RC回路

Electric circuit composed of resistors and capacitors

抵抗‐コンデンサ回路（RC回路）、RCフィルタ、 RCネットワークとも呼ばれるRC回路は、抵抗器とコンデンサで構成される電気回路です。電圧源または電流源で駆動され、それぞれ異なる応答を生成します。1次RC回路は、1つの抵抗器と1つのコンデンサで構成され、最も単純なタイプのRC回路です。

RC回路は、特定の周波数を遮断し、他の周波数を通過させることで信号をフィルタリングするために使用できます。最も一般的なRCフィルタは、ハイパスフィルタとローパスフィルタです。バンドパスフィルタとバンドストップフィルタは通常RLCフィルタを必要としますが、RCフィルタを使用して簡素なフィルタを作成することもできます。

自然な反応

最も単純なRC回路

最も単純な RC 回路は、抵抗値 Rの抵抗器と、容量Cの充電されたコンデンサを単一のループで接続したもので、外部電圧源は使用しません。コンデンサは、蓄積されたエネルギーを抵抗器を通して放電します。図でコンデンサの上部プレートと下部プレートの相対的な電圧をV ( t )とすると、コンデンサの電流と電圧の関係により、コンデンサの上部プレートから流出する電流I ( t )は、 CにV ( t )の負の時間微分を乗じた値になります。キルヒホッフの電流法則によれば、この電流は抵抗器の上部に流入する電流と同じで、オームの法則によればV ( t )/ Rに等しくなります。これにより、指数関数的減少の標準形式に従って並べ替えることができる線型微分方程式が生成されます。 これは、任意の時点での電圧の瞬間的な減少率が、その時点の電圧に比例することを意味します。V ( t )を解くと、漸近的に0 に近づく 指数関数的減少曲線が得られます。ここで、V _0はt = 0の時点でのコンデンサ電圧、eはオイラー数です。 $${\displaystyle \overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{capacitor current}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{resistor current}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t).}$$ $${\displaystyle V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}},}$$

電圧がV ₀ / eまで低下するのに必要な時間はRC時定数と呼ばれ、次式で与えられます^[1]。国際単位系を使用する場合、Rはオーム、Cはファラッド単位なので、τは秒単位になります。どの時間N ·τでも、コンデンサの電荷または電圧は開始値の1/ e ^Nになります。したがって、コンデンサの電荷または電圧が100%で開始すると、1·τでは36.8%、 2·τでは13.5% 、 3·τでは5% 、 4·τでは1.8% 、 5·τ以降では0.7%未満が残ります。 $${\displaystyle \tau =RC.}$$

半減期（t _1/2）は、電荷または電圧が半分に減少するのにかかる時間です。^[2]たとえば、時間1· t _1/2で電荷または電圧の 50% が残り、時間2· t _1/2で 25% が残り、時間3· t _1/2で 12.5% が残り、時間N · t _1/2で1/2 ^Nが残ります。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau .}$$

RC放電計算機

0.000001

1000000

1

1

1

1

1

1

1

.368

36.8

1

0.368

11

1

0.159

1

1

1

1

例えば、1 抵抗1 静電容量は約1 秒の時定数を生み出す。このτは、約159ミリヘルツ、つまり1ラジアン/秒のカットオフ周波数に相当する。コンデンサの初期電圧V _0が1の場合、 1τ （約1 秒または半減期の1.443倍 ）後、コンデンサの電圧は約368 ミリボルトまで放電されます。

 V _C ( 1 τ ) ≈  V ₀の36.8 %  

複素インピーダンス

RC回路の挙動はラプラス領域で解析するのに適しています。この記事の残りの部分では、ラプラス領域の基礎的な理解が必要です。ラプラス領域とは、複素周波数sを用いた周波数領域表現であり、これは（一般に）複素数です。ここで $${\displaystyle s=\sigma +j\omega ,}$$

jは虚数単位を表す: j ² = −1、

σは指数関数的減衰定数であり、

ωは正弦波の 角周波数です。

ラプラス領域で回路方程式を評価する場合、時間依存の回路要素である容量とインダクタンスは、実抵抗ではなく複素インピーダンスを持つ抵抗器のように扱うことができます。抵抗器の複素インピーダンスZ _Rは単にその抵抗値Rに等しい実数値ですが、コンデンサCの複素インピーダンスは $${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{Cs}}.}$$

直列回路

直列RC回路

現在

キルヒホッフの電流法則は、直列回路における電流は両方の要素を流れる電流と必ず等しくなることを意味します。オームの法則によれば、この電流は入力電圧をコンデンサと抵抗の複素インピーダンスの和で割った値に等しくなります。 ${\displaystyle V_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}\\&={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}$

電圧

回路を電圧分圧器として見ると、コンデンサの両端の電圧は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(s)&={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\end{aligned}}}$

抵抗器の両端の電圧は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}(s)&={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}$

伝達関数

入力電圧からコンデンサ両端の電圧までの伝達関数は

${\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.}$

同様に、入力から抵抗器の両端の電圧までの伝達関数は

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

極と零点

どちらの伝達関数も、

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

さらに、抵抗器の両端の電圧の伝達関数には、原点に位置するゼロがあります。

周波数領域の考慮事項

正弦波定常状態は、入力が純粋な正弦波のみで構成されているとみなす複素周波数の特殊なケースです。したがって、定常状態のみに着目する場合、複素周波数方程式では で表される指数関数的減衰成分は無視できます。 を前述の伝達関数に代入するだけで、回路の正弦波ゲインと位相応答が得られます。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle s{=}\sigma {+}j\omega }$ ${\displaystyle s\Rightarrow j\omega }$

得

直列RC回路の振幅と位相伝達関数

2つの要素間の利益の大きさは

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

そして

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

周波数が非常に大きくなると（ω → ∞）、コンデンサは短絡のように動作し、次のようになります。

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

周波数が非常に小さくなると（ω → 0）、コンデンサは開回路のように動作し、次のようになります。

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

ハイパスフィルタまたはローパスフィルタとして動作

これらの極端な周波数における動作は、出力をコンデンサで取ると高周波が減衰し、低周波が通過することを示しています。したがって、このような回路構成はローパスフィルタです。一方、出力を抵抗で取ると高周波が通過し、低周波が減衰するため、このような構成はハイパスフィルタです。

カットオフ周波数

フィルタが通過させる周波数の範囲は帯域幅と呼ばれます。フィルタが信号をフィルタリング前の電力の半分に減衰させる周波数はカットオフ周波数と呼ばれます。このため、回路のゲインを次のように下げる必要があります。

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$。

上記の式を解くと

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

これは、フィルタが元のパワーの半分に減衰する周波数です。

段階

位相角は

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

そして

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

ω → 0の場合:

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

ω → ∞ のとき:

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

入力に対する出力信号の位相シフトは周波数に依存しますが、一般的にゲインの変化ほど重要ではありません。DC （0  Hz ）では、コンデンサ電圧は入力信号電圧と同位相ですが、抵抗器電圧は入力信号電圧に対して90°進んでいます。周波数が上昇すると、コンデンサ電圧は入力信号に対して90°遅れ、抵抗器電圧は入力信号と同位相になります。

位相器表現

ゲインと位相の式を組み合わせると、出力を表す 次の位相器式が作成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

インパルス応答

直列RC回路のインパルス応答

各電圧に対するインパルス応答は、対応する伝達関数の逆ラプラス変換です。これは、インパルス関数またはディラックデルタ関数からなる入力電圧に対する回路の応答を表します。

コンデンサ電圧のインパルス応答は

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

ここでu ( t )はヘヴィサイドステップ関数、τ = RCは時定数である。

同様に、抵抗電圧のインパルス応答は

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

ここでδ ( t )はディラックのデルタ関数である。

時間領域の考慮事項

このセクションでは、ラプラス変換に関する知識を前提としています。

時間領域の挙動を導く最も簡単な方法は、上記のV _CとV _Rの式をラプラス変換することです。ステップ入力（すなわち、t = 0の前はV _in = 0、その後はV _in = V ₁）を仮定します。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

コンデンサ電圧のステップ応答。

抵抗器の電圧ステップ応答。

部分分数展開と逆ラプラス変換により次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V_{1}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=V_{1}\cdot \left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

これらの式は、コンデンサの充電時にコンデンサと抵抗器の両端の電圧を計算するためのものです。放電時には、式は逆になります。これらの式は、 C = ⁠の関係を用いて、電荷と電流の観点から書き直すことができます。質問/V⁠そしてV = IR (オームの法則を)。

したがって、図に示すように、コンデンサの両端の電圧は時間の経過とともにV ₁に近づき、抵抗の両端の電圧は0に近づきます。これは、コンデンサが時間の経過とともに電源電圧から充電され、最終的に完全に充電されるという直感的な考え方と一致しています。

積RCは、 V _CとV _Rが⁠内に到達するまでの時間です。1/e⁠の最終値です。言い換えれば、 RCはコンデンサの両端の電圧がV ₁ ·(1 − ⁠に上昇するのにかかる時間です。1/e⁠ )または抵抗器の両端の電圧がV ₁ ·( ⁠1/eこのRC時定数は、文字タウ（ τ）。

変化率は分数 1 − ⁠1/e⁠ τあたり。したがって、 t = Nτからt = ( N + 1) τに移行すると、電圧はt = Nτでのレベルから最終値に向かって約 63.2% 移動することになります。そのため、コンデンサはτ後に約 63.2% まで充電され、約5 τ後には完全に充電された (>99.3%) と見なされることがよくあります。電圧源が短絡に置き換えられ、コンデンサが完全に充電されると、コンデンサの両端の電圧はtとともにVから0 に向かって指数関数的に低下します。コンデンサはτ後に約 36.8% まで放電され、約5 τ後には完全に放電された (<0.7%) と見なされることがよくあります。回路内の電流Iは、オームの法則により、抵抗器の両端の電圧と同じように動作する。

これらの結果は、回路を記述する微分方程式を解くことによっても導き出すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

最初の方程式は積分係数を使用して解くことができ、2 番目の方程式も簡単に解けます。解はラプラス変換で得られる解とまったく同じです。

インテグレーター

高周波におけるコンデンサの出力を考えてみましょう。

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

これは、コンデンサが充電する時間が不十分であり、電圧が非常に小さいことを意味します。したがって、入力電圧は抵抗器の両端の電圧とほぼ等しくなります。これを理解するには、上記の式を考えてみましょう。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

ただし、ここで述べた頻度条件は、

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

それで

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

それはまさにオームの法則です。

今、

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

それで

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,.}$

したがって、コンデンサ両端の電圧は、高周波の入力電圧の積分器のように動作します。

差別化要因

低周波における抵抗器の出力を考えてみましょう。

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

これは、コンデンサの電圧が電源電圧とほぼ等しくなるまで充電する時間があることを意味します。Iの式をもう一度考えてみましょう。

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

今、

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

したがって、抵抗器の両端の電圧は、低周波数の場合、入力電圧の微分器のように動作します。

積分と微分は、オペアンプの入力とフィードバックループに抵抗器とコンデンサを適切に配置することによっても実現できます(オペアンプ積分器とオペアンプ微分器を参照)。

並列回路

並列RC回路

並列RC回路は、一般的に直列回路ほど注目されません。これは主に、出力電圧V _{outが入力電圧}V _inと等しいためです。その結果、この回路は電圧入力ではなく電流入力のフィルタとして機能します。

複素インピーダンスの場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

これは、コンデンサ電流が抵抗（および電源）電流と90°位相がずれていることを示しています。あるいは、支配的な微分方程式を用いることもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

電流源から電力が供給される場合、並列 RC 回路の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

合成

s内の与えられた有理関数から RC 回路を合成しなければならない場合があります。受動素子で合成を可能にするには、関数は正の実関数でなければなりません。RC 回路として合成するには、すべての臨界周波数（極と零点）が負の実軸上にあり、かつ極と零点がそれぞれ同数ずつ交互に存在する必要があります。さらに、有理関数がアドミタンスではなくインピーダンスを表すと仮定すると、原点に最も近い臨界周波数は極でなければなりません。

この合成は、 LC回路の合成に用いられるフォスター合成またはカウアー合成を改良することで実現できます。カウアー合成の場合、抵抗とコンデンサのラダー回路が形成されます。^[3]

参照

• RC時定数
• RL回路
• LC回路
• RLC回路
• 電気ネットワーク
• エレクトロニクストピックのリスト
• ジョンソン・ナイキスト雑音 § コンデンサの熱雑音–抵抗器とコンデンサによって発生するkTC雑音の導出は次のようになります。

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

• ステップ応答

参考文献

1. ホロウィッツ＆ヒル、1.13ページ。
2. ハンクス、アン; ルッターモーザー、ドナルド. 「一般物理学II​​実験（PHYS-2021）実験ELEC-5：RC回路」（PDF） .
3. バクシ＆バクシ、3-30～3-37ページ

参考文献

• Bakshi, UA; Bakshi, AV, Circuit Analysis - II , Technical Publications, 2009 ISBN 9788184315974。
• ホロウィッツ、ポール、ヒル、ウィンフィールド『エレクトロニクスの芸術』（第3版）、ケンブリッジ大学出版局、2015年ISBN 0521809266。

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