レンズ

2つの両凸レンズからなる燃焼装置

レンズは、屈折を利用して光線を集束または分散させる透過型光学装置です。単純レンズは一枚の透明材料から構成され、複合レンズは複数の単純レンズ（素子）から構成され、通常は共通の軸に沿って配置されます。レンズはガラスやプラスチックなどの材料から作られ、必要な形状に研磨または成型されます。プリズムは光を集束させずに屈折させるのに対し、レンズは光を集束させて像を形成できます。同様に可視光以外の波や放射線を集束または分散させる装置も「レンズ」と呼ばれ、マイクロ波レンズ、電子レンズ、音響レンズ、爆発レンズなどがあります。

レンズは、望遠鏡、双眼鏡、カメラなどの様々な画像機器に使用されています。また、近視や遠視などの視力障害を矯正するための眼鏡の補助具としても使用されています。

歴史

水を満たした球状のガラス容器によって屈折する光。ロジャー・ベーコン、13世紀

2025年6月23日に初観測された天体観測望遠鏡LSSTのレンズ

レンズという語は、レンズ豆（レンズマメ科の植物の種子）のラテン語名であるlēnsに由来します。これは、両凸レンズがレンズ豆の形をしていることに由来します。レンズ豆は幾何学図形の名前にもなっています。^{[ a ]}

一部の学者は、考古学的証拠は古代において数千年にわたってレンズが広く使用されていたことを示していると主張している。^{[ 1 ]}ニムルドレンズと呼ばれるものは、紀元前7世紀に遡る水晶の遺物であり、拡大鏡や燃焼ガラスとして使用された可能性がある。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}また、エジプトの特定の象形文字には「単純なガラス製のメニスカルレンズ」が描かれているのではないかと示唆する学者もいる。^{[ 5 ]}

レンズを燃焼ガラスとして使用したことに関する最も古い確実な記述は、アリストパネスの戯曲『雲』（紀元前424年）である。^{[ 6 ]}

大プリニウス（1世紀）は、ローマ時代に燃焼眼鏡が知られていたことを確認している。^{[ 7 ]} プリニウスは、ネロが剣闘士の試合をエメラルド（おそらく近視を矯正するために凹面）を使って観戦していたと言われていると述べているが、この言及は混乱を招き、この解釈には異論もある。^{[ 8 ] [ 9 ]}

小セネカ（紀元前3年-紀元後65年）は著書『博物学問』の中で、「水を通して見る者には、すべてのものがはるかに大きく見える。文字は、どんなに小さくて不明瞭であっても、水を満たしたガラス球を通して見るとより大きく鮮明に知覚される。果物は、ガラスに浮かんでいる場合よりも形が整って見える。」と書いている。^{[ 10 ]}

プトレマイオス（2世紀）は『光学』を著したが、これは不完全で非常に質の低いアラビア語訳のラテン語訳のみが現存している。しかしながら、この本はイスラム世界の中世学者に受け入れられ、イブン・サール（10世紀）によって注釈が付けられ、さらにアルハゼン（『光学の書』 、11世紀）によってさらに改良された。プトレマイオスの『光学』のアラビア語訳は、 12世紀（パレルモのエウゲニウス、 1154年） にラテン語訳で出版された。

11世紀から13世紀にかけては「リーディングストーン」が使用されていました。これは原始的な平凸レンズで、当初はガラス球を半分に切って作られていました。中世（11世紀または12世紀）の水晶で作られたヴィスビーレンズは、燃焼グラスとしての使用を意図していたかどうかは定かではありません。^{[ 11 ]}

眼鏡は、13世紀後半の北イタリアで、中世盛期の「リーディングストーン」を改良したものとして発明されました。^{[ 12 ]}これが、眼鏡レンズの研磨と研削を行う光学産業の始まりであり、最初は13世紀後半にヴェネツィアとフィレンツェで、^その後はオランダとドイツの眼鏡製造の中心地でも行われました。^{[ 14 ]眼鏡職人は、} レンズの効果を観察することで得られた経験的知識（おそらく当時の基本的な光学理論に関する知識はなかったでしょう）に基づいて、視力矯正用のレンズを改良しました。^{[ 15 ] [ 16 ]レンズ}の実用的な開発と実験により、1595年頃には複合光学顕微鏡、 1608年には屈折望遠鏡が発明され、どちらもオランダの眼鏡製造の中心地で登場しました。^{[ 17 ] [ 18 ]}

望遠鏡と顕微鏡の発明に伴い、17世紀から18世紀初頭にかけて、レンズの色収差を修正しようと、レンズの形状に関する多くの実験が行われました。光学技師たちは、レンズ表面の球面形状の欠陥が色収差の原因であると誤って想定し、様々な曲率のレンズを製作しようと試みました。^{[ 19 ]}屈折に関する光学理論と実験は、単一要素レンズではすべての色を焦点に集められないことを示していました。このことが、 1733年にイギ​​リスのチェスター・ムーア・ホールによる複合色消しレンズの発明につながり、同じイギリス人のジョン・ドロンドも1758年に特許を取得しました。

大西洋横断貿易の発展は、18世紀に近代的な灯台が建設されるきっかけとなりました。灯台は、高い視線、光源、レンズの組み合わせによって海外の航行支援を提供します。灯台に必要な視認距離を最大限にするために、従来の凸レンズでは相当な大きさが必要となり、コスト、設計、実装の面で灯台の発展に悪影響を及ぼしました。フレネルレンズは、これらの制約を考慮し、同心円状の環状断面を形成することで材料使用量を削減しました。フレネルレンズが初めて灯台に本格的に導入されたのは1823年のことでした。^{[ 20 ]}

単純なレンズの構造

ほとんどのレンズは球面レンズです。つまり、その2つの面は球面の一部です。それぞれの面は、凸面（レンズから外側に膨らんでいる）、凹面（レンズに窪んでいる）、または平面（平ら）です。レンズ面を構成する球の中心を結ぶ線は、レンズ軸と呼ばれます。通常、レンズ軸はレンズの製造方法上、レンズの物理的な中心を通ります。レンズは製造後に切断または研磨され、異なる形状やサイズに加工される場合があります。その場合、レンズ軸がレンズの物理的な中心を通らない場合があります。

トーリックレンズまたは球面シリンドリカルレンズは、2つの直交面において異なる曲率半径を持つ面を持ちます。異なる子午線では焦点の度数が異なります。これは乱視レンズを形成します。例えば、乱視を矯正するために使用される眼鏡レンズが挙げられます。

単純レンズの種類

レンズの種類

レンズは、2 つの光学面の曲率によって分類されます。レンズの両面が凸面の場合、そのレンズは両凸面(または二重凸面、あるいは単に凸面)です。両面の曲率半径が同じ場合、そのレンズは等凸面です。2 つの凹面を持つレンズは両凹面(または単に凹面)です。片方の面が平らな場合、レンズはもう一方の面の曲率によって平凸面または平凹面になります。片側が凸面で片側が凹面であるレンズは凸凹面またはメニスカス レンズです。凸凹レンズは、その形状によっていくつかの収差が最小限に抑えられるため、矯正レンズで最も一般的に使用されます。

低屈折率媒質中の両凸レンズまたは平凸レンズでは、レンズを通過する平行光線はレンズ後方の点（焦点）に収束します。この場合、レンズは正レンズまたは収束レンズと呼ばれます。空気中の薄いレンズの場合、レンズから点までの距離がレンズの焦点距離であり、図や方程式では通常fで表されます。拡張半球面レンズは、平凸レンズの特殊なタイプで、レンズの曲面が完全な半球面であり、レンズの厚さが曲率半径よりもはるかに大きいレンズです。

厚い凸レンズのもう一つの極端な例は、完全に円形のボールレンズです。ノベルティフォトグラフィーで使用される場合、しばしば「レンズボール」と呼ばれます。ボール型レンズは全方向を捉えられるという利点がありますが、ほとんどの光学ガラスでは焦点がボールの表面近くにあります。レンズの大きさに比べてボールの曲率が極端に大きいため、色収差を除けば、光学収差は薄型レンズよりもはるかに大きくなります。

両凸レンズ

低屈折率媒質中の両凹レンズまたは平凹レンズでは、レンズを通過する平行光線は発散（拡散）するため、このレンズは負レンズまたは発散レンズと呼ばれます。レンズを通過した光線は、レンズの前方にある軸上の特定の点から放射されているように見えます。空気中の薄いレンズの場合、この点からレンズまでの距離が焦点距離ですが、収束レンズの焦点距離に対しては負の方向になります。

両凹レンズ

レンズをレンズの材質よりも屈折率の高い媒質に置くと、この挙動は逆転します。この場合、両凸レンズまたは平凸レンズは光を発散させ、両凹レンズまたは平凹レンズは光を収束させます。

メニスカスレンズ：負（上）と正（下）

凸凹レンズ（メニスカスレンズ）は、2つの面の相対的な曲率によって、正または負のレンズ形状になります。負メニスカスレンズは、凹面の急勾配（凸面の半径よりも短い）を持ち、中心部の厚みが周辺部よりも薄くなります。一方、正メニスカスレンズは、凸面の急勾配（凹面の半径よりも短い）を持ち、中心部の厚みが周辺部よりも厚くなります。

曲率が等しい（符号も等しい）2つの面を持つ理想的な薄型レンズは、光学パワーがゼロになります（レンズメーカーの式で示されるように、焦点距離が無限大になるため）。つまり、光は収束も発散もしません。しかし、現実のレンズはすべて厚さがゼロではないため、同一の曲面を持つレンズはわずかに正のパワーを持ちます。光学パワーを正確にゼロにするには、メニスカスレンズはレンズの厚さの影響を考慮して、わずかに曲率を異ならせる必要があります。

球面の場合

Desmosにおける球面屈折のシミュレーション

円形境界での単一屈折の場合、近軸近似における物体とその像の関係は^{[ 21 ] [ 22 ]}で与えられる。

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$$

ここで、Rは球面の半径、n ₂は球面の材質の屈折率、n ₁は媒質（球面の材質以外の媒質）の屈折率、は軸に垂直な線から球面上の屈折点（高さh）に向かう軸上（光軸上）物体距離、は線からの軸上像距離です。hの線が球面の頂点に近く、左側で光軸と交わる近軸近似により、また頂点に対する距離とみなされます。 ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$

右無限遠に向かって移動すると、球面の第一焦点距離、すなわち物体焦点距離に到達します。同様に、左無限遠に向かって移動すると、第二焦点距離、すなわち像焦点距離に到達します。^{[ 23 ]} ${\textstyle v}$ ${\textstyle f_{0}}$ ${\textstyle u}$ ${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R,\\f_{i}&={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R\end{aligned}}}$$

この式をレンズの 2 つの球面に適用し、レンズの厚さを 0 (つまり薄いレンズ) に近似すると、レンズメーカーの式が得られます。

導出

球面屈折の4つのケース

スネルの法則を球面に適用すると、 ${\displaystyle n_{1}\sin i=n_{2}\sin r\,.}$

また、図では、小角近似（近軸近似）を使用し、 i、r、θを消去すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(i-\theta )&={\frac {h}{u}}\\\tan(\theta -r)&={\frac {h}{v}}\\\sin \theta &={\frac {h}{R}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{v}}+{\frac {n_{1}}{u}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\,.}$$

レンズメーカーの式

球面レンズの焦点の位置は、2 つの面の曲率半径によって決まります。

球面レンズの近軸光線に対する空気中または真空中の（有効）焦点距離は、レンズメーカーの式から計算できます。^{[ 24 ] [ 25 ]} ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left[\ {\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ \left(n-1\right)\ d~}{\ n\ R_{1}\ R_{2}\ }}\ \right]\ ,}$$ どこ

• ${\textstyle \ n\ }$レンズ材料の屈折率です。
• ${\textstyle \ R_{1}\ }$光源に近いレンズ面の曲率半径（符号付き、下記参照）です。
• ${\textstyle \ R_{2}\ }$光源から遠いレンズ表面の曲率半径であり、
• ${\textstyle \ d\ }$レンズの厚さ（レンズ軸に沿った2つの表面頂点間の距離）です。

焦点距離はレンズの主平面に対するものであり、主平面の位置とそれぞれのレンズ頂点に対する位置は次の式で与えられる。ここで、焦点距離はそれぞれの頂点に対して正しい場合は正の値となる。^{[ 25 ]} ${\textstyle \ f\ }$ ${\textstyle \ h_{1}\ }$ ${\textstyle \ h_{2}\ }$

$${\displaystyle \ h_{1}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{2}\ }}\ }$$ $${\displaystyle \ h_{2}=-\ {\frac {\ \left(n-1\right)f\ d~}{\ n\ R_{1}\ }}\ }$$

焦点距離は、収束レンズの場合は正、発散レンズの場合は負の値をとります。焦点距離の逆数はレンズの屈折力です。焦点距離がメートル単位の場合、屈折力はディオプター（メートルの逆数）で表されます。 ${\displaystyle \ f\ }$ ${\textstyle \ {\tfrac {1}{\ f\ }}\ ,}$

レンズの焦点距離は、光が後方から前方へ進むときと前方から後方へ進むときで同じです。ただし、収差などのレンズの特性は、両方向で同じではありません。

曲率半径R ₁とR _{2の符号規則}

レンズの曲率半径の符号は、対応する面が凸面か凹面かを示します。これを表す符号の慣例はさまざまですが、 ^{[ 26 ]}この記事では、正のRは面の曲率中心が光線の移動方向（添付の図の右側）に沿って進んでいることを示し、負のRは面に到達する光線がすでに曲率中心を通過していることを意味します。したがって、上図のような外部レンズ面では、R ₁ > 0およびR ₂ < 0は凸面（正レンズで光を収束させるために使用される）を示し、 R ₁ < 0およびR ₂ > 0は凹面を示します。曲率半径の逆数は曲率と呼ばれます。平面の曲率は 0 であり、その曲率半径は無限大です。

その他のパラメータの符号規則

ガウスレンズ方程式の符号規則^{[ 27 ]}

パラメータ	意味	+ 記号	− サイン
それで​	物体とレンズ間の距離。	実物	仮想オブジェクト
s i	像とレンズ間の距離。	実画像	虚像
f	レンズの焦点距離。	収束レンズ	発散レンズ
よ​	光軸からの物体の高さ。	直立した物体	反転したオブジェクト
y i	光軸からの像の高さ	正立像	反転画像
M T	撮像時の横方向の倍率（  ＝y iとy oの比 ）。	正立像	反転画像

この記事ではこの規則が使用されています。直交座標の符号規則など、他の規則では方程式の形式が変わります。

薄レンズ近似

dがR ₁およびR ₂に比べて小さい場合、薄レンズ近似が成り立ちます。空気中のレンズの場合、fは^{[ 28 ]} で与えられます。

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ f\ }}\approx \left(n-1\right)\left[\ {\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\ \right]~.}$$

導出

近軸光線を伴う球面レンズ方程式の図

近軸近似における球面薄レンズ方程式は、右図に関してここで導出される。^{[ 28 ]} 1番目の球面レンズ面（頂点として光軸と交わる）は、軸上の物体点Oを虚像Iに結像し、これは次の式で表すことができる。2番目のレンズ面による結像については、上記の符号規則を採用し、これら2つの式を足し合わせると、右辺第2項がなくなる 薄レンズ近似では、 ${\textstyle \ V_{1}\ }$ $${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ u\ }}+{\frac {\ n_{2}\ }{\ v'\ }}={\frac {\ n_{2}-n_{1}\ }{\ R_{1}\ }}~.}$$ ${\textstyle \ u'=-v'+d\ }$ $${\displaystyle \ {\frac {n_{2}}{\ -v'+d\ }}+{\frac {\ n_{1}\ }{\ v\ }}={\frac {\ n_{1}-n_{2}\ }{\ R_{2}\ }}~.}$$ $${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)+{\frac {\ n_{2}\ d\ }{\ \left(\ v'-d\ \right)\ v'\ }}~.}$$ ${\displaystyle \ d\rightarrow 0\ ,}$

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{u}}+{\frac {\ n_{1}\ }{v}}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

薄レンズの焦点距離は、 ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ u\rightarrow -\infty \ ,}$

$${\displaystyle \ {\frac {\ n_{1}\ }{\ f\ }}=\left(n_{2}-n_{1}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\rightarrow {\frac {1}{\ f\ }}=\left({\frac {\ n_{2}\ }{\ n_{1}\ }}-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)~.}$$

つまり、ガウス薄レンズ方程式は

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ u\ }}+{\frac {1}{\ v\ }}={\frac {1}{\ f\ }}~.}$$

空気中または真空中の薄いレンズの場合、次のように 仮定できる。 ${\textstyle \ n_{1}=1\ }$ ${\textstyle \ f\ }$

$${\displaystyle \ {\frac {1}{\ f\ }}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ }$$

ここで、 2 の下付き文字は省略されます。 ${\textstyle \ n_{2}\ }$

イメージング特性

前述のように、空気中の正レンズまたは収束レンズは、レンズ軸に沿って進む平行ビームを、レンズから距離fにある点（焦点と呼ばれる）に集束させます。逆に、焦点に配置された点光源は、レンズによって平行ビームに変換されます。これら 2 つのケースは、レンズによる像形成の例です。前者の場合、無限遠にある物体（平行波ビームで表される）は、レンズの焦点に像を結びます。後者の場合、レンズから焦点距離の距離にある物体は、無限遠に像を結びます。レンズから距離fにある、レンズ軸に垂直な平面は、焦点面と呼ばれます。

レンズ方程式

近軸光線の場合、物体から球面薄レンズ（厚さが無視できるレンズ）までの距離をS ₁、レンズから像までの距離をS ₂とすると、これらの距離は（ガウス）薄レンズの式で表されます。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

$${\displaystyle {1 \over f}={1 \over S_{1}}+{1 \over S_{2}}\,.}$$

主光線による単レンズ結像

右図は、3本の光線を用いて物体点の像を見つける方法を示しています。1本目の光線はレンズに平行に入射し、レンズの第2焦点に向かって屈折します。2本目の光線はレンズの光学中心を横切り（方向は変わりません）、3本目の光線は第1焦点に向かって屈折し、光軸と平行な方向に屈折します。これは、簡単に使用できるシンプルな光線追跡法です。像点を見つけるには、3本の光線のうち2本で十分です。物体を光軸に沿って動かすと、2本目の光線が像の大きさを決定し、他の光線が像の位置を特定するのに役立つことがわかります。

レンズ方程式は「ニュートン力学」の形に表すこともできる。^{[ 27 ]}

$${\displaystyle f^{2}=x_{1}x_{2}\,,}$$

ここで、と は、前焦点 の左側にある場合は正、後焦点 の右側にある場合は正です。が正であるため、レンズによって形成される物点とそれに対応する結像点は、それぞれの焦点に関して常に反対側にあります。（と は正または負のいずれかです。） ${\displaystyle x_{1}=S_{1}-f}$ ${\displaystyle x_{2}=S_{2}-f\,.}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle F_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle F_{2}}$ ${\textstyle f^{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

このレンズ方程式のニュートン形式は、右図の三角形P ₁ P ₀₁ F ₁とL ₃ L ₂ F _{1の相似関係、および三角形}L ₁ L ₂ F ₂とP ₂ P ₀₂ F ₂の相似関係を用いて導出できます。これらの相似関係から以下の式が得られ、これらの結果を組み合わせるとレンズ方程式のニュートン形式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{f}}\\{\frac {y_{1}}{f}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{x_{2}}}\end{array}}}$$

単一の厚いレンズによる結像の図。H 1_とH ₂は、厚いレンズの主面が光軸と交差する主点です。物体空間と像空間が同一の媒質である場合、これらの点は節点でもあります。

カメラのレンズは遠くにある物体の実像を形成します。

上記の式は、厚いレンズ（複数のレンズで構成された複合レンズで、厚いレンズとして扱うことができるものも含む）が空気中または真空中（屈折率を 1 として扱うことができる）にある場合にも成り立ちます。ただし、、、がレンズの主平面（この場合、 は有効焦点距離）に関するものです。 ^{[ 25 ]}これは、上記の薄いレンズの場合と同様に、三角形の相似性、すなわち、右の図の三角形P ₁ P _O1 F ₁とL ₃ H ₁ F ₁の相似性、および三角形L ₁ ' H ₂ F ₂とP ₂ P ₀₂ F _{2の相似性によるものです。距離}S ₁またはS ₂が空気または真空以外の 媒体を通過する場合は、より複雑な分析が必要になります。 ${\textstyle S_{1}}$ ${\textstyle S_{2}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$

物体が焦点距離fの正レンズから距離S ₁ > fに置かれた場合、この式に従って距離S ₂に像ができます。レンズの反対側に距離S ₂にスクリーンを置くと、スクリーン上に像が形成されます。このような像はスクリーンまたはイメージセンサーに投影され、実像と呼ばれます。これはカメラの原理であり、網膜がイメージセンサーとして機能する人間の目の原理でもあります。

カメラのフォーカス調整はS ₂を調整します。この式で求められる像距離とは異なる距離を設定すると、カメラからS ₁の距離にある物体の像は焦点がぼやけた（ぼやけた）ものになります。言い換えれば、S ₂を調整すると、異なるS ₁の距離にある物体に完全に焦点が合うようになります。

正レンズを拡大鏡として用いた虚像形成。^{[ 33 ]}

場合によっては、S ₂が負になり、像が、それらの光線が検討されているレンズの反対側に形成されることを示します。 レンズから発散する光線は決して焦点を合わせず、それらの光線は像を形成するように見える点に物理的に存在しないため、これは虚像と呼ばれます。 実像とは異なり、虚像はスクリーンに投影できませんが、レンズを通して見る観察者には、その虚像の位置にある実際の物体であるように見えます。 同様に、それはその場所にある物体であるように見えるので、2 番目のレンズは再びその光を実像に焦点を合わせることができ、S ₁は最初のレンズの後ろの虚像の位置から 2 番目のレンズまで測定されます。 これはまさに、目が虫眼鏡を通して見るときに行うことです。 虫眼鏡は虫眼鏡の後ろに（拡大された）虚像を作成しますが、それらの光線は目のレンズによって再画像化され、網膜上に実像を作成します。

負レンズは縮小された虚像を生成します。

バーローレンズ（B）は、仮想物体（赤色光線の焦点）を拡大された実像（焦点にある緑色光線）に再結像する。

焦点距離fの正レンズを使用すると、 S ₁ < fのときに虚像が生じ、レンズは拡大鏡として使用されます（カメラの場合のようにS ₁ ≫ fの場合とは異なります）。負レンズ（ f < 0）を実際の物体（S ₁ > 0）と共に使用すると、上記の式に従って虚像（S ₂ < 0 ）のみが生成されます。物体距離S ₁が負になることも可能で、その場合レンズはいわゆる仮想物体を観測します。これは、レンズが収束ビーム（前のレンズによって焦点が合わせられている）に実像の位置の前に挿入されたときに発生します。その場合、負レンズでもバローレンズのように実像を投影できます。

焦点距離fのレンズにおいて、物体と実像間の最短距離は 4 f（S ₁ = S ₂ = 2 f ）である。これは、 L = S ₁ + S ₂とし、レンズ方程式を用いてS _2をS ₁で表し（またはS _1をS ₂で表し）、LのS ₁（またはS ₂ ）に対する微分をゼロとすることで導かれる。（Lには上限がないため、極値はLの微分がゼロとなる最小値のみである。）

ランプの実像をスクリーン（倒立）に投影します。両凸レンズの両面からのランプの反射が見えます。

凸レンズ（f ≪ S ₁ ）は、虫眼鏡で見るような正立した虚像（f > S ₁）ではなく、望遠鏡や双眼鏡の対物レンズで形成されるような倒立した実像を形成します。この実像は、スクリーン上に投影することでも観察できます。

倍率

単レンズを用いた結像システムの 線形倍率は次のように表される。

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}\ =-{\frac {f}{x_{1}}}}$$

ここで、Mは拡大係数であり、物体の大きさに対する像の大きさの比として定義されます。ここでの符号規則により、実像の場合のようにMが負の値の場合、像は物体に対して上下逆さまになります。虚像の場合、Mは正の値であるため、像は正立します。

この拡大式は、収束レンズ ( f > 0 ) と発散レンズ ( f < 0 )を区別する 2 つの簡単な方法を提供します。物体がレンズに非常に近い場合 ( 0 < S ₁ < | f | )、収束レンズは拡大された (大きい) 虚像を形成しますが、発散レンズは縮小された (小さい) 像を形成します。物体がレンズから非常に遠い場合 ( S ₁ > | f | > 0 )、収束レンズは倒立像を形成しますが、発散レンズは正立像を形成します。

線倍率Mは、必ずしも倍率の最も有用な指標とは限りません。例えば、虚像のみを生成する望遠鏡や双眼鏡の特性を評価する場合、望遠鏡を通して遠くの物体が肉眼と比べてどれだけ大きく見えるかを表す角倍率の方が重要になります。カメラの場合、プレートスケールが用いられます。これは、遠くの物体の見かけの（角）大きさと、焦点に形成される実像の大きさを比較するものです。プレートスケールはカメラレンズの焦点距離の逆数であり、レンズは焦点距離に応じて長焦点レンズと広角レンズに分類されます。

不適切な倍率測定は形式的には正しいものの、意味のない数値をもたらす可能性があります。例えば、焦点距離5cm 、保持目から20cm離れたところ物体から5cm離れたところに、無限遠に無限大の虚像（M = ∞ ）が作られます。しかし、角倍率は5なので、物体はレンズなしの5倍の大きさで目に見えます。50mmレンズでは、線形倍率M≈は考慮されない。−50 mm /380,000  km =​−1.3 × 10 ⁻¹⁰。むしろ、カメラのプレートスケールは約1°/mm、そこから、フィルム上の0.5 mm の画像は、地球から見た月の角度サイズ約 0.5° に相当します。

物体が無限遠にある極端な場合、S ₁ = ∞、S ₂ = f、M = − f /∞ = 0 となり、物体は焦点面上の一点に結像することを示します。実際には、回折によって点像分布関数の大きさに下限が設けられるため、投影されたスポットの直径は実際にはゼロではありません。これを回折限界と呼びます。

焦点距離fの薄い凸レンズ内の黒い文字の像は、赤で示されています。文字E、I、Kについて、選択された光線はそれぞれ青、緑、オレンジで示されています。E ( 2 f ) には等しいサイズの実像と倒立像があります。I ( f ) には無限遠に像があります。K ( f /2 ) には 2 倍のサイズの虚像と正立像があります。文字 H、I、J、および i の像はレンズから遠く離れているため、ここには表示されていないことに注意してください。また、レンズに平行に入射し、第 2 焦点fに向かって屈折する光線が像のサイズを決定し、他の光線が像の位置を見つけるのに役立つことも示されています。

薄レンズ結像特性表

薄レンズで形成された実物体の像^{[ 27 ]}

レンズタイプ	オブジェクトの位置	画像タイプ	画像の場所	横方向の画像の向き	画像の拡大	述べる
収束レンズ（または正レンズ）	${\displaystyle \infty >S_{1}>2f}$	実数（各像点に収束する光線）	${\displaystyle f<S_{2}<2f}$	反転（オブジェクトの向きと反対）	減少
収束レンズ	${\displaystyle S_{1}=2f}$	本物	${\displaystyle S_{2}=2f}$	反転	同じサイズ
収束レンズ	${\displaystyle f<S_{1}<2f}$	本物	${\displaystyle \infty >S_{2}>2f}$	反転	拡大
収束レンズ	${\displaystyle S_{1}=f}$		${\displaystyle \pm \infty }$
収束レンズ	${\displaystyle S_{1}<f}$	仮想（各像点から発散する光線）	${\displaystyle \vert S_{2}\vert >S_{1}}$	直立（オブジェクトの向きと同じ）	拡大	物体がレンズに向かって移動すると、虚像もレンズに近づき、像のサイズは縮小されます。
発散レンズ（または負レンズ）	どこでも	バーチャル	${\displaystyle \vert S_{2}\vert <\vert f\vert ,S_{1}>\vert S_{2}\vert }$	直立	減少

異常

レンズは完璧な像を形成することはなく、必ずある程度の歪みや収差が生じ、像は物体の不完全な複製となります。特定の用途に合わせてレンズシステムを慎重に設計することで、収差を最小限に抑えることができます。球面収差、コマ収差、色収差など、いくつかの種類の収差が画質に影響を与えます。

球面収差

球面収差は、球面がレンズにとって理想的な形状ではないものの、ガラスを研磨・研削できる最も単純な形状であるため、頻繁に使用されるために発生します。球面収差により、レンズ軸に平行ではあるものの横方向に離れた光線は、軸に近い光線とはわずかに異なる場所に焦点を合わせます。これは、像のぼやけとして現れます。球面収差は、特定の用途に合わせて表面の曲率を慎重に選択することで、通常のレンズ形状で最小限に抑えることができます。例えば、平行光線を集束させるために使用される平凸レンズは、凸面を光源に向けて使用すると、より鮮明な焦点を生成します。

コマ

コマ収差は、収差のある像が彗星のように見えることからその名前が付けられています。コマは、レンズの光軸から外れた物体が像を結んだときに発生します。この場合、光線は軸θに対して角度をつけてレンズを通過します。焦点距離fのレンズの中心を通過する光線は、軸から距離f tan θの点で焦点を結びます。レンズの外側の縁を通過する光線は、軸から遠い点 (正のコマ収差) または軸に近い点 (負のコマ収差) の異なる点で焦点を結びます。一般的に、レンズの中心から一定の距離でレンズを通過する平行光線の束は、焦点面のリング状の像、つまりコマ円に焦点を結びます(下の図で各円を参照してください)。これらの円をすべて合わせると、V 字型または彗星のようなフレアになります。球面収差と同様に、コマ収差も用途に合わせて2つのレンズ面の曲率を選択することにより最小限に抑えることができます（場合によっては完全に除去することもできます）。球面収差とコマ収差の両方が最小限に抑えられたレンズは、ベストフォームレンズと呼ばれます。

色収差

色収差はレンズ材料の分散、つまり光の波長による屈折率nの変化によって生じます。上記の式から、fはnに依存するため、異なる波長の光は異なる位置に焦点が合わせられます。レンズの色収差は、像の周囲に色の縞として現れます。色収差は、分散の異なる 2 つの材料を結合して 1 つのレンズを形成するアクロマート ダブレット(またはアクロマート) を使用することで最小限に抑えることができます。これにより、特定の波長範囲にわたって色収差の量が減少しますが、完全な補正は得られません。アクロマートの使用は、光学顕微鏡の開発における重要なステップでした。アポクロマートは、球面収差補正が改善された、さらに優れた色収差補正を備えたレンズまたはレンズ システムです。アポクロマートはアクロマートよりもはるかに高価です。

色収差を最小限に抑えるために、特殊なコーティングや蛍石結晶から作られたレンズなど、様々なレンズ材料が使用されることもあります。この天然物質は、知られている中で最も高いアッベ数を持ち、分散が低いことを示しています。

その他の異常の種類

その他の種類の収差には、像面湾曲、樽型歪曲収差、糸巻き型歪曲収差、非点収差などがあります。

開口回折

レンズが上記の収差を最小限に抑える、あるいは完全に除去するように設計されていたとしても、画質はレンズの有限の絞りを通過する光の回折によって制限されます。回折限界レンズとは、設計条件下では、画質が主に回折によって制限される程度まで収差が低減されたレンズのことです。

複合レンズ

単レンズは、上述の光学収差の影響を受けます。多くの場合、これらの収差は、相補的な収差を持つ単レンズを組み合わせることで、大幅に補正できます。複合レンズとは、形状や屈折率の異なる材料で作られた単レンズを、共通の軸に沿って連続して配置した集合体です。

複数レンズシステムにおいて、システムの目的が物体を結像することである場合、各レンズが前のレンズによって作られた像を物体として扱い、その新しい像を生成するようにシステムを設計することができ、その結果、結像はレンズを通してカスケードされる。^{[ 34 ] [ 35 ]}上に示したように、球面レンズのガウスレンズ方程式は、レンズの第2面が第1レンズ面によって作られた像を結像するように導出される。複数レンズ結像の場合、第3レンズ面（第2レンズの前面）は第2面によって作られた像を結像することができ、第4面（第2レンズの背面）も第3面によって作られた像を結像することができる。各レンズ面によるこの結像カスケードは、各レンズによる結像カスケードを正当化する。

2枚のレンズからなるシステムでは、各レンズの物体距離は および 、像距離は および および と表すことができます。レンズが薄い場合、各レンズは薄レンズの公式を満たします。 ${\textstyle s_{o1}}$ ${\textstyle s_{o2}}$ ${\textstyle s_{i1}}$ ${\textstyle s_{i2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{j}}}={\frac {1}{s_{oj}}}+{\frac {1}{s_{ij}}},}$$

2つのレンズ間の距離が であれば、 となります。(2番目のレンズは1番目のレンズの像を結像します。) ${\displaystyle d}$ ${\textstyle s_{o2}=d-s_{i1}}$

FFD（前側焦点距離）は、光学系の前側（左側）焦点とそれに最も近い光学面頂点との間の距離として定義されます。^{[ 36 ]}物体が光学系の前側焦点に位置する場合、システムによって作られるその像は右端の無限遠に位置します（つまり、物体からの光線はシステムの後でコリメートされます）。これを行うには、第1レンズの像が第2レンズの焦点に位置するようにします。つまり、第1レンズの薄レンズの公式は次のようになります。^{[ 37 ]} ${\displaystyle s_{i1}=d-f_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{1}}}={\frac {1}{FFD}}+{\frac {1}{d-f_{2}}}\rightarrow FFD={\frac {f_{1}(d-f_{2})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

BFD（後焦点距離）は、光学系の後側（右）焦点と、その最も近い光学面頂点との間の距離として同様に定義されます。物体が光学系から無限遠（左）に位置する場合、光学系によってその物体の像は後側焦点に位置します。この場合、第1レンズは物体をその焦点に結像します。したがって、第2レンズの薄レンズの公式は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{2}}}={\frac {1}{BFD}}+{\frac {1}{d-f_{1}}}\rightarrow BFD={\frac {f_{2}(d-f_{1})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

最も単純なケースは、薄いレンズが接触している（）場合である。この場合、 となるので、レンズの 合成焦点距離fは次のように与えられる。 ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle FFD=BFD=f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}\,.}$$

1/ fは焦点距離fのレンズの屈折力なので、接触している薄レンズの屈折力は加算されることがわかります。複数の薄レンズが接触している一般的なケースは、

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{f_{k}}}}$$

レンズの数は どこにありますか。 ${\textstyle N}$

2枚の薄いレンズが空気中で距離dだけ離れている場合、複合システムの焦点距離は次のように表される。 $${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}\,.}$$

dがゼロに近づくにつれて、系の焦点距離は、接触している薄いレンズに与えられたfの値に近づく。厚いレンズの場合も、 dを主面間の距離とすれば、同じ式が成り立つことが示される。 ^{[ 25 ]}

2枚のレンズ間の距離が焦点距離の和（d = f ₁ + f ₂）に等しい場合、FFDとBFDは無限大となる。これは、平行（コリメート）ビームを別のコリメートビームに変換するレンズペアに対応する。このタイプのシステムは、ビームの収束や発散を生じないため、アフォーカルシステムと呼ばれる。この距離にある2枚のレンズは、最も単純なタイプの光学望遠鏡を形成する。このシステムはコリメートビームの発散を変えないが、ビームの（横方向の）幅を変える。このような望遠鏡の倍率は次式で与えられる。

$${\displaystyle M=-{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,,}$$

これは、出力ビーム幅と入力ビーム幅の比です。符号規則に注意してください。2つの凸レンズ（f ₁ > 0、f ₂ > 0）を備えた望遠鏡は、負の倍率を生成し、倒立像を示します。凸レンズと凹レンズを組み合わせた望遠鏡（f ₁ > 0 > f ₂）は、正の倍率を生成し、像は正立します。単純な光学望遠鏡の詳細については、「屈折望遠鏡」の「屈折望遠鏡の設計」を参照してください。

非球形タイプ

非球面両凸レンズ。

シリンドリカルレンズは、片方の軸に沿ってのみ曲率を持ちます。光を直線状に集光したり、レーザーダイオードからの楕円光を円形のビームに変換したりするために使用されます。また、映画用のアナモルフィックレンズにも使用されます。

非球面レンズは、少なくとも1つの面が球面でも円筒面でもない形状をしています。複雑な形状のため、標準的な単純レンズよりも収差の少ない像を形成できますが、製造が難しく、コストも高くなります。かつては製造が複雑で、非常に高価になることもありましたが、技術の進歩により、製造コストは大幅に削減されました。

平面フレネルレンズのクローズアップ図。

フレネルレンズは光学面が細いリング状に分割されているため、従来のレンズよりもはるかに薄く軽量です。耐久性の高いフレネルレンズはプラスチックから成形でき、安価です。

レンチキュラーレンズは、レンチキュラー印刷で使用されるマイクロレンズのアレイで、奥行きがあるように見える画像や、異なる角度から見たときに変化する画像を作成します。

二重焦点レンズには、2 つ以上の、または段階的な焦点距離がレンズに組み込まれています。

勾配屈折率レンズは光学面が平らですが、屈折率が放射状または軸方向に変化するため、レンズを通過する光が焦点を合わせられます。

アキシコンは円錐状の光学面を持ち、点光源を光軸に沿った線状に結像させたり、レーザービームをリング状に結像させたりします。^{[ 38 ]}

回折光学素子はレンズとして機能します。

スーパーレンズは負の屈折率を持つメタマテリアルから作られており、回折限界を超える空間解像度で画像を生成すると主張している。^{[ 39 ]}最初のスーパーレンズは2004年にマイクロ波用のメタマテリアルを使用して作られた。^{[ 39 ]}改良版が他の研究者によって作られている。^{[ 40 ] [ 41 ]} 2014年現在、スーパーレンズは可視光線や近赤外線の波長ではまだ実証されていない。^{[ 42 ]}

曲率の​​ない平面超薄型レンズのプロトタイプが開発された。^{[ 43 ]}

用途

日付表示の上に平凸レンズが付いた時計

ハンドルまたはスタンド付きのフレームに取り付けられた単一の凸レンズは、拡大鏡です。

レンズは、近視、遠視、老眼、乱視などの屈折異常を矯正するための補綴物として使用されます。（矯正レンズ、コンタクトレンズ、眼鏡、眼内レンズの項を参照）。他の目的で使用されるレンズのほとんどは厳密な軸対称性を備えていますが、眼鏡レンズは近似的に対称性を備えています。眼鏡レンズは通常、円形ではなく、ほぼ楕円形のフレームに収まるように形作られており、光学中心は眼球の上に配置されています。乱視を矯正するため、レンズの曲率は軸対称ではない場合があります。サングラスのレンズは光を減衰させるように設計されており、視力障害も矯正できるサングラスレンズをカスタムメイドで製作することができます。

その他の用途としては、単眼鏡、双眼鏡、望遠鏡、顕微鏡、カメラ、プロジェクターなどの画像撮影システムがあります。これらの機器の中には、人間の目に当てると虚像を生成するものもあれば、写真フィルムや光学センサーに記録したり、スクリーンで見たりできる実像を生成するものもあります。これらの機器では、レンズを曲面鏡と組み合わせてカタディオプトリック系を構成することがあります。この系では、レンズの球面収差が鏡の反対の収差を補正します（シュミット補正器やメニスカス補正器など）。

凸レンズは、無限遠にある物体の像を焦点に結像させます。太陽を結像させると、レンズに入射する可視光線と赤外線の多くが小さな像に集光されます。大きなレンズは、焦点にある可燃物を燃やすのに十分な強度を生み出します。粗悪なレンズでも発火させる可能性があるため、レンズは少なくとも2400年前から燃焼ガラスとして使用されてきました。 ^{[ 6 ]}現代の応用例としては、比較的大きなレンズを用いて比較的小さな太陽電池に太陽エネルギーを集光させることで、より大型で高価な太陽電池を使用せずに、より多くのエネルギーを収穫することが挙げられます。

電波天文学やレーダーシステムでは、電磁放射をコレクター アンテナに 屈折させるために、一般にレンズ アンテナと呼ばれる誘電体レンズがよく使用されます。

レンズは傷や摩耗が生じる可能性があります。これを防ぐために、耐摩耗コーティングが利用可能です。 ^{[ 44 ]}

参照

• 光学表面の曇り止め処理
• 後焦点面
• ボケ
• 方位（光学）
• コースティック（光学）
• 接眼レンズ
• F値
• 重力レンズ
• 水晶体（解剖学）
• レンズ設計一覧
• 開口数
• 光学コーティング
• 光学レンズ設計
• 調光レンズ
• プリズム（光学）
• レイトレーシング
• 光線伝達行列解析

注記

1. 異綴りのlenseが時々見られます。一部の辞書では代替綴りとして掲載されていますが、主流の辞書のほとんどでは認められていません。
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   • メリアム・ウェブスター医学辞典. メリアム・ウェブスター. 1995年. p. 368.ISBN 978-0-87779-914-6。許容される代替スペルとして「lense」をリストします。
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外部リンク

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• 古代エジプトのレンズ に関する記事2022年5月25日アーカイブウェイバックマシン
• 凸レンズを通る電磁波伝搬のFDTDアニメーション（オン軸およびオフ軸） YouTubeビデオ
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シミュレーション

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• OpticalRayTracer Archived 6 October 2010 at the Wayback Machine – オープンソースのレンズシミュレータ（ダウンロード可能なJava）
• レンズのデモアニメーションは 2012年4月4日にQEDによってWayback Machineにアーカイブされました。

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