Probability distribution and special case of gamma distribution
確率論 と 統計学 において 、 自由度 を持つ 分布は、 独立した 標準正規 確率変数の平方和の分布である 。 [2] χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
カイ2乗分布は、 ガンマ分布 および単変量 ウィシャート分布 の特殊なケースです 。具体的には、 （ここで は ガンマ分布の 形状パラメータ、尺度パラメータ）であり、 となります 。 χ k 2 {\displaystyle \chi _{k}^{2}} X ∼ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} X ∼ Gamma ( α = k 2 , θ = 2 ) {\textstyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2)} α {\displaystyle \alpha } θ {\displaystyle \theta } X ∼ W 1 ( 1 , k ) {\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(1,k)}
尺度 カイ2乗分布は、 ガンマ分布 と単変量 ウィシャート分布 の再パラメータ化です 。具体的には、 のとき 、 および となります 。 s 2 χ k 2 {\displaystyle s^{2}\chi _{k}^{2}} X ∼ s 2 χ k 2 {\displaystyle X\sim s^{2}\chi _{k}^{2}} X ∼ Gamma ( α = k 2 , θ = 2 s 2 ) {\textstyle X\sim {\text{Gamma}}(\alpha ={\frac {k}{2}},\theta =2s^{2})} X ∼ W 1 ( s 2 , k ) {\displaystyle X\sim {\text{W}}_{1}(s^{2},k)}
カイ二乗分布は 推論統計 、特に 仮説検定や 信頼区間 の構築 において最も広く用いられる 確率分布の 一つである。 [3] [4] [5] [6] この分布は、より一般的な 非心カイ二乗分布 の特殊なケースである、心 カイ二乗分布 と呼ばれることもある。 [7]
カイ二乗分布は、 観測分布と理論分布の適合度、質的データの分類における 2 つ の 基準の 独立性、そして標本標準偏差から 正規分布の母 標準偏差 を推定するための信頼区間を求める一般的な カイ二乗検定に用いられます。フリードマンの順位分散分析 など、他の多くの統計検定でもこの分布が用いられます 。
定義 Z 1 , ..., Z k が独立した 標準正規 分布に従う確率変数である 場合 、 それらの平方和は 自由度 k のカイ二乗分布に従う。これは通常、次のように表される。 X = ∑ i = 1 k Z i 2 , {\displaystyle X\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},} X ∼ χ 2 ( k ) or X ∼ χ k 2 . {\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}
カイ二乗分布には、 自由度 の数(合計 される
ランダム変数 Z i の数) を指定する正の整数 kという 1 つのパラメーターがあります。
導入 カイ二乗分布は主に仮説検定に用いられ、正規分布を仮定した場合の母分散の信頼区間を求める際にも、ある程度用いられます。 正規分布 や 指数分布 といったより広く知られている分布とは異なり、カイ二乗分布は自然現象の直接的なモデリングにはあまり適用されません。カイ二乗分布は、例えば以下のような仮説検定で用いられます。
これは、 t 検定、分散分析、回帰分析 で使用される t 分布 と F 分布 の定義の構成要素でもあります。
カイ二乗分布が仮説検定で広く使用されている主な理由は、正規分布との関係です。多くの仮説検定では、 t 検定の t 統計量 などの検定統計量が使用されます。これらの仮説検定では、サンプル サイズ n が増加するにつれて、 検定統計量の 標本分布は正規分布に近づきます ( 中心極限定理)。検定統計量 ( t など ) は漸近的に正規分布するため、サンプル サイズが十分に大きい場合、仮説検定に使用される分布は正規分布で近似できます。正規分布を使用した仮説検定はよく理解されており、比較的簡単です。最も単純なカイ二乗分布は、標準正規分布の二乗です。したがって、仮説検定に正規分布を使用できる場合はどこでも、カイ二乗分布を使用できます。
が標準正規分布からサンプリングされたランダム変数で、平均が 、分散がである とします 。 ここで、ランダム変数 について考えます 。ランダム変数の分布は、 カイ二乗分布の例です 。下付き文字の 1 は、この特定のカイ二乗分布が 1 つの標準正規分布のみから構築されていることを示します。単一の標準正規分布を二乗して構築されたカイ二乗分布は、自由度が 1 であると言われています。したがって、仮説検定のサンプル サイズが大きくなると、検定統計量の分布は正規分布に近づきます。正規分布の極端な値の確率が低い (p 値が小さい) のと同様に、カイ二乗分布の極端な値の確率も低くなります。 Z {\displaystyle Z} 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} Z ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim N(0,1)} X = Z 2 {\displaystyle X=Z^{2}} X {\displaystyle X} X ∼ χ 1 2 {\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{1}^{2}}
カイ二乗分布が広く使用されているもう一つの理由は、一般化 尤度比検定 （LRT）の大標本分布として現れることである。 [8] LRTにはいくつかの望ましい特性がある。特に、単純なLRTは一般に帰無仮説を棄却する力が最も高く（ ネイマン・ピアソンの補題 ）、これは一般化LRTの最適性にもつながる。しかし、正規近似とカイ二乗近似は漸近的にしか有効ではない。このため、標本サイズが小さい場合は、正規近似やカイ二乗近似よりも t 分布を使用することが好ましい。同様に、分割表の分析では、標本サイズが小さい場合はカイ二乗近似は不十分であるため、 フィッシャーの正確検定を使用することが好ましい。ラムゼイは、正確な 二項検定は 常に正規近似よりも強力である ことを示している。 [9]
ランカスターは、二項分布、正規分布、カイ二乗分布の関係を以下のように示している。 [10] ド・モアブルとラプラスは、二項分布が正規分布で近似できることを確立した。具体的には、確率変数の漸近正規性を示した。
χ = m − N p N p q {\displaystyle \chi ={\frac {m-Np}{\sqrt {Npq}}}}
ここで 、 は試行における成功の観測数 、成功確率は 、です 。 m {\displaystyle m} N {\displaystyle N} p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
方程式の両辺を二乗すると
χ 2 = ( m − N p ) 2 N p q {\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(m-Np\right)^{2}}{Npq}}}
、、 および を使用すると 、この式は次のように書き直すことができる。 N = N p + N ( 1 − p ) {\displaystyle N=Np+N(1-p)} N = m + ( N − m ) {\displaystyle N=m+(N-m)} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}
χ 2 = ( m − N p ) 2 N p + ( N − m − N q ) 2 N q {\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(m-Np\right)^{2}}{Np}}+{\frac {\left(N-m-Nq\right)^{2}}{Nq}}}
右の式は カール・ピアソン が一般化した次の形式
である。
χ 2 = ∑ i = 1 n ( O i − E i ) 2 E i {\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(O_{i}-E_{i}\right)^{2}}{E_{i}}}}
どこ
χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} = ピアソンの累積検定統計量。これは漸近的に 分布に近づきます。 χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} O i {\displaystyle O_{i}} = タイプの観測数 ; i {\displaystyle i} E i = N p i {\displaystyle E_{i}=Np_{i}} = 型の期待（理論）頻度。これは、 母集団における 型の割合が であるという帰無仮説によって主張される 。 i {\displaystyle i} i {\displaystyle i} p i {\displaystyle p_{i}} n {\displaystyle n} = 表内のセルの数。 [ 要引用 ] 二項分布の結果（コインを投げる）の場合、二項分布は正規分布で近似できます（十分に大きい の場合 ）。標準正規分布の二乗は自由度が 1 のカイ二乗分布であるため、10 回の試行で 1 回表が出るなどの結果の確率は、正規分布を直接使用するか、観測値と期待値の差を正規化した二乗にカイ二乗分布を使用することで近似できます。ただし、多くの問題では二項分布の可能な結果が 2 つ以上含まれており、代わりに 3 つ以上のカテゴリが必要となり、多項分布になります。ド・モアブルとラプラスが二項分布の正規近似を求めて発見したように、ピアソンは多項分布の退化した多変量正規近似を求めて発見しました（各カテゴリの数値を合計すると合計サンプル サイズが固定であると見なされます）。ピアソンは、異なるカテゴリーの観測数間の統計的依存性（負の相関）を注意深く考慮し、カイ二乗分布が多項分布の多変量正規近似から生じることを示しました。 [10] n {\displaystyle n}
確率密度関数 カイ二乗分布の確率密度関数 (pdf) は、 整数 に対して 閉じた形式の値を 持つ ガンマ関数 を
表し ます 。 f ( x ; k ) = { x k / 2 − 1 e − x / 2 2 k / 2 Γ ( k 2 ) , x > 0 ; 0 , otherwise . {\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} Γ ( k / 2 ) {\textstyle \Gamma (k/2)} k {\displaystyle k}
自由度が 1、2、の場合の pdf の導出については、 「カイ 2 乗分布に関連する証明」 を参照してください。 k {\displaystyle k}
累積分布関数 自由度10のカイ2乗確率変数の CDF と裾（1-CDF）に対するチェルノフ境界（ ） k = 10 {\displaystyle k=10} その 累積分布関数は 次のようになります。 ここで 、 は 下側不完全ガンマ関数 であり、 は 正規化ガンマ関数 です。 F ( x ; k ) = γ ( k 2 , x 2 ) Γ ( k 2 ) = P ( k 2 , x 2 ) , {\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma {\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}=P{\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)},} γ ( s , t ) {\displaystyle \gamma (s,t)} P ( s , t ) {\textstyle P(s,t)}
この関数の特殊な場合では 、単純な形を持ち、 これは直接積分することで容易に導出できます。ガンマ関数の整数回帰性 により、他の小さな、あるいは偶数の に対しても 計算が容易になります 。 k = 2 {\displaystyle k=2} F ( x ; 2 ) = 1 − e − x / 2 {\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}} f ( x ; 2 ) = 1 2 e − x / 2 {\textstyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}} F ( x ; k ) {\displaystyle F(x;\,k)} k {\displaystyle k}
カイ二乗累積分布関数の表は広く利用可能であり、この関数は多くの スプレッドシート とすべての 統計パッケージ に含まれています。
とすると 、 CDFの下限と上限の チェルノフ境界が得られる。 [11] の場合 （このCDFが半分より小さい場合をすべて含む）では、 z ≡ x / k {\displaystyle z\equiv x/k} 0 < z < 1 {\displaystyle 0<z<1} F ( z k ; k ) ≤ ( z e 1 − z ) k / 2 . {\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}
同様に、 の場合の裾野は、 z > 1 {\displaystyle z>1} 1 − F ( z k ; k ) ≤ ( z e 1 − z ) k / 2 . {\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}
ガウスの 3 乗をモデル化した CDF の 別の 近似については、 「非心カイ 2 乗分布」 を参照してください。
プロパティ
コクランの定理 以下はコクランの定理の特殊なケースです。
定理。 独立 同一分布（IID）の 標準正規 確率変数 の 場合 、 Z 1 , . . . , Z n {\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}} ∑ t = 1 n ( Z t − Z ¯ ) 2 ∼ χ n − 1 2 {\textstyle \sum _{t=1}^{n}\left(Z_{t}-{\bar {Z}}\right)^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}} Z ¯ = 1 n ∑ t = 1 n Z t . {\textstyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}
[証拠]
証明。 を独立した正規分布する確率変数 のベクトルとし、それらの平均とする 。 ここで、 は 単位行列、 すべて1のベクトルである。
には、 固有値 を持つ 1つの固有ベクトル と、固有値 を持つ （すべて に直交する ） 固有ベクトルが1つずつ存在する。 これらは、 が直交行列となるように選択できる 。また なので 、 となり、 これは主張を証明する。 Z ∼ N ( 0 ¯ , 1 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}({\bar {0}},1\!\!1)} n {\displaystyle n} Z ¯ {\displaystyle {\bar {Z}}} ∑ t = 1 n ( Z t − Z ¯ ) 2 = ∑ t = 1 n Z t 2 − n Z ¯ 2 = Z ⊤ [ 1 1 − 1 n 1 ¯ 1 ¯ ⊤ ] Z =: Z ⊤ M Z {\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}~=~\sum _{t=1}^{n}Z_{t}^{2}-n{\bar {Z}}^{2}~=~Z^{\top }[1\!\!1-{\textstyle {\frac {1}{n}}}{\bar {1}}{\bar {1}}^{\top }]Z~=:~Z^{\top }\!MZ} 1 1 {\displaystyle 1\!\!1} 1 ¯ {\displaystyle {\bar {1}}} M {\displaystyle M} b 1 := 1 n 1 ¯ {\displaystyle b_{1}:={\textstyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}{\bar {1}}} 0 {\displaystyle 0} n − 1 {\displaystyle n-1} b 2 , . . . , b n {\displaystyle b_{2},...,b_{n}} b 1 {\displaystyle b_{1}} 1 {\displaystyle 1} Q := ( b 1 , . . . , b n ) {\displaystyle Q:=(b_{1},...,b_{n})} X := Q ⊤ Z ∼ N ( 0 ¯ , Q ⊤ 1 1 Q ) = N ( 0 ¯ , 1 1 ) {\displaystyle X:=Q^{\top }\!Z\sim {\mathcal {N}}({\bar {0}},Q^{\top }\!1\!\!1Q)={\mathcal {N}}({\bar {0}},1\!\!1)} ∑ t = 1 n ( Z t − Z ¯ ) 2 = Z ⊤ M Z = X ⊤ Q ⊤ M Q X = X 2 2 + . . . + X n 2 ∼ χ n − 1 2 , {\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}~=~Z^{\top }\!MZ~=~X^{\top }\!Q^{\top }\!MQX~=~X_{2}^{2}+...+X_{n}^{2}~\sim ~\chi _{n-1}^{2},}
加法性 カイ二乗分布の定義から、独立カイ二乗変数の和もカイ二乗分布に従うことがわかります。具体的には、が それぞれ自由度 の独立カイ二乗変数である場合、 は 自由 度 の カイ二乗分布に従います。 X i , i = 1 , n ¯ {\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}} k i {\displaystyle k_{i}} i = 1 , n ¯ {\displaystyle i={\overline {1,n}}} Y = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle Y=X_{1}+\cdots +X_{n}} k 1 + ⋯ + k n {\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}
標本平均 次数のiid カイ 2 乗変数 のサンプル平均は、形状 とスケールパラメータ を持つガンマ分布に従って分布します 。 n {\displaystyle n} k {\displaystyle k} α {\displaystyle \alpha } θ {\displaystyle \theta } X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i ∼ Gamma ( α = n k 2 , θ = 2 n ) where X i ∼ χ 2 ( k ) {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha {=}{\tfrac {nk}{2}},\,\theta {=}{\tfrac {2}{n}}\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}
漸近的には、形状パラメータが無限大になると、ガンマ分布は期待値 と分散を 持つ正規分布に収束し 、 標本平均は次の分布に収束します。 α {\displaystyle \alpha } μ = α θ {\displaystyle \mu =\alpha \theta } σ 2 = α θ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \theta ^{2}}
X ¯ → n → ∞ N ( μ = k , σ 2 = 2 k n ) {\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N{\left(\mu {=}k,\,\sigma ^{2}{=}{\tfrac {2k}{n}}\right)}}
中心極限定理 の 代わりに適用しても同じ結果が得られることに注意してください 。この場合、 度のカイ二乗変数ごとに 期待値は 、 その分散 （したがってサンプル平均の分散は ）になり ます。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 2 k {\displaystyle 2k} X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} σ 2 = 2 k n {\textstyle \sigma ^{2}={\tfrac {2k}{n}}}
エントロピ 微分 エントロピーは 、ディガンマ関数 で 与え られます 。 h = ∫ 0 ∞ f ( x ; k ) ln f ( x ; k ) d x = k 2 + ln [ 2 Γ ( k 2 ) ] + ( 1 − k 2 ) ψ ( k 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx\\&={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),\end{aligned}}} ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}
カイ二乗分布は、 および が固定された 確率変量に対する 最大エントロピー確率分布 です。カイ二乗分布はガンマ分布族に属するため、 ガンマの対数モーメントの期待値に適切な値を代入することで導出できます。より基本的な原理に基づく導出については、 十分統計量 のモーメント生成関数 の導出を参照してください 。 X {\displaystyle X} E ( X ) = k {\displaystyle \operatorname {E} (X)=k} E ( ln ( X ) ) = ψ ( k / 2 ) + ln ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}
非中心モーメント 自由度 を持つカイ二乗分布の非心モーメント（生モーメント）は [12] [13]で与えられる。 k {\displaystyle k} E ( X m ) = k ( k + 2 ) ( k + 4 ) ⋯ ( k + 2 m − 2 ) = 2 m Γ ( m + k 2 ) Γ ( k 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{m})&=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)\\[1ex]&=2^{m}{\frac {\Gamma {\left(m+{\frac {k}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}.\end{aligned}}}
キュムラント キュムラント は 、特性関数の対数の べき 級数展開によって簡単に得られます。 キュムラント生成関数 は です 。 κ n = 2 n − 1 ( n − 1 ) ! k {\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k} ln E [ e t X ] = − k 2 ln ( 1 − 2 t ) {\textstyle \ln \operatorname {E} [e^{tX}]=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}
集中 カイ二乗分布は平均値の周囲に強い集中を示す。ローラン・マッサート [14] による標準的な境界は以下の通りである。 一つの帰結として、 が 内のガウス分布乱数ベクトルである場合 、次元が大きくなるにつれて 、ベクトルの長さの二乗が の周りに密集し、 その幅は となる 。 ここで、指数は 内の任意の値に選択できる 。 Pr ( X − k ≥ 2 k x + 2 x ) ≤ e − x {\displaystyle \Pr(X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq e^{-x}} Pr ( k − X ≥ 2 k x ) ≤ e − x {\displaystyle \Pr(k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq e^{-x}} Z ∼ N ( 0 , 1 ) k {\displaystyle Z\sim N(0,1)^{k}} R k {\displaystyle \mathbb {R} ^{k}} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k 1 / 2 + α {\displaystyle k^{1/2+\alpha }} Pr ( ‖ Z ‖ 2 ∈ [ k − 2 k 1 / 2 + α , k + 2 k 1 / 2 + α + 2 k α ] ) ≥ 1 − e − k α {\displaystyle \Pr \left(\left\|Z\right\|^{2}\in \left[k-2k^{1/2+\alpha },\;k+2k^{1/2+\alpha }+2k^{\alpha }\right]\right)\geq 1-e^{-k^{\alpha }}} α {\displaystyle \alpha } R {\displaystyle \mathbb {R} }
のキュムラント生成関数は であり 、その 凸双対は であるので 、標準的な チェルノフ境界 はとなる。 ここで となる 。和界により、この結果は ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題 を証明する際に用いられる 。 [15] χ 2 ( k ) {\displaystyle \chi ^{2}(k)} K ( t ) = − k 2 ln ( 1 − 2 t ) {\textstyle K(t)=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)} K ∗ ( q ) = 1 2 ( q − k + k ln k q ) {\textstyle K^{*}(q)={\frac {1}{2}}\left(q-k+k\ln {\frac {k}{q}}\right)} ln Pr ( X ≥ ( 1 + ε ) k ) ≤ − k 2 ( ε − ln ( 1 + ε ) ) ln Pr ( X ≤ ( 1 − ε ) k ) ≤ − k 2 ( − ε − ln ( 1 − ε ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Pr(X\geq (1+\varepsilon )k)&\leq -{\frac {k}{2}}\left(\varepsilon -\ln(1+\varepsilon )\right)\\\ln \Pr(X\leq (1-\varepsilon )k)&\leq -{\frac {k}{2}}\left(-\varepsilon -\ln(1-\varepsilon )\right)\end{aligned}}} 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon <1} P r ( X ∈ ( 1 ± ε ) k ) ≥ 1 − 2 e − k 2 ( 1 2 ε 2 − 1 3 ε 3 ) {\displaystyle Pr(X\in (1\pm \varepsilon )k)\geq 1-2e^{-{\frac {k}{2}}({\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{3})}}
漸近的性質 ウィルソン・ヒルファティ変換による中央値の近似式（上）と数値四分位点（下）の比較。数値四分位点と近似式との差（ 青 ）と相対差（ 赤 ）（下）。カイ二乗分布では、自由度（丸印）の正の整数のみが意味を持つ。 中心極限定理 によれば 、カイ二乗分布は 有限の平均と分散を持つ独立確率変数の和であるため、 が大きい場合、正規分布に収束します 。多くの実用的用途において、 の場合、 分布は 正規分布 に十分近いため、その差は無視できます。 [16] 具体的には、 の場合、 が無限大に近づくにつれて 、 の分布は標準正規分布に 近づく傾向があります。しかし、 歪度 が で 過剰尖度 が である ため、収束は遅くなります 。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k > 50 {\displaystyle k>50} X ∼ χ 2 ( k ) {\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)} k {\displaystyle k} ( X − k ) / 2 k {\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}} 8 / k {\textstyle {\sqrt {8/k}}} 12 / k {\displaystyle 12/k}
の標本分布は、 の標本分布よりもはるかに速く正規分布に収束します 。 [17]これは 対数変換 によって 非対称性の多くを除去するためです。 [18] ln ( χ 2 ) {\displaystyle \ln(\chi ^{2})} χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}}
カイ二乗分布の他の関数は、より急速に正規分布に収束します。例としては、以下のものがあります。
ならば 、は平均 と単位分散 を持つ正規分布に近似する（1922年、 RAフィッシャー 著、ジョンソンの426ページの（18.23）を参照）。 [5] X ∼ χ 2 ( k ) {\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)} 2 X {\displaystyle {\sqrt {2X}}} 2 k − 1 {\displaystyle {\sqrt {2k-1}}} ならば 、 は平均 と分散で近似的に正規分布する [19]。これは ウィルソン・ヒルファティ変換 として知られている 。ジョンソンの(18.24)、426ページを参照。 [5] X ∼ χ 2 ( k ) {\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)} X / k 3 {\textstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}} 1 − 2 9 k {\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}} 2 9 k . {\displaystyle {\frac {2}{9k}}.} この 正規化変換は、 正規分布の平均値（中央値でもある）から逆変換することで、 一般的に使用される中央値の近似値に直接つながります。 k ( 1 − 2 9 k ) 3 {\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}
、 （ 正規 分布 ） k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } ( χ k 2 − k ) / 2 k → d N ( 0 , 1 ) {\displaystyle (\chi _{k}^{2}-k)/{\sqrt {2k}}~{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,} χ k 2 ∼ χ ′ k 2 ( 0 ) {\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)} （ 非心度パラメータを持つ 非心カイ二乗分布 ） λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} ならば カイ二乗分布に 従う Y ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})} X = lim ν 2 → ∞ ν 1 Y {\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y} χ ν 1 2 {\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}} 特別な場合として、 の場合には カイ二乗分布に従う。 Y ∼ F ( 1 , ν 2 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,} X = lim ν 2 → ∞ Y {\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,} χ 1 2 {\displaystyle \chi _{1}^{2}} ‖ N i = 1 , … , k ( 0 , 1 ) ‖ 2 ∼ χ k 2 {\displaystyle \left\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}(0,1)\right\|^{2}\sim \chi _{k}^{2}} （ k 個の標準正規分布変数の 2乗 ノルムは、 自由度 k のカイ2乗分布である ） かつ ならば 。 （ ガンマ分布 ） X ∼ χ ν 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}\,} c > 0 {\displaystyle c>0\,} c X ∼ Γ ( k = ν / 2 , θ = 2 c ) {\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,} もし そうなら （ カイ分布 ） X ∼ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} X ∼ χ k {\displaystyle {\sqrt {X}}\sim \chi _{k}} の場合 、 は 指数分布 です 。（詳細については ガンマ分布を 参照してください。） X ∼ χ 2 2 {\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}} X ∼ exp ( 1 / 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {exp} (1/2)} の場合 、 は アーラン分布 です 。 X ∼ χ 2 k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{2k}^{2}} X ∼ Erlang ( k , 1 / 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)} もし 、 X ∼ Erlang ( k , λ ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )} 2 λ X ∼ χ 2 k 2 {\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}} （ レイリー分布 ） ならば X ∼ Rayleigh ( 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,} X 2 ∼ χ 2 2 {\displaystyle X^{2}\sim \chi _{2}^{2}\,} もし （ マクスウェル分布 ）ならば X ∼ Maxwell ( 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,} X 2 ∼ χ 3 2 {\displaystyle X^{2}\sim \chi _{3}^{2}\,} もし そうなら （ 逆カイ二乗分布 ） X ∼ χ ν 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu }^{2}} 1 X ∼ I n v - χ ν 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi _{\nu }^{2}\,} カイ2乗分布はタイプIII ピアソン分布の特殊なケースである。 と が 独立であれば （ ベータ分布 ） X ∼ χ ν 1 2 {\displaystyle X\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}\,} Y ∼ χ ν 2 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}\,} X X + Y ∼ Beta ( ν 1 2 , ν 2 2 ) {\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}}{2}})\,} （ 一様分布 ） ならば X ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {U} (0,1)\,} − 2 log ( X ) ∼ χ 2 2 {\displaystyle -2\log(X)\sim \chi _{2}^{2}\,} もし そうなら X i ∼ Laplace ( μ , β ) {\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,} ∑ i = 1 n 2 | X i − μ | β ∼ χ 2 n 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi _{2n}^{2}\,} パラメータ付き一般化正規分布 （バージョン1） に従う 場合 、 [20] X i {\displaystyle X_{i}} μ , α , β {\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta } ∑ i = 1 n 2 | X i − μ | β α ∼ χ 2 n / β 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi _{2n/\beta }^{2}\,} カイ二乗分布は パレート分布の変換である スチューデントt分布は カイ二乗分布の変換である スチューデントのt分布は カイ二乗分布と 正規分布から得られる。 非心 ベータ分布はカイ二乗分布と 非心カイ二乗分布 の変換として得られる。 非心 t分布は 正規分布とカイ二乗分布から得られる。 自由度を持つカイ二乗変数は、 独立した 標準正規 確率変数 の二乗の合計として定義されます。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
が平均ベクトル と順位 共分散行列を持つ 次元のガウス乱数ベクトル である 場合 、 は 自由度 を持つカイ2乗分布に従います。 Y {\displaystyle Y} k {\displaystyle k} μ {\displaystyle \mu } k {\displaystyle k} C {\displaystyle C} X = ( Y − μ ) T C − 1 ( Y − μ ) {\displaystyle X=(Y-\mu )^{\mathsf {T}}C^{-1}(Y-\mu )} k {\displaystyle k}
平均がゼロではない、 統計的に独立した 単位分散のガウス変数 の二乗の合計は、 非心カイ二乗分布 と呼ばれるカイ二乗分布の一般化をもたらします 。
がiid 標準正規確率変数 のベクトルで、 が ランク の 対称 、べき 等行列 である 場合 、 二次形式は 自由度 のカイ二乗分布になります。 Y {\displaystyle Y} k {\displaystyle k} A {\displaystyle A} k × k {\displaystyle k\times k} k − n {\displaystyle k-n} Y T A Y {\displaystyle Y^{\mathsf {T}}\!AY} k − n {\displaystyle k-n}
が正の対角成分を持つ正半正定値共分散行列である 場合 、に対して 、および から 独立な ランダムベクトルで あって 、 かつ [18] Σ {\displaystyle \Sigma } p × p {\displaystyle p\times p} X ∼ N ( 0 , Σ ) {\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )} w {\displaystyle w} p {\displaystyle p} X {\displaystyle X} w 1 + ⋯ + w p = 1 {\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=1} w i ≥ 0 , i = 1 , … , p , {\displaystyle w_{i}\geq 0,i=1,\ldots ,p,}
1 w ~ T Σ w ~ ∼ χ 1 2 . {\displaystyle {\frac {1}{{\tilde {w}}^{\mathsf {T}}\Sigma {\tilde {w}}}}\sim \chi _{1}^{2}.} どこ 。 w ~ = ( w 1 / X 1 , … , w p / X p ) {\displaystyle {\tilde {w}}=(w_{1}/X_{1},\dots ,w_{p}/X_{p})}
カイ二乗分布は、ガウス分布から生じる他の分布とも自然に関連しています。特に、
Y {\displaystyle Y} は F 分布します 、 この場合 、 と は統計的に独立です。 Y ∼ F ( k 1 , k 2 ) {\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})} Y = X 1 / k 1 X 2 / k 2 {\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}} X 1 ∼ χ k 1 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}} X 2 ∼ χ k 2 2 {\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}} と が統計的に独立している 場合 、 となります 。 と が 独立していない場合、 は カイ二乗分布しません。 X 1 ∼ χ k 1 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{k_{1}}^{2}} X 2 ∼ χ k 2 2 {\displaystyle X_{2}\sim \chi _{k_{2}}^{2}} X 1 + X 2 ∼ χ k 1 + k 2 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi _{k_{1}+k_{2}}^{2}} X 1 {\displaystyle X_{1}} X 2 {\displaystyle X_{2}} X 1 + X 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}}
一般化 カイ二乗分布は、 k個 の独立した、平均ゼロ、分散1のガウス分布の平方和として得られます 。この分布の一般化は、他の種類のガウス分布の平方和によって得られます。以下に、そのような分布のいくつかを説明します。
線形結合 が カイ二乗確率変数で、がカイ二乗分布 の特別な場合で ある場合、分布は 一般化カイ二乗分布 の特別な場合となる。この分布の閉じた表現は知られていない。しかし、カイ二乗確率変数の 特性関数の性質 を用いて効率的に近似することができる。 [21] X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} a 1 , … , a n ∈ R > 0 {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}} X = ∑ i = 1 n a i X i {\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}
カイ二乗分布
非心カイ二乗分布 非心カイ二乗分布は、単位分散と非ゼロ 平均を持つ独立したガウス確率変数の二乗の合計から得られます 。
一般化カイ二乗分布 一般化カイ二乗分布は、二次形式 z'Az から得られます。ここで、 z は任意の共分散行列を持つゼロ平均ガウスベクトルであり、 A は任意の行列です。
カイ二乗分布は、 ガンマ分布の速度パラメータ化（または ガンマ分布の尺度パラメータ化）を使用する 点で、 ガンマ分布 の特殊なケースです。ここで、 k は整数です。 X ∼ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} X ∼ Γ ( k 2 , 1 2 ) {\textstyle X\sim \Gamma {\left({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}} X ∼ Γ ( k 2 , 2 ) {\textstyle X\sim \Gamma {\left({\tfrac {k}{2}},2\right)}}
指数分布 もガンマ分布の特殊なケースである ため、 の場合 、 は 指数分布 であることもわかります 。 X ∼ χ 2 2 {\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}} X ∼ exp ( 1 2 ) {\textstyle X\sim \operatorname {exp} \left({\tfrac {1}{2}}\right)}
アーラン 分布 もガンマ分布の特殊なケースであり、 が 偶数の場合 、 は 形状パラメータ とスケールパラメータを持つアーラン分布になります 。 X ∼ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} k {\displaystyle k} X {\displaystyle X} k / 2 {\displaystyle k/2} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}
発生と応用 カイ二乗分布は、推論 統計 において、例えば カイ二乗検定や 分散 の推定など、数多くの応用があります。 スチューデントのt分布 における役割を通じて 、正規分布に従う母集団の平均を推定する問題や 回帰直線の傾きを推定する問題に関与します。 また、F分布 における役割を通じて、 あらゆる 分散分析問題にも関与します。F分布とは、2つの独立したカイ二乗 確率変数 をそれぞれの自由度で割った 比の分布です。
以下は、ガウス分布のサンプルからカイ二乗分布が発生する最も一般的な状況の一部です。
がiid 確率変数 である 場合 、 と なります 。 X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}} N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} ∑ i = 1 n ( X i − X ¯ ) 2 ∼ σ 2 χ n − 1 2 {\textstyle \sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}} X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i {\textstyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} 以下のボックスには、 カイ二乗分布に関連する確率分布を持つ独立したランダム変数 に基づくいくつかの 統計が表示されます。 X i ∼ N ( μ i , σ i 2 ) , i = 1 , … , k {\displaystyle X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,\ldots ,k} 名前 統計 カイ二乗分布 ∑ i = 1 k ( X i − μ i σ i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}} 非心カイ二乗分布 ∑ i = 1 k ( X i σ i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}} カイ分布 ∑ i = 1 k ( X i − μ i σ i ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}} 非心カイ分布 ∑ i = 1 k ( X i σ i ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}
カイ二乗分布は 磁気共鳴画像法 でもよく見られる。 [22]
計算方法
表の χ 2 価値観対 p -値 値 は 、カイ二乗分布において、検定統計量が 少なくとも 同程度に極端な値を示す確率です。したがって、 適切な自由度 （df）における 累積分布関数（CDF）は、この点より も極端でない 値を得る確率を与えるため 、CDF値を1から引くと p 値が得られます。選択された有意水準を下回る低い p 値は、 統計的に有意 であり、すなわち帰無仮説を棄却するのに十分な証拠を示します。有意水準0.05は、有意な結果と有意でない結果を区別する基準としてよく使用されます。 p {\textstyle p}
以下の表は、最初の 10 の自由度
に一致する p 値 の数を示しています。 χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}}
度
自由（DF） χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} 価値 [23] 1 0.004 0.02 0.06 0.15 0.46 1.07 1.64 2.71 3.84 6.63 10.83 2 0.10 0.21 0.45 0.71 1.39 2.41 3.22 4.61 5.99 9.21 13.82 3 0.35 0.58 1.01 1.42 2.37 3.66 4.64 6.25 7.81 11.34 16.27 4 0.71 1.06 1.65 2.20 3.36 4.88 5.99 7.78 9.49 13.28 18.47 5 1.14 1.61 2.34 3.00 4.35 6.06 7.29 9.24 11.07 15.09 20.52 6 1.63 2.20 3.07 3.83 5.35 7.23 8.56 10.64 12.59 16.81 22.46 7 2.17 2.83 3.82 4.67 6.35 8.38 9.80 12.02 14.07 18.48 24.32 8 2.73 3.49 4.59 5.53 7.34 9.52 11.03 13.36 15.51 20.09 26.12 9 3.32 4.17 5.38 6.39 8.34 10.66 12.24 14.68 16.92 21.67 27.88 10 3.94 4.87 6.18 7.27 9.34 11.78 13.44 15.99 18.31 23.21 29.59 p 値
（確率） 0.95 0.90 0.80 0.70 0.50 0.30 0.20 0.10 0.05 0.01 0.001
これらの値はカイ二乗分布の 分位関数 （「逆CDF」または「ICDF」とも呼ばれる）を評価することで計算できます。 [24] 例えば、 p = 0.05 および df = 7の χ2 ICDFは 、上の表のように 2.1673 ≈ 2.17と なります 。1 - p は表の p 値 であることに注意してください。
歴史 この分布は、ドイツの測地学者で統計学者の フリードリヒ・ロベルト・ヘルメルト によって1875年から1876年にかけて発表された論文 [26] で初めて記述されました。彼はそこで正規母集団の標本分散の標本分布を計算しました。そのため、ドイツ語では伝統的に「 ヘルメルト 分布」（Helmert'sche、ヘルメルティアン）または「ヘルメルト分布」と呼ばれていました。
この分布は、適合度の 文脈において イギリスの数学者 カール・ピアソンにより独立に再発見され、 ピアソンのカイ二乗検定 を開発して 1900年に出版された。この検定で算出された値の表は(Elderton 1902)に掲載され、(Pearson 1914, pp. xxxi–xxxiii, 26–28, Table XII)にまとめられている。「カイ二乗」という名称は、結局のところ、ピアソンが 多変量正規分布 の指数をギリシャ文字の カイで省略して − 1 ⁄ 2 χ 2 と書いた ことに由来しており、これは現代の表記法では − 1 ⁄ 2 x T Σ −1 x となる （ Σは 共分散行列 ）。 [27] ただし、「カイ二乗分布」の族というアイデアはピアソンによるものではなく、1920年代のフィッシャーによるさらなる発展として生まれたものである。
参照 カイ分布 尺度逆カイ二乗分布 ガンマ分布 一般化カイ二乗分布 非心カイ二乗分布 ピアソンのカイ二乗検定 縮小カイ二乗統計 ウィルクスのラムダ分布 上のpdfを持つ 修正半正規分布 [28] は で与えられ 、 ここで は フォックス・ライトのプサイ関数 を表す 。 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} f ( x ) = 2 β α / 2 x α − 1 Ψ ( α 2 , γ β ) e − β x 2 + γ x {\displaystyle f(x)={\frac {2\beta ^{\alpha /2}x^{\alpha -1}}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}e^{-\beta x^{2}+\gamma x}} Ψ ( α , z ) = 1 Ψ 1 ( ( α , 1 2 ) ( 1 , 0 ) ; z ) {\displaystyle \Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}{\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)}}
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さらに読む
外部リンク 数学用語の最も古い使用：カイ二乗の項目には簡単な歴史がある イェール大学統計学 101 クラスの、カイ 2 乗適合度検定に関するコースノート。 Mathematica のデモでは、正規分布の Σx² などのさまざまな統計量のカイ二乗標本分布を示しています。 ポケット電卓でカイ2乗分布のCDFと逆CDFを近似する簡単なアルゴリズム カイ二乗分布の値
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \sum _{t=1}^{n}(Z_{t}-{\bar {Z}})^{2}~=~\sum _{t=1}^{n}Z_{t}^{2}-n{\bar {Z}}^{2}~=~Z^{\top }[1\!\!1-{\textstyle {\frac {1}{n}}}{\bar {1}}{\bar {1}}^{\top }]Z~=:~Z^{\top }\!MZ}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75244295aa75ce536257678c26cc1ca3976824f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx\\&={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c33d2d4fcd8983e7ce18623330e3a73ef15c59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{m})&=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)\\[1ex]&=2^{m}{\frac {\Gamma {\left(m+{\frac {k}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b318812179bce25d8a3067152f0b01429438134d)
![{\textstyle \ln \operatorname {E} [e^{tX}]=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6884afdfb79df907845ca7ce5492713bc22f696c)
![{\displaystyle \Pr \left(\left\|Z\right\|^{2}\in \left[k-2k^{1/2+\alpha },\;k+2k^{1/2+\alpha }+2k^{\alpha }\right]\right)\geq 1-e^{-k^{\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07062f35fca43106197f6cdae440c2dab87dac9b)
![{\textstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39b7bd4a293993f0087965fe7f65764a941f40d5)
