Functions of an angle
三角法の基礎：2つの 直角三角形の 鋭角 が等しい場合 、それらは 相似で あり、対応する辺の長さは 比例し ます。 三角法の基礎：2つの 直角三角形の 鋭角 が等しい場合 、それらは 相似で あり、対応する辺の長さは 比例 します。
現代数学で最も広く使われている三角関数は 、 正弦関数、 余弦関数 、 正接 関数です。 それぞれの 逆数 は、あまり使われていない コセカント関数 、 セカント関数 、 コタンジェント 関数です。 これら6つの三角関数にはそれぞれ対応する 逆関数があり、 双曲線関数 にも類似関数があります
三角関数の最も古い定義は、直角三角形に関連しており、 鋭角 に対してのみ定義されています。正弦関数と余弦関数を、 実数直線 全体を定義 域 とする関数に拡張するために、標準 単位円（つまり、 半径 1単位の円 ）を用いた幾何学的定義がよく用いられます。その場合、他の関数の定義域は、いくつかの孤立点が除去された実数直線となります。現代の定義では、三角関数は 無限級数または 微分方程式 の解として表現されます。これにより、正弦関数と余弦関数の定義域を 複素平面 全体に拡張し 、他の三角関数の定義域をいくつかの孤立点が除去された複素平面に拡張することができます。
表記 慣例的に、各三角関数の名前の略語が、数式内の記号として使用されます。今日、これらの略語の最も一般的なバージョンは、正弦の場合は「 sin 」、余弦の場合は「 cos 」、正接の場合は「 tan 」または「 tg 」、正割の場合は「 sec 」、余割の場合は「 csc 」または「 cosec 」、余接の場合は「 cot 」または「 ctg 」です。歴史的に、これらの略語は最初は散文で特定の 線分 または任意の円弧 に 関連するその長さを示すために使用され、後に長さの比を示すために使用されましたが、17 世紀から 18 世紀に 関数の概念が発展する につれて、これらは実数値の角度測度の関数と見なされるようになり、関数表記 法 で記述されます(例: sin( x ) ) 。煩雑さを減らすために括弧は今でも省略されることがよくありますが、必要な場合もあります。たとえば、式は 通常 と解釈される ため、括弧で表す必要があります。 sin x + y {\displaystyle \sin x+y} ( sin x ) + y , {\displaystyle (\sin x)+y,} sin ( x + y ) . {\displaystyle \sin(x+y).}
関数の記号の後に上付き文字として現れる 正の整数 は、関数 の 合成 ではなく、指数を表します 。例えば 、と は ではない を表します。 これは、（歴史的に後の）一般的な関数表記法とは異なります。 sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} sin 2 ( x ) {\displaystyle \sin ^{2}(x)} ( sin x ) 2 , {\displaystyle (\sin x)^{2},} sin ( sin x ) . {\displaystyle \sin(\sin x).} f 2 ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) . {\displaystyle f^{2}(x)=(f\circ f)(x)=f(f(x)).}
対照的に、上付き文字は 逆関数 を表すためによく使用され、 逆数を 表すために ではありません 。例えば 、と は 逆三角関数 を表すためにも使用されます。あるいは、と書かれることもあります。 この式は ではない を意味します。 この場合、上付き文字は 合成 関数または反復関数を表すと見なすこと ができます が、 以外の負の上付き文字は 一般的に使用されていません。 − 1 {\displaystyle -1} sin − 1 x {\displaystyle \sin ^{-1}x} sin − 1 ( x ) {\displaystyle \sin ^{-1}(x)} arcsin x . {\displaystyle \arcsin x\,.} θ = sin − 1 x {\displaystyle \theta =\sin ^{-1}x} sin θ = x , {\displaystyle \sin \theta =x,} θ ⋅ sin x = 1. {\displaystyle \theta \cdot \sin x=1.} − 1 {\displaystyle {-1}}
直角三角形の定義 この直角三角形において、角度BACの度数をAと表すと、 sin A = a / c ; cos A = b / c ; tan A = a / b 6つの三角関数、単位円、そして角度 θ = 0.7 ラジアン の直線をプロットした図。1 、 Sec( θ ) 、 Csc( θ ) とラベル付けされた点は、 原点 からその点までの線分の長さを表します。Sin ( θ ) 、 Tan( θ ) 、および 1は、 x 軸から始まる直線までの高さであり 、 Cos( θ ) 、 1 、および Cot( θ )は、原点から始まる x 軸に沿った長さです 。 鋭角 θ が与えられている場合、角度 θ を持つ直角三角形は互いに 相似 です。これは、任意の2辺の長さの比が θ のみに依存することを意味します。したがって、これらの6つの比は 、三角関数である θの6つの関数を定義します。以下の定義では、 斜辺は 直角の反対側の辺の長さ、 対辺は与えられた角度 θ の反対側の辺 、 隣接辺は 角度 θ と直角の間の辺を表します。 [2] [3]
正弦 sin θ = o p p o s i t e h y p o t e n u s e {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}} 余弦 csc θ = h y p o t e n u s e o p p o s i t e {\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}} 余弦 cos θ = a d j a c e n t h y p o t e n u s e {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}} 正弦 sec θ = h y p o t e n u s e a d j a c e n t {\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}} 正接 tan θ = o p p o s i t e a d j a c e n t {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}} 正接 cot θ = a d j a c e n t o p p o s i t e {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}}
これらの定義を覚えるために、さまざまな記憶術 を使用できます。
直角三角形では、2つの鋭角の和は直角、つまり 90 ° または π / 2 ラジアン 。したがって 、と は同じ比を表し、等しい。この恒等式と他の三角関数間の類似関係は、次の表にまとめられている。 sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} cos ( 90 ∘ − θ ) {\displaystyle \cos(90^{\circ }-\theta )}
上： 4つの象限における 選択された角度 θ 、 π − θ 、 π + θ 、および 2π − θ に対する三角関数 sinθ 。 下： 正弦と角度のグラフ。上段の角度が識別されている。 三角関数間の関係のまとめ [4] 関数 説明 関係 ラジアン を使用 度 を使用 正弦 対辺 / 斜辺 sin θ = cos ( π 2 − θ ) = 1 csc θ {\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\csc \theta }}} sin x = cos ( 90 ∘ − x ) = 1 csc x {\displaystyle \sin x=\cos \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\csc x}}} 余弦 隣接 / 斜辺 cos θ = sin ( π 2 − θ ) = 1 sec θ {\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sec \theta }}\,} cos x = sin ( 90 ∘ − x ) = 1 sec x {\displaystyle \cos x=\sin \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sec x}}\,} 正接 対辺 / 隣接 tan θ = sin θ cos θ = cot ( π 2 − θ ) = 1 cot θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cot \theta }}} tan x = sin x cos x = cot ( 90 ∘ − x ) = 1 cot x {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}=\cot \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cot x}}} 余接 隣接 / 対辺 cot θ = cos θ sin θ = tan ( π 2 − θ ) = 1 tan θ {\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}} cot x = cos x sin x = tan ( 90 ∘ − x ) = 1 tan x {\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}=\tan \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\tan x}}} 正割 斜辺 / 隣接 sec θ = csc ( π 2 − θ ) = 1 cos θ {\displaystyle \sec \theta =\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\cos \theta }}} sec x = csc ( 90 ∘ − x ) = 1 cos x {\displaystyle \sec x=\csc \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\cos x}}} 余割 斜辺 / 対辺 csc θ = sec ( π 2 − θ ) = 1 sin θ {\displaystyle \csc \theta =\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\sin \theta }}} csc x = sec ( 90 ∘ − x ) = 1 sin x {\displaystyle \csc x=\sec \left(90^{\circ }-x\right)={\frac {1}{\sin x}}}
ラジアンと度 幾何学の応用において、三角関数の偏角は一般に角度 の尺度です 。この目的のためには、任意の 角度単位 が便利です。一般的な単位の1つは 度 で、直角は90°、完全な回転は360°です（特に 初等数学 において）。
しかし、 微積分学 や 数学解析学 では、三角関数は一般に、角度ではなく、 実数 または 複素数 の関数として、より抽象的にみなされています。 実際、関数 sin および cos は、あらゆる複素数に対して、 指数関数 、級数 [5] を介して定義するか、特定の初期値を与えられた 微分方程式の解 [6] （ 下記参照 ）として、幾何学的概念を参照することなく 定義できます 。 他の 4 つの三角関数（ tan 、 cot 、 sec 、 csc ）は、分母に 0 がある場合を除いて、 sin および cos の商および逆数として定義できます。 実引数については、引数をラジアン単位の角度と見なすと、これらの定義は初等幾何学の定義と一致することが証明できます。 [5]さらに、これらの定義から、三角関数の 導関数 と 不定積分 の簡単な式が得られます 。 [7] このように、初等幾何学以外の設定では、ラジアンは角度の尺度を記述するための数学的に自然な単位と見なされます。
ラジアン （rad）が使用される場合 、角度は 単位円 の 弧 の長さとして表されます。単位円上の長さ1の弧を囲む角度は1ラジアン（≈57.3°） [8] であり、 1 回転（360°）は 2π （≈6.28）ラジアン の角度です [9] 。ラジアンは無次元、つまり1ラジアン = 1であるため、度記号は 1° = π / 180 ≈ 0.0175のような 数学的な定数 と見なすこともできます。 [ 要出典 ]
単位円の定義 角度 θ （シータ）のすべての三角関数は、 O を中心とする単位円を用いて幾何学的に構成できます 。 単位円上の正弦関数（上）とそのグラフ（下） この図では、任意の角度 θの6つの三角関数 が 、 単位円 に関連する点の 直交座標 として表されています 。A 、 B 、 D の y 軸座標はそれぞれ sinθ 、 tanθ 、 cscθ で あり、 A 、 C 、 Eの x 軸横座標は それぞれ cosθ 、 cotθ 、 secθ です 。 三角 よう な 記憶 法 は 、 第 1 象限 4象限までsin、cos、tanが正であること を 示し ます 。 [ 10 ] 6つの三角関数は、ユークリッド平面 上の点の 座標値 として定義できます。これらの点は 単位円 に関連しており 、単位円とは、この座標系の 原点 Oを中心とする 半径1の円 です。直角三角形の定義では、 0 から ラジアン （90°）までの角度の三角関数を定義できますが、 単位円の定義では、三角関数の定義域をすべての正負の実数に拡張できます。 π 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}}
x 軸の正の半分を 角度 θ 回転させて得られる直線をθとします （ θ の場合は 反時計 回り 、θの場合は時計回り ）。この直線は点θで単位円と交差します。 必要に応じて直線 を延長すると 、点θの等式直線と点θで交差し 、 点 θ の 等式直線 と点θで交差します。 点 A における単位円の接線 は y 軸と x 軸 に 垂直 で、点Aと点Xで交差します。これらの点の 座標 は、 θ の任意の実数値に対して、すべての三角関数の値を 次のように与えます。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} θ > 0 , {\displaystyle \theta >0,} θ < 0 {\displaystyle \theta <0} A = ( x A , y A ) . {\displaystyle \mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} }).} L , {\displaystyle {\mathcal {L}},} x = 1 {\displaystyle x=1} B = ( 1 , y B ) , {\displaystyle \mathrm {B} =(1,y_{\mathrm {B} }),} y = 1 {\displaystyle y=1} C = ( x C , 1 ) . {\displaystyle \mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },1).} L , {\displaystyle {\mathcal {L}},} D = ( 0 , y D ) {\displaystyle \mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })} E = ( x E , 0 ) . {\displaystyle \mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0).}
三角関数 cos と sinは、それぞれ点 A の x 座標値と y 座標値として定義されます 。つまり、 および [11] cos θ = x A {\displaystyle \cos \theta =x_{\mathrm {A} }\quad } sin θ = y A . {\displaystyle \quad \sin \theta =y_{\mathrm {A} }.}
範囲 において 、この定義は直角三角形の定義と一致します。直角三角形の斜辺を単位半径OAとみなすことによります 。 また 、 この式は単位円上の すべての点に対して成立するため 、このコサインとサインの定義は ピタゴラスの定理 も満たします。 0 ≤ θ ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2} x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} P = ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} =(x,y)} cos 2 θ + sin 2 θ = 1. {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}
他の三角関数は、単位円に沿って、および として 見つけることができます。 tan θ = y B {\displaystyle \tan \theta =y_{\mathrm {B} }\quad } cot θ = x C , {\displaystyle \quad \cot \theta =x_{\mathrm {C} },} csc θ = y D {\displaystyle \csc \theta \ =y_{\mathrm {D} }\quad } sec θ = x E . {\displaystyle \quad \sec \theta =x_{\mathrm {E} }.}
ピタゴラスの定理と幾何学的証明法を適用することにより、これらの定義は、サインとコサインに関するタンジェント、コタンジェント、セカント、コセカントの定義と一致することが容易に示されます。つまり、 tan θ = sin θ cos θ , cot θ = cos θ sin θ , sec θ = 1 cos θ , csc θ = 1 sin θ . {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.}
三角関数： sin 、 cosine 、 tangent 、 cosecant（点線） 、 secant（点線） 、 cotangent（点線） – アニメーション 角度 の回転は 図形の位置や大きさを変えないため、点 A 、 B 、 C 、 D 、 E は、差が の整数倍である2つの角度に対して同じになります 。したがって、三角関数は 周期 の 周期関数 です。つまり、
任意の角度 θ と任意の 整数 k に対して、等式 とが成り立ちます 。他の4つの三角関数についても同様です。4つの象限における正弦関数、余弦関数、余割関数、正割関数の符号と単調性を観察することで、 が周期的となる最小の値であることがわかります（つまり、はこれらの関数の 基本周期 です ）。しかし、角度 の回転後 、点 B と C は すでに元の位置に戻るため、正接関数と余接関数の基本周期は になります 。つまり、 任意の角度 θ と任意の整数 k に対して、等式とが成り立ちます 。 ± 2 π {\displaystyle \pm 2\pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } sin θ = sin ( θ + 2 k π ) {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)\quad } cos θ = cos ( θ + 2 k π ) {\displaystyle \quad \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)} 2 π {\displaystyle 2\pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } tan θ = tan ( θ + k π ) {\displaystyle \tan \theta =\tan(\theta +k\pi )\quad } cot θ = cot ( θ + k π ) {\displaystyle \quad \cot \theta =\cot(\theta +k\pi )}
代数的値 単位 円 。いくつかの点には、コサインとサイン（この順序で）と、対応する角度（ラジアンと度）がラベル付けされています。 最も重要な角度の代数式は次のとおりです。
sin 0 = sin 0 ∘ = 0 2 = 0 {\displaystyle \sin 0=\sin 0^{\circ }\quad ={\frac {\sqrt {0}}{2}}=0} （ 角度 0 ） （ 直角 ） sin π 6 = sin 30 ∘ = 1 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}} sin π 4 = sin 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}} sin π 3 = sin 60 ∘ = 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}} sin π 2 = sin 90 ∘ = 4 2 = 1 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }={\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}
分子を 連続する非負整数の 平方根として書き、分母を2とすると、値を簡単に覚えることができます。 [12]
このような単純な式は
単純な代数値 次の表は、0度から90度までの15度の倍数の正弦、余弦、正接を示しています。
角度 θ （単位： sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} tan ( θ ) {\displaystyle \tan(\theta )} ラジアン 度 0 {\displaystyle 0} 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} π 12 {\displaystyle {\frac {\pi }{12}}} 15 ∘ {\displaystyle 15^{\circ }} 6 − 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 3 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 5 π 12 {\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}} 75 ∘ {\displaystyle 75^{\circ }} 6 + 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} 6 − 2 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} 未定義
解析における定義 正弦、余弦、正接のグラフ 正弦関数（青）は、 原点を中心とした1周期分、7次 テイラー多項式（ピンク）によって近似されます。 テイラー多項式による余弦の近似のアニメーション。 cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 最初のテイラー多項式とともに p n ( x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}} GHハーディは 1908年の著書 『純粋数学講座』 の中で、単位円による三角関数の定義は、実数で測定できる角度の概念に暗黙的に依存しているため不十分であると指摘した。 [ 説明が必要 ] [13] そのため、現代の解析学では、三角関数は通常、幾何学を参照せずに構築されます。
文献には、三角関数を解析に適した方法で定義するための様々な方法があります。それらには以下が含まれます。
単位円の「幾何学」を用いる。これは、円の弧長（または扇形の面積）を解析的に定式化する必要があります。 [13] 複素変数に特に適したべき 級数を用いる。 [13] [14] 無限積展開を用いる。 [13] 逆三角関数を反転させる。これは、代数関数または有理関数の積分として定義できます。 [13] 微分方程式の解として。 [15]
微分方程式による定義 正弦と余弦は、初期値問題 の唯一の解として定義できます 。 d d x sin x = cos x , d d x cos x = − sin x , sin ( 0 ) = 0 , cos ( 0 ) = 1. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}
再び微分すると、 と となるので、正弦と余弦はどちらも同じ 常微分方程式 の解です
。正弦は y (0)=0 かつ y ′(0)=1の 唯一の解であり、余弦は y (0)=1 かつ y ′(0)=0の 唯一の解です。 d 2 d x 2 sin x = d d x cos x = − sin x {\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x} d 2 d x 2 cos x = − d d x sin x = − cos x {\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x} y ″ + y = 0 . {\displaystyle y''+y=0\,.}
すると、定理として、解は 周期的であり、同じ周期を持つことを証明できます。この周期をと書くことは、幾何 学に依存しない 実数の定義です。 cos , sin {\displaystyle \cos ,\sin } 2 π {\displaystyle 2\pi } π {\displaystyle \pi }
商の定理 を正接に 適用すると 、 正接関数は常微分方程式を満たします。y ( 0)=0 の唯一の解です 。 tan x = sin x / cos x {\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x} d d x tan x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 + tan 2 x , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,} y ′ = 1 + y 2 . {\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}
べき級数展開 基本的な三角関数は、以下のべき級数 展開によって定義できます 。 [17] これらの級数は、三角関数の テイラー級数 または マクローリン級数 としても知られています。
これらの級数の 収束半径 は 無限大です。したがって、正弦関数と余弦関数は、 （定義により）複素平面 全体で 定義され、 正則な複素数値関数である 整関数 （「正弦関数」と「余弦関数」とも呼ばれます）に 拡張 でき ます sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}
項ごとに微分すると、級数によって定義される正弦関数と余弦関数は、前述の微分方程式に従うことがわかります。逆に、微分方程式から導かれる基本的な漸化式からこれらの級数を得ることができます
他の三角関数は整関数の分数として定義されているため、有理型関数、つまり 極 と呼ばれるいくつかの孤立点を除いて複素平面全体で正則な 関数 に拡張できます。ここで、極とは、接線と正接、または 余接と余割の 形の数のことで、 k は任意の整数です ( 2 k + 1 ) π 2 {\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}} k π {\displaystyle k\pi }
他の三角関数の テイラー 級数の係数についても、漸化式を計算することができます。これらの級数は有限の 収束半径 を持ちます。それらの係数は 組合せ論的な 解釈を持ち、 有限集合の 交互順列を列挙します。 [18]
より正確には、
U n 、 n 番目の アップダウン数 、 B n 、 n 番目の ベルヌーイ数 、そして E n 、 n 番目の オイラー数 、 次の級数展開があります。 [19] tan x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ , for | x | < π 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
csc x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 2 n − 1 − 1 ) B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 + 1 6 x + 7 360 x 3 + 31 15120 x 5 + ⋯ , for 0 < | x | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}
sec x = ∑ n = 0 ∞ U 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 + 1 2 x 2 + 5 24 x 4 + 61 720 x 6 + ⋯ , for | x | < π 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
cot x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x − 1 − 1 3 x − 1 45 x 3 − 2 945 x 5 − ⋯ , for 0 < | x | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}
連分数展開 次の 連分数 は複素平面全体で有効です。
[20] sin x = x 1 + x 2 2 ⋅ 3 − x 2 + 2 ⋅ 3 x 2 4 ⋅ 5 − x 2 + 4 ⋅ 5 x 2 6 ⋅ 7 − x 2 + ⋱ {\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}
cos x = 1 1 + x 2 1 ⋅ 2 − x 2 + 1 ⋅ 2 x 2 3 ⋅ 4 − x 2 + 3 ⋅ 4 x 2 5 ⋅ 6 − x 2 + ⋱ {\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}} [ 要出典 ]
tan x = x 1 − x 2 3 − x 2 5 − x 2 7 − ⋱ = 1 1 x − 1 3 x − 1 5 x − 1 7 x − ⋱ {\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}
最後のものは、 πが無理数であるという歴史的に最初の証明 に使用されました。 [21]
に対しては、急速に収束する連分数があります 。 [22] tan ( x ) {\displaystyle \tan(x)}
tan x = 1 + 5 x 2 T 0 + 5 x 2 , T k = ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 5 ) − 4 x 2 ( 4 k + 3 ) + x 2 ( 4 k + 1 ) 1 + x 2 ( 4 k + 9 ) T k + 1 {\displaystyle \tan x=1+{\cfrac {5x^{2}}{T_{0}+5x^{2}}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4x^{2}(4k+3)+{\cfrac {x^{2}(4k+1)}{1+{\cfrac {x^{2}(4k+9)}{T_{k+1}}}}}} 次に 、次の連分数表現は、（漸近的に）1サイクルあたり12.68桁の新しい正しい小数点以下桁数を与えます。 x = 1 {\displaystyle x=1} tan 1 = 1 + 5 T 0 + 5 , T k = ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 ) ( 4 k + 5 ) − 4 ( 4 k + 3 ) + 4 k + 1 1 + 4 k + 9 T k + 1 {\displaystyle \tan 1=1+{\cfrac {5}{T_{0}+5}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4(4k+3)+{\cfrac {4k+1}{1+{\cfrac {4k+9}{T_{k+1}}}}}}
部分分数展開 逆関数を 単純に平行移動したもの を合計した 部分分数展開 として級数表現があり、コタンジェント 関数 と逆関数の極が一致します。 [23]この恒等式は、 ヘルグロッツの トリック
で証明できます 。 [24] (-n ) 次項 と n 次項を
組み合わせると 、絶対収束する 級数になります 。 同様に、セカント関数、コセカント関数、タンジェント関数の部分分数展開が見つかります。 π cot π x = lim N → ∞ ∑ n = − N N 1 x + n . {\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.} π cot π x = 1 x + 2 x ∑ n = 1 ∞ 1 x 2 − n 2 . {\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.} π csc π x = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n x + n = 1 x + 2 x ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 − n 2 , {\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},} π 2 csc 2 π x = ∑ n = − ∞ ∞ 1 ( x + n ) 2 , {\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},} π sec π x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ( n + 1 2 ) 2 − x 2 , {\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},} π tan π x = 2 x ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 2 ) 2 − x 2 . {\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}
無限積展開 正弦の次の無限積は レオンハルト・オイラー によるもので、複素解析において非常に重要である。 [25] これは、上記の の部分分数分解、つまり の対数微分 から得られる 。 [26] このことから、次の式も導かれる。 sin z = z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 π 2 ) , z ∈ C . {\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .} cot z {\displaystyle \cot z} sin z {\displaystyle \sin z} cos z = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 ( n − 1 / 2 ) 2 π 2 ) , z ∈ C . {\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}
cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} とはそれぞれ の実部と虚部です sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} オイラーの公式は 、正弦と余弦を 指数関数 に関連付けます。
この公式は、 x の実数値について一般的に考えられていますが、すべての複素数値に対しても成り立ちます。 e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
証明 ： と とします 。j = 1, 2 に対して 成り立ちます 。 商の法則 から、 が成り立ちます 。したがって、 は定数関数であり、これは f 1 ( x ) = cos x + i sin x , {\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,} f 2 ( x ) = e i x . {\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.} d f j ( x ) / d x = i f j ( x ) {\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)} d / d x ( f 1 ( x ) / f 2 ( x ) ) = 0 {\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0} f 1 ( x ) / f 2 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)} 1 なので、 これは公式を証明しています。 f 1 ( 0 ) = f 2 ( 0 ) = 1. {\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}
次が成り立ちます e i x = cos x + i sin x e − i x = cos x − i sin x . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}
この 線形方程式を 正弦と余弦で解くと、指数関数で表すことができます。 sin x = e i x − e − i x 2 i cos x = e i x + e − i x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}
x が実数の場合 、これは次のように書き直すことができます。 cos x = Re ( e i x ) , sin x = Im ( e i x ) . {\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}
ほとんどの 三角関数の恒等式 は、上記の公式を用いて三角関数を複素指数関数で表し、次に恒等式を用いて 結果を簡略化することで
証明できます e a + b = e a e b {\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}
オイラーの公式は、位相群 の言語を用いて、次のように基本的な三角関数を直接定義するためにも使用できます 。 [27] 単位元複素数の集合は 、コンパクトで連結な位相群であり、実数直線に同相な単位元近傍を持ちます。したがって、位相群として 、同型を介して1次元トーラス群に同型です。 簡単に言えば、 であり、この同型は複素共役を取るまで一意です。 U {\displaystyle U} R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } e : R / Z → U . {\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.} e ( t ) = exp ( 2 π i t ) {\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}
非ゼロの実数 （ 基数 ）に対して、関数 は 群 の同型を定義します 。 の実部と虚部は コサインとサインであり、 は 角度を測定するための基数として使用されます。たとえば、 のとき 、ラジアン単位の測定値と通常の三角関数が得られます。 のとき 、度単位で測定された角度のサインとコサインが得られます a {\displaystyle a} t ↦ e ( t / a ) {\displaystyle t\mapsto e(t/a)} R / a Z → U {\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U} e ( t / a ) {\displaystyle e(t/a)} a {\displaystyle a} a = 2 π {\displaystyle a=2\pi } a = 360 {\displaystyle a=360}
は、導関数 が で正の虚数部を持つ 単位ベクトル
になる唯一の値である ことに注意してください 。この事実は、定数 を定義するために使用できます 。 a = 2 π {\displaystyle a=2\pi } d d t e ( t / a ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)} t = 0 {\displaystyle t=0} 2 π {\displaystyle 2\pi }
積分による定義 解析学における三角関数を定義する別の方法は、積分を用いることです。 [13] [28] 実数 に対して 、 この逆正接関数を定義する を置きます。また、は カール・ワイエルシュトラス に遡る定義 によって定義されます 。 [29] t {\displaystyle t} θ ( t ) = ∫ 0 t d τ 1 + τ 2 = arctan t {\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t} π {\displaystyle \pi } 1 2 π = ∫ 0 ∞ d τ 1 + τ 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}
区間 において 、三角関数は関係 を反転することによって定義されます 。したがって、三角関数 は のグラフ上に 点があり 、正の平方根が取られる によって定義されます。 − π / 2 < θ < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2} θ = arctan t {\displaystyle \theta =\arctan t} tan θ = t , cos θ = ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 , sin θ = t ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}} ( t , θ ) {\displaystyle (t,\theta )} θ = arctan t {\displaystyle \theta =\arctan t}
これは における三角関数を定義します。定義は、 、 、として 、そして となる こと を最初に観察することにより、すべての実数に拡張できます 。したがって 、 と は 連続的に拡張されるので、 となります 。ここで、条件 と は、すべての実数に対して、 周期 を持つ周期関数として正弦関数と余弦関数を定義します 。 ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)} θ → π / 2 {\displaystyle \theta \to \pi /2} t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } cos θ = ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 → 0 {\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0} sin θ = t ( 1 + t 2 ) − 1 / 2 → 1 {\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1} cos θ {\displaystyle \cos \theta } sin θ {\displaystyle \sin \theta } cos ( π / 2 ) = 0 , sin ( π / 2 ) = 1 {\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1} cos ( θ + π ) = − cos ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )} sin ( θ + π ) = − sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )} 2 π {\displaystyle 2\pi }
正弦関数と余弦関数が解析的であるという事実を含む、正弦関数と余弦関数の基本的な性質を証明することで、まず加法の公式を確立することができます。まず、 を代入した後、 と なるので 、 を仮定して が成り立ちます 。特に、 となる極限の場合では が 与えられます
。 したがって、 となり 、 と
なります。 したがって、正弦関数と余弦関数は、4分の1周期 にわたる平行移動によって関連付けられています 。 arctan s + arctan t = arctan s + t 1 − s t {\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}} arctan s + arctan t ∈ ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)} arctan s + arctan t = ∫ − s t d τ 1 + τ 2 = ∫ 0 s + t 1 − s t d τ 1 + τ 2 {\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}} τ → s + τ 1 − s τ {\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}} s → ∞ {\displaystyle s\to \infty } arctan t + π 2 = arctan ( − 1 / t ) , t ∈ ( − ∞ , 0 ) . {\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).} sin ( θ + π 2 ) = − 1 t 1 + ( − 1 / t ) 2 = − 1 1 + t 2 = − cos ( θ ) {\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )} cos ( θ + π 2 ) = 1 1 + ( − 1 / t ) 2 = t 1 + t 2 = sin ( θ ) . {\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).} π / 2 {\displaystyle \pi /2}
関数方程式を用いた定義 さまざまな関数方程式 を用いて三角関数を定義することもでき ます
例えば、 [30] 正弦関数と余弦関数は、 差分公式 と追加の条件を満たす
唯一の 連続関数のペアを形成します。 cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y {\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,} 0 < x cos x < sin x < x for 0 < x < 1. {\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}
複素平面において 複素数 の正弦関数と余弦関数は、実正弦関数、余弦関数、 双曲線関数 で 次のように表すことができます。 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y {\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}
定義域色分け を利用することで 、三角関数を複素数値関数としてグラフ化することができます。グラフからは、複素関数に特有のさまざまな特徴を見ることができます。例えば、正弦関数と余弦関数は、虚数部が大きくなるにつれて有界ではないことがわかります （白色は無限大を表すため）。また、関数が単純な 零点または極を 含むという事実は、色相が各零点または極の周りを正確に1回循環するという事実から明らかです。これらのグラフを対応する双曲線関数のグラフと比較すると、2つの関係が強調されます。 z {\displaystyle z}
周期性と漸近線 正弦関数と余弦関数は 周期 で、周期 は最小の正の周期です。 したがって、余割関数と正割関数 の周期も です。 2 π {\displaystyle 2\pi } sin ( z + 2 π ) = sin ( z ) , cos ( z + 2 π ) = cos ( z ) . {\displaystyle \sin(z+2\pi )=\sin(z),\quad \cos(z+2\pi )=\cos(z).} 2 π {\displaystyle 2\pi }
正弦関数と余弦関数も半周期 で 、 したがって
です。 また、 （ 補角 を 参照 ）。 π {\displaystyle \pi } sin ( z + π ) = − sin ( z ) , cos ( z + π ) = − cos ( z ) {\displaystyle \sin(z+\pi )=-\sin(z),\quad \cos(z+\pi )=-\cos(z)} tan ( z + π ) = tan ( z ) , cot ( z + π ) = cot ( z ) . {\displaystyle \tan(z+\pi )=\tan(z),\quad \cot(z+\pi )=\cot(z).} sin ( x + π / 2 ) = cos ( x ) , cos ( x + π / 2 ) = − sin ( x ) {\displaystyle \sin(x+\pi /2)=\cos(x),\quad \cos(x+\pi /2)=-\sin(x)}
関数は ストリップ に 唯一の零点（ ）を持ちます 。関数は 同じストリップに 2つの零点を持ちます。周期性のため、正弦関数の零点は です。 余弦関数の零点は です。 すべての零点は単純零点であり、両方の関数は それぞれの零点で導関数を持ちます。 sin ( z ) {\displaystyle \sin(z)} z = 0 {\displaystyle z=0} − π < ℜ ( z ) < π {\displaystyle -\pi <\Re (z)<\pi } cos ( z ) {\displaystyle \cos(z)} z = ± π / 2 {\displaystyle z=\pm \pi /2} π Z = { … , − 2 π , − π , 0 , π , 2 π , … } ⊂ C . {\displaystyle \pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}\subset \mathbb {C} .} π 2 + π Z = { … , − 3 π 2 , − π 2 , π 2 , 3 π 2 , … } ⊂ C . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} =\left\{\dots ,-{\frac {3\pi }{2}},-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},\dots \right\}\subset \mathbb {C} .} ± 1 {\displaystyle \pm 1}
正接関数は に単純零点を持ち 、 に垂直漸近線を 持ち、そこでは留数 の単純極を持ちます 。また、周期性のため、零点はすべて の整数倍であり 、極は の奇数倍であり 、すべて同じ留数を持ちます。極は垂直漸近線に対応します。 tan ( z ) = sin ( z ) / cos ( z ) {\displaystyle \tan(z)=\sin(z)/\cos(z)} z = 0 {\displaystyle z=0} z = ± π / 2 {\displaystyle z=\pm \pi /2} − 1 {\displaystyle -1} π {\displaystyle \pi } π / 2 {\displaystyle \pi /2} lim x → π − tan ( x ) = + ∞ , lim x → π + tan ( x ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to \pi ^{-}}\tan(x)=+\infty ,\quad \lim _{x\to \pi ^{+}}\tan(x)=-\infty .}
余接関数は の整数倍に留数1 の単純極を持ち 、 の奇数倍に単純零点を持ちます 。極は垂直漸近線に対応します。 cot ( z ) = cos ( z ) / sin ( z ) {\displaystyle \cot(z)=\cos(z)/\sin(z)} π {\displaystyle \pi } π / 2 {\displaystyle \pi /2} lim x → 0 − cot ( x ) = − ∞ , lim x → 0 + cot ( x ) = + ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}\cot(x)=-\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{+}}\cot(x)=+\infty .}
基本的な恒等式 三角関数には多くの 恒等式が 相互に関連しています。このセクションでは最も基本的な恒等式を取り上げます。その他の恒等式については、「三角関数 の恒等式一覧」を 参照してください。これらの恒等式は、単位円の定義または直角三角形の定義から幾何学的に証明できます（ただし、後者の定義では、区間 [0, π / 2]にない角度には注意が必要です。 「三角関数の恒等式の証明」を 参照してください ）。 微積分 のツールのみを使用する非幾何学的な証明では、上記のオイラーの恒等式の証明と同様に、微分方程式を直接使用することができます。また、オイラーの恒等式を使用して、すべての三角関数を複素指数で表現し、指数関数の性質を利用することもできます。
偶奇性 余弦と正割は 偶関数 です。その他の三角関数は 奇関数 です。つまり、 sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x csc ( − x ) = − csc x sec ( − x ) = sec x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}
周期 すべての三角関数は周期2πの周期関数です 。 これ は 、 π が最小周期で ある正接と余接を除いて、最小周期です。これは、任意の整数 k に対して、
次の式が成り立つことを意味します 。周期性と漸近線を参照してください。 sin ( x + 2 k π ) = sin x cos ( x + 2 k π ) = cos x tan ( x + k π ) = tan x cot ( x + k π ) = cot x csc ( x + 2 k π ) = csc x sec ( x + 2 k π ) = sec x . {\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}
ピタゴラスの恒等式 ピタゴラスの定理は、 ピタゴラスの定理 を三角関数で表したものです。 です 。 または で割ると と となります 。 sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} cos 2 x {\displaystyle \cos ^{2}x} sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} tan 2 x + 1 = sec 2 x {\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x} 1 + cot 2 x = csc 2 x {\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x} sec 2 x + csc 2 x = sec 2 x csc 2 x {\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x}
和と差の公式は、2つの角度の和または差の正弦、余弦、正接を、角度自体の正弦、余弦、正接で展開することを可能にします。これらは、 プトレマイオス にまで遡る議論を用いて幾何学的に導くことができます（ 角度の和と差の恒等式 を参照）。また、 オイラーの公式 を用いて代数的に生成することもできます。
和 sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y , cos ( x + y ) = cos x cos y − sin x sin y , tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}
差 sin ( x − y ) = sin x cos y − cos x sin y , cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y , tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}
2つの角度が等しい場合、和の公式は、 倍角の公式 として知られるより単純な方程式に簡約されます。
sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 tan x 1 + tan 2 x , cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2 cos 2 x − 1 = 1 − 2 sin 2 x = 1 − tan 2 x 1 + tan 2 x , tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}
これらの恒等式は、積和の恒等式 を導くために使用できます 。
と設定することにより （ 半角の公式 を参照）、すべての三角関数は の 有理分数 として表すことができます 。
これ に加えて
、 正接半角置換 があり、これにより三角関数の 積分 と 反微分 の計算が 有理分数の計算に簡約されます。 t = tan 1 2 θ {\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta } θ {\displaystyle \theta } t {\displaystyle t} sin θ = 2 t 1 + t 2 , cos θ = 1 − t 2 1 + t 2 , tan θ = 2 t 1 − t 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}} d θ = 2 1 + t 2 d t , {\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}
微分と反微分 三角関数の微分は 、 正弦関数と余弦関数の微分から 商の法則 を適用することで得られます。次の表の 不定積分 の値は、微分することで確認できます。Cは 積分 定数 です 。
f ( x ) {\displaystyle f(x)} f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} ∫ f ( x ) d x {\textstyle \int f(x)\,dx} sin x {\displaystyle \sin x} cos x {\displaystyle \cos x} − cos x + C {\displaystyle -\cos x+C} cos x {\displaystyle \cos x} − sin x {\displaystyle -\sin x} sin x + C {\displaystyle \sin x+C} tan x {\displaystyle \tan x} sec 2 x {\displaystyle \sec ^{2}x} ln | sec x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x\right|+C} csc x {\displaystyle \csc x} − csc x cot x {\displaystyle -\csc x\cot x} ln | csc x − cot x | + C {\displaystyle \ln \left|\csc x-\cot x\right|+C} sec x {\displaystyle \sec x} sec x tan x {\displaystyle \sec x\tan x} ln | sec x + tan x | + C {\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C} cot x {\displaystyle \cot x} − csc 2 x {\displaystyle -\csc ^{2}x} − ln | csc x | + C {\displaystyle -\ln \left|\csc x\right|+C}
注： の積分は と書くこともできますし 、 の積分は と 書くこともできます。 ここ で は 逆双曲正弦 です 。 0 < x < π {\displaystyle 0<x<\pi } csc x {\displaystyle \csc x} − arsinh ( cot x ) , {\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),} sec x {\displaystyle \sec x} − π / 2 < x < π / 2 {\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2} arsinh ( tan x ) , {\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),} arsinh {\displaystyle \operatorname {arsinh} }
あるいは、「余関数」の微分は、三角関数の恒等式と連鎖律を用いて求めることができます。
d cos x d x = d d x sin ( π / 2 − x ) = − cos ( π / 2 − x ) = − sin x , d csc x d x = d d x sec ( π / 2 − x ) = − sec ( π / 2 − x ) tan ( π / 2 − x ) = − csc x cot x , d cot x d x = d d x tan ( π / 2 − x ) = − sec 2 ( π / 2 − x ) = − csc 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}
逆関数 三角関数は周期関数であり、したがって 単射で はないため、厳密に言えば 逆関数 は存在しません。しかし、三角関数が 単調で ある各区間では逆関数を定義することができ、これにより逆三角関数は 多価関数 として定義されます。真の逆関数を定義するには、関数が単調である区間に定義域を制限し、したがってこの区間から関数の像に 単射となる必要があります。この区間の一般的な選択は 主値 の集合と呼ばれ 、次の表に示されています。通常、逆三角関数は関数名またはその略語の前に接頭辞「arc」を付けて表されます。
関数 定義 定義域 主値の集合 y = arcsin x {\displaystyle y=\arcsin x} sin y = x {\displaystyle \sin y=x} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} − π 2 ≤ y ≤ π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}} y = arccos x {\displaystyle y=\arccos x} cos y = x {\displaystyle \cos y=x} − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} 0 ≤ y ≤ π {\textstyle 0\leq y\leq \pi } y = arctan x {\displaystyle y=\arctan x} tan y = x {\displaystyle \tan y=x} − ∞ < x < ∞ {\displaystyle -\infty <x<\infty } − π 2 < y < π 2 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}} y = arccot x {\displaystyle y=\operatorname {arccot} x} cot y = x {\displaystyle \cot y=x} − ∞ < x < ∞ {\displaystyle -\infty <x<\infty } 0 < y < π {\textstyle 0<y<\pi } y = arcsec x {\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x} sec y = x {\displaystyle \sec y=x} x < − 1 or x > 1 {\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1} 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π 2 {\textstyle 0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}} y = arccsc x {\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x} csc y = x {\displaystyle \csc y=x} x < − 1 or x > 1 {\displaystyle x<-1{\text{ or }}x>1} − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 {\textstyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0}
sin −1 、 cos −1 などの表記は、 arcsin や arccos などによく用いられます。 この表記法を用いると、逆関数が乗法逆関数と混同される可能性があります。「arc」を接頭辞とする表記法はこのような混乱を避けますが、arcsec の「arcsec」は「 arcsecond 」と混同される可能性があります。
正弦や余弦と同様に、逆三角関数も無限級数で表すことができます。また、 複素対数 で表すこともできます。
応用
三角形の角度と辺 このセクションでは、 A 、 B 、 C は 三角形の3つの（内角）角を表し、 a 、 b 、 c はそれぞれの対辺の長さを表します。これらは、関係する三角関数によって名付けられた様々な公式によって関連しています。
正弦の法則 正弦定理は、任意の三角形が辺 a 、 b 、 cを持ち、それらの辺 A 、B、Cに対向する角がそれぞれR 、 B 、 C である場合、
次の式が成り立つことを述べています。 ここ で、 Δ は三角形の面積、またはそれと同値で、 R は三角形の 外接半径 です。 sin A a = sin B b = sin C c = 2 Δ a b c , {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}},} a sin A = b sin B = c sin C = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}
これは、三角形を2つの直角三角形に分割し、上記の正弦の定義を用いることで証明できます。正弦定理は、2つの角度と1つの辺がわかっている場合、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。これは、 2つの角度と到達可能な閉距離を測定することで未知の距離を決定する技術である三角測量でよく見られる 状況です。
余弦定理 余弦定理（余弦の公式または余弦定理とも呼ばれる）は、ピタゴラスの定理 の拡張です 。 または、それと同値で、 c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C , {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,} cos C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b . {\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}
この式では、 C の角は 辺 c の反対側にあります。この定理は、 三角形を2つの直角三角形に分割し、 ピタゴラスの定理を用いることで証明できます
余弦定理は、2辺とそれらの間の角度がわかっている場合、三角形の1辺を決定するために使用できます。また、すべての辺の長さがわかっている場合は、角度の余弦（および角度自体）を求めるために使用できます。
接線の定理 接線の法則は、次のようになります 。 tan A − B 2 tan A + B 2 = a − b a + b {\displaystyle {\frac {\tan {\frac {A-B}{2}}}{\tan {\frac {A+B}{2}}}}={\frac {a-b}{a+b}}}
余接の法則 s が三角形の半周 ( a + b + c )/2 、 r が三角形の 内接 円の半径である場合 、 rs は三角形の面積です。したがって、 ヘロンの公式は 、次のことを意味します
。
r = 1 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}} 。
余接の法則は次を意味します。 [31] したがって、 cot A 2 = s − a r {\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\frac {s-a}{r}}} cot A 2 s − a = cot B 2 s − b = cot C 2 s − c = 1 r . {\displaystyle {\frac {\cot {\dfrac {A}{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\dfrac {B}{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\dfrac {C}{2}}}{s-c}}={\frac {1}{r}}.}
周期関数 リサージュ 曲線は 、三角法に基づく関数で形成される図形です。 倍音の数が増える 方形波 の 加法合成 のアニメーション 正弦波基底関数（下）は、加算すると鋸歯状波（上）を形成できます。すべての基底関数は鋸歯状の節に節を持ち、基本波（ k = 1 ）を除くすべての基底関数には追加の節があります。k が 大きい ときに鋸歯状の周りで見られる振動は、 ギブス現象 と呼ばれます。 三角関数は物理学においても重要です。例えば、正弦関数と余弦関数は 単振動 を記述するために使用されます。単振動は、バネに取り付けられた質量の動きや、小さな角度では弦で吊るされた質量の振り子運動など、多くの自然現象をモデル化します。正弦関数と余弦関数は、 等速円運動 の1次元投影です。
三角関数は、一般的な周期関数 の研究にも有用であることが証明されています 。周期関数の特徴的な波形は、音波や光波などの繰り返し現象をモデル化するのに役立ちます 。 [ 32]
かなり一般的な条件下では、周期関数 f ( x ) は、 フーリエ級数 における正弦波または余弦波の和として表すことができます 。 [33] 正弦または余弦の 基底関数を φ k で表すと 、周期関数 f ( t ) の展開は次のようになります。 f ( t ) = ∑ k = 1 ∞ c k φ k ( t ) . {\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}
例えば、 方形波は フーリエ級数 として表すことができます f square ( t ) = 4 π ∑ k = 1 ∞ sin ( ( 2 k − 1 ) t ) 2 k − 1 . {\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}
右上の矩形波のアニメーションでは、わずか数項ですでにかなり良い近似値が得られていることがわかります。 鋸歯状波 の展開におけるいくつかの項の重ね合わせは下図に示されています。
歴史 三角法の初期の研究は古代にまで遡りますが、今日使用されている三角関数は中世に開発されました。 弦関数は、 ニカイア の ヒッパルコス （紀元前180～125年）と ローマ帝国エジプト の プトレマイオス （紀元90～165年）によって定義されました 。正弦関数と 余弦 関数（1 - 余弦）は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を経て、 グプタ朝時代の インド天文学 （ アーリヤバーティーヤ 、 スーリヤ・シッダーンタ ）で使用されていた jyā 関数と koti-jyā 関数と密接に関連しています。 [34] （ アーリヤバーターの正弦表 を参照）。
現在使用されている6つの三角関数はすべて 、9世紀までに イスラム数学 で知られており、三角形を 解く ために使用される 正弦定理も同様でした [35] アル・フワーリズミー （780年頃-850年）は正弦と余弦の表を作成しました。860年頃、 ハバシュ・アル・ハスブ・アル・マルワズィーは 正接と余接を定義し、それらの表を作成しました。 [36] [37] ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハラニー・アル・バッターニー （853年-929年）は、正接と余接の逆関数を定義し、1度から90度までの各度数に対する最初の余接表を作成しました。 [37] 三角関数は後に、 オマール・ハイヤーム 、 バースカラ2世 、 ナーシル・ッディーン・トゥースィー 、 ジャムシード・アル＝カーシー （14世紀）、 ウルグ・ベク （14世紀）、 レギオモンタヌス （1464年）、 レティクス 、そしてレティクスの弟子である ヴァレンティヌス・オト などの数学者によって研究されました。
サンガマグラマのマダヴァ （ 1400年頃）は、 無限級数を 用いた三角関数の 解析 において初期の進歩を遂げました。 [38] （ マダヴァ級数 と マダヴァの正弦表を 参照）
正接関数は、 1467年に ジョヴァンニ・ビアンキーニ によって、恒星座標の計算をサポートするために作成された三角法の表によってヨーロッパにもたらされました。 [39]
タンジェント と セカントという 用語は、 デンマークの数学者 トーマス・フィンケ が著書 『幾何図形』 （1583年）で初めて導入しました。 [40]
17世紀フランスの数学者 アルベール・ジラールは 著書 『三角法』の中で、 sin 、 cos 、 tan という略語を初めて出版した 。 [41]
1682年に発表された論文で、 ゴットフリート・ライプニッツは sin x が x の 代数関数 ではない ことを証明しました 。 [42] 直角三角形 の辺の比として定義され 、したがって 有理関数 のように見えますが、ライプニッツの結果は、それらが実際にはその議論の 超越関数で あることを確立しました。円関数を代数式に同化するという課題は、オイラーによって『 無限の解析入門 』（1748年）で達成されました。彼の方法は、正弦関数と余弦関数が、それぞれ 指数 級数の偶数項と奇数項から形成される 交代級数 であることを示すことでした。彼は「 オイラーの公式 」と、ほぼ現代的な略語（ sin 、 cos 、 tang 、 cot 、 sec 、 cosec ）を提示しました。 [34]
歴史的には一般的でしたが、現在ではほとんど使われていない関数がいくつかあります。例えば、 弦 、 正弦（初期の表 [34] に登場 ）、半 正弦 、 被覆正弦 [43] 、 半正接（半角の正接）、および 余弦です 。 三角関数の恒等式の一覧は 、これらの関数間の関係をさらに示しています。
crd θ = 2 sin 1 2 θ , vers θ = 1 − cos θ = 2 sin 2 1 2 θ , hav θ = 1 2 vers θ = sin 2 1 2 θ , covers θ = 1 − sin θ = vers ( 1 2 π − θ ) , exsec θ = sec θ − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {crd} \theta &=2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {vers} \theta &=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {hav} \theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {vers} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {covers} \theta &=1-\sin \theta =\operatorname {vers} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -\theta {\bigr )},\\[5mu]\operatorname {exsec} \theta &=\sec \theta -1.\end{aligned}}}
歴史的に、三角関数は、対数正弦、対数余弦、対数正接、対数余弦、対数正接、対数正接、対数余弦などの複合関数において、 対数 と組み合わせられることが多かったです。 [44] [45] [46] [47]
語源 正弦（sine ）という語 は [48] 、 ラテン語の sinus （「曲げる、湾」という意味）に由来し、より具体的には「 トーガ の上部の垂れ下がった襞 」（「衣服の胸元」）を意味します。これは、 12世紀に アル・バタニ と アル・フワーリズミーが 中世ラテン語 に翻訳した際に、アラビア語の jaib （「ポケット」または「襞」の意味）の翻訳として選ばれました。 [49]この語源は、アラビア語の jyb （ جيب ） という表記の誤読です。jybは サンスクリット語のjīvā（ジーヴァー）の 音訳に由来し、 jīvāは同義語の jyā （サンスクリット語で正弦を表す標準的な語）と共に「弓弦」と訳されます。これは 古代ギリシャ語の χορδή （弦）から借用されたものです 。 [50]
タンジェントという 言葉は 、直線が 単位半径の円に 接する ことから「接する」という意味のラテン語 tangensに由来し、一方 セカントは 直線が 円を 切る ことから「切る」という意味のラテン語 secansに由来します。 [51]
接頭辞「 co- 」（「コサイン」、「コタンジェント」、「コセカント」）は、 エドマンド・グンター の 『Canon triangulorum』 （1620年） に見られます。この本では、 コサインを sinus complementi （ 補角 の正弦）の略語として定義し、 コタンジェン も同様に定義しています 。 [52] [53]
関連項目
注釈
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外部リンク
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0de1a2399f8c3b723b71c5e24e8f0136fd4bb18)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4b74fe732906b09b6205ecfa81326222ae0320)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8d1437d98b6b4d05d4da50fe2e18bd39a7ff9e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6645779d6fe606694a0ac157fcdee271c7e795)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos xi\sin x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d374fafbe34908c7766b67e4c51797589906940)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590e4a1bbe3ccdb7521fe06a6e5b56e538d4e729)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh yi\sin x\sinh y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1646655eab602e234f42df85cae241ffbb867cf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a94648d4600a711a8851dfaea622a269be4eda5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(xy\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(xy\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(xy)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a627a03bba700c34bee8de20cfa09d78b127716)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d631768e76acdd703625fbcaf9cdf8b8e3e9200f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9eb5a515edf456acce4c943b43121632bef4d27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {crd} \theta &=2\sin {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {vers} \theta &=1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {hav} \theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {vers} \theta =\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[5mu]\operatorname {covers} \theta &=1-\sin \theta =\operatorname {vers} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi -\theta {\bigr )},\\[5mu]\operatorname {exsec} \theta &=\sec \theta -1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a41622d234c91baba564f48637953db4bfe0d6)
