繊維カテゴリー

Concept in category theory

ファイバー圏（またはファイバー化圏）は、数学における抽象的な実体であり、降下理論の一般的な枠組みを提供するために使用されます。ファイバー化圏は、ベクトル束などのオブジェクトの逆像（または引き戻し）が定義できる幾何学と代数学の様々な状況を形式化します。例えば、各位相空間には、その空間上のベクトル束の圏があり、位相空間Xから別の位相空間Yへの連続写像には、 Y上の束をX上の束に引き戻す引き戻し関手が関連付けられます。ファイバー化圏は、これらの圏と逆像関手からなる体系を形式化します。同様の設定は数学、特にファイバー化圏が最初に登場した文脈である代数幾何学において、様々な形で現れます。ファイバー化圏は、スタックを定義するために使用されます。スタックは、サイト上のファイバー化圏であり、「降下」を伴うものです。ファイバー化は、型理論、特に依存型理論の圏論的意味論においても重要な役割を果たします。

ファイバーカテゴリーは、アレクサンダー・グロタンディーク (1959、1971) によって導入され、ジャン・ジロー (1964、1971) によってさらに詳細に開発されました。

背景と動機

位相幾何学には、ある種のオブジェクトが何らかの基礎となる基本空間 上またはその上に存在すると考えられる例が数多くあります。古典的な例としては、ベクトル束、主束、位相空間上の層などが挙げられます。別の例としては、別の多様体によって媒介変数が付けられた代数多様体の「族」が挙げられます。このような状況で典型的なのは、適切なタイプの基本空間間の写像に対して、 上で定義された対象オブジェクトを上の同じタイプのオブジェクトに取る、対応する逆像（引き戻しとも呼ばれる）操作が存在することです。これはまさに上記の例に当てはまります。たとえば、上のベクトル束の逆像は上のベクトル束です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}(E)}$ ${\displaystyle X}$

さらに、対象とする「基底空間上のオブジェクト」が圏を形成する、つまりそれらの間に写像（射）を持つ場合も少なくありません。このような場合、逆像演算は、これらのオブジェクト間の写像の合成、より専門的な言葉で言えば、関手（functionctor）と一致することがよくあります。繰り返しますが、これは上記の例に当てはまります。

しかし、が別の写像である場合、逆像関数は合成写像と厳密には互換性がないことがよくある。が（例えばベクトル束）上のオブジェクトである場合、 ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).}$

むしろ、これらの逆像は自然に 同型となるだけである。逆像体系にこの「ゆるみ」が導入されることで、いくつかの繊細な問題が生じ、この設定こそがファイバー圏によって定式化される。

ファイバー圏の主な応用は、位相幾何学で用いられる「接着」技法の広範な一般化に関わる降下理論です。代数幾何学における非自明な状況に適用できるほどの一般性を持つ降下理論を支えるため、ファイバー圏の定義は非常に一般化され抽象化されています。しかしながら、上述の基本的な例を念頭に置くと、その根底にある直感は非常に明快です。

正式な定義

ファイバー化カテゴリには本質的に等価な2つの技術的定義があり、それぞれについて以下で説明する。本節における議論では、 「大きな」カテゴリに関連する集合論的な問題はすべて無視する。例えば、小さなカテゴリに焦点を絞ったり、ユニバースを用いたりすることで、議論を完全に厳密化することができる。

デカルト射と関手

が2 つのカテゴリ間の関手で、が の対象である場合、のサブカテゴリで、 となる対象とを満たす射からなるものは、上のファイバーカテゴリ（またはファイバー）と呼ばれ、 と表記されます。 の射は-射と呼ばれ、の対象に対して、 -射の集合は と表記されます。の対象のによる像、または 内の射は、その射影（ による）と呼ばれます。が の射である場合、に射影するの射は-射と呼ばれ、と内の対象間の -射の集合はと表記されます。 ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi (x)=S}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (m)={\text{id}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(x,y)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{f}(x,y)}$

における射影は、次の条件を満たす場合、 -cartesian (または単にcartesian )と呼ばれます。 ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi }$

が の射影であり、 が-射である場合、となるような-射が1 つだけ存在します。 ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n:z\to y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a:z\to x}$ ${\displaystyle m\circ a=n}$

デカルト射影 は、その射影の逆像と呼ばれます。また、オブジェクトは、によるの逆像と呼ばれます。 ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle f=\phi (m)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

ファイバー圏の直角写像は、まさに の同型写像である。一般に、与えられた写像 に射影する直角写像は複数存在し、それらは異なる源を持つ可能性もある。したがって、による与えられたオブジェクトの逆像は複数存在し得る。しかし、そのような逆像のうち2つが において同型であることは、定義から直接導かれる帰結である。 ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{T}}$

関数は-カテゴリとも呼ばれ、または -カテゴリまたは上のカテゴリに変換する関数です。-カテゴリから-カテゴリへの-関数は、 となる関数です。-カテゴリは自然に2-カテゴリを形成し、1-射は -関数であり、2-射は、その成分が何らかのファイバー内にある -関数間の自然な変換です。 ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi :G\to E}$ ${\displaystyle \alpha :F\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \alpha =\phi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

2つの-カテゴリ間の -関手は、それがカルティシアン射をカルティシアン射に変換する場合、カルティシアン関手と呼ばれる。2つの -カテゴリ間のカルティシアン関手は、自然変換を射として持つカテゴリを形成する。 を恒等関数を介して -カテゴリと見なす特別な場合が提供され、このとき、 から-カテゴリへのカルティシアン関手はカルティシアン切断と呼ばれる。したがって、カルティシアン切断 は、内の各オブジェクトに対して内の1つのオブジェクトを選択し、各射に対して逆像 を選択することから構成される。したがって、カルティシアン切断 は、 のオブジェクト上の逆像の（厳密に）互換なシステムである。 のカルティシアン切断 のカテゴリは によって表される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle m_{f}:x_{T}\to x_{S}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).}$

が終端オブジェクトを持つ重要なケース（特に がトポス、またはをターゲットとする矢印のカテゴリである場合）では、関数 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{/S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

は完全に忠実である（Giraud（1964）の補題5.7）。

繊維質カテゴリーと裂け目カテゴリー

ファイバー圏の技術的に最も柔軟かつ経済的な定義は、直角写像の概念に基づくものである。これは開裂による定義と等価であり、後者の定義は実際にはグロタンディーク (1959) で最初に提示されたものである。直角写像による定義は、1960年から1961年にかけてグロタンディーク (1971) で導入された。

圏がファイバー圏（またはファイバー圏、または上ファイバー圏）であるとは、 の余域が の射影の値域にある各射に少なくとも1つの逆像があり、さらににおける任意の2つの直角射の合成が常に直角射となる場合を言う。言い換えれば、 の余域が の射影の値域にある射に対して逆像が常に存在し、推移的である場合を言う。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m\circ n}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$

に終端オブジェクトがあり、が 上ファイバー化されている場合、前のセクションの最後で定義されたから へのデカルト断面の関数は、カテゴリの同値であり、さらにオブジェクト上で射影的です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle F_{e}}$

がファイバー化 -カテゴリである場合、 の各射と の各オブジェクトに対して、常に（選択公理 を使用することにより）正確に 1 つの逆像 を選択することができます。このようにして選択された射のクラスは開裂と呼ばれ、選択された射は（開裂の）移送射と呼ばれます。開裂を伴うファイバー化カテゴリ は、分裂カテゴリと呼ばれます。移送射が のすべての恒等射を含む場合、開裂は正規化されていると呼ばれます。つまり、恒等射の逆像が恒等射として選択されるということです。明らかに、開裂が存在する場合、それを正規化されるように選択できます。以下では、正規化された開裂のみを考慮します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle F}$

ファイバー化-圏に対する（正規化された）分裂の選択は、 の各射に対して、関数 を指定する。オブジェクト上の は、対応する転送射による逆像にすぎず、射上では、デカルト射の定義的普遍性によって自然に定義される。ファイバー圏のオブジェクトと射に逆像関数を関連付ける操作は、圏の圏へのほぼ反変関数である。しかし、一般に、これは射の合成と厳密に可換ではない。その代わりに、と がの射である場合、関数の同型が存在する 。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle g:U\to T}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

これらの同型性は次の 2 つの互換性を満たします。

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. 連続する3つの射とオブジェクトに対して、次が成り立ちます。 ${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$ ${\displaystyle x\in F_{S}}$ ${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

逆に、上記の両立性を満たす同型写像を持つ任意の関手の集合は、分裂圏を定義することが示される（Grothendieck (1971) の第8節参照）。これらの逆像関手の集合は、ファイバー圏に対するより直感的な見方を提供する。実際、Grothendieck (1959) では、このような両立する逆像関手を用いてファイバー圏が導入された。 ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$ ${\displaystyle c_{f,g}}$

以下に参照されるグレイの論文では、これらの考え方と 空間のファイブレーションの概念との類似点が示されています。

これらの考え方は、以下で参照するブラウンの論文に示されているように、群体の場合には単純化され、群体のファイブレーションから正確なシーケンスの有用なファミリーが得られます。

分割と分割繊維カテゴリー

2つの輸送射の合成が常に輸送射となるような（正規化された）分裂は分裂 と呼ばれ、分裂を伴うファイバー化範疇は分裂（ファイバー化）範疇と呼ばれる。逆像関数の観点から見ると、分裂であるという条件は、における合成可能射に対応する逆像関数の合成が、に対応する逆像関数と等しいことを意味する。言い換えれば、前の節の適合同型はすべて分裂範疇の恒等写像である。したがって、分裂範疇は、 から範疇の範疇への真の関数と正確に対応する。 ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle c_{f,g}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

分裂とは異なり、すべての繊維圏が分割を許容するわけではありません。例として以下を参照してください。

共カルティシアン射と共ファイバー圏

上記の定義における矢印の方向を反転することで、対応する概念であるコカルティシアン射、コファイバーカテゴリ、分割コファイバーカテゴリ（またはコスプリットカテゴリ）に到達できます。より正確には、が関数である場合、の射は、反対の関数に対してカルティシアンである場合にコカルティシアンと呼ばれます。したがって、は直接像とも呼ばれ、に対して の直接像とも呼ばれます。コファイバー -カテゴリとは、の各射に対して直接像が存在し、直接像の合成が直接像となるような-カテゴリです。コ開裂とコスプリッティングも同様に定義され、逆像関数ではなく直接像関数に対応します。 ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f=\phi (m)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

プロパティ

繊維状カテゴリーと分割カテゴリーの2つのカテゴリー

固定されたカテゴリにファイバー化されたカテゴリは2-カテゴリ を形成します。ここで、 2 つのファイバー化されたカテゴリと間の射のカテゴリは、からへのデカルト関数のカテゴリとして定義されます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {Fib} (E)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

同様に、 上の分割カテゴリは2-カテゴリ（フランス語のcatégorie scindéeに由来）を形成します。ここで、2つの分割カテゴリと間の射のカテゴリは、から への -関数の完全なサブカテゴリであり、の各転送射を の転送射に変換する関数で構成されます。分割-カテゴリのそのような各射は、 -ファイバーカテゴリの射でもあります。つまり、 です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {Scin} (E)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$

分割を単に忘れる自然な忘却型 2 関数が存在します。 ${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$

同等の分割カテゴリの存在

すべての繊維化カテゴリが分割できるわけではありませんが、各繊維化カテゴリは、実際には分割カテゴリと同値です。確かに、上の特定の繊維化カテゴリに対して同値の分割カテゴリを構築する標準的な方法が 2 つあります。より正確には、忘却 2 関数は右 2 随伴と左 2 随伴を許容し(Giraud 1971 の定理 2.4.2 と 2.4.4)、およびは2 つの関連付けられた分割カテゴリです。随伴関数と は どちらも直積同値です (同上)。ただし、それらの合成は(カテゴリの、そして実際には繊維化カテゴリの) 同値ですが、一般に分割カテゴリの射ではありません。したがって、2 つの構成は一般に異なります。前述の 2 つの分割カテゴリの構成は、繊維化カテゴリに関連付けられたスタック(特に、プレスタックに関連付けられたスタック)の構築に重要な方法で使用されます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S(F)}$ ${\displaystyle L(F)}$ ${\displaystyle S(F)\to F}$ ${\displaystyle F\to L(F)}$ ${\displaystyle S(F)\to L(F)}$

群小体における繊維状のカテゴリー

繊維化圏に関連する構成として、群体における繊維化圏と呼ばれるものがある。これらは、与えられた任意の部分圏が ${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. オブジェクトを固定する ${\displaystyle c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$
2. サブカテゴリのオブジェクトは ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle p(x)=c}$
3. 矢印は次のように与えられる。 ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle p(f)={\text{id}}_{c}}$

は と表記される群体である。グロタンディーク構成から得られる付随2-関手はスタックの例である。要するに、付随関手はオブジェクトをカテゴリ に送り、射はファイバー化カテゴリ構造から関手を誘導する。つまり、のオブジェクトとして考えられるオブジェクトに対して、となるオブジェクトが存在する。この付随は、群体の関手となる関手を与える。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle d\to c}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle p(y)=d}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}}$

例

繊維質のカテゴリー

1. 関手 は、そのオブジェクトの集合に圏を送るため、ファイブレーションである。集合 に対して、ファイブレーションは を持つ圏から構成される。直角矢印は完全忠実な関手である。 ${\displaystyle {\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Ob}}(C)=S}$
2. 矢印のカテゴリ: 任意のカテゴリに対して、の矢印のカテゴリはの射をオブジェクトとして持ち、 の可換平方を射として持ちます(より正確には、からへの射はとなる射とからなる)。矢印をそのターゲットに導く関数は-カテゴリを作成します。ファイバーの対象はにおける -オブジェクトのカテゴリ、つまり をターゲットとする の矢印です。 の直積射はの直積平方とまったく同じであり、したがって にファイバー積が存在するときだけがファイバー化されます。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:X\to T}$ ${\displaystyle g:Y\to S}$ ${\displaystyle a:X\to Y}$ ${\displaystyle b:T\to S}$ ${\displaystyle bf=ga}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle E_{/S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$
3. ファイバー束: ファイバー積は位相空間の圏に存在するため、前述の例により は上ファイバー化されます。が の完全な部分圏であり、ファイバー束の射影写像である矢印から構成される場合、 は上のファイバー束の圏であり 、 は 上ファイバー化されます。分裂の選択は、ファイバー束の通常の逆像（または引き戻し）関数の選択に相当します。 ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle A({\text{Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}}$ ${\displaystyle A({\text{Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$
4. ベクトル束: これまでの例と同様に、実（複素） ベクトル束の基底空間への射影は、（ファイバーのベクトル空間構造を尊重するベクトル束の射影）上の圏（ ）を形成する。この-圏もファイバー化されており、逆像関数はベクトル束の通常の引き戻し関数である。これらのファイバー化圏は の（非完全）部分圏である。 ${\displaystyle p:V\to S}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}}$
5. 位相空間上の層：層の逆像関数は、位相空間上の層の圏を上の（裂かれた）繊維圏に変換する。この繊維圏は、層のエタレ空間からなるの完全な部分圏として記述できる。ベクトル束と同様に、群と環の層も の繊維圏を形成する。 ${\displaystyle {\text{Sh}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Sh}}}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle A({\text{Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$
6. トポス上の層：がトポスであり、が の対象である場合、 - 対象の圏もまたトポスであり、 上の層の圏として解釈される。が の射である場合、逆像関数は次のように記述できる：上の層と内の対象に対して、はとなる。これらの逆像は、圏を上の分割繊維圏に変換する。これは特に位相空間の「大きな」トポスに適用できる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle p:U\to T}$ ${\displaystyle E_{T}}$ ${\displaystyle f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TOP}$
7. スキーム上の準連接層:準連接層は、スキームの圏上のファイバー圏を形成する。これはファイバー圏の定義の動機となる例の一つである。
8. 分割を許さないファイバー化範疇： 群は1 つの対象と の元を射とする範疇とみなすことができ、射の合成は群則によって与えられる。群準同型は関数とみなすことができ、これは-範疇を作る。この設定では のすべての射が直積射であることが確認できる。したがって が射影的なとき、 はまさに上でファイバー化される。この設定における分割はの（集合論的）切断であり、その切断は合成と厳密に可換である。言い換えれば、 の切断は準同型でもある。しかし群論でよく知られているように、これは常に可能であるとは限らない（非分割群の拡大で射影をとることができる）。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
9. 層のコファイバー圏：層の直接像関数は、位相空間上の層の圏をコファイバー圏とする。直接像の推移性は、これが自然にコスプリットすることを示している。

群小体における繊維状カテゴリ

群体中に繊維化された圏の主な例の一つは、圏の内部にある群体対象から得られる。したがって、群体対象が ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

関連する群オブジェクトが存在する

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

米田埋め込みからの反変関手の圏において。この図をオブジェクトに適用すると、集合の内部の群が得られる ので、 ${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$ ${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

関連する小さな群体 が存在する。これは反変2-関数 を与え、グロタンディーク構成を用いると、 上の群体にファイバー化された圏 を与える。オブジェクト上のファイバー圏は、集合内の元の群体から関連する群体である点に注意すること。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

グループ商

からオブジェクトに作用するグループオブジェクトが与えられた場合、関連する群オブジェクトが存在する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a:G\to {\text{Aut}}(X)}$

${\displaystyle G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X}$

ここでは への射影であり、は合成写像である。この群体は で表される群体に繊維化された誘導カテゴリを与える。 ${\displaystyle s:G\times X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t:G\times X\to X}$ ${\displaystyle G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X}$ ${\displaystyle p:[X/G]\to {\mathcal {C}}}$

2項鎖複合体

アーベル圏 の場合、任意の2項複素数 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}_{0}}$

関連する群体を持つ

${\displaystyle s,t:{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{0}\rightrightarrows {\mathcal {E}}_{0}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}s(e_{1}+e_{0})&=e_{0}\\t(e_{1}+e_{0})&=d(e_{1})+e_{0}\end{aligned}}}$

この群体は、群体に繊維化された圏を構成するために用いられる。その顕著な例としては、局所完全交差の余接複体と、 exalcommの研究が挙げられる。

参照

• グロタンディーク構築
• スタック（数学）
• アルティンの基準
• 単体集合のファイブレーション

参考文献

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外部リンク

• SGA 1.VI - 繊維カテゴリーと系統 - 119-153ページ
• nラボにおけるグロタンディーク繊維論

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