円軌道

Orbit with a fixed distance from the barycenter

アイザック・ニュートンの砲弾。経路 C は円軌道を描きます。

円軌道とは、重心の周りの一定の距離、つまり円を描く軌道です。この場合、距離だけでなく、速度、角速度、位置エネルギー、運動エネルギーも一定です。近点や遠点はありません。この軌道には、半径方向のバージョンはありません。

以下に、標準的な仮定に基づく天体力学または天体力学における円軌道を示す。ここで、求心力は重力であり、前述の軸は中心質量の中心を通る 軌道面に垂直な線である。

円加速度

横方向の加速度（速度に垂直な方向）は方向の変化を引き起こします。加速度の大きさが一定で、速度に応じて方向が変化する場合は、 円運動が発生します。粒子の座標を時間に関して2回微分すると、向心加速度が得られます。

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

どこ：

• ${\displaystyle v\,}$は軌道を周回する物体の軌道速度であり、
• ${\displaystyle r\,}$円の半径です
• ${\displaystyle \omega \ }$角速度は、単位時間あたりのラジアンで測定されます。

この式は無次元であり、式全体に均一に適用されるすべての測定単位に当てはまる比率を表します。数値がメートル毎秒の2乗で測定される場合、数値はメートル毎秒、メートル、ラジアン毎秒で表されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle \omega \ }$

速度

質量中心に対する速度（または速度の大きさ）は一定である：^{[1] ：30}

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle G}$は重力定数である
• ${\displaystyle M}$は、両方の軌道を回る天体の質量ですが、一般的な慣習では、大きい方の質量が大幅に大きい場合は、小さい方の質量は無視されることが多く、結果の変化は最小限になります。 ${\displaystyle (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$は標準的な重力パラメータです。
• ${\displaystyle r}$重心からの距離です。

運動方程式

極座標における軌道方程式は一般に r を θ で表し、次のように簡約される。^{[要説明] [要引用]}

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

どこ：

• ${\displaystyle h=rv}$軌道を周回する物体の特定の角運動量です。

これは、 ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

角速度と軌道周期

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

したがって、軌道周期（）は次のように計算できる：^{[1] ：28} ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

2つの比例量、自由落下時間（静止状態から質点に落下するまでの時間） を比較します。

${\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$（円軌道の軌道周期の17.7%）

放物線軌道上の質点に落下する時間

${\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$（円軌道の軌道周期の7.5%）

数式が定数倍だけ異なるという事実は次元解析から事前に明らかである。^[要出典]

エネルギー

この図の左上象限には円軌道が描かれており、中心質量の重力ポテンシャル井戸が位置エネルギーを示し、軌道速度の運動エネルギーが赤で示されています。運動エネルギーの高さは、等速度円軌道全体にわたって一定です。

特定の軌道エネルギー（）は負であり、 ${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

したがって、ビリアル定理^{[1] :72は}時間平均を取らなくても適用される: ^{[引用が必要]}

• 系の運動エネルギーは全エネルギーの絶対値に等しい
• 系の位置エネルギーは総エネルギーの2倍に等しい

どの距離からの脱出速度も、その距離での円軌道の速度の√2倍です。運動エネルギーは2倍なので、総エネルギーはゼロになります。[^要出典]

円軌道に到達するためのデルタv

静止軌道のような大きな円軌道への移動には、脱出軌道よりも大きなデルタvが必要となる。ただし、脱出軌道は、円軌道の軌道速度に必要なエネルギーよりも大きく、かつ任意に遠くまで離れることを意味する。これは、軌道への移動の問題でもある。ホーマン遷移軌道も参照のこと。

一般相対論における軌道速度

シュワルツシルト計量では、半径 の円軌道の軌道速度は次の式で表されます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

中心体のシュワルツシルト半径はどこですか？ ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

導出

便宜上、導出は の単位で記述されます。 ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

円軌道上の物体の 4 元速度は次のように表されます。

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

（円軌道上では定数であり、座標は となるように選ぶことができる）。変数の上の点は、固有時 に関する微分を表す。 ${\displaystyle \scriptstyle r}$ ${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

質量を持つ粒子の場合、4 元速度の成分は次の式を満たします。

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1}$

測地線方程式を使います:

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0}$

唯一の非自明な方程式は に関する方程式です。これは次の式を与えます。 ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

このことから次のことが分かります。

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

これを質量のある粒子の式に代入すると次のようになります。

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1}$

したがって:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

半径 に観測者がおり、中心物体に対して運動していないと仮定します。つまり、その四元速度はベクトル に比例します。正規化条件は、次の式に等しいことを意味します。 ${\displaystyle \scriptstyle r}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

観測者と周回物体の4つの速度のドット積は、観測者に対する周回物体のガンマ係数に等しいので、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

これにより速度は次のようになります。

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

または、SI単位では：

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

図の上部では、時計回りの円軌道（黄色の点）を周回する衛星が、無視できる質量の物体を打ち上げています。
（1 - 青）地球に向かう物体、
（2 - 赤）地球から離れる物体、
（3 - 灰色）移動方向に向かう物体、
（4 - 黒）移動方向の後方に向かう物体です。

破線の楕円は地球を基準とした軌道です。実線は衛星に対する摂動を表しています。ある軌道では、（1）と（2）は衛星の両側で時計回りのループを描いて衛星に戻ります。直感に反して、（3）はどんどん後ろへ螺旋状に進み、（4）は前へ螺旋状に進んでいます。

参照

• 楕円軌道
• 軌道一覧
• 二体問題

参考文献

1. リサウアー、ジャック・J.; デ・パター、イムケ (2019). 『基礎惑星科学：物理学、化学、そして居住可能性』 ニューヨーク、ニューヨーク州、アメリカ合衆国: ケンブリッジ大学出版局. p. 604. ISBN 9781108411981。

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