バターワースフィルタ

Type of signal processing filter

バターワースの1930年の論文の周波数応答プロット。^[1]

バターワースフィルタは、通過帯域において可能な限り平坦な周波数応答を持つように設計された信号処理フィルタの一種です。最大平坦振幅フィルタとも呼ばれます。1930年にイギリスの技術者であり物理学者でもあったスティーブン・バターワースが、論文「フィルタ増幅器の理論について」で初めて記述しました。 ^[1]

原著論文

バターワースは、「不可能」と思われていた非常に複雑な数学的問題を解くことで名声を博していました。当時、フィルタ設計には、当時使用されていた理論の限界により、相当な設計経験が必要でした。このフィルタは、発表後30年以上もの間、広く使用されることはありませんでした。バターワースは次のように述べています。

「理想的な電気フィルタは、不要な周波数を完全に除去するだけでなく、必要な周波数に対して均一な感度も持つ必要があります」。

このような理想的なフィルタは実現不可能ですが、バターワースは、適切な値のフィルタ要素の数を増やすことで、より近似値が得られることを示しました。当時のフィルタは通過帯域に大きなリップルを生成し、部品値の選択は大きく影響していました。バターワースは、周波数の関数としてゲイン（つまり、周波数応答の大きさ）が 次のように表されるローパスフィルタを設計できることを示しました。

${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\omega }^{2n}}}},}$

ここで、 はラジアン/秒で表した角周波数、 はフィルタの極数で、パッシブフィルタのリアクタンス素子の数に等しい。カットオフ周波数（電力の半分の点、およそ -3 dBまたは電圧ゲイン 1/ √2 ≈  0.7071）は、𝜔 = 1 ラジアン/秒に正規化されている。 Butterworth は論文では偶数極のフィルタのみを扱っているが、奇数次フィルタは偶数次フィルタの出力に単極フィルタを追加することで作成できる。彼は高次フィルタを、真空管アンプで区切られた 2 極フィルタから構築した。 2、4、6、8、10 極フィルタの周波数応答のプロットは、彼の元のグラフで A、B、C、D、E として示されている。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$

バターワースは2極フィルタと4極フィルタの方程式を解き、後者は真空管 アンプで分離することでカスケード接続が可能になり、インダクタ損失にもかかわらず高次フィルタを構成できることを示しました。1930年当時、モリパーマロイのような低損失コア材料はまだ発見されておらず、空芯オーディオインダクタはむしろ損失が大きいものでした。バターワースは、フィルタの部品定数を調整することでインダクタの巻線抵抗を補正できることを発見しました。

彼は直径1.25インチ、長さ3インチのプラグイン端子付きコイルフォームを使用しました。巻かれたコイルフォーム内には、関連するコンデンサと抵抗器が内蔵されていました。コイルはプレート負荷抵抗器の一部を形成していました。真空管1本につき2極が使用され、後続の真空管のグリッドとはRC結合されていました。

バターワースは、基本的なローパス フィルタを変更して、ローパス、ハイパス、バンドパス、バンドストップの機能を持たせることができることも示しました。

概要

一次ローパスフィルタのボード線図

バターワースフィルタの周波数応答は、通過帯域で最大限に平坦（つまり、リップルがない）で、阻止帯域でゼロに向かってロールオフします。^[2]対数ボード線図で見ると、応答は負の無限大に向かって直線的に傾斜しています。1 次フィルタの応答は、オクターブあたり −6 dB（10倍あたり−20 dB ）でロールオフします（すべての 1 次ローパスフィルタは同じ正規化された周波数応答を持ちます）。2 次フィルタはオクターブあたり −12 dB で減少し、3 次フィルタは −18 dB で減少します。バターワースフィルタは、通過帯域や阻止帯域で非単調なリップルを持つ他のフィルタタイプとは異なり、 で単調に変化する振幅関数を持ちます。 ${\displaystyle \omega }$

チェビシェフI 型/II 型フィルタや楕円フィルタと比較すると、バターワース フィルタはロールオフが遅いため、特定のストップバンド仕様を実装するにはより高い次数が必要になりますが、バターワース フィルタは、チェビシェフ I 型/II 型フィルタや楕円フィルタが実現できるものよりも、通過帯域においてより線形な位相応答を実現します。

例

右の図に示す 3 次ローパス バターワース フィルタ設計の伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}}$

3次ローパスフィルタ（カウアートポロジー）。例えば、=4/3 F、=1 Ω、=3/2 H 、 =1/ 2 Hのとき、このフィルタはカットオフ周波数 =1のバターワースフィルタになります。 ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle R_{4}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{3}}$

バターワースフィルタの簡単な例として、右の図に示す3次ローパス設計があります。ここで、 = 4/3 F、 = 1 Ω、 = 3/2 H、 = 1/2 Hです。 ^[3]コンデンサのインピーダンスを、インダクタのインピーダンスを（複素周波数）とすると、回路方程式からこのデバイスの伝達関数が得られます。 ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle R_{4}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{3}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1/(Cs)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Ls}$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}.}$

周波数応答（ゲイン）の大きさは次のように表される。 ${\displaystyle G(\omega )}$

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}},}$

から得た

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}},}$

そして位相は次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega )).\!}$

3次バターワースフィルタのゲインと群遅延は、 ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

群遅延は、位相シフトの角周波数に対する負の微分として定義され、異なる周波数における位相差によって生じる信号歪みの尺度となります。このフィルタのゲインと遅延は、左側のグラフに示されています。通過帯域と阻止帯域のどちらにおいても、ゲイン曲線にリップルはありません。

右側の2番目のグラフは、伝達関数の絶対値の対数を複素周波数空間にプロットしたものです。この関数は、複素周波数平面の左半分にある3つの極によって定義されます。 ${\displaystyle H(s)}$

3次バターワースフィルタ（=1）の複素周波数空間における伝達関数の対数密度プロット。3つの極は左半平面上の単位半径の円上に位置している。 ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$

これらは、実軸を中心に対称な半径1の円上に配置されます。ゲイン関数は、円を完成させるために右半平面上にさらに3つの極を持ちます。 ${\displaystyle s}$

各インダクタをコンデンサに置き換え、各コンデンサをインダクタに置き換えることで、ハイパス バターワース フィルタが得られます。

バンドパス・バターワースフィルタは、各インダクタに直列にコンデンサ、並列にインダクタを配置して共振回路を形成することで実現されます。新しい部品の値は、対象となる周波数において古い部品と共振するように選択する必要があります。

バンドストップ・バターワースフィルタは、各インダクタに並列にコンデンサ、各コンデンサに直列にインダクタを配置して共振回路を形成することで実現されます。新しい各部品の値は、除去したい周波数において古い部品と共振するように選択する必要があります。

伝達関数

カットオフ周波数 が である1次から5次のバターワースローパスフィルタのゲインのプロット。傾きは20  dB/decadeであることに注意する。ここではフィルタ次数である。 ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

すべてのフィルタと同様に、典型的なプロトタイプはローパス フィルタです。ローパス フィルタはハイパス フィルタに変更することも、他のフィルタと直列に接続してバンドパスフィルタやバンドストップフィルタ、さらにこれらの高次バージョンを形成することもできます。

次バターワースローパスフィルタのゲインは、伝達関数で次のよう に表される。 ${\displaystyle G(\omega )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

ここで、はフィルタの次数、はカットオフ周波数（およそ -3 dB 周波数）、はDC ゲイン（ゼロ周波数でのゲイン）です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle G_{0}}$

が無限大に近づくにつれて、ゲインは矩形関数となり、それ以下の周波数はゲイン で通過し、それを超える周波数は抑制されることがわかります。 の値が小さいほど、カットオフは緩やかになります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle n}$

伝達関数を（ラプラス変換より）で決定したい。 およびは、 におけるラプラス変換の一般的な性質として、であるため、 とすると、 となる。 ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ ${\displaystyle \left|H(s)\right|^{2}=H(s){\overline {H(s)}}}$ ${\displaystyle s=j\omega }$ ${\displaystyle H(-j\omega )={\overline {H(j\omega )}}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {{G_{0}}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}},}$

すると、バターワースフィルタの周波数応答が得られます。 ${\displaystyle s=j\omega }$

この式の極は、半径 の円周上の等間隔の点に現れ、負の実軸の周りに対称である。したがって、安定性のために、伝達関数 は、 の負の実半平面内の極のみを含むように選択される。第極は次のように指定される 。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{c}}$ ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

伝達関数（またはシステム関数）は、これらの極を用いて次のように表される。

${\displaystyle H(s)=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-s_{k}}}=G_{0}\prod _{k=1}^{n}{\frac {\omega _{c}}{s-\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}}}}$。

ここでは数列演算子の積です。分母は のバターワース多項式です。 ${\displaystyle \textstyle {\prod }}$ ${\displaystyle s}$

正規化バターワース多項式

バターワース多項式は上記のように複素形式で表記されることもあるが、通常はや のような複素共役な極対を乗じて実係数で表記される。多項式は と設定することで正規化される 。正規化されたバターワース多項式は、一般的な積の形をとる。 ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{even}}}$

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]\qquad n={\text{odd}}.}$

次の表に、1 次から 10 次までのバターワース多項式の因数を示します (小数点以下 6 桁まで)。

n バターワース多項式の因数 ${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+1.414214s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+0.765367s+1)(s^{2}+1.847759s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.618034s+1)(s^{2}+1.618034s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+0.517638s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.931852s+1)}$ 7 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.445042s+1)(s^{2}+1.246980s+1)(s^{2}+1.801938s+1)}$ 8 ${\displaystyle (s^{2}+0.390181s+1)(s^{2}+1.111140s+1)(s^{2}+1.662939s+1)(s^{2}+1.961571s+1)}$ 9 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0.347296s+1)(s^{2}+s+1)(s^{2}+1.532089s+1)(s^{2}+1.879385s+1)}$ 10 ${\displaystyle (s^{2}+0.312869s+1)(s^{2}+0.907981s+1)(s^{2}+1.414214s+1)(s^{2}+1.782013s+1)(s^{2}+1.975377s+1)}$

1 次から 6 次までのバターワース多項式の因数を次の表に示します (正確)。

n バターワース多項式の因数 ${\displaystyle B_{n}(s)}$ 1 ${\displaystyle (s+1)}$ 2 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)}$ 3 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$ 4 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}s+1)}$ 5 ${\displaystyle (s+1)(s^{2}+\varphi ^{-1}s+1)(s^{2}+\varphi s+1)}$ 6 ${\displaystyle (s^{2}+{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2}}s+1)(s^{2}+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}s+1)}$

ここで、ギリシャ文字のファイ（または）は黄金比を表す。これは無理数であり、二次方程式の解は^{[4] [5]}である。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x^{2}-x-1=0,}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618033988749...}$（OEIS：A001622）

番目のバターワース多項式は、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle B_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k}\,,}$

その係数は再帰式^{[6] [7]で与えられる。} ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}={\frac {\cos(k\gamma )}{\sin((k+1)\gamma )}}}$

そして積の式によって

${\displaystyle a_{k}=\prod _{\mu =1}^{k}{\frac {\cos((\mu -1)\gamma )}{\sin(\mu \gamma )}}\,,}$

どこ

${\displaystyle a_{0}=1\qquad {\text{and}}\qquad \gamma ={\frac {\pi }{2n}}\,.}$

さらに、最初の10個のバターワース多項式の丸められた係数は次のとおりです。 ${\displaystyle a_{k}=a_{n-k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle B_{n}(s)}$

バターワース係数（小数点4桁まで） ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle n}$	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$	${\displaystyle a_{4}}$	${\displaystyle a_{5}}$	${\displaystyle a_{6}}$	${\displaystyle a_{7}}$	${\displaystyle a_{8}}$	${\displaystyle a_{9}}$	${\displaystyle a_{10}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1.4142}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2.6131}$	${\displaystyle 3.4142}$	${\displaystyle 2.6131}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3.2361}$	${\displaystyle 5.2361}$	${\displaystyle 5.2361}$	${\displaystyle 3.2361}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3.8637}$	${\displaystyle 7.4641}$	${\displaystyle 9.1416}$	${\displaystyle 7.4641}$	${\displaystyle 3.8637}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 4.4940}$	${\displaystyle 10.0978}$	${\displaystyle 14.5918}$	${\displaystyle 14.5918}$	${\displaystyle 10.0978}$	${\displaystyle 4.4940}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 5.1258}$	${\displaystyle 13.1371}$	${\displaystyle 21.8462}$	${\displaystyle 25.6884}$	${\displaystyle 21.8462}$	${\displaystyle 13.1371}$	${\displaystyle 5.1258}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 5.7588}$	${\displaystyle 16.5817}$	${\displaystyle 31.1634}$	${\displaystyle 41.9864}$	${\displaystyle 41.9864}$	${\displaystyle 31.1634}$	${\displaystyle 16.5817}$	${\displaystyle 5.7588}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 6.3925}$	${\displaystyle 20.4317}$	${\displaystyle 42.8021}$	${\displaystyle 64.8824}$	${\displaystyle 74.2334}$	${\displaystyle 64.8824}$	${\displaystyle 42.8021}$	${\displaystyle 20.4317}$	${\displaystyle 6.3925}$	${\displaystyle 1}$

正規化されたバターワース多項式は、以下のように任意のローパスフィルタのカットオフ周波数に対する伝達関数を決定するために使用できる。 ${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{B_{n}(a)}}}$、 どこ ${\displaystyle a={\frac {s}{\omega _{c}}}.}$

他のバンドフォームへの変換も可能です。プロトタイプ フィルターを参照してください。

最大限の平坦性

とを仮定すると、ゲインの周波数に関する微分は次のように表される。 ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ ${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle {\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}}$

ゲインは常に正なので、これはすべて単調減少する。したがって、バターワースフィルタのゲイン関数にはリップルがない。ゲインの級数展開は次のように表される。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots }$

言い換えれば、ゲインの2次導関数を除くすべての導関数は においてゼロとなり、「最大平坦性」が実現されます。単調性という要件が通過帯域のみに限定され、阻止帯域におけるリップルが許容される場合、逆チェビシェフフィルタのような、通過帯域において「最大平坦性」を持つバターワースフィルタよりも平坦な、同じ次数のフィルタを設計することが可能です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega =0}$

高周波ロールオフ

再び と仮定すると、 が大きい場合のゲインの対数の傾きは ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n.}$

したがって、デシベルでは、高周波ロールオフは 20  dB/ディケード、または 6  dB/オクターブになります (電力は電圧ゲインの 2 乗に比例するため、係数 20 が使用されます。20対数規則を参照してください)。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

最小注文数

必要最小限の要素数でバターワースフィルタを設計するには、バターワースフィルタの最小次数は次のように計算できます。^[8]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {\log {{\bigr (}{\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}{\bigr )}}{2\log {(\omega _{s}/\omega _{p})}}}\right\rceil }$

どこ：

${\displaystyle \omega _{p}}$およびは通過帯域周波数と、その周波数における減衰量（dB）です。 ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$およびはストップバンド周波数と、その周波数での減衰量（dB）です。 ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$最小の極数、つまりフィルタの次数です。

${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$天井関数を表します。

非標準カットオフ減衰

バターワースフィルタのカットオフ減衰量は通常 -3.01 dB と定義されます。カットオフ周波数で異なる減衰量を使用したい場合は、各極に以下の係数を適用します。この場合、極は円周上に残りますが、半径は1ではなくなります。^[8]カットオフ減衰量式は、ページ上部に記載されているバターワース定義式を代数的に操作することで導出できます。^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}\times (10^{\alpha /10}-1)^{{-1}/{2n}}&\qquad {\text{For 0}}\leq \alpha <\infty \end{aligned}}}$$

どこ：

${\displaystyle p_{A}}$希望するカットオフ減衰を設定するために再配置されたポールです。

${\displaystyle p_{1}}$は単位円上にある -3.01 dB カットオフ ポールです。

${\displaystyle \alpha }$カットオフ周波数における希望の減衰量（dB 単位、1 dB、10 dB など）です。

${\displaystyle n}$極の数、つまりフィルターの次数です。

フィルタの実装と設計

線形アナログフィルタを実装するためには、いくつかの異なるフィルタトポロジーが利用可能です。パッシブ実現で最もよく使われるトポロジーはCauerトポロジーであり、アクティブ実現で最もよく使われるトポロジーはSallen-Keyトポロジーです。

カウアー位相幾何学

カウアー位相を用いたバターワースフィルタ

カウアートポロジーは、受動部品（シャントコンデンサと直列インダクタ）を用いて線形アナログフィルタを実現する。与えられた伝達関数を持つバターワースフィルタは、カウアー1型を用いて実現できる。k番目の要素は^[10]で与えられる。

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{odd}}}$

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k={\text{even}}.}$

フィルタは必要に応じて直列インダクタから始めることができます。その場合、L _kはk の奇数、C _kはkの偶数となります。これらの式は、 L _kとC _{k の}両方をg _kとすることで組み合わせることができます。つまり、g _kはイミタンスをsで割った値です。

${\displaystyle g_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]\qquad k=1,2,3,\ldots ,n.}$

_{これらの式は、ω c} = 1の両端終端フィルタ（つまり、信号源インピーダンスと負荷インピーダンスがともに1）に適用されます。このプロトタイプフィルタは、他のインピーダンス値と周波数に対してもスケーリング可能です。片端終端フィルタ（つまり、理想的な電圧源または電流源で駆動されるフィルタ）の場合、素子値は^[3]で与えられます。

${\displaystyle g_{j}={\frac {a_{j}a_{j-1}}{c_{j-1}g_{j-1}}}\qquad j=2,3,\ldots ,n}$

どこ

${\displaystyle g_{1}=a_{1}}$

そして

${\displaystyle a_{j}=\sin \left[{\frac {(2j-1)}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n}$

${\displaystyle c_{j}=\cos ^{2}\left[{\frac {j}{2n}}\pi \right]\qquad j=1,2,3,\ldots ,n.}$

電圧駆動フィルタは直列素子から、電流駆動フィルタはシャント素子から始める必要があります。これらの形式は、ダイプレクサやマルチプレクサの設計に役立ちます。^[3]

サレン・キー位相

サレン・キー位相

Sallen -Keyトポロジーは、能動部品と受動部品（非反転バッファ、通常はオペアンプ、抵抗、コンデンサ）を用いて線形アナログフィルタを実装します。各Sallen-Key段は共役極対を実装し、フィルタ全体はすべての段を直列にカスケード接続することで実装されます。実極が存在する場合（が奇数の場合）、通常はRC回路として別途実装し、能動段とカスケード接続する必要があります。 ${\displaystyle n}$

右に示す2次サレン・キー回路の伝達関数は次のように表される。

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}.}$

分母がバターワース多項式の2次項のいずれかであることを望みます。 と仮定すると、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle \omega _{c}=1}$

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}$

そして

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=-2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right).}$

これにより、自由に選択できる 2 つの未定義のコンポーネント値が残ります。

1つのオペアンプのみを使用した3次および4次のサレン・キートポロジーのバターワースローパスフィルタは、ヒュールスマンによって説明されています。 ^{[11] [12]}また、さらに高次の単一アンプバターワースフィルタは、ジュリシッチらによって提供されています。^[13]

デジタル実装

バターワースフィルタなどのデジタルフィルタの実装は、多くの場合、双一次変換法または整合Z変換法に基づいています。これらは、アナログフィルタ設計を離散化する2つの異なる手法です。バターワースフィルタなどの全極フィルタの場合、整合Z変換法はインパルス不変法と同等です。高次になると、デジタルフィルタは量子化誤差の影響を受けやすくなるため、多くの場合、カスケード接続された双二次セクションと、奇数次の場合は1次または3次セクションを1つ追加して計算されます。

他の線形フィルタとの比較

バターワース フィルタのプロパティは次のとおりです。

• 通過帯域と阻止帯域の両方で単調な振幅応答
• カットオフ周波数付近での急速なロールオフは、次数の増加とともに改善される。
• ステップ応答では、次数が増加するにつれて悪化する、かなりのオーバーシュートとリンギングが発生する。
• わずかに非線形な位相応答
• 群遅延は主に周波数に依存する

これは、離散時間バターワースフィルタのゲインを他の一般的なフィルタタイプと並べて示した画像です。これらのフィルタはすべて5次です。

バターワース フィルターは、チェビシェフ フィルターや楕円フィルターよりも、カットオフ周波数付近でゆっくりとロールオフしますが、リップルはありません。

参照

• ベッセルフィルタ
• チェビシェフフィルタ
• コムフィルタ
• 楕円フィルタ
• フィルター設計

参考文献

1. Butterworth, S. (1930). 「フィルタ増幅器の理論について」(PDF) . 『実験的無線と無線技術者』 . 7 : 536– 541.
2. Bianchi, Giovanni; Sorrentino, Roberto (2007). 電子フィルタのシミュレーションと設計. McGraw-Hill Professional. pp.  17– 20. ISBN 978-0-07-149467-0。
3. Matthaei, George L.; Young, Leo; Jones, EMT (1964).マイクロ波フィルタ、インピーダンス整合回路、および結合構造. McGraw-Hill. pp.  104– 107, 105, and 974. LCCN  64007937.
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8. Paarmann, Larry D. (2001). アナログフィルタの設計と解析：信号処理の観点. 米国マサチューセッツ州ノーウェル：Kluwer Academic Publishers. pp. 117, 118. ISBN 0-7923-7373-1。
9. バターワースフィルタ#原著論文
10. US 1849656、ウィリアム・R・ベネット、「伝送ネットワーク」、1932年3月15日公開 
11. Huelsman, LP (1971年5月). 「等価容量アクティブRCネットワークによる3次ローパス・バターワース特性の実現」. Electronics Letters . 7 (10): 271– 272. Bibcode :1971ElL.....7..271H. doi :10.1049/el:19710185.
12. Huelsman, LP (1974年12月). 「等価容量アクティブRCネットワークによる4次ローパス・バターワース特性の実現」. Proceedings of the IEEE . 62 (12): 1709. doi :10.1109/PROC.1974.9689.
13. ジュリシッチ、ドラジェン;モシッツ、ジョージ S.ミジャット、ネブン (2008)。 「テーブルを使用した低感度、単一アンプ、アクティブRC全極フィルター」。オートマティカ。49 ( 3–4 ): 159–173 .

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