元本価値

数学、特に複素解析において、多価関数の主値とは、その関数の選択された1つの枝に沿った値であり、したがって関数は単価である。単純な例として、正の実数の平方根を求める場合が挙げられる。例えば、4には2と-2という2つの平方根がある。このうち、正の根である2は主根とみなされ、次のように表記される。 ${\sqrt {4}}.$

モチベーション

複素対数関数 $log z$ を考えてみましょう。これは複素数 $w$ として定義され、

e^{w}=z.

例えば、 $log i$ を求めたいとします。これはつまり、

e^{w}=i

の場合。値は解です。 $w$ $i\pi /2$

しかし、他の解が存在することは、複素平面における $i$ の位置、特にその偏角を考慮することで証明されます。 1 から反時計回りにラジアン回転すると $i$ に到達しますが、さらにもう 1 回転すると再び $i に$ 到達します。したがって、は $log$ $i$ の解でもあると結論付けることができます。の任意の倍数を最初の解に加えることで、 $log$ $i$ のすべての値を取得できることは明らかです。 $\arg i$ $\pi /2$ $2\pi$ $i(\pi /2+2\pi )$ $2\pi$

しかし、これは実数値関数の比較において驚くべき結果をもたらす。log $i は$ $単一$ の明確な値を持たない。log $z$ $について$ は、

\log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)

整数 $k$ について、 $Arg z$ は区間にあると定義される $z$ の（主）引数です。 $k$ の各値は、多値対数関数の単一値成分である、分岐（またはシート）を決定します。単一の分岐に焦点が当てられている場合、分岐切断が使用されることがあります。この場合は、関数の定義域から非正の実数を削除し、 $Arg$ $z$ の可能な値としてを除去します。この分岐切断により、単一分岐関数はその定義域のどこでも連続かつ解析的になります。 $(-\pi ,\ \pi ]$ $\pi$

$k = 0$ に対応する枝は主枝と呼ばれ、この枝に沿って関数が取る値は主値と呼ばれます。

一般的なケース

一般に、 $f (z)$ が多価の場合、 $f$ の主枝は次のように表される。

\mathrm {pv} \,f(z)

$f$ の定義域内の $z$ に対して、 $pv$ $f$ $($ $z$ $)$ は単一値となります。

標準関数の主値

複素数値の基本関数は、いくつかの定義域において多価関数となり得る。これらの関数のいくつかは、その主値が、関数をより単純な関数に分解することによって得られる。これにより、単純な関数の主値は容易に得られる。

対数関数

上で対数関数を調べました。

\log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).

さて、 $arg z$ は本質的に多価です。ある複素数の偏角は（排他的）から（包含的）までの範囲にあると定義されることが多いので、これを偏角の主値とし、この枝に偏角関数 $Arg$ $z$ （先頭に大文字の A を付ける）と書きます。arg $z$ の代わりに $Arg$ $z$ を用いると、対数の主値が得られ、^{[1]と書きます} $。$ $-\pi$ $\pi$

\mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).

平方根

複素数の場合、平方根の主値は次のようになります。 $z=re^{i\phi }\,$

\mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}

議論のある場合、負の実数が平方根関数の領域に入らないように分岐カットが導入され、 $-\pi <\phi \leq \pi .$ $\phi =\pi .$

逆三角関数と逆双曲線関数

逆三角関数 ( $arcsin$ 、 $arccos$ 、 $arctan$ など) と逆双曲線関数 ( $arsinh$ 、 $arcosh$ 、 $artanh$ など) は対数で定義でき、それらの主値は対数の主値で定義できます。

複雑な議論

ラジアンで測定された複素数引数の主値は次のように定義できます。

範囲内の値 $[0,2\pi )$
範囲内の値 $(-\pi ,\pi ]$

例えば、多くのコンピュータシステムには $atan2(y, x)$ $関数が含まれています。atan2 (imaginary_part(z), real_part(z))$ の値は、区間内にあります。一方、 $atan$ $y$ $/$ $x$ は通常、区間内にあります。 $(-\pi ,\pi ].$ $({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}].$

参照

参考文献

^ ジル、デニス、シャナハン、パトリック (2009). 『複素解析入門とその応用』ジョーンズ＆バートレット・ラーニング. p. 166. ISBN 978-0-7637-5772-4。

[1] ジル、デニス、シャナハン、パトリック (2009). 『複素解析入門とその応用』ジョーンズ＆バートレット・ラーニング. p. 166. ISBN 978-0-7637-5772-4。