チェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式は、正弦関数と余弦関数に関連する2つの直交多項式の列であり、およびと表記されます。これらはいくつかの同値な方法で定義できますが、その1つは三角関数から始まります。 $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

第一種チェビシェフ多項式 は次のように定義される。 $T_{n}$

$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).$

同様に、第二種チェビシェフ多項式 は次のように定義される。 $U_{n}$

$U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.$

これらの式がの多項式を定義していることは一見して明らかではありませんが、ド・モアブルの公式を使用して示すことができます(以下を参照)。 $\cos \theta$

チェビシェフ多項式 $T$ $n は$ $、 [-1, 1]$ 区間における絶対値が 1 で制限される、可能な限り最大の主係数を持つ多項式です。また、他の多くの特性を持つ「極値」多項式でもあります。^[1]

1952年、コルネリウス・ランチョスは、チェビシェフ多項式が線形システムの解の近似理論において重要であることを示した。 ^[2] $T$ $n$ $($ $x$ $)$ の根（チェビシェフノードとも呼ばれる）は、多項式補間を最適化するためのマッチングポイントとして用いられる。結果として得られる補間多項式は、ルンゲ現象の問題を最小化し、最大ノルムの下で連続関数に対する最良の多項式近似に近い近似値を与える。これは「ミニマックス」基準とも呼ばれる。この近似値は、クレンショウ・カーティス求積法に直接つながる。

これらの多項式はパフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられました。^[3]チェビシェフという名前はTchebycheff、Tchebyshev（フランス語）、Tschebyschow（ドイツ語）と翻字されるため、文字 $Tが使用されています。$

定義

再発の定義

第一種チェビシェフ多項式は再帰関係によって定義される。

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}$

第二種チェビシェフ多項式は再帰関係によって定義される。

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}$ これは、 n=1の規則のみが上記と異なります。

三角関数の定義

第一種および第二種のチェビシェフ多項式は、次式を満たす唯一の多項式として定義される。

$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )$

そして

$U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},$

$n = 0, 1, 2, 3, \dots$ の場合。

これを複素数のべき乗で表すのと同等の方法は、絶対値が1である複素数 $z = a + biが与えられたとき、$

$z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).$

チェビシェフ多項式も三角多項式を学ぶときにこの形で定義することができます。^[4]

が次多項式であることは、がド・モアブルの公式の片辺の実数部であることを観察すればわかる。 $\cos(nx)$ $n$ $\cos(x)$ $\cos(nx)$

$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$

もう一方の辺の実部はおよびの多項式であり、のすべてのべき乗は偶数であるため、恒等式によって置き換えることができます。同様の理由により、は多項式の虚部であり、のすべてのべき乗は奇数であるため、の1つの因数を因数分解すれば、残りの因数を置き換えることでの 1次多項式を作成できます。 $\cos(x)$ $\sin(x)$ $\sin(x)$ $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ $\sin(nx)$ $\sin(x)$ $\sin(x)$ $n-1$ $\cos(x)$

[-1,1]の区間外では、上記の定義は $x$

$T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1,\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1,\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1.\end{cases}}$

可換多項式の定義

チェビシェフ多項式は次の定理によって特徴付けられる: ^[5]

が特性体の係数を持つ単項多項式の族で、すべてのおよびに対してかつとなる場合、単純な変数変換を除けば、すべてのまたはすべてのに対してとなります。 $F_{n}(x)$ $0$ $\deg F_{n}(x)=n$ $F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))$ $m$ $n$ $F_{n}(x)=x^{n}$ $n$ $F_{n}(x)=2\cdot T_{n}(x/2)$ $n$

ペル方程式の定義

チェビシェフ多項式はペル方程式の解として定義することもできます。

$T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1$

環 ^[6]に定義される。したがって、これらはペル方程式の標準的な手法である基本解のべき乗によって生成することができる。 $R[x]$

$T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.$

生成関数

の通常の生成関数は $T_{n}$

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.$

チェビシェフ多項式には他にもいくつかの生成関数がある。指数生成関数は

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\exp }{\Bigl (}{\textstyle t{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}~\!{\bigr )}}{\Bigr )}+{\exp }{\Bigl (}{\textstyle t{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigr )}\\&=e^{tx}\cosh \left({\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}}~\!\right).\end{aligned}}$

2次元ポテンシャル理論と多重極展開に関連する生成関数は

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).$

$U n$ の通常の生成関数は

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},$

そして指数関数は

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}{\biggl (}\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right){\biggr )}.$

2種類のチェビシェフ多項式の関係

第1種および第2種のチェビシェフ多項式は、パラメータおよびを持つルーカス列およびの相補ペアに対応する。 ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ $P=2x$ $Q=1$

${\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}$

それらはまた、相互再帰方程式のペアも満たすことになる：^[7]

${\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}$

これらの2番目の式は、第2種チェビシェフ多項式の再帰定義を使用して次のように変形できます。

$T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.$

この式を繰り返し使用すると、合計式が得られます。

$U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j>0}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j\geq 0}^{n}T_{j}(x)-1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}$

を置き換えての微分公式を使用すると、の微分の再帰関係が得られます。 $U_{n}(x)$ $U_{n-2}(x)$ $T_{n}(x)$ $T_{n}$

$2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots$

この関係は、微分方程式を解くチェビシェフスペクトル法で使用されます。

チェビシェフ多項式に対するトゥランの不等式は次の通りである: ^[8]

${\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}$

積分関係は^[9]^[10]

${\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\[1.5ex]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\sqrt {1-y^{2}}}\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}$

ここで積分は主値として扱われます。

明示的な表現

チェビシェフ多項式の複素数指数定義を用いると、任意の実数に対して有効な以下の式を導くことができる: [ $x$ ^要引用]

${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}{\Big )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{-n}{\Big )}.\end{aligned}}$

両者は同等である理由は、次の通りです。 $\textstyle {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}\!~{\bigr )}{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~{\bigr )}=1$

チェビシェフ多項式の単項式による明示的な形は、ド・モアブルの公式から導かれる。 $x^{k}$

$T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),$

ここで、は複素数の実部を表す。式を展開すると、 $\mathrm {Re}$

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .$

式の実部は、偶数添字に対応する被加数から得られる。とに注目すると、明示的な式が得られる。 $i^{2j}=(-1)^{j}$ $\sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}$

$\cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,$

つまり、

$T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.$

$これは2 F 1$ 超幾何関数として表すことができます。

${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad {\text{ for }}n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad {\text{ for }}n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}$

逆数^[11]^[12]

$x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\equiv n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),$

ここで、合計記号のプライムは、それが現れた場合にの寄与を半分にする必要があることを示します。 $j=0$

二項係数と2の累乗を持つ単項式の和の関連する表現は $T_{n}$

$T_{n}(x)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.$

同様に、超幾何関数で表現することもできます。 $U_{n}$

${\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {n}/{2}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}n>0\\&=(n+1)\,{}_{2}F_{1}{\big (}-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x){\big )}.\end{aligned}}$

プロパティ

対称

${\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x),\\[1ex]U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x).\end{aligned}}$

つまり、偶数次のチェビシェフ多項式は偶対称性を持つため、の偶数べき乗のみが含まれます。奇数次のチェビシェフ多項式は奇対称性を持つため、の奇数べき乗のみが含まれます。 $x$ $x$

根と極値

$どちらの種類のn$ 次チェビシェフ多項式も、区間 $[-1, 1]に$ $n$ 個の異なる単純根（チェビシェフ根）を持ちます。第一種チェビシェフ多項式の根は、多項式補間の節点として用いられるため、チェビシェフ節点と呼ばれることもあります。三角関数の定義と以下の事実を用いて、

$\cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0$

の根は次のようになることが分かります。 $T_{n}$

$x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.$

同様に、の語源は次のとおりです。 $U_{n}$

$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$

区間の極値は次のようになります。 $T_{n}$ $-1\leq x\leq 1$

$x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.$

第一種チェビシェフ多項式のユニークな性質の一つは、区間上のすべての極値が-1または1のいずれかの値を取ることである。したがって、これらの多項式は有限の臨界値を2つしか持たない。これはシャバット多項式の定義特性である。第一種および第二種のチェビシェフ多項式はどちらも、端点に極値を持ち、以下のように表される。 $-1\leq x\leq 1$

${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}$

区間におけるの極値はの値に位置します。これらは、または、、、、つまりが互いに素な数である場合に該当します。 $T_{n}(x)$ $-1\leq x\leq 1$ $n>0$ $n+1$ $x$ $\pm 1$ $\cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)$ $d>2$ $d\;|\;2n$ $0<k<d/2$ $(k,d)=1$ $k$ $d$

具体的には（2cos(2π/n)の最小多項式^[13]^[14]）が偶数のとき： $n$

$T_{n}(x)=1$ 、またはおよびが偶数の場合。にはこのような値が存在します。 $x=\pm 1$ $d>2$ $2n/d$ $n/2+1$ $x$
$T_{n}(x)=-1$ とが奇数の場合。のそのような値が存在します。 $d>2$ $2n/d$ $n/2$ $x$

いつが奇数か: $n$

$T_{n}(x)=1$ 、またはおよびが偶数の場合。にはこのような値が存在します。 $x=1$ $d>2$ $2n/d$ $(n+1)/2$ $x$
$T_{n}(x)=-1$ 、またはが奇数の場合。のそのような値が存在します。 $x=-1$ $d>2$ $2n/d$ $(n+1)/2$ $x$

差別化と統合

多項式の微分は必ずしも簡単ではありません。三角関数の形で多項式を微分すると、次のことが示されます。

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}$

最後の2つの式は、ゼロ除算のため数値的に問題になる可能性がある（⁠0/0⁠ 不定形、具体的にはおよびにおいて。ロピタルの法則により、 $x=1$ $x=-1$

${\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}$

より一般的には、

$\left.{\frac {\mathrm {d} ^{p}T_{n}}{\mathrm {d} x^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,$

これは固有値問題の数値解法に非常に役立ちます。

また、次のものもございます:

${\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,$

ここで、和の記号のプライムは、 $k = 0$ によって寄与される項が現れる場合にその項が半分になることを意味します。

$積分に関しては、 T n$ の 1 次導関数は次のことを意味します。

$\int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}$

そして、導関数を含む第一種多項式の再帰関係は、に対して次の関係を確立する。 $n\geq 2$

$\int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.$

最後の式をさらに操作して、の積分を第 1 種チェビシェフ多項式の関数としてのみ表すことができます。 $T_{n}$

${\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}$

さらに、次のものがあります:

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}$

チェビシェフ多項式の積

第一種チェビシェフ多項式は次の関係を満たす。

$T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,$

これはコサインの積和の公式から簡単に証明できます。

$2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).$

これは既知の漸化式を異なる形で表現したもので、これを用いてすべての偶数または奇数の添字付きチェビシェフ多項式（最小の $m$ の偶奇性に依存する）に対する漸化式を形成し、これらの多項式が偶数または奇数であることを示します。この積展開から、チェビシェフ多項式を評価するためのさらに3つの有用な式を導き出すことができます。 $n=1$ $n=2$

${\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}$

第二種多項式も同様の関係を満たします。

$T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}$

（慣例による定義による）。これらは以下の条件も満たす。 $U_{-1}\equiv 0$

$U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.$

について。この再帰は次のように簡約される。 $m\geq n$ $n=2$

$U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,$

これは、2 で始まるか 3 で始まるかに応じて、偶数または奇数のインデックスを持つ第 2 種チェビシェフ多項式の偶数または奇数を確立します。 $m$

合成と割り切れる性質

との三角関数の定義は、合成または入れ子の性質を暗示している。^[15] $T_{n}$ $U_{n}$

${\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}$

合成の順序は逆にすることができ、その場合多項式関数の族は合成に関して可換半群となる。 $T_{mn}$ $T_{n}$

が奇数の場合、はで割り切れるので、が奇数の場合、はで割り切れることになります。さらに、はで割り切れ、が偶数の場合、はで割り切れます。 $T_{m}(x)$ $x$ $m$ $T_{mn}(x)$ $T_{n}(x)$ $m$ $U_{mn-1}(x)$ $U_{n-1}(x)$ $m$ $T_{n}(x)U_{n-1}(x)$

直交性

とはともに直交多項式の列を形成する。第一種多項式は重みに関して直交する。 $T_{n}$ $U_{n}$ $T_{n}$

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},$

区間 $[-1, 1]$ では次のようになる。

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}$

これは、定義アイデンティティを使用し、とすることで証明できます。 $x=\cos(\theta )$ $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$

同様に、第2種多項式 $U n$ は重みに関して直交する。

${\sqrt {1-x^{2}}}$ 区間 $[-1, 1]$ では次のようになる。

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}$

(この尺度は、正規化定数の範囲内で、ウィグナー半円分布です。) ${\sqrt {1-x^{2}}}\,dx$

これらの直交性は、チェビシェフ多項式がチェビシェフ微分方程式を解くという事実から導かれます。

${\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}$ これらはシュトゥルム・リウヴィル微分方程式である。このような微分方程式の一般的な特徴として、明確な直交解の集合が存在する。（チェビシェフ多項式をこれらの方程式の解として定義する別の方法もある。）

離散直交性条件も満たす： $T_{n}$

$\sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}$

ここではより大きい任意の整数、^[10]であり、はのチェビシェフノード（上記参照）である。 $N$ $\max(i,j)$ $x_{k}$ $N$ $T_{N}(x)$

$x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.$

第二種多項式および、同じチェビシェフノードを持つ任意の整数については、同様の和が存在します。 $N>i+j$ $x_{k}$

$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}$

重み関数がない場合：

$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$

任意の整数に対して、のゼロに基づきます。 $N>i+j$ $N$ $U_{N}(x)$

$y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,$

合計は次のようになります。

$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}$

重み関数なしでも同様です。

$\sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}$

最小限 $\infty$ -ノルム

任意のに対して、次数が1 の係数を持つ多項式(モニック多項式) には次のものがあります。 $n\geq 1$ $n$

$f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)$

区間 $[-1, 1]$ における絶対値の最大値が最小となるものである。

この最大絶対値は次のとおりです。

${\frac {1}{2^{n-1}}}$

この最大値に達するのは次の時刻とちょうど同じです: $|f(x)|$ $n+1$

$x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.$

証拠

が、区間 $[-1, 1]上で絶対値が最大となり、$ $1 / 2$ $n$ $- 1$ 未満となる、最高係数が1の次数多項式であると仮定します。 $w_{n}(x)$ $n$

定義する

$f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)$

$なぜなら、 T n$ の極限点では

${\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}$

中間値定理によれば、 $f n (x)$ は少なくとも $n 個の$ 根を持つ。しかし、これは不可能である。なぜなら $f n (x)は$ $n - 1 次$ 多項式であり、代数の基本定理によれば、最大で $n - 1 個の$ 根を持つからである。

述べる

等振動定理によれば、次数 $\leq n$ のすべての多項式の中で、多項式 $f$ $が [-1, 1]$ 上で $‖ f ‖ \infty$ を最小化するのは、 $|$ $f$ $($ $x$ $i$ $)$ $| = ‖$ $f$ $‖$ $\infty$ $となるような、 -1 \leq$ $x$ $0$ $<$ $x$ $1$ $< \dots <$ $x$ $n$ $+ 1$ $\leq 1$ $の$ 点が $n$ + 2 個ある場合のみです。

もちろん、区間 $[-1, 1]$ 上のヌル多項式はそれ自体で近似でき、 $\infty$ ノルムを最小化します。

ただし、上記では、 $n$ $\geq 1$ の最適な多項式を検索しているため、 $| f | が$ 最大値に達するのは $n + 1$ 回だけです(したがって、前に述べた定理は使用できません)。

より一般的な多項式族の特別なケースとしてのチェビシェフ多項式

チェビシェフ多項式は超球状多項式またはゲーゲンバウアー多項式の特殊なケースであり、超球状多項式またはゲーゲンバウアー多項式自体はヤコビ多項式の特殊なケースです。 $C_{n}^{(\lambda )}(x)$ $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$

${\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\[2ex]U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}$

チェビシェフ多項式もディクソン多項式の特殊なケースです。

$D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,$

$E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,$

特に、のとき、それらはおよびによって関連しています。 $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ $D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)$ $E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)$

その他の特性

$y = T n (x)$ 、またはそれと同等の媒介変数方程式 $y = T n (cos θ) = cos nθ$ 、 $x = cos θ$ で与えられる曲線は、周波数比が $n$ に等しいリサジュー曲線の特殊なケースです。

次の式に似ています:

$T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),$

同様の式は次のようになります。

$T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).$

$x \neq 0$ の場合:

$T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}$

そして：

$x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),$ $これは定義によりx = e iθ$ が成り立つという事実から導かれます。

ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式の間には関係がある

$\sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)T_{n-k}\left(x\right)=\left(n+1\right)P_{n}\left(x\right)$

$\sum _{k=0}^{n}P_{k}\left(x\right)P_{n-k}\left(x\right)=U_{n}\left(x\right)$

これらの恒等式は生成関数と離散畳み込みを用いて証明できる。

チェビシェフ多項式を行列式として

再帰法による定義から、チェビシェフ多項式は、サイズの特殊三角行列の行列式として得られることがわかります。 $k\times k$

$T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}},$ についても同様です。 $U_{k}$

例

第一種

第一種チェビシェフ多項式の最初のいくつかはOEIS :A028297である。

${\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\end{aligned}}$

第二種

第二種チェビシェフ多項式の最初のいくつかはOEIS :A053117である。

${\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\\U_{10}(x)&=1024x^{10}-2304x^{8}+1792x^{6}-560x^{4}+60x^{2}-1\end{aligned}}$

基本セットとして

滑らかでない関数（上） $y = - x 3 H (- x)$ （ $H$ はヘビサイドの階段関数）と（下）そのチェビシェフ展開の5次部分和。7次部分和はグラフの解像度では元の関数と区別がつかない。

適切なソボレフ空間では、チェビシェフ多項式の集合は直交基底を形成するので、同じ空間内の関数は、 $-1 \leq x \leq 1$ 上で、展開によって表されることができる。^[16]

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).$

さらに、前述のように、チェビシェフ多項式は直交基底を形成するため、（とりわけ）係数 $a n$ は内積を適用することで容易に決定できます。この和はチェビシェフ級数またはチェビシェフ展開と呼ばれます。

チェビシェフ級数は変数変換を介してフーリエ余弦級数と関連しているため、フーリエ級数に適用されるすべての定理、恒等式などはチェビシェフ級数にも対応するものがある。^[16]これらの属性には以下が含まれる。

チェビシェフ多項式は完全な直交系を形成します。
チェビシェフ級数は、関数が区分的に滑らかで連続である場合に $f (x)に収束します。滑らかさの要件は、$ $f$ $($ $x$ $)$ とその導関数に有限個の不連続点が存在する限り、ほとんどの場合に緩和できます。
不連続点では、級数は右の限界と左の限界の平均に収束します。

フーリエ級数から受け継がれた定理や恒等式の豊富さにより、チェビシェフ多項式は数値解析の重要なツールとなっている。例えば、スペクトル法で使用される最も一般的な汎用基底関数であり、^[16]連続関数の収束が一般的に速いため三角級数よりも好まれることが多い（ギブスの現象は依然として問題である）。

Chebfunソフトウェアパッケージは、チェビシェフ基底での展開に基づいた関数操作をサポートします。

例1

$log(1 + x)$ のチェビシェフ展開を考えてみましょう。次のように表すことができます。

$\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.$

係数 $a n は$ 、内積を適用するか、離散直交性条件によって求めることができます。内積の場合：

$\int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,$ これにより、次のようになります。 $a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}$

あるいは、近似する関数の内積を評価できない場合、離散直交性条件は近似係数に対してしばしば有用な結果を与える。

$a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),$

ここで $δ ij$ はクロネッカーのデルタ関数であり、 $x kは$ $T$ $N$ $($ $x$ $)の$ $N$ 個のガウス・チェビシェフ零点である。

$x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).$

$任意のN$ に対して、これらの近似係数は、 $x k$ における関数の正確な近似値を与え、それらの点間の誤差は制御されます。正確な係数は $N = \inftyのときに得られ、したがって$ $[-1,1]$ のすべての点において関数を正確に表します。収束速度は関数とその滑らかさに依存します。

これにより、離散コサイン変換を通じて近似係数 $a n を$ 非常に効率的に計算することができます。

$a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).$

例2

別の例を挙げると：

${\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right)^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\[1ex]&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}\left(-1\right)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}$

部分和

次の部分和:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)$

は、様々な関数の近似や微分方程式の解法に非常に有用です（スペクトル法を参照）。係数 $a n$ を決定する一般的な方法は、ガラーキン法のように内積を用いる方法と、補間法に関連する共線法を用いる方法の2つです。

補間関数として、 $($ $N$ $- 1)$ 番目の部分和の $N個の係数は通常、チェビシェフ・ガウス・ロバット$ ^{[17]点（またはロバット格子）上で得られる。これにより誤差が最小となり、一様格子に伴う}ルンゲ現象を回避することができる。この点の集合は、和における最高次多項式の極値と端点に対応し、次式で表される。

$x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.$

チェビシェフ形式の多項式

$N$ 次の任意の多項式は、第一種チェビシェフ多項式で表すことができます。^[10]このような多項式 $p (x)$ は次のようになります。

$p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).$

チェビシェフ形式の多項式は、クレンショウアルゴリズムを使用して評価できます。

チェビシェフ多項式に関連する多項式の族

チェビシェフ多項式と密接に関連する多項式が時々使用される。これらは次のように定義される。^[18] $C_{n}(x)$ $S_{n}(x)$

$C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)$

そして以下を満たす:

$C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).$

AF Horadam はこれらの多項式をVieta–Lucas 多項式と呼び、と表記した。彼はこれらの多項式を Vieta–Fibonacci 多項式と呼び、と表記した。^[19]これらの多項式はすべて、主係数が 1 である。両方の多項式の一覧は、Viète のOpera Mathematica の第 9 章、定理 VI および VII に示されている。^[20]実引数の Vieta–Lucas 多項式と Vieta–Fibonacci 多項式は、のべき乗と、後者の場合は指数のシフトを除けば、虚引数のLucas 多項式 $L$ $n$ とFibonacci 多項式 $F$ $nに等しい。$ $C_{n}(x)$ $v_{n}(x)$ $S_{n}(x)$ $V_{n}(x)$ $i$

第一種および第二種のシフトチェビシェフ多項式は、チェビシェフ多項式と次の関係がある。^[18]

${T}_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad {U}_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).$

$チェビシェフ多項式の偏角が2 x - 1 \in [-1, 1]$ を満たすとき、シフトチェビシェフ多項式の偏角は $x \in [0, 1]$ $を満たす。同様に、一般区間[a, b]$ に対してシフト多項式を定義することもできる。

1990年頃、「第三種」および「第四種」という用語はチェビシェフ多項式に関連して使用されるようになりましたが、これらの用語で表される多項式は、それ以前には翼型多項式という名称で発展していました。JC MasonとGH Elliottによると、「第三種」および「第四種」という用語は、Walter Gautschiが「直交多項式分野の同僚と協議した結果」考案したものです。^[21]第三種チェビシェフ多項式は以下のように定義されます。

$V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)$ 第4種チェビシェフ多項式は次のように定義されます。 $W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),$

ここで。^[21]^{[22]これらは}ディリクレ核と一致する。 $\theta =\arccos x$

翼型の文献では、およびがと表記されます。多項式族、、、は重みに関して直交します。 $V_{n}(x)$ $W_{n}(x)$ $t_{n}(x)$ $u_{n}(x)$ $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$ $V_{n}(x)$ $W_{n}(x)$

$\left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$

はヤコビ多項式に比例し、次の関係がある。^[22] $P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)$

$(\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).$

4つの族はすべて、、、、またはの再発式を満たしますが、、、、、またはが等しいかどうかによって異なります。[ ^21] $p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$ $p_{0}(x)=1$ $p_{n}=T_{n}$ $U_{n}$ $V_{n}$ $W_{n}$ $p_{1}(x)$ $x$ $2x$ $2x-1$ $2x+1$

チェビシェフ多項式の既約因数分解

この詳細について説明するには、まず Vieta-Lucas 多項式と Vieta-Fibonacci 多項式の因数分解を調べると簡単になります。

チェビシェフ多項式の根が与えられれば、その根集合を比較することで、次のことが簡単にわかります。 $x^{n}C_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=x^{2n}+1$ $x^{n}S_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=\sum _{k=0}^{n}x^{2k}.$

右辺の式をの形で表すと、これらの分数の分子と分母、そして結果として分数自体も、のような式の積として表すことができます。ここで、各は原始根です。したがって、が得られます。ここでは番目の円分多項式です。 $x^{2n}+1={\frac {x^{4n}-1}{x^{2n}-1}},$ $\sum _{k=0}^{n}x^{2k}={\frac {x^{2n+2}-1}{x^{2}-1}},$ $\;x-g_{i}$ $g_{i}$ $x^{n}C_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 4n,\;d\nmid 2n}\Phi _{d}(x)$ $x^{n}S_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 2n+2}\Phi _{d}(x),$ $\Phi _{d}(x)$ $d$

あらゆるに対して、次円分多項式に対応する次の一意の多項式が存在し、となることが証明されています。ここではよく知られたオイラーのトーティエント関数です。 $n\geq 3$ $\Phi _{n}(x)$ $\varphi (n)$ $\Psi _{n}(x)$ $\varphi (n)/2$ $x^{\varphi (n)/2}\Psi _{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=\Phi _{n}(x),$ $\varphi (n)$

これらの多項式は、明確に定義されたマッピングを介して円分多項式を取得できるため、円分前多項式と呼ばれることもあります。 $\Psi _{n}(x)$

任意の次数の多項式に適用できるマッピングの明らかな特性は、2 つ以上の多項式の積を個々の多項式の像の積にマッピングすることです。 $P_{n}(x)\rightarrow x^{n}P_{n}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)$ $P_{n}(x)$ $n$

以上のことから、 $C_{n}(x)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 4n,\;d\nmid 2n}\Psi _{d}(x)$ $S_{n}(x)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 2n+2}\Psi _{d}(x).$

チェビシェフ多項式とが次のように因数分解できることが直接的に分かる。 $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$ $T_{n}(x)={\frac {1}{2}}\prod _{d\geq 3,\;d\mid 4n,\;d\nmid 2n}\Psi _{d}(2x)$ $U_{n}(x)=\prod _{d\geq 3,\;d\mid 2n+2}\Psi _{d}(2x).$

多項式の既約性から、多項式も既約性がないことがわかります。 $\Phi _{n}(x)$ $\Psi _{n}(x)$

詳細については^{[23]を参照。}

偶数次修正チェビシェフ多項式

一部のアプリケーションではチェビシェフ多項式に依存していますが、ゼロに根がないことに対応できない場合があり、このような種類のアプリケーションでは標準チェビシェフ多項式を使用できません。均等に終端された受動ネットワークを使用した偶数次チェビシェフフィルタ設計がこの例です。^[24] ただし、偶数次チェビシェフ多項式は、望ましいチェビシェフ等リップル効果を維持しながら、最小の根をゼロに移動するように修正できます。このように修正された多項式にはゼロに根が 2 つ含まれており、偶数次修正チェビシェフ多項式と呼ばれることがあります。偶数次修正チェビシェフ多項式は、標準チェビシェフ多項式と同じ方法でチェビシェフノードから作成できます。

$P_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-C_{i})$

どこ

$P_{N}$ はN次チェビシェフ多項式である
$C_{i}$ i番目のチェビシェフノードである

偶数次修正チェビシェフ多項式の場合、偶数次修正チェビシェフノードを使用して偶数次修正チェビシェフ多項式が構築されます。

$Pe_{N}=\prod _{i=1}^{N}(x-Ce_{i})$

どこ

$Pe_{N}$ はN次の偶数次修正チェビシェフ多項式である
$Ce_{i}$ i番目の偶数次修正チェビシェフノードである

例えば、上記の例の4次チェビシェフ多項式はですが、調べたところ、この多項式には零根は含まれていません。偶数次修正チェビシェフノードから多項式を作成すると、の4次偶数次修正チェビシェフ多項式が作成されます。この多項式には零根が2つ含まれており、零根を必要とするアプリケーションで使用できます。 $X^{4}-X^{2}+.125$ $X^{4}-.828427X^{2}$

参照

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出典

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さらに読む

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外部リンク

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