極座標

Subset of all points that is bounded by some given point of a dual (in a dual pairing)

関数解析、凸解析、および数学の関連分野において、極集合は、 双対空間にあるベクトル空間の任意の部分集合に関連付けられた特別な凸集合です。部分集合の双極集合は の極集合です が、にあります( ではありません)。 ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle A^{\circ },}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

定義

集合の極の定義には、射影幾何学と凸解析に由来する少なくとも3つの競合する定義があります。^{[1] [要出典]}それぞれの場合において、定義は、実数または複素数上のベクトル空間のペア の特定の部分集合間の双対性を記述します（そして、多くの場合、位相ベクトル空間（TVS）です）。 ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

が体上のベクトル空間である場合、特に明記されていない限り、は通常は上の線型関数のベクトル空間になり、双対関係はによって定義される 双線型評価（点 における）写像になります。 が位相ベクトル空間である場合、 は通常はの連続双対空間になりますが、常にそうであるとは限りません。その場合、双対関係は再び評価写像になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times Y\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x).}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$

の基底スカラー場における原点を中心とする半径の閉球を ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle B_{r}:=B_{r}^{\mathbb {K} }:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}.}$$

関数解析の定義

絶対極性

がペアリングであると仮定します。の部分集合の極座標または絶対極座標は、次の集合です。 ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\langle a,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\sup |\langle A,y\rangle |\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|\langle A,y\rangle |:=\{|\langle a,y\rangle |:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{y\in Y~:~\langle A,y\rangle \subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

ここで、は定義される写像の下の集合の像を表す。は定義により を含む最小の凸均衡部分集合である凸均衡包を表す 場合、 ${\displaystyle \langle A,y\rangle :=\{\langle a,y\rangle :a\in A\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle :X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=[\operatorname {cobal} A]^{\circ }.}$

これは幾何学的定義のアフィンシフトであり、単位球体（ ）の関数解析的極がまさに単位球体（）であるという便利な特徴があります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

のサブセットの前極または絶対前極は次のセットです。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}|\langle x,b\rangle |\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup |\langle x,B\rangle |\leq 1\}}$$

多くの場合、のサブセットの前極はの極または絶対極とも呼ばれ、 と表記されます。実際には、この表記法と「極」という単語の再利用によって問題（あいまいさなど）が発生することはほとんどなく、多くの著者は「前極」という単語さえ使用していません。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$

の部分集合の双極子は集合と表記されることが多い。つまり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)}$ $${\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X~:~\sup _{y\in A^{\circ }}|\langle x,y\rangle |\leq 1\right\}.}$$

リアルポーラー

の部分集合の実極は次の集合である。 また、の部分集合の実前極は次の集合である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{r}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} \langle a,y\rangle \leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {}^{r}B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b\in B}\operatorname {Re} \langle x,b\rangle \leq 1\right\}.}$$

絶対前極子と同様に、実前極子は通常、実極子と呼ばれ、 ^[2]とも表記されます 。一部の著者 (例: [Schaefer 1999]) は、「極子」を (この記事のように「絶対極子」ではなく)「実極子」と定義し、その表記法 (この記事や [Narici 2011] で使用されている表記法ではなく) を使用していることに注意することが重要です。 ${\displaystyle B^{r}.}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{r}}$

の部分集合の実双極子は集合であり、これは^[2]の凸包の -閉包に等しい。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{rr},}$ ${\displaystyle {}^{r}\left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\}.}$

の部分集合は 凸閉集合であり、^[2]を含む 。一般に、 となる可能性はあるが、がバランスしている場合には等式が成立する。さらに、は^[2]のバランス包を表す。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle A^{\circ }.}$ ${\displaystyle A^{\circ }\neq A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left(\operatorname {bal} \left(A^{r}\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} \left(A^{r}\right)}$ ${\displaystyle A^{r}.}$

競合する定義

集合の「極」の定義は、普遍的に合意されているわけではありません。この記事では「極」を「絶対極」と定義しましたが、一部の著者は「極」を「実極」と定義し、また他の著者は異なる定義を用いています。著者が「極」をどのように定義したとしても、表記はほとんどの場合、著者の選択による定義を反映しています（そのため、表記の意味は情報源によって異なる場合があります）。特に、 の極は次のように定義されることがあります。この表記は標準的な表記ではありません。 ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A^{|r|}:=\left\{y\in Y~:~\sup _{a\in A}|\operatorname {Re} \langle a,y\rangle |\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle A^{|r|}}$

ここで、これらのさまざまな定義が互いにどのように関連し、どのような場合に同等となるかについて簡単に説明します。

が実数値の場合（または、と が上のベクトル空間の場合）は常に となり、 $${\displaystyle A^{\circ }~\subseteq ~A^{|r|}~\subseteq ~A^{r}}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}.}$

が対称集合（つまり 、または同値）である場合、ここでが実数値である場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle -A\subseteq A}$ ${\displaystyle A^{|r|}=A^{r}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{|r|}=A^{r}.}$

とが（したがって は複素数値）上のベクトル空間であり、 （ただしこれはとを意味することに注意）ならば、ここでさらにすべての実数 に対してならば、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle iA\subseteq A}$ ${\displaystyle -A=A}$ ${\displaystyle iA=A}$ $${\displaystyle A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^{r}\subseteq \left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}A\right)^{\circ }}$$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$

したがって、 の極集合のこれらの定義がすべて一致するためには、単位長さのすべてのスカラー に対してが成立すれば十分です^{[注 1]}（ただし、これは単位長さのすべてのスカラー に対して と等価です）。特に、が均衡集合である場合（多くの場合そうであるが、常にそうとは限らない）、 の極集合のすべての定義は一致するため、これらの競合する定義のどちらを使用するかは重要ではない場合がよくあります。しかし、集合の「極」の定義におけるこれらの違いは、が必ずしも均衡していない場合に、微妙な、あるいは重要な技術的な違いをもたらすことがあります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle sA=A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

標準的双対性の特殊化

代数的双対空間

が任意のベクトル空間であるとき、は上のすべての線型関数の成す集合である代数的双対空間を表すものとする。ベクトル空間は常に、 上のすべての -値関数の成す空間の閉部分集合であり、点収束の位相の下で閉部分集合となる。したがって、が部分空間位相を持つとき、 はハウスドルフ完備な局所凸位相ベクトル空間（TVS）となる。任意の部分集合 に対して、は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\#}:=A^{\circ ,\#}:=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{a\in A}|f(a)|\leq 1\right\}&&\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~\sup |f(A)|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\[0.7ex]=&\left\{f\in X^{\#}~:~f(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

が任意の部分集合であるとき、であり、はの凸均衡包を表す。の任意の 有限次元ベクトル部分空間について、がハウスドルフ位相ベクトル空間（TVS）を形成する唯一の位相であるユークリッド位相を表すものとする。 は、がのすべての有限次元ベクトル部分空間上で変化するときの閉包の和集合を表すものとする（ 説明についてはこの脚注^[注2]を参照）。 がの吸収部分集合であるとき、バナッハ・アラオグルの定理より、は の弱*コンパクト部分集合となる。 ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\#}\subseteq A^{\#}}$ ${\displaystyle A^{\#}=[\operatorname {cobal} A]^{\#},}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{Y}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\#}=\left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}.}$

がベクトル空間の任意の空でない部分集合であり、が（つまり、の代数的双対空間のベクトル部分空間）上の任意の線型汎関数のベクトル空間である場合、実数値写像 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |\,\cdot \,|_{A}\;:\,Y\,\to \,\mathbb {R} }$     定義     ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{A}~:=~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|~:=~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|}$

は上の半ノルムです。その場合、上限の定義により となるため、上で定義された写像は実数値ではなく、結果として半ノルムではありません。 ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle \,\sup \left|x^{\prime }(A)\right|=-\infty \,}$ ${\displaystyle \,|\,\cdot \,|_{\varnothing }=-\infty \,}$

連続二重空間

が連続双対空間を持つ位相ベクトル空間（TVS）であるとする。 ここで重要な特別な場合として、括弧は標準写像を表す：を考える。この三つ組は、に関連付けられた標準ペアリングと呼ばれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle Y:=X^{\prime }}$ $${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X.}$

この標準的なペアリングに関するサブセットの極は次のとおりです。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ because }}\left\langle a,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(a)\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \left|x^{\prime }(A)\right|\leq 1\right\}~~~~&&{\text{ where }}\left|x^{\prime }(A)\right|:=\left\{\left|x^{\prime }(a)\right|:a\in A\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~x^{\prime }(A)\subseteq B_{1}\right\}~~~~&&{\text{ where }}B_{1}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

が閉包を表す任意の部分集合に対して ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=\left[\operatorname {cl} _{X}A\right]^{\circ }}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

バナッハ・アラオグルの定理は、が の原点の近傍である場合、この極集合は、 が弱 * 位相(点ごとの収束の位相とも呼ばれる)を備えているとき、連続双対空間のコンパクト部分集合であることを述べています。 ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

単位長さのすべてのスカラーに対してが満たされる場合、絶対値符号を（実部演算子）に置き換えることができます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A^{\circ }=A^{r}:=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{a\in A}\operatorname {Re} x^{\prime }(a)\leq 1\right\}\\[0.7ex]=&\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup \operatorname {Re} x^{\prime }(A)\leq 1\right\}.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}$$

のサブセットの前極は次のとおりです。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y=X^{\prime }}$ $${\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\left|b^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\leq 1\}}$$

単位長さのすべてのスカラーに対してが成り立つ場合、絶対値の符号を次のように置き換えることができる。ここで ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle sB\subseteq B}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ $${\displaystyle {}^{\circ }B=\left\{x\in X~:~\sup _{b^{\prime }\in B}\operatorname {Re} b^{\prime }(x)\leq 1\right\}=\{x\in X~:~\sup \operatorname {Re} B(x)\leq 1\}}$$ ${\displaystyle B(x):=\left\{b^{\prime }(x)~:~b^{\prime }\in B\right\}.}$

双極定理は、位相ベクトル空間のサブセットの双極を特徴付けます。

がノルム空間であり、が（または、開単位球を含む閉単位球の任意の部分集合）における開単位球または閉単位球である場合、 が標準的な双対ノルムを備えているとき、は連続双対空間における閉単位球です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

円錐の幾何学的定義

凸錐の極錐は、 ${\displaystyle A\subseteq X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y~:~\sup _{x\in A}\langle x,y\rangle \leq 0\right\}}$$

この定義は点と超平面の双対性を与え、超平面は2つの反対向きの半空間の交わりとして表される。点の極超平面は軌跡であり、超平面の双対関係はその超平面の極点を与える。^{[3] [要出典]} ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{y~:~\langle y,x\rangle =0\}}$

一部の著者は（紛らわしいことに）双対円錐を極円錐と呼んでいますが、この記事ではその慣例には従いません。^[4]

プロパティ

特に断りのない限り、はペアリングになります。位相は上の弱*位相であり、は上の弱位相です。 任意の集合 に対して、は の実極を表し、は の絶対極を表します。 「極」という用語は絶対極を指します。 ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A.}$

• 集合の（絶対）極は凸でバランスが取れている。^[5]
• の部分集合の実極は凸であるが、必ずしも平衡している必要はない。平衡していれば平衡する。^[6] ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle A}$
• 単位長さのすべてのスカラーに対して、 ${\displaystyle sA\subseteq A}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{r}.}$
• ${\displaystyle A^{\circ }}$は上の弱*位相で閉じている。^[3] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• の部分集合が弱有界（つまり -有界）であるためには、が に吸収される必要がある。^[2] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle Y}$
• がTVSでその連続双対空間である双対対に対して、が有界ならば、は[ 5 ^]で吸収される。が局所凸で、が吸収するならば、は有界である。さらに、の部分集合が弱有界となるのは、が吸収する場合に限る。 ${\displaystyle \langle X,X^{\prime }\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• 集合の双極子は、最小の - 閉凸包であり、-と- の両方を含む - 閉凸集合である。 ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A\cup \{0\},}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0.}$
  • 同様に、円錐の双対円錐は^[7]の閉円錐包である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle A.}$
• がTVSの原点の基底である場合、 ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }=\bigcup _{B\in \mathbb {B} }\left(B^{\circ }\right).}$
• が局所凸TVSである場合、任意の0近傍基数の極座標（ に関して取られた）は の等連続部分集合の基本族を形成する（すなわち、の任意の有界部分集合が与えられたとき、となるようなにおける原点の近傍が存在する）。^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq S^{\circ }}$
  • 逆に、 が局所凸TVSである場合、の等連続部分集合の基本族の極座標（ に関して取られた）は、 ^[6]の原点の近傍基を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle X,X^{\#}\rangle }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$
• 位相を持つTVSとすると、局所凸TVS位相とは、[ ^6]の等連続部分集合上で一様収束する位相であることと同値である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

最後の 2 つの結果は、連続双対空間の等連続部分集合が関数解析の現代理論で重要な役割を果たす理由を説明しています。等連続部分集合は、局所凸空間の元の位相に関するすべての情報をカプセル化するためです。 ${\displaystyle X}$

関係を設定する

• ${\displaystyle X^{\circ }=X^{|r|}=X^{r}=\{0\}}$^[6]と ${\displaystyle \varnothing ^{\circ }=\varnothing ^{|r|}=\varnothing ^{r}=Y.}$
• すべてのスカラーとすべての実数と ${\displaystyle s\neq 0,}$ ${\displaystyle (sA)^{\circ }={\tfrac {1}{s}}\left(A^{\circ }\right)}$ ${\displaystyle t\neq 0,}$ ${\displaystyle (tA)^{|r|}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{|r|}\right)}$ ${\displaystyle (tA)^{r}={\tfrac {1}{t}}\left(A^{r}\right).}$
• ${\displaystyle A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.}$しかし、実数極の場合、^[6] ${\displaystyle A^{rrr}\subseteq A^{r}.}$
• 任意の有限集合に対して ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$ $${\displaystyle \left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right)^{\circ }=\left(A_{1}^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_{n}^{\circ }\right).}$$
• もしそうならそして ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B^{\circ }\subseteq A^{\circ },}$ ${\displaystyle B^{r}\subseteq A^{r},}$ ${\displaystyle B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.}$
  • 直ちに導かれる帰結は、 が有限の場合には等式が必然的に成り立ち、 が無限の場合には等式が成り立たない可能性がある、ということです。 ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)\subseteq \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{\circ }\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{\circ }}$そして ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left(A_{i}^{r}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)^{r}.}$
• が円錐である場合、[ ^5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{\circ }=\left\{y\in Y:\langle c,y\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\right\}.}$
• が を含むの閉部分集合族である場合、 の実極は の閉凸包である^[6] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in X,}$ ${\displaystyle \cap _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}\left(S_{i}^{r}\right).}$
• もしそうなら^[9] ${\displaystyle 0\in A\cap B}$ ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2\left[(A+B)^{\circ }\right]\subseteq 2\left(A^{\circ }\cap B^{\circ }\right).}$
• 実ベクトル空間の閉凸錐 に対して、極錐はの極である。つまり、^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup _{}\langle C,y\rangle \leq 0\},}$$ ${\displaystyle \sup _{}\langle C,y\rangle :=\sup _{c\in C}\langle c,y\rangle .}$

参照

• バナッハ＝アラオグルの定理 – 関数解析における定理
• 双極定理 – 凸解析における定理
• 極円錐 – 凸解析の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 極位相 – 有界部分集合のある部分集合上の一様収束の双対空間位相
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

注記

1. 極集合のこれらの完全な定義がすべて一致するためには、が実数値の場合、 が対称であることで十分であり、が複素数値の場合、すべての実数値に対してが ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle e^{ir}A\subseteq A}$ ${\displaystyle s.}$
2. がの有限次元ベクトル部分空間であることを証明するためには、が連続である（有限次元ハウスドルフTVS上のすべての線形関数がそうであるように）ので、 と が閉集合であることから次のことが分かる。したがって、そのようなすべての集合の和集合は の部分集合でもあり、が であることを証明する。したがって、 が上の任意のTVS位相であるとき、 ${\displaystyle A^{\#}\subseteq \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#},}$ ${\displaystyle f\in A^{\#}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{Y}:\left(Y,\tau _{Y}\right)\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f(A)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)=f{\big \vert }_{Y}\left(\operatorname {cl} _{\left(Y,\tau _{Y}\right)}(Y\cap A)\right)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }(f(Y\cap A))\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }f(A)\subseteq \operatorname {cl} _{\mathbb {K} }B_{1}=B_{1}.}$ ${\displaystyle B_{1},}$ ${\displaystyle f\left(A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right)\subseteq B_{1}}$ ${\displaystyle f\in \left[A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\right]^{\#}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{\cup \operatorname {cl} \operatorname {Finite} }\subseteq \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A.}$

参考文献

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参考文献

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