用いて表記されることもある。したがって、または と表記されることもある。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

具体的なケースと例

分離可能なσ-代数

分離可能な-代数 ${\displaystyle \sigma }$（または分離可能な-体 ${\displaystyle \sigma }$）とは、に対する計量と与えられた有限測度（および は対称差分演算子）を持つ計量空間として考えたときに分離可能な空間となる-代数である。 ^[4]集合の可算な集合によって生成される任意 の-代数は分離可能であるが、その逆は必ずしも成り立たない。例えば、ルベーグ-代数は分離可能である（すべてのルベーグ可測集合はあるボレル集合と同値であるため）が、可算生成ではない（その濃度が連続体よりも高いため）。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

分離可能な測度空間は、擬距離空間として分離可能とする自然な擬距離を持つ。2つの集合間の距離は、 2つの集合の対称差の測度として定義される。2つの異なる集合の対称差は測度が0になる場合があり、したがって、上で定義された擬距離は真の計量である必要はない。しかし、対称差が測度0になる集合が単一の同値類に同一視される場合、結果として得られる商集合は誘導計量によって適切に計量化される。測度空間が分離可能であれば、対応する計量空間も分離可能であることが示される。

シンプルなセットベースの例

任意の集合とします。 ${\displaystyle X}$

• 空集合と、最小または自明なσ-代数と呼ばれる集合のみからなる族 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• のべき集合は離散 σ-代数と呼ばれる。 ${\displaystyle X,}$
• この集合は部分集合によって生成される単純なσ代数である。 ${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$ ${\displaystyle A.}$
• 可算な部分集合、あるいはその補集合が可算な部分集合の集合はσ-代数である（これは、が非可算な場合に限り、 の冪集合とは異なる）。これは、 の単元によって生成されるσ-代数である。注：「可算」には有限個または空個が含まれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• の可算な分割における集合のすべての和集合の集合は σ 代数です。 ${\displaystyle X}$

時間停止シグマ代数

停止時間は 、いわゆる停止時間シグマ代数と呼ばれる -代数を定義できます。これは、フィルタリングされた確率空間でランダム時間までの情報を記述するものであり、フィルタリングされた確率空間がランダム実験として解釈される場合、実験を任意の回数繰り返してその時間まで実験について見つけることができる最大の情報は^[5]です。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

集合族によって生成されるσ-代数

任意の族によって生成されたσ-代数

を の部分集合の任意の族とする。すると、 のすべての集合を含む最小のσ-代数が唯一存在する（σ-代数自身はσ-代数であるかどうかはわからないが）。これは、 を含むすべてのσ-代数の交わりである（σ-代数の交わりについては前述のσ-代数の交わりを参照）。このσ-代数は と表記され、によって生成されるσ-代数と呼ばれる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle F.}$

が空の場合、それ 以外の場合は、 は、可算数の補集合、和集合、積集合の演算によっての要素から作成できる のすべてのサブセットから構成されます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ ${\displaystyle \sigma (F)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$

簡単な例として、集合 を考えてみましょう。すると、単一の部分集合 によって生成される σ 代数はとなります 。表記法 の乱用 により、部分集合のコレクションに要素が 1 つしか含まれていない場合、 の代わりに と表記されることがあります。前の例では の代わりに となります。実際、 を として使用して意味を表すことも非常に一般的です。 ${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma (\{A\});}$ ${\displaystyle \sigma (\{1\})}$ ${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$ ${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$

有用なσ-代数を生成する部分集合の族は数多く存在します。ここではそのいくつかを紹介します。

関数によって生成されたσ代数

が集合から集合への関数であり、が の部分集合の -代数である場合、で表される関数によって生成される -代数はの集合のすべての逆像の集合である。つまり、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \sigma (f),}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B.}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

集合から集合への関数が の部分集合のσ-代数に関して測定可能であるのは、が の部分集合である場合に限ります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \Sigma .}$

よくある状況の一つは、明示的に指定されていない場合はデフォルトで理解されるが、が計量空間または位相空間であり、 が上のボレル集合の集合である場合である。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y.}$

がからへの関数である場合、は区間/長方形の逆像である部分集合の族によって生成される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$ $${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

役に立つ性質として、次のものがあります。が から への可測写像であり、が から への可測写像であると仮定します。 からへの可測写像が存在し、すべての に対して となる場合、が有限または可算無限であるか、より一般的にはが標準ボレル空間（たとえば、関連するボレル集合を持つ可分な完全計量空間）である場合、その逆も真です。^[6]標準ボレル空間の例には、そのボレル集合を持つものや、後述する円筒 σ 代数を持つものがあります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

ボレルとルベーグのσ-代数

重要な例として、任意の位相空間上のボレル代数、すなわち開集合（あるいは同値な閉集合）によって生成されるσ-代数が挙げられます。このσ-代数は、一般には冪集合全体ではありません。ボレル集合ではない非自明な例については、ヴィタリ集合または非ボレル集合を参照してください。

ユークリッド空間 上では、もう一つのσ-代数が重要である。それは、ルベーグ可測集合全体のσ-代数である。このσ-代数は、 上のボレルσ-代数よりも多くの集合を含み、完全な測度空間を与えるため、積分理論において好まれる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

積σ代数

とを2つの可測空間とする。対応する積空間のσ-代数は積σ-代数と呼ばれ、次のように定義される。 ${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ $${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

π システムであることに注意してください。 ${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

のボレルσ-代数は、半無限長方形と有限長方形によって生成される。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

これら 2 つの例のそれぞれにおいて、生成族は π システムです。

円筒集合によって生成されるσ代数

仮定する $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

は実数値関数の集合である。のボレル部分集合を とすると、の円筒部分集合は有限に制限された集合であり、次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

それぞれはσ-代数を生成するπ-システムである。すると、部分集合族は 、次のσ-代数を生成する代数である。このσ-代数は、制限されたの積位相によって決定されるボレルσ-代数の部分代数である。 $${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$ ${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle X.}$

重要な特殊なケースとして、が自然数の集合であり、 が実数値列の集合である場合が挙げられます。この場合、がσ-代数の非減少列となる円筒 集合を考えれば十分です。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$ $${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$

ボールσ代数

球σ-代数は、すべての開球（および／または閉球）を含む最小のσ-代数である。これはボレルσ-代数よりも大きくなることはない。可分空間では、2つのσ-代数は等しいことに注意されたい。一部の非可分空間では、ボレル測度ではないものの球測度となる写像があり、そのような写像の解析において球σ-代数の利用が有用である。^[7]

ランダム変数またはベクトルによって生成されたσ代数

を確率空間とする。が 上のボレルσ-代数に関して可測であるとき、は確率変数( )または確率ベクトル( )と呼ばれる。 によって生成されるσ-代数は ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

確率過程によって生成されたσ代数

が確率空間であり、が上の実数値関数の集合であるとする。が円筒σ-代数（上記参照）に関して測定可能である場合、 は確率過程またはランダム過程と呼ばれる。 によって生成されるσ-代数は、円筒集合の逆像によって生成されるσ-代数である 。 ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \mathbb {T} .}$ ${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$ ${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$

参照

• 測定可能な関数 – 数学関数の一種
• 標本空間 – 統計的試行または実験のすべての可能な結果の集合
• シグマ加法集合関数 – マッピング関数
• シグマ環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上の集合の族 ${\displaystyle \Omega }$ v t e
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督 ​ ${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数 （半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム （ディンキンシステム）				場合にのみ ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数（𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター （フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても） ${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても） ${\displaystyle \cap }$				一度もない
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き ​	有限 交差	有限 結合	相対的な 補語	補完 する ${\displaystyle \Omega }$	可算 交差点	可算和 集合	含む ${\displaystyle \Omega }$	含む ${\displaystyle \varnothing }$	有限 交差 特性
さらに、半環とはπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半代数はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、 ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

参考文献

1. エルストロッド、J. (2018)。マスと統合理論。シュプリンガー スペクトラム ベルリン、ハイデルベルク。 https://doi.org/10.1007/978-3-662-57939-8
2. ルディン、ウォルター(1987).実解析と複素解析.マグロウヒル. ISBN 0-07-054234-1。
3. ヴェストルップ、エリック・M. (2009). 『測度と積分の理論』 ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. p. 12. ISBN 978-0-470-31795-2。
4. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). 「測度分離可能コンパクト空間のクラスの特性」(PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262.が の測度代数上のボレル測度である場合、は -零集合を法とするすべてのボレル集合のブール代数である。が有限である場合、そのような測度代数は計量空間でもあり、2つの集合間の距離はそれらの対称差の測度となる。したがって、 が分離可能であることと、この計量空間が位相空間として分離可能であることは同じである。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
5. フィッシャー、トム (2013). 「停止時間と停止時間シグマ代数の単純な表現について」.統計と確率論文集. 83 (1): 345– 349. arXiv : 1112.1603 . doi :10.1016/j.spl.2012.09.024.
6. カレンバーグ、オラフ(2001). 『現代確率論の基礎』（第2版）.シュプリンガー. p. 7. ISBN 0-387-95313-2。
7. van der Vaart, AW, & Wellner, JA (1996). 弱収束と経験的プロセス. Springer Series in Statistics. Springer New York. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2545-2

外部リンク

• 「集合の代数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• PlanetMath の Sigma Algebra。

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