ブロック行列

Matrix defined using smaller matrices called blocks

数学において、ブロック行列または分割行列とは、ブロックまたは部分行列と呼ばれるセクションに分割されていると解釈される行列である。^{[1] [2]}

直感的には、ブロック行列として解釈される行列は、元の行列を水平線と垂直線の集合で表し、それが小さな行列の集合に分割（または区分）されているものとして視覚化することができます。 ^{[3] [2]}たとえば、以下に示す 3x4 行列は、水平線と垂直線によって 4 つのブロックに分割されています。左上の 2x3 ブロック、右上の 2x1 ブロック、左下の 1x3 ブロック、右下の 1x1 ブロックです。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$

任意の行列は 1 つ以上の方法でブロック行列として解釈することができ、それぞれの解釈は行と列がどのように分割されるかによって定義されます。

この概念は、を の集合に分割し、さらに をの集合に分割することで、 の集合を の集合に分割することで、 の集合を の集合の「合計」としてより正確に表すことができます。元の行列は、元の行列の要素が、のオフセット要素と1対1で対応するという意味で、これらのグループの「合計」とみなされます。ここで、および です。^[4] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\text{colgroups}}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{rowgroups}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

ブロック行列代数は一般に行列のカテゴリの二重積から生じる。^[5]

168×168要素のブロック行列。12×12、12×24、24×12、24×24のサブ行列が含まれています。非ゼロ要素は青色、ゼロ要素は灰色で表示されます。

例

マトリックス

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

4つのブロックに分割して視覚化することができます。

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]}$。

水平線と垂直線は特別な数学的意味を持たないが^{[6] [7]}、分割を視覚化するための一般的な方法である。^{[6] [7]}この分割によって、は4つの2×2ブロックに分割され、 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

分割された行列は次のように書ける。

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$^[8]

正式な定義

とする。の分割はの表現であり、 ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$、

ここで、は連続する部分行列、、 である。^[9]分割の要素はブロックと呼ばれる。^[9] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$ ${\displaystyle A_{ij}}$

この定義によれば、どの列のブロックも列数が同じでなければなりません。^[9]同様に、どの行のブロックも行数が同じでなければなりません。^[9]

パーティション分割方法

行列は様々な方法で分割できる。^[9]例えば、行列が列で分割されていると言われるのは、次のように書かれる場合である。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})}$、

ここではの 番目の列です。^[9]行列は行ごとに分割することもできます。 ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}}$、

の 番目の行はどこですか。^[9] ${\displaystyle a_{i}^{T}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$

共通パーティション

多くの場合、^[9] 2x2のパーティションに遭遇します

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$, ^[9]

特に、がスカラーである形式では、次のようになります。 ${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

ブロック行列演算

転置

させて

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

ここで である。（この行列は§ 加算と§ 乗算で再利用される。）そしてその転置は ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}}$, ^{[9] [10]}

転置を共役転置に置き換えても同じ式が成り立つ。^[9]

ブロック転置

ブロック行列に対しても、転置の特殊な形式を定義することができます。この形式では、個々のブロックは順序が変更されますが、転置は行われません。 がブロックを持つブロック行列であるとすると、 のブロック転置はを持つブロック行列です。^[11]従来のトレース演算子と同様に、ブロック転置はとなる線形写像です。^[10]しかし、一般に、とのブロックが可換でない限り、この性質は成り立ちません。 ${\displaystyle A=(B_{ij})}$ ${\displaystyle k\times l}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B_{ij}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times k}$ ${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$ ${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

追加

させて

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}}$、

ここで、 、 を§転置で定義された行列とする。（この行列は§乗算で再利用される。） 、、、の場合、 ${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle q=s}$ ${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$ ${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

乗算

因子の部分行列の代数のみを扱うブロック分割行列積を用いることも可能です。しかしながら、因子の分割は任意ではなく、2つの行列間の「適合分割」^[12]と、使用されるすべての部分行列積が定義されるような分割が必要です。^[13] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

2 つの行列および が、積について等角的に分割されていると言われるのは、乗算が、部分行列をスカラーであるかのように扱いながら順序を保って実行され、関係する部分行列の積と和がすべて定義されている場合です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$

— アラク・M・マタイとハンス・J・ハウボルド『線形代数：物理学者とエンジニアのためのコース』^[14]

§転置で定義された行列をとし、§加法で定義された行列を とする。すると、行列積は ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle C=AB}$

ブロック単位で実行することで行列が得られます。結果の行列の各行列は、以下の乗算によって計算されます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (p\times s)}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$^[6]

または、繰り返されるインデックスを暗黙的に合計するアインシュタイン表記法を使用します。

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

行列として描くと、 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}}$. ^[9]

反転

行列が 4 つのブロックに分割されている場合、次のようにブロックごとに反転できます。

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

ここで、AとDは任意サイズの正方ブロックであり、BとCはそれらと分割可能である。さらに、 Aと、 PにおけるAのシュアー補集合：P / A = D − CA ⁻¹ Bは逆行列でなければならない。^[15]

同様に、ブロックを並べ替えると次のようになります。

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[16]

ここで、DとPにおけるDのシュアー補数: P / D = A − BD ⁻¹ Cは逆行列でなければならない。

AとD が両方とも逆である場合、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.}$

ワインスタイン・アロンザイン恒等式により、ブロック対角行列の 2 つの行列のうち 1 つが逆行列である場合、もう 1 つも逆行列になります。

完全逆行列から部分逆行列を計算する

ブロック反転公式における行列とその逆行列間の対称性により、行列Pとその逆行列P ⁻¹が共形に分割される場合、

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}},\quad P^{-1}={\begin{bmatrix}{E}&{F}\\{G}&{H}\end{bmatrix}}}$

すると、任意の主部分行列の逆行列はP ⁻¹の対応するブロックから計算できる。

${\displaystyle {A}^{-1}={E}-{FH}^{-1}{G}}$

${\displaystyle {D}^{-1}={H}-{GE}^{-1}{F}}$

この関係は、E ⁻¹ = A − BD ⁻¹ C （シュアー補集合）であることを認識し、 PとP ⁻¹の役割を逆にして同じブロック反転公式を適用することから導かれる。^{[17] [18]}

行列式

上の行列の行列式の公式は、適切な更なる仮定の下で、4つの部分行列と平方行列からなる行列に対しても成立する。ライプニッツの公式か、シュール補集合を含む因数分解を用いて証明できる最も簡単な公式は、以下の通りである 。 ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$^[16]

この式を用いると、との特性多項式はとの特性多項式の積と同じであることが分かります。さらに、またはが対角化可能であれば、とも 対角化可能です。逆は偽です。 を確認してください。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

が逆行列を持つ場合、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$^[16]

そして逆行列が成り立つ場合、 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$^{[19] [16]}

ブロックが同じ大きさの正方行列である場合、さらに次の式が成り立ちます。例えば、と が可換（つまり）である場合、 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$^[20]

、、または⁠ ⁠の場合も同様のことが言えます。つまり、の 場合、 ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle AC=CA}$ ${\displaystyle BD=DB}$ ${\displaystyle AC=CA}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-CB).}$

との順序が変わっていることに注目してください（の代わりに）。同様に、の場合、は に置き換えてください（つまり）。また、 の場合、 となります。最後の2つの結果では、基底環の可換性を使用する必要がありますが、最初の2つの結果では使用する必要はありません。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle CB}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle BD=DB}$ ${\displaystyle AD}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle \det(DA-BC)}$ ${\displaystyle AB=BA}$ ${\displaystyle \det(DA-CB)}$

この式は、個々のブロック間の適切な交換条件の下で、 個以上のブロックから構成される行列に一般化されている。 ^[21] ${\displaystyle 2\times 2}$

とについては、次の式が成り立ちます（と が可換でなくても）。 ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle B=C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$^[16]

特殊なタイプのブロック行列

直和とブロック対角行列

直和

任意の行列A（サイズm  ×  n）とB（サイズp  ×  q）に対して、AとBの直和はA Bと表され、次のように定義されます。   ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[10]

例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

この操作は、任意の次元の配列に自然に一般化されます ( AとB の次元数が同じである場合)。

2 つの行列のベクトル空間の直和内の任意の要素は、2 つの行列の直和として表すことができることに注意してください。

ブロック対角行列

ブロック対角行列とは、主対角ブロックが正方行列で、すべての非対角ブロックが零行列であるような正方行列であるブロック行列である。 ^[16]つまり、ブロック対角行列Aは次の形式を持つ。

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}}$

ここで、A _kはk = 1, ..., nに対して正方行列である。言い換えれば、行列AはA ₁ , ..., A _nの直和である。^{[16]これは}A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n ^[10]または diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) ^[10]と表記することもできる （後者は対角行列に使用されるのと同じ形式である）。任意の正方行列は、1つのブロックのみを持つブロック対角行列と見なすことができる。

行列式とトレースについては、次の特性が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[22] [23]}と

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[16] [23]}

ブロック対角行列が逆行列となるのは、その主対角ブロックのそれぞれが逆行列となる場合のみであり、この場合、その逆行列は次式で表される別のブロック対角行列となる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[24]

の固有値^[25]と固有ベクトルは、単にsの固有値と固有ベクトルを組み合わせたものである。 [ ^23] ${\displaystyle {A}}$ ${\displaystyle {A}_{k}}$

ブロック三角行列

ブロック三重対角行列は、もう一つの特殊なブロック行列です。ブロック対角行列と同様に、正方行列であり、下対角、主対角、上対角に正方行列（ブロック）を持ち、その他のブロックは零行列です。ブロック三重対角行列は本質的に三重対角行列ですが、スカラーの代わりに部分行列を持ちます。ブロック三重対角行列は、以下の形式を持ちます 。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}}$

ここで、、はそれぞれ下対角、主対角、上対角の正方部分行列である。^{[26] [27]} ${\displaystyle {A}_{k}}$ ${\displaystyle {B}_{k}}$ ${\displaystyle {C}_{k}}$

ブロック三角行列は、工学問題（例えば、数値流体力学）の数値解法においてしばしば用いられます。LU分解のための最適化された数値解法^[28]が利用可能であり、ブロック三角行列を係数行列とする方程式系に対する効率的な解法アルゴリズムが存在します。三角行列を含む方程式系を効率的に解くために使用されるトーマスアルゴリズムは、行列演算を用いてブロック三角行列に適用することもできます（ブロックLU分解も参照）。

ブロック三角行列

行列が上ブロック三角行列（またはブロック上三角行列^[29]）であるとは、およびとなる正の整数が存在する場合である。ここで、行列はすべての に対して となる。 ^{[25] [29]}同様に、が下ブロック三角行列であるとは、 となる正の整数が存在する場合で ある。ここで、行列はすべての に対して となる。^[25] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$ ${\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{j}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

ブロックテプリッツ行列

ブロックテプリッツ行列は、別の特殊なブロック行列であり、テプリッツ行列には対角線に沿って繰り返される要素があるため、行列の対角線に沿って繰り返されるブロックが含まれます。

行列がブロックテプリッツ行列であるのは、すべての に対して成り立つときである。つまり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle k-i=l-j}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$、

ここで[ ^25] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

ブロックハンケル行列

行列がブロックハンケル行列であるのは、すべての に対して成り立つときである。つまり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$ ${\displaystyle i+j=k+l}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$、

ここで[ ^25] ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

参照

• クロネッカー積（ブロック行列となる行列直積）
• ジョルダン標準形（有限次元複素ベクトル空間上の線型作用素の標準形）
• シュトラッセンアルゴリズム（従来の行列乗算アルゴリズムよりも高速な行列乗算アルゴリズム）

注記

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2. Dobrushkin, Vladimir. 「Partition Matrices」. Mathematicaによる線形代数. 2024年3月24日閲覧。
3. アントン・ハワード (1994).初等線形代数（第7版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー. p. 30. ISBN 0-471-58742-7選択した行と列の間に水平線と垂直線を挿入することで、行列をより小さな行列に分割することができます。
4. Indhumathi, D.; Sarala, S. (2014-05-16). 「F値を用いたアダプティブランダムテストおよびパーティションブロックベースのアダプティブランダムテストにおけるフラグメント分析とテストケース生成」(PDF) . International Journal of Computer Applications . 93 (6): 13. Bibcode :2014IJCA...93f..11I. doi :10.5120/16218-5662.
5. Macedo, HD; Oliveira, JN (2013). 「線形代数の型付け：二積指向アプローチ」.コンピュータプログラミング科学. 78 (11): 2160– 2191. arXiv : 1312.4818 . doi :10.1016/j.scico.2012.07.012.
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13. アントン・ハワード (1994).初等線形代数（第7版）. ニューヨーク: ジョン・ワイリー. p. 36. ISBN 0-471-58742-7...ただし、A と B のサブマトリックスのサイズが、指定された操作を実行できるサイズである必要があります。
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17. 「このブロック逆行列の式は、逆行列全体に関して既知ですか？」MathOverflow。
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参考文献

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