外接円

幾何学において、三角形の外接円（または外接円）とは、3つの頂点すべてを通る円のことです。この円の中心は三角形の外心と呼ばれ、その半径は外接半径と呼ばれます。外心は三角形の3辺の垂直二等分線の交点であり、三角形の中心です。

より一般的には、すべての頂点が同一の円（外接円とも呼ばれる）上にある $n$ 辺の多角形は、環状多角形と呼ばれます。n $= 4 の$ $特殊$ な場合には、環状四辺形と呼ばれます。すべての三角形、長方形、二等辺台形、直角三角形、正多角形は環状ですが、すべての多角形が環状であるとは限りません。

定規とコンパスを使った作図

三角形の外接円は、定規とコンパスを使って、まず3辺の垂直二等分線のうち任意の2本を描きます。その交点が外心です。外接円は、そこを中心とし、三角形の頂点の1つを通る円としてすぐに描くことができます。その半径は外接半径です。

三角形の一辺の垂直二等分線上の点は、その三角形の隣接する二つの頂点から等距離にあります。したがって、二つの垂直二等分線上に同時に存在する点は、三つの頂点すべてから等距離にある必要があります。

代替建設

外心を決定する別の方法は、三角形の頂点からそれぞれ共通の辺に対して角度をなす2本の直線を引くことです。この共通の角度は、90°から反対側の頂点の角度を引いた角度です。（反対側の角が鈍角の場合、負の角度で直線を引くと三角形の外側に出ることになります。）

沿岸航海においては、コンパスが利用できない場合に六分儀を用いて位置線を求める方法として、三角形の外接円が用いられることがあります。2つのランドマーク間の水平角が、観測者が位置する外接円を定義します。

三角形に対する相対的な位置

外心の位置は三角形の種類によって異なります。

鋭角三角形（すべての角度が直角より小さい）の場合、外心は常に三角形の内側にあります。
直角三角形の場合、外心は常に斜辺の中点に位置します。これはタレスの定理の一種です。
鈍角三角形（一方の角が直角より大きい三角形）の場合、外心は常に三角形の外側にあります。

これらの位置的特徴は、外心について上記で示した三線座標または重心座標を考慮することで確認できます。3 つの座標はすべて内部点に対して正であり、外部点に対して少なくとも 1 つの座標は負であり、三角形の辺の頂点以外の点に対して 1 つの座標が 0 で 2 つの座標が正です。

角度

外接円が三角形の辺となす角は、辺同士が交わる角と一致します。対角 $α$ の辺は円と2回交わります。それぞれの端で1回ずつ、そしていずれの場合も $αの$ 角度で交わります（他の2つの角についても同様です）。これは、交互線分定理、すなわち接線と弦の間の角度は交互線分における角度に等しいという定理に基づいています。

外接円方程式

直交座標

In the Euclidean plane, it is possible to give explicitly an equation of the circumcircle in terms of the Cartesian coordinates of the vertices of the inscribed triangle. Suppose that

{\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}

are the coordinates of points $A, B, C$ . The circumcircle is then the locus of points $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ in the Cartesian plane satisfying the equations

{\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}

guaranteeing that the points $A, B, C, v$ are all the same distance $r$ from the common center $\mathbf {u}$ of the circle. Using the polarization identity, these equations reduce to the condition that the matrix

{\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}

has a nonzero kernel. Thus the circumcircle may alternatively be described as the locus of zeros of the determinant of this matrix:

\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.

Using cofactor expansion, let

{\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

we then have $a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0$ where $\mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),$ and – assuming the three points were not in a line (otherwise the circumcircle is that line that can also be seen as a generalized circle with $S$ at infinity) – $\left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},$ giving the circumcenter ${\tfrac {\mathbf {S} }{a}}$ and the circumradius ${\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.$ A similar approach allows one to deduce the equation of the circumsphere of a tetrahedron.

Parametric equation

A unit vector perpendicular to the plane containing the circle is given by

{\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.

Hence, given the radius, $r$ , center, $P c$ , a point on the circle, $P 0$ and a unit normal of the plane containing the circle, ⁠ ${\widehat {n}},$ ⁠ one parametric equation of the circle starting from the point $P 0$ and proceeding in a positively oriented (i.e., right-handed) sense about ⁠ ${\widehat {n}}$ ⁠ is the following:

\mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].

Trilinear and barycentric coordinates

An equation for the circumcircle in trilinear coordinates $x : y : z$ is^[1] ${\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.$ An equation for the circumcircle in barycentric coordinates $x : y : z$ is ${\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.$

The isogonal conjugate of the circumcircle is the line at infinity, given in trilinear coordinates by $ax+by+cz=0$ and in barycentric coordinates by $x+y+z=0.$

Higher dimensions

さらに、三次元に埋め込まれた三角形の外接円は、一般化された方法を用いて求めることができます。A、B、Cを三角形の頂点となる三次元点とします $。まず、系を転置して$ $Cを$ $原点$ に置きます。

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}

円周半径 $r$ は

r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},

ここで $θは$ $a$ と $b$ の間の内角である。外心 $p 0$ は次のように与えられる。

p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .

この式は、外積が他の次元では定義されていないため 3 次元でのみ機能しますが、外積を次の恒等式に置き換えることで他の次元に一般化できます。

{\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}

$これにより、円周半径r$ に関する次の式が得られます。

r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}

$外心p 0$ については次の式が成り立ちます。

p_{0}={\frac {((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} -((\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} }{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C}

これは次のように簡略化できます。

p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )}{2(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2})}}+\mathbf {C}

外心座標

直交座標

外心の直交座標は $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$

{\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}

と

D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,

一般性を失うことなく、頂点 $A$ を直交座標系の原点に移動させた後、簡略化した形で表すことができます。つまり、この場合、頂点の座標と頂点は、頂点 $A'$ からこれらの頂点へのベクトルを表します。この自明な移動はすべての三角形に対して可能であり、三角形 $△$ $A'B'C'$ の外心の座標は次のように表されることに注意してください。 $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ $B'=B-A$ $C'=C-A$ $U'=(U'_{x},U'_{y})$

{\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}

と

D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,

$頂点A$ を原点に移動させることにより、円周半径 $r$ は次のように計算できる。

r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}

$そして△ ABC$ の実際の外心は

U=U'+A

三線座標

外心は三線座標系である^[2]

\cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma

ここで $、α、β、γ$ は三角形の角度です。

$辺の長さa、b、c$ に関して、三線は^[3]

a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).

重心座標

外心は重心座標を持つ^[4]

a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,

ここで $、a、b、c$ はそれぞれ三角形の辺の長さ $BC 、 CA 、 ABです。$

$三角形の角度α、β、γ$ に関して、外心の重心座標は^{[3]である。}

\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .

外心ベクトル

任意の点の直交座標は頂点の座標の加重平均であり、その重みは点の重心座標の合計が1になるように正規化されているため、外心ベクトルは次のように表すことができます。

U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.

ここで $U$ は外心のベクトル、 $A、B、C$ は頂点ベクトルです。ここでの約数は $16 S 2$ で、 $S$ は三角形の面積です。前述のように、

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}

クロス積とドット積からの直交座標

ユークリッド空間において、任意の3点 $P 1 、 P 2 、 P 3$ を通る円は1つだけ存在します。これらの点を直交座標系で空間ベクトルとして表すと、内積と外積を用いて円の半径と中心を求めることができます。

\mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}

円の半径は次のように表される。

\mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}

円の中心は線形結合で与えられる。

\mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}

どこ

{\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}

三角形の中心は外接円上にある

このセクションでは、頂点の角度は $A、B、C$ とラベル付けされ、すべての座標は三線座標です。

シュタイナー点: 外接円とシュタイナー楕円の交差点の頂点ではない点。

{\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}

（シュタイナーの楕円は、中心が重心（

ABC ）であり、

A、 B、 C

を通る面積が最小の楕円です。この楕円の方程式はです。）

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

タリー点：シュタイナー点の対蹠点

\sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )

キーパート放物線の焦点:

\csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).

その他の特性

外接円の直径は外接直径と呼ばれ、外接半径の2倍に等しく、三角形の任意の辺の長さを対角の正弦で割ることで計算できます。

{\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.

正弦定理の結果として、どの辺と反対の角度を取るかは問題ではなく、結果は同じになります。

外接円の直径は次のように表すこともできる。

{\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}

ここで $、a、b、c$ は三角形の辺の長さ、は半周長です。上記の式はヘロンの公式による三角形の面積です。^[5]外接円の直径を求める三角法の式には以下のものがあります^[6] $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

{\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.

三角形の九点円の直径は外接円の半分です。

任意の三角形において、外心は常に重心および垂心と一直線上にあります。これらすべてを通る直線はオイラー線と呼ばれます。

外心の等角共役は垂心です。

3点からなる有効最小外接円は、外接円（3点が最小外接円上にある場合）または三角形の最長辺の2点（2点が円の直径を定義する場合）によって定義されます。最小外接円と外接円は混同されやすいです。

3点が同一直線上にある場合の外接円は、3点が接する直線であり、しばしば無限半径の円と呼ばれます。3点がほぼ同一直線上にある場合、外接円の計算において数値的な不安定性が生じることがよくあります。

三角形の外接円は、点の集合のドロネー三角形分割と密接な関係があります。

幾何学におけるオイラーの定理によれば、外心 $O$ と内心 $I$ の間の距離は

{\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},

ここで $r$ は内接円の半径、 $R$ は外接円の半径である。したがって外接円の半径は内接円の半径の少なくとも2倍である（オイラーの三角形の不等式）。等号は正三角形の場合のみ成立する。^[7]^[8]

$O$ と垂心 $H$ の間の距離は^[9]^[10]

{\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.

重心 $G$ と9点中心 $N$ については、

{\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}

$辺a、b、c$ を持つ三角形の内接円の半径と外接円の半径の積は^[11]である。

rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.

円周半径を $R$ 、辺を $a、b、c$ 、中線を $m a 、m b 、m c$ とすると、^[12]

{\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}

$中線m$ 、標高 $h$ 、内二等分線 $tがすべて円周半径$ $R$ の三角形の同じ頂点から伸びている場合、^[13]

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

カルノーの定理によれば、外心から3辺までの距離の合計は、外接半径と内接半径の合計に等しいとされています。^[14]ここで、線分の長さが負になるのは、その線分が三角形の外側に完全に位置している場合のみです。

三角形が特定の2つの円を外接円と内接円として持つ場合、同じ外接円と内接円を持ち、外接円上の任意の点を頂点とする三角形が無数に存在する。（これはポンスレの正多角形における $n = 3の$ 場合である。）このような三角形が存在するための必要十分条件は、上記の等式^{[15]である。} ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$

循環多角形

同一円上にある点の集合は共円と呼ばれ、頂点が共円である多角形は円多角形と呼ばれます。すべての三角形は共円ですが、一般に4辺以上の多角形は共円ではありません。

環状多角形、特に四辺形からなる環状四角形は、様々な特殊な性質を持ちます。特に、環状四角形の対角は補角（合計180°またはπラジアン）となります。

参照

参考文献

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外部リンク

Mathalino.com における三角形の外接円の半径の公式の導出
半正三角形と半正三角形: ダイナミックジオメトリスケッチ、インタラクティブなダイナミックジオメトリスケッチにおける長方形と菱形のそれぞれの一般化。
ワイスタイン、エリック・W.「外接円」、「循環多角形」。MathWorld。
三角形の外接円と外心インタラクティブアニメーション付き
円心のためのインタラクティブなJavaアプレット

[WW-1] ウィリアム・アレン・ウィットワース（1866年）『三線座標と二次元現代解析幾何学の他の方法』デイトン・ベル社、199ページ。

[FOOTNOTEWhitworth1866[httpsarchiveorgdetailstrilinearcoordin00whituoftpagen61mode2up_p._19]-2] ホイットワース（1866年）、19ページ。

[ck-3] キンバリング、クラーク. 「パートI：序論と中心X(1)～X(1000)」.三角形の中心百科事典.外心はX(3)に記載されています。

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[12] ポサメンティエ, アルフレッド・S.; レーマン, イングマール (2012). 『三角形の秘密』プロメテウス・ブックス. pp. 289– 290.

[13] アルトシラー・コート、ネイサン（1952年）『大学幾何学：三角形と円の現代幾何学入門』（第2版）バーンズ・アンド・ノーブル、122頁、96頁。2007年にDover Publicationsより再版。

[FOOTNOTEAltshiller_Court195283-14] アルトシラー裁判所（1952年）、83ページ。

[FOOTNOTEJohnson1929188-15] ジョンソン（1929年）、188ページ。