対称行列

Matrix equal to its transpose

5×5行列の対称性

線形代数において、対称行列は転置行列に等しい正方行列である。正式には、

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff A=A^{\textsf {T}}.}$

等行列は次元が等しいため、対称となるのは正方行列のみです。

対称行列の要素は主対角線に関して対称である。したがって、が 番目の行と番目の列の要素を表す場合、 ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle A{\text{ is symmetric}}\iff {\text{ for every }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}}$

すべてのインデックスと ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j.}$

すべての正方対角行列は対称行列です。なぜなら、すべての非対角要素はゼロだからです。同様に、2と異なる特性を持つ歪対称行列の各対角要素は、それぞれが負の値を持つため、ゼロでなければなりません。

線形代数において、実対称行列は、実内積空間上の直交基底で表される自己随伴作用素^{[1]を表す。}複素内積空間に対応する対象は、複素数値成分を持つエルミート行列であり、これはその共役転置に等しい。したがって、複素数上の線形代数において、対称行列とは実数値成分を持つ行列を指すとしばしば想定される。対称行列は様々な応用分野で自然に現れ、一般的な数値線形代数ソフトウェアはそれらに対応する特別な処理を行っている。

例

次の行列は対称行列です。 ${\displaystyle 3\times 3}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle A=A^{\textsf {T}}}$

プロパティ

基本的なプロパティ

• 2 つの対称行列の和と差は対称です。
• これは、積 については必ずしも当てはまりません。対称行列 と が与えられている場合、 が対称となるのは、と が可換な場合、つまり の場合のみです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB=BA}$
• 任意の整数 に対して、が対称であれば は対称です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A^{n}}$ ${\displaystyle A}$
• 対称行列の階数は、の非ゼロの固有値の数に等しくなります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

対称と歪対称への分解

任意の正方行列は、対称行列と歪対称行列の和として一意に表すことができます。この分解はテプリッツ分解として知られています。行列の空間を とします。対称行列の空間を 、歪対称行列の空間をとすると、 となり、となり ます。ここでは直和を表します。 とします 。 ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\}}$ $${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle X\in {\mbox{Mat}}_{n}}$ $${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right).}$$

およびであることに注意してください。これは、特性が2 と異なる任意の体からの要素を持つすべての正方行列に対して当てはまります。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X+X^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(X-X^{\textsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$ ${\displaystyle X}$

対称行列はスカラー（主対角線上またはそれより上の要素の数）によって決定されます。同様に、歪対称行列はスカラー（主対角線上またはそれより上の要素の数）によって決定されます。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$

対称行列に合同な行列

対称行列に合同な任意の行列は、やはり対称行列です。が対称行列である場合、任意の行列 についても対称行列になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle AXA^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle A}$

対称性は正規性を意味する

（実数値の）対称行列は必然的に正規行列になります。

実対称行列

を の標準内積で表す。実数行列が対称行列となるのは、 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

この定義は基底の選択に依存しないため、対称性は線型演算子Aと内積の選択のみに依存する性質となります。この対称性の特徴付けは、例えば微分幾何学において有用です。多様体の各接空間には内積が与えられ、リーマン多様体と呼ばれるものが生じるからです。この定式化が用いられるもう一つの分野はヒルベルト空間です。

有限次元スペクトル定理によれば、成分が実数である任意の対称行列は、直交行列によって対角化できる。より明確に言えば、任意の実対称行列 に対して、が対角行列となるような実直交行列が存在する。したがって、任意の実対称行列は、直交基底の選択次第で、対角行列となる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D=Q^{\mathrm {T} }AQ}$

とが可換な実対称行列である場合、それらは直交行列によって同時に対角化することができます。^{[2] の}基底が存在し、その基底のすべての要素は、との両方に対して固有ベクトルになります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

すべての実対称行列はエルミート行列であるため、その固有値はすべて実数です。（実際、固有値は対角行列（上記）の要素であるため、その要素の順序によって一意に決まります。）本質的に、実数行列の対称性は、複素行列のエルミート行列の性質に対応します。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

複素対称行列

複素対称行列は、ユニタリ行列を使用して「対角化」できます。つまり、が複素対称行列である場合、が非負の要素を持つ実対角行列となるような ユニタリ行列 が存在します。この結果は、オートンヌ–高木因数分解と呼ばれています。これはもともとレオン・オートンヌ(1915) と高木貞二(1925)によって証明され、他の数人の数学者によって異なる証明を用いて再発見されました。^{[3] [4]}実際、行列はエルミートかつ半正定値 であるため、が非負の実数要素を持つ対角行列となるようなユニタリ行列が存在します。したがって、 は実数を持つ複素対称です。と実対称行列 を と書き表すと、 となります。したがって となります。と は可換であるため、 と が両方とも対角となるような実直交行列 が存在します。 (ユニタリ行列) と設定すると、行列は複素対角になります。適切な対角ユニタリ行列（ のユニタリ性を維持する）を事前に乗算することで、 の対角要素を必要に応じて実数かつ非負にすることができます。この行列を作成するには、対角行列を と表します。求める行列は、単に で与えられます。明らかに希望どおりなので、 を変更します。これらの平方は の固有値であるため、の特異値と一致します。（複素対称行列 の固有分解について注意すべき点として、 のジョルダン正規形は対角ではない可能性があり、したがって相似変換によって対角化できない可能性があります。） ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\dagger }BV}$ ${\displaystyle C=V^{\mathrm {T} }AV}$ ${\displaystyle C^{\dagger }C}$ ${\displaystyle C=X+iY}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$ ${\displaystyle XY=YX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle WXW^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle WYW^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U=WV^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})}$ ${\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ ${\displaystyle U'=DU}$ ${\displaystyle A^{\dagger }A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

分解

ジョルダン正規形を用いると、すべての実正方行列は2つの実対称行列の積として表すことができ、すべての複素正方行列は2つの複素対称行列の積として表すことができることが証明できる。^[5]

実非特異行列はすべて、直交行列と対称正定値行列の積として一意に分解できます。これを極分解と呼びます。特異行列も一意に分解できますが、分解はできません。

コレスキー分解によれば、すべての実正定値対称行列は下三角行列とその転置行列の積である。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle A=LL^{\textsf {T}}.}$$

行列が対称不定値行列である場合、それは のように分解される。ここで は置換行列（ をピボットする必要があることから生じる）、下単位三角行列、 は対称ブロックとブロックの直和であり、これはバンチ・カウフマン分解と呼ばれる^[6]。 ${\displaystyle PAP^{\textsf {T}}=LDL^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

一般的な（複素）対称行列は欠陥があり、対角化できない場合があります。対角化可能な場合、 は のように分解できます 。ここでは直交行列、は の固有値の対角行列です。が実対称である特殊なケースでは、とも実数です。直交性を確認するために、と がそれぞれ異なる固有値、に対応する固有ベクトルであると仮定します。すると、 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\textsf {T}}}$$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle QQ^{\textsf {T}}=I}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ $${\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

と は異なるので、 が成り立ちます。 ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$

ヘッセン

実関数の対称行列は、実変数の2回微分可能な関数のヘッセ行列として現れる（一般には逆の考えだが、2次導関数の連続性は必要ない^[7]）。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

上のすべての二次形式は、 対称行列を用いての形で一意に表すことができます。上記のスペクトル定理により、 の正規直交基底を選ばない限り、すべての二次形式は実数 を用いて「 のように見える」 と言えます。これにより、二次形式の研究、そして円錐曲線の一般化である準位集合の研究が大幅に簡素化されます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}$

これが重要なのは、すべての滑らかな多変数関数の 2 次動作が、関数のヘッセ行列に属する二次形式によって記述されるためです。これはテイラーの定理の結果です。

対称化可能な行列

行列が対称化可能であるとは、逆対角行列と対称行列が存在し、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=DS.}$

対称化可能な行列の転置は対称化可能である。なぜなら、とが対称だからである。行列が対称化可能であるのは、以下の条件が満たされる場合のみである。 ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=(DS)^{\mathrm {T} }=SD=D^{-1}(DSD)}$ ${\displaystyle DSD}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. ${\displaystyle a_{ij}=0}$すべてを意味する ${\displaystyle a_{ji}=0}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}$
2. ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}$任意の有限列に対して ${\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}$

参照

正方行列の他の種類の対称性またはパターンには特別な名前が付けられています。たとえば、次のようになります。

• 歪対称行列（反対称行列または逆対称行列とも呼ばれる）
• 中心対称行列
• 循環行列
• 共分散行列
• コクセター行列
• GCD行列
• ハンケル行列
• ヒルベルト行列
• 非対称行列
• シルベスターの慣性の法則
• テプリッツ行列
• 転置行列

数学における対称性も参照してください。

注記

1. ヘスス・ロホ・ガルシア (1986)。代数直系(スペイン語) (第 2 版)。編集AC。ISBN 84-7288-120-2。
2. ベルマン、リチャード (1997).行列解析入門（第2版）. SIAM. ISBN 08-9871-399-4。
3. ホーン＆ジョンソン 2013、263、278ページ
4. 参照:
   • Autonne、L. (1915)、「Sur les matrices hyperhermitiennes et sur les matrices Unitaires」、Ann。大学リヨン、38 : 1– 77
   • 高木 剛志 (1925) 「カラテオドリーとフェイエルの解析定理およびランダウの関連定理に関連する代数的問題について」,日本数学会誌, 1 : 83– 93, doi : 10.4099/jjm1924.1.0_83
   • シーゲル、カール・ルートヴィヒ（1943）、「シンプレクティック幾何学」、アメリカ数学誌、65（1）：1-86、doi：10.2307/2371774、JSTOR  2371774、補題1、12ページ
   • Hua, L.-K. (1944)、「行列変数Iの保型関数の理論について-幾何基底」、Amer. J. Math.、66 (3): 470– 488、doi :10.2307/2371910、JSTOR  2371910
   • Schur、I. (1945)、「Ein Satz uber quadratische Formen mit komplexen Koeffizienten」、Amer。 Ｊ．Ｍａｔｈ．、67 (4): 472–480、土井:10.2307/2371974、JSTOR  2371974
   • ベネデッティ、R.; クラグノリーニ、P. (1984)、「エルミート形式と対称形式の同時対角化について」、線形代数応用、57 : 215–226、doi : 10.1016/0024-3795(84)90189-7
5. Bosch, AJ (1986). 「正方行列の2つの対称行列への因数分解」. American Mathematical Monthly . 93 (6): 462– 464. doi :10.2307/2323471. JSTOR  2323471.
6. Golub, GH ; van Loan, CF (1996).行列計算. ジョンズ・ホプキンス大学出版局. ISBN 0-8018-5413-X. OCLC  34515797。
7. ディウドネ, ジャン・A. (1969). 「定理 (8.12.2)」.現代解析学の基礎. アカデミック・プレス. p. 180. ISBN 0-12-215550-5. OCLC  576465。

参考文献

• ホーン、ロジャー A.; ジョンソン、チャールズ R. (2013)、『マトリックス分析』（第 2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54823-6

外部リンク

• 「対称行列」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 実対称行列の固有値特性の簡単な紹介と証明
• C++で対称行列を実装する方法

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