保存法

物理学において、保存則とは、孤立した物理系における特定の測定可能な特性は、系が時間とともに変化しても変化しないという法則です。厳密な保存則には、質量エネルギー保存則、線運動量保存則、角運動量保存則、電荷保存則などがあります。また、質量、パリティ、^[1] レプトン数、重粒子数、ストレンジネス、ハイパーチャージなどの量に適用される近似的な保存則も数多く存在します。これらの量は、特定の物理過程においては保存されますが、すべての物理過程において保存されるわけではありません。

局所保存則は通常、連続方程式、つまりある量の量とその量の「輸送」との関係を示す偏微分方程式として数学的に表現されます。これは、ある点またはある体積内の保存量の量は、その体積に流入または流出する量の量によってのみ変化することを述べています。

ノイマンの定理によれば、あらゆる微分可能な対称性は局所的な保存則を導く。^[2]^[3]^[4]その他の保存量も存在する可能性がある。

自然の基本法則としての保存則

保存則は、自然界でどのような過程が起こり得るか、起こり得ないかを記述するものであり、物理世界を理解する上で基本的なものです。たとえば、エネルギー保存則は、孤立系におけるエネルギーの総量は、形は変わることがあっても変化しないとしています。一般に、この法則に支配される特性の総量は、物理過程において変化しません。古典物理学における保存則には、エネルギー、質量（または物質）、線形運動量、角運動量、電荷の保存が含まれます。素粒子物理学においては、一方が通常粒子でもう一方が反粒子である場合を除いて、粒子は生成も破壊もされません。対称性と不変性に関しては、空間、時間、電荷の反転に関連する 3 つの特別な保存則が記述されています。

保存則は自然の基本法則であると考えられており、物理学だけでなく、化学、生物学、地質学、工学などの他の分野でも広く応用されています。

ほとんどの保存則は、あらゆる可能な過程に適用されるという意味で、正確、あるいは絶対的です。一部の保存則は、一部の過程には適用できるが、他の過程には適用できないという意味で、部分的です。

局所的保存則に関する特に重要な結果の一つはノイマンの定理であり、これは、局所的保存則のそれぞれと宇宙の微分可能な 対称性との間に一対一の対応関係が存在することを述べている。例えば、局所的エネルギー保存則は時間の一様性から導かれ、局所的角運動量保存則は空間の等方性から生じる。 [ ^2]^[5]^{[4]すなわち、空間には優先方向が存在しないからである。注目すべきことに、}時間反転に関連する保存則は存在しないが、時間反転と他の対称性を組み合わせたより複雑な保存則は知られている。

正確な法律

対称性による物理的保存方程式のうち、厳密な法則であると言われているもの、より正確には、破られていることが証明されたことがないものの一部を以下に示します。

保存法	それぞれのノイマン対称性不変性		独立パラメータの数（つまり位相空間の次元）
エネルギー保存則 E	時間変換不変性	ポアンカレ不変性	1	t軸に沿った時間の移動
線形運動量保存則 p	空間並進不変性		3	x、y、z軸に沿った空間の移動
角運動量保存則 L = r × p	回転不変性		3	x、y、z軸を中心とした空間の回転
ブースト3ベクトルの保存N = t p − E r	ローレンツブースト不変性		3	x、y、z軸に沿った時空のローレンツブースト
電荷保存則	U(1) _Q ゲージ不変性		1	V軸に沿った電気力学的スカラーポテンシャル場の変換（位相空間内）
色荷の保存	SU(3) _C ゲージ不変性		3	r、g、b軸に沿った色力学的ポテンシャル場の変換（位相空間内）
弱いアイソスピンの保存	SU(2) _L ゲージ不変性		1	位相空間における軸に沿った弱いポテンシャル場の移動
バリオン数とレプトン数の差B − Lの保存	U(1) _B−Lゲージ不変性		1

もう一つの正確な対称性はCPT対称性であり、これは空間と時間の座標が同時に反転し、同時にすべての粒子と反粒子が入れ替わる対称性である。しかし、これは離散対称性であるため、ノイマンの定理は適用されない。したがって、保存量であるCPTパリティは、通常、意味のある形で計算または決定することはできない。

おおよその法則

近似的な保存則も存在します。これらは、低速、短い時間スケール、特定の相互作用など、特定の状況において近似的に当てはまります。

（マクロな）力学的エネルギーの保存（摩擦のような散逸力のないプロセスではほぼ真）
（静止）質量の保存（非相対論的速度では近似的に成り立つ）
重粒子数の保存（カイラル異常とスファレロンを参照）
レプトン数の保存（標準模型において）
フレーバーの保存（弱い相互作用によって破れる）
奇妙さの保存（弱い相互作用によって破れる）
空間パリティの保存（弱い相互作用によって破れる）
電荷パリティの保存則（弱い相互作用によって破れる）
時間パリティの保存（弱い相互作用によって破れる）
CPパリティの保存（弱い相互作用によって破れる）
CPT対称性の保存（標準モデルにおいて）。

地球規模および地域規模の保全法則

宇宙で保存されているある量の総量は、同量のエネルギーが一点Aに現れ、同時に別の別の点Bから消失した場合でも、不変のままである可能性があります。たとえば、ある量のエネルギーが地球上に現れても、宇宙の他の領域から同じ量のエネルギーが消失した場合、宇宙の総量は変化しません。この「グローバル」保存の弱い形態は、ローレンツ不変ではないため、実際には保存則ではなく、上記のような現象は自然界では発生しません。^[6]^[7]特殊相対性理論により、ある慣性系でAにおけるエネルギーの出現とBにおけるエネルギーの消失が同時に起こったとしても、最初の慣性系に対して動いている他の慣性系ではそれらは同時ではありません。動いている系では、一方が他方より先に起こります。つまり、 AのエネルギーはBのエネルギーが消失する前か後に現れます。どちらの場合も、その間エネルギーは保存されません。

より強い形の保存則では、ある点における保存量の量が変化するためには、その点への、あるいはその点からの量の流入、あるいは流出がなければならないと規定されます。例えば、ある点における電荷量は、電荷の差を運ぶ電流が点に流入、あるいは流出しない限り変化しません。この強いタイプの保存則は連続的な局所的変化のみを伴うため、ローレンツ不変です。つまり、ある基準系で保存される量は、すべての移動する基準系において保存されます。^[6]^[7] これは局所保存則と呼ばれます。^[6]^[7] 局所保存則は、宇宙における保存量の総量が一定であるという、大域的保存則も意味します。上記の保存則はすべて局所保存則です。局所保存則は数学的には連続方程式で表現され、体積内の量の変化は、体積の表面を通る量の正味の「流出」の総量に等しいと述べられます。以下のセクションでは、連続方程式について一般的に説明します。

微分形式

連続体力学において、正確な保存則の最も一般的な形は連続方程式によって与えられます。例えば、電荷 $q$ の保存則は、 $\nabla\cdot$ が発散演算子、 $ρが$ $q$ の密度（単位体積あたりの量）、 $jが$ $q$ の流束（単位時間あたりに単位面積を横切る量）、 $t$ が時間であるとして、次のように表されます。 ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,$

電荷の運動uが位置と時間の連続関数であると仮定すると、 ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}$

1 つの空間次元では、これは同次 1 次準線型双曲方程式の形に表すことができます。^[8]^{: 43}ここで、従属変数 $y$ は保存量の密度と呼ばれ、 $A$ $($ $y$ $)は$ 現在のヤコビアンと呼ばれ、偏導関数の下付き文字が使用されています。より一般的な非同次ケース:は保存方程式ではなく、散逸システムを説明する一般的な種類のバランス方程式です。従属変数 $y$ は非保存量と呼ばれ、非同次項 $s$ $($ $y$ $、$ $x$ $、$ $t$ $)は発生$ 源、つまり散逸です。たとえば、この種のバランス方程式には、運動量およびエネルギーのナビエ・ストークス方程式、または一般的な孤立システムのエントロピーバランスがあります。 $y_{t}+A(y)y_{x}=0$ $y_{t}+A(y)y_{x}=s$

1次元空間では、保存方程式は移流形式にできる1次準線型双曲方程式である。ここで従属変数 $y$ $($ $x$ $,$ $t$ $)は$ 保存量（スカラー）の密度と呼ばれ、 $a$ $($ $y$ $)は$ 電流係数と呼ばれ、通常は保存量 $j$ $($ $y$ $)の$ 電流密度の保存量における偏微分に対応する。^[8]^：43 $y_{t}+a(y)y_{x}=0$ $a(y)=j_{y}(y)$

この場合、連鎖律が適用されるので、保存方程式は電流密度の形に表すことができます。 $j_{x}=j_{y}(y)y_{x}=a(y)y_{x}$ $y_{t}+j_{x}(y)=0$

複数の次元を持つ空間では、前述の定義を次の形式にできる方程式に拡張できます。 $y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0$

ここで、保存量は $y (r, t)$ 、 $\cdot$ はスカラー積、 $\nabla は$ ナブラ演算子で、ここでは勾配を示します。a $($ $y$ $)$ は電流係数のベクトルで、保存量 $j$ $($ $y$ $)に関連付け$ $られ$ たベクトル電流密度の発散に類似しています。 $y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0$

これは連続方程式の場合です。 $\rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

ここで保存量は質量であり、密度 $ρ (r, t)$ と電流密度 $ρ u$ は運動量密度と同一であり、 $u (r, t)は$ 流速である。

一般的な場合、保存方程式は、次のような種類の方程式の連立（ベクトル方程式）になることもあります。^[8]^：43ここで、 $y$ は保存（ベクトル）量、 $\nablay$ $は$ その勾配、 $0$ は零ベクトル、 $A$ $（$ $y$ $）は電流密度の$ ヤコビアンと呼ばれます。実際、前述のスカラーの場合と同様に、ベクトルの場合もA（y ）は通常、電流密度行列 $J$ $（$ $y$ $）$ のヤコビアンに対応し、保存方程式は次のようになります。 $\mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}$ $\mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )$ $\mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}$

例えば、オイラー方程式（流体力学）の場合、これは当てはまります。単純な非圧縮性の場合、以下のようになります。 $\nabla \cdot \mathbf {u} =0\,,\qquad {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,$

どこ：

$u$ は流速ベクトルであり、N次元空間の成分は $u 1, u 2, ..., u N$ である。
$s$ は、ソース項を与える比圧（単位密度あたりの圧力）、

これらの方程式の保存量（ベクトル）と電流密度行列はそれぞれ次のようになることがわかります。

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad$

ここでは外積を表します。 $\otimes$

積分形式と弱形式

保存方程式は通常、積分形式でも表すことができます。後者の利点は、解の滑らかさをあまり必要としないことです。これにより、弱形式への道が開かれ、許容される解のクラスが不連続解を含むように拡張されます。^[8]^：62–63任意の時空領域で電流密度形式を1次元空間で積分すると、グリーンの定理を使用すると、積分形式は次のようになります。 $y_{t}+j_{x}(y)=0$ $\int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0$

同様に、スカラー多次元空間の積分形式は次のようになる。ここで線積分は領域の境界に沿って反時計回りに行われる。^[8]^{: 62–63} $\oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0$

さらに、時間と空間の両方で連続的に微分可能でコンパクトな台を持つテスト関数 φ ( r , t ) を定義することで、初期条件を軸として弱形式を得ることができる。1次元空間では、これは次のようになる。 $\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx$

弱形式では、密度と電流密度のすべての偏微分がテスト関数に渡されており、前者の仮説ではこれらの微分を許容するのに十分滑らかである。^[8]^：62–63

参照

不変量（物理学）
勢い
- コーシー運動量方程式
エネルギー
- エネルギー保存則と熱力学第一法則
保守的なシステム
保存量
- いくつかの種類のヘリシティは散逸なしの極限で保存されます：流体ヘリシティ、磁気ヘリシティ、クロスヘリシティ。
可変性の原理
応力エネルギーテンソルの保存則
リーマン不変量
物理学の哲学
全体主義の原則
対流拡散方程式
自然の均一性

例と応用

注記

^ Lee, TD ; Yang, CN (1956). 「弱い相互作用におけるパリティ保存の疑問」. Physical Review . 104 (1): 254– 258. Bibcode :1956PhRv..104..254L. doi : 10.1103/PhysRev.104.254 .
^ ab Ibragimov, NH CRC リー群微分方程式解析ハンドブック第1巻 - 対称性、厳密解、保存則 (CRC Press、2023)
^ コスマン＝シュワルツバッハ、Y.著『ノイマンの定理の哲学と物理学：100周年記念第4-24巻』（ケンブリッジ大学出版局、2022年）
^ ab Rao, AK, Tripathi, A., Chauhan, B. & Malik, RP BRST形式における（反）BRST電荷のノイマン定理と冪零性：簡潔なレビュー。Universe 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
^ Kosmann-Schwarzbach, Y.「ノイマンの定理の哲学と物理学：100周年記念第4-24巻」（ケンブリッジ大学出版局、2022年）。
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^ abc ウィル、クリフォード・M. (1993). 重力物理学の理論と実験. ケンブリッジ大学出版局. p. 105. ISBN 978-05214397322017年2月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^ abcdef Toro, EF (1999). 「第2章双曲型偏微分方程式の概念」リーマンソルバーと流体力学の数値解析法シュプリンガー・フェアラークISBN 978-3-540-65966-2。

参考文献

Philipson, Schuster、「非線形微分方程式によるモデリング：散逸プロセスと保存プロセス」、World Scientific Publishing Company 2009 年。
Victor J. Stenger、2000年。『タイムレス・リアリティ：対称性、シンプルさ、そして多重宇宙』。ニューヨーク州バッファロー：プロメテウス・ブックス。第12章は、対称性、不変性、そして保存則への穏やかな入門書です。
E. Godlewski と PA Raviart、「双曲型保存則システム」、Ellipses、1991 年。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにおける自然保護法に関するメディア
保全法則 – オンライン教科書の第11章～第15章

[1] Lee, TD ; Yang, CN (1956). 「弱い相互作用におけるパリティ保存の疑問」. Physical Review . 104 (1): 254– 258. Bibcode :1956PhRv..104..254L. doi : 10.1103/PhysRev.104.254 .

[Ibragimov-2] Ibragimov, NH CRC リー群微分方程式解析ハンドブック第1巻 - 対称性、厳密解、保存則 (CRC Press、2023)

[3] コスマン＝シュワルツバッハ、Y.著『ノイマンの定理の哲学と物理学：100周年記念第4-24巻』（ケンブリッジ大学出版局、2022年）

[auto-4] Rao, AK, Tripathi, A., Chauhan, B. & Malik, RP BRST形式における（反）BRST電荷のノイマン定理と冪零性：簡潔なレビュー。Universe 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566

[5] Kosmann-Schwarzbach, Y.「ノイマンの定理の哲学と物理学：100周年記念第4-24巻」（ケンブリッジ大学出版局、2022年）。

[Aitchison-6] Aitchison, Ian JR; Hey, Anthony JG (2012). 素粒子物理学におけるゲージ理論：実践的入門：相対論的量子力学からQEDまで、第4版、第1巻。CRC Press. p. 43. ISBN 978-1466512993. 2018年5月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[Will-7] ウィル、クリフォード・M. (1993). 重力物理学の理論と実験. ケンブリッジ大学出版局. p. 105. ISBN 978-05214397322017年2月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[Toro-8] Toro, EF (1999). 「第2章双曲型偏微分方程式の概念」リーマンソルバーと流体力学の数値解析法シュプリンガー・フェアラークISBN 978-3-540-65966-2。

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