Mathematical function whose derivative exists
微分可能関数 数学 において 、 1つの 実 変数を持つ 微分可能関数とは、その 定義域内 の各点で 導関数 が存在する 関数のこと です。言い換えれば、 微分可能関数の グラフは、その定義域内の各内点で 垂直でない 接線 を持ちます。微分可能関数は 滑らか であり（関数は各内点で 線形関数として局所的によく近似されます）、折れ線、角度、または 尖点 を含みませ ん
x 0 が 関数 f の定義域の内点である場合 、 導関数が存在するならば、 fは x 0 で微分可能 であるといいます 。言い換えれば、 fのグラフは点 ( x 0 , f ( x 0 )) で非垂直な接線を持ちます 。 fが U のすべての点で微分可能であるならば、 f は U で微分可能であるといいます 。 f の導関数が関数の定義域上で連続関数であるならば、 fは 連続微分可能 であるといいます 。一般的に言えば、 f の1 次導関数 が存在し、関数の定義域上で連続である ならば、 f はクラスであるといいます 。 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} f {\textstyle f} C k {\displaystyle C^{k}} k {\displaystyle k} f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) , … , f ( k ) ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)} f {\textstyle f}
ここで示されているように、多変数関数の場合、その微分可能性は偏微分の存在よりも複雑です。
1変数の実関数の微分可能性 開集合 上で定義された 関数は、 導関数が存在するならば
、 で 微分可能 であるといいます f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } U ⊂ R {\textstyle U\subset \mathbb {R} } a ∈ U {\displaystyle a\in U}
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}} が存在する。 これは、関数が で連続であることを 意味 し ます
この関数 fが U 上 のすべての点で微分可能である場合、 U 上で微分可能 であるといいます 。この場合、 fの導関数は U からへの 関数です。 R . {\displaystyle \mathbb {R} .}
連続関数は必ずしも微分可能ではありませんが、微分可能関数は （微分可能なすべての点において）必ず 連続です。これは以下（微分可能性と連続性のセクション）で示されます。関数は、その導関数も連続関数である場合、 連続微分可能 であると言われます。微分可能だが連続微分可能ではない関数も存在します（例は微分可能性のクラスセクションに示されています）。
半微分可能性 上記の定義は、 境界点 における導関数を定義するように拡張することができます。実数の 閉集合上で定義された 関数の、境界点 における導関数は 、次のような片側極限として定義できます。ここで、引数は 常に の範囲内に収まるように 近づきます 。 f : A → R {\textstyle f:A\to \mathbb {R} } A ⊊ R {\textstyle A\subsetneq \mathbb {R} } c {\textstyle c} x {\textstyle x} c {\textstyle c} A {\textstyle A}
f ′ ( c ) = lim x → c x ∈ A f ( x ) − f ( c ) x − c . {\displaystyle f'(c)=\lim _{\scriptstyle x\to c \atop \scriptstyle x\in A}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}.} 実数の部分集合である の範囲 内にとどまる ためには、この極限は次のいずれかとして定義されることになります。 x {\textstyle x} A {\textstyle A}
f ′ ( c ) = lim x → c + f ( x ) − f ( c ) x − c or f ′ ( c ) = lim x → c − f ( x ) − f ( c ) x − c . {\displaystyle f'(c)=\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\quad {\text{or}}\quad f'(c)=\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}.}
微分可能性と連続性 絶対 値 関数は連続です（つまり、ギャップがありません）。x = 0 の点を 除いて、どこでも微分可能です 。x = 0の点では、 y 軸と交差するときに急激に曲がります 。 連続関数のグラフ上のカスプ 。ゼロでは、関数は連続ですが微分可能ではありません。 f が点 x 0 で微分可能である場合 、 f は x 0 でも 連続で なければなりません 。特に、微分可能な関数は、その定義域内のすべての点で連続でなければなりません。 逆は成り立ちません。連続関数は必ずしも微分可能である必要はありません。たとえば、折れ線、 カスプ 、または 垂直接線 を持つ関数は 連続である可能性がありますが、異常の位置では微分できません
実際に現れるほとんどの関数は、すべての点、または ほぼすべての点で微分を持ちます。しかし、 シュテファン・バナッハ の結果によれば、 ある点で微分を持つ関数の集合は、 すべての連続関数の空間における 希薄集合です。 [1] 非公式には、これは微分可能な関数が連続関数の中で非常に非典型的であることを意味します。どこでも連続であるが、どこでも微分不可能な関数の最初の既知の例は、 ワイエルシュトラス関数 です。
微分可能性クラス 微分可能関数は、線形関数によって局所的に近似できます。 に対して 、 の 関数 は微分可能です。しかし、この関数は連続的に微分可能ではありません。 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } f ( x ) = x 2 sin ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)} x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 関数 は と呼ばれる f {\textstyle f} 微分可能 とは、導関数が 存在し、それ自体が連続関数である場合です。微分可能関数の微分は ジャンプ不連続性を 本質的な不連続性 を持つことは可能です 。例えば、関数は 0で微分可能です。なぜなら、 が存在するからです。しかし、 微分規則は を意味し 、 として極限を持たないからです 。したがって、この例は、微分可能だが連続微分可能ではない関数（つまり、導関数は連続関数ではない）の存在を示しています。それでもなお、 ダルブーの定理は、 任意の関数の微分が 中間値定理 。 f ′ ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x)} f ( x ) = { x 2 sin ( 1 / x ) if x ≠ 0 0 if x = 0 {\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}} f ′ ( 0 ) = lim ε → 0 ( ε 2 sin ( 1 / ε ) − 0 ε ) = 0 {\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0} x ≠ 0 , {\displaystyle x\neq 0,} f ′ ( x ) = 2 x sin ( 1 / x ) − cos ( 1 / x ) , {\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,} x → 0. {\displaystyle x\to 0.}
連続関数が クラス C 0 , {\displaystyle C^{0},} であると言われる のと同様に、連続微分可能関数も クラス C 1 {\displaystyle C^{1}} であると言われることがあります。関数の 1次導関数と 2次導 関数の両方が存在し、連続している場合、関数は クラス C 2 {\displaystyle C^{2}} です。より一般的には、1次導関数がすべて存在し、連続している 場合、関数はクラス で あると言われます 。 すべての正の整数に対して導関数が存在する場合 、関数は 滑らか 、または同値として、 クラスです。 C k {\displaystyle C^{k}} k {\displaystyle k} f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) , … , f ( k ) ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)} f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} n , {\textstyle n,} C ∞ . {\displaystyle C^{\infty }.}
高次元における微分可能性 実変数関数 f : R m → R n が 点 x 0 で微分可能であるとは、次を満たす 線型写像 J : R m → R n が 存在する ことを意味する。
lim h → 0 ‖ f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − J ( h ) ‖ R n ‖ h ‖ R m = 0. {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.} 関数が x 0 で微分可能である場合、すべての 偏微分は x 0 で存在し 、線型写像 J はヤコビ行列（ この場合はn × m 行列）によって与えられる 。高次元微分の同様の定式化は、一変数微積分学に見られる基本増分補題によって 提供 さ れる
関数のすべての偏導関数が 点 x 0 の近傍 に存在し、点 x 0 で連続している場合、関数はその点 x 0 で微分可能です。
しかし、偏微分（あるいはすべての 方向微分 ）の存在は、関数がある点で微分可能であることを保証するものではありません。例えば、関数 f : R 2 → R は次のように定義されます。
f ( x , y ) = { x if y ≠ x 2 0 if y = x 2 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}} は(0, 0) で微分可能ではありません が、この点にはすべての偏微分と方向微分が存在します。連続的な例として、関数
f ( x , y ) = { y 3 / ( x 2 + y 2 ) if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}} は(0, 0) で微分可能ではありません が、やはりすべての偏微分と方向微分が存在します。
複素解析における微分可能性 複素解析 において、複素微分可能性は単変数実関数と同じ定義を用いて定義されます。これは、 複素数を 割り切れる可能性によって可能になります 。したがって、関数が で 微分可能であると言われるのは f : C → C {\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } x = a {\textstyle x=a}
f ′ ( a ) = lim h → 0 h ∈ C f ( a + h ) − f ( a ) h . {\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.} この定義は一変数実関数の微分可能性に似ていますが、より制限的な条件です。 ある点で複素微分可能な関数は 、関数として見た場合、その点で自動的に微分可能です 。これは、複素微分可能性が次のことを意味するためです。 f : C → C {\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } x = a {\textstyle x=a} f : R 2 → R 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
lim h → 0 h ∈ C | f ( a + h ) − f ( a ) − f ′ ( a ) h | | h | = 0. {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.} しかし、関数は 多変数関数として微分可能であるにもかかわらず、複素微分可能ではない場合があります。例えば、 は2変数 実関数 として見た場合、すべての点で微分可能ですが、極限は 0への異なる接近に対して異なる値を与える
ため、どの点でも複素微分可能ではありません。 f : C → C {\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } f ( z ) = z + z ¯ 2 {\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}} f ( x , y ) = x {\displaystyle f(x,y)=x} lim h → 0 h + h ¯ 2 h {\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}
ある点の近傍で複素微分可能な関数は、その点で 正則関数 と呼ばれます。そのような関数は必然的に無限微分可能であり、実際には 解析的です 。
多様体上の微分可能関数 Mが 微分可能多様体で ある 場合、 M 上の 実数値または複素数値関数 f は、点 p の周囲に定義された何らかの（または任意の）座標チャートに関して微分可能である場合、点 pで微分可能であるといいます。M と N が 微分可能多様体である 場合 、関数 f : M → N は、点 p と f ( p )の周囲に定義された何らかの（または任意の）座標チャートに関して微分可能である場合、点 p で微分可能であるといいます。
参照
参考文献 ^ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174– 179. doi : 10.4064/sm- 3-1-174-179 。Hewitt , E; Stromberg, K (1963). 実解析と抽象解析 . Springer-Verlag. 定理17.8. により引用。
微分可能計算
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