Vector operator in vector calculus
異なるベクトル場の発散。点( x , y )からのベクトルの発散は、その点における x 成分の x に関する偏微分と y 成分の y に関する偏微分との和に等しい ∇ ⋅ ( V ( x , y ) ) = ∂ V x ( x , y ) ∂ x + ∂ V y ( x , y ) ∂ y {\displaystyle \nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}} ベクトル計算 において 、 発散は ベクトル場 に対して作用する ベクトル演算子 であり 、ベクトル場が各点の微小近傍における体積を変化させる速度を与える スカラー場 を生成します。（2次元では、この「体積」は面積を指します。）より正確には、ある点における発散とは、 小さな体積がその点まで縮小するときに、
ベクトル場の流れが 極限においてその点の周りの体積を変化させる速度です。
例として、加熱または冷却される空気を考えてみましょう。各点における空気の 速度は ベクトル場を定義します。ある領域で空気が加熱されている間、空気はあらゆる方向に膨張するため、速度場はその領域から外側に向かいます。したがって、その領域における速度場の発散は正の値になります。空気が冷却され、収縮している間、速度の発散は負の値になります。
発散の物理的解釈 物理的な用語で言えば、ベクトル場の発散とは、ベクトル場の フラックスが特定の点において ソースまたはシンク のように振る舞う 程度です。これは、ベクトル場の「出射性」、つまり空間の微小領域から出射する場のベクトルが、そこに入射する場のベクトルよりも多い程度の局所的な尺度です。フラックスが出射する点は正の発散を持ち、しばしば場の「ソース」と呼ばれます。フラックスが内側に向けられる点は負の発散を持ち、しばしば場の「シンク」と呼ばれます。特定の点を囲む小さな面を通る場のフラックスが大きいほど、その点における発散の値は大きくなります。囲む面を通るフラックスがゼロの点は、発散がゼロです
ベクトル場の発散は、多くの場合、 流体、液体、または気体の 速度場という簡単な例を使用して説明されます。 移動する気体は 速度 、つまり各点での速さと方向を持ち、これらは ベクトル で表すことができるため、気体の速度は ベクトル場 を形成します。 気体は加熱されると膨張します。これにより、気体粒子はあらゆる方向へ外側へ正味運動します。気体内の閉じた表面は膨張している気体を囲むため、表面を通る気体の外向きの流束が生じます。そのため、速度場はどこでも正の発散を持ちます。同様に、気体が冷却されると収縮します。どの体積でも気体粒子のための空間が増えるため、流体の外部圧力により、どの閉じた表面でも内側へ向かう気体体積の正味の流れが生じます。そのため、速度場はどこでも負の発散を持ちます。 対照的に、一定の温度と圧力下にある気体では、どの閉じた表面からも出る気体の正味流束はゼロです。気体は動いているかもしれませんが、任意の閉面への流入量と流出量の割合は等しくなければならないため、 正味の 流束はゼロになります。したがって、気体速度はどこでも発散がゼロになります。どこでも発散がゼロの場は ソレノイドと 呼ばれます。
気体が1点または小さな領域でのみ加熱された場合、または1点に追加の気体源を供給する小さな管が導入された場合、そこにある気体は膨張し、周囲の流体粒子をあらゆる方向に外側に押し出します。これにより、加熱された点を中心に、気体全体に外向きの速度場が発生します。加熱された点を囲む閉面からは、そこから流出する気体粒子の流束が発生するため、その点では正の発散が発生します。しかし、その点を囲ま ない 閉面では、内部の気体密度は一定であるため、体積から流入する流体粒子の数と流出する粒子の数は等しく、体積からの正味の流束はゼロになります。したがって、他の点における発散はゼロです。
定義 点 xにおける発散は、 x を囲む 任意の閉領域列 V 1 、 V 2 、 V 3 、… の体積に対する 、 表面 Si （赤い矢印） を通る流束の比の限界であり、 体積は0に近づきます Φ {\displaystyle \Phi } | V i | {\displaystyle |V_{i}|} div F = lim | V i | → 0 Φ ( S i ) | V i | {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}} 点 x 0におけるベクトル場 F ( x ) の発散は、 x 0 を囲む体積 V の閉曲面からの F の 面積分 と Vの体積 の比の 、V がゼロに収縮するとき の 極限として定義されます。
div F | x 0 = lim V → 0 1 | V | {\displaystyle \left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}} S ( V ) {\displaystyle \scriptstyle S(V)} F ⋅ n ^ d S {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS} ここで、 | V | は V の体積、 S ( V ) は V の境界、そしてその面の外向きの単位法線です。上記の極限は、 x 0 を含み体積がゼロに近づく任意 の 体積 列 に対して 常に 同じ 値 に 収束 する こと が 示されます。結果の div F は、 x の スカラー 関数 です 。 n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }
ため、どの座標系 でも発散は同じであることがわかります 。ただし、上記の定義は実際には発散を計算するためにあまり使用されません。ベクトル場が座標系で与えられている場合、以下の座標定義を使用する方がはるかに簡単です
あらゆる場所で発散がゼロのベクトル場は ソレノイドと 呼ばれます。この場合、任意の閉面には正味の磁束が存在しません。これは、ベクトル場（の流れ）が体積を保存するということと同じです。つまり、任意の領域の体積は、流れによって任意の時間輸送された後も変化しません。
座標における定義
直交座標 3次元直交座標において、 連続微分可能 ベクトル場の発散は、 スカラー 値関数として定義されます 。 F = F x i + F y j + F z k {\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }
div F = ∇ ⋅ F = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) ⋅ ( F x , F y , F z ) = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z . {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}
座標で表現されていますが、物理的な解釈が示唆するように、結果は 回転に対して不変です。これは、 N 次元空間における N 次元ベクトル場 F の ヤコビ行列 のトレースが、任意の可逆線形変換に対して不変であるためです [ 説明 が 必要 ]
発散 ∇ · F の一般的な表記法は便利なニーモニックであり、ドットは ドット積を連想させる演算を表します。つまり、 ∇ 演算子（ delを 参照）の要素を取り、それらを F の対応する要素に適用し 、結果を合計します。演算子を適用することは要素を乗算することとは異なるため、これは 表記法の乱用 と見なされます。
円筒座標 局所 単位 円筒座標 で次のように 表されるベクトルの 場合、 e a は方向a の単位ベクトルであり 、発散は [1]です。 F = e r F r + e θ F θ + e z F z , {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},} div F = ∇ ⋅ F = 1 r ∂ ∂ r ( r F r ) + 1 r ∂ F θ ∂ θ + ∂ F z ∂ z . {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}
局所座標の使用は、式の妥当性にとって不可欠です。 位置ベクトル x と、対応するグローバル 円筒座標をベクトルに割り当てる関数 r ( x ) 、 θ ( x ) 、 z ( x )を考えると 、 一般に 、、、 およびになります 。 特に、恒等関数 F ( x ) = x を考えると、次のようになります。 r ( F ( x ) ) ≠ F r ( x ) {\displaystyle r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )} θ ( F ( x ) ) ≠ F θ ( x ) {\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )} z ( F ( x ) ) ≠ F z ( x ) {\displaystyle z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )}
θ ( F ( x ) ) = θ ≠ F θ ( x ) = 0. {\displaystyle \theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0.}
球面座標 球面座標 において 、 θは Z 軸との角度 、 φは Z 軸周りの回転 、 Fは 再び局所単位座標で書かれると、発散は [2]です。 div F = ∇ ⋅ F = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 F r ) + 1 r sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ F θ ) + 1 r sin θ ∂ F φ ∂ φ . {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta \,F_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}
テンソル場 Aを 次のように定義される 連続微分可能な2階 テンソル場 とします。
A = [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}}
直交座標系における発散は1階テンソル場 であり、2つの方法で定義できます。 [4]
div ( A ) = ∂ A i k ∂ x k e i = A i k , k e i = [ ∂ A 11 ∂ x 1 + ∂ A 12 ∂ x 2 + ∂ A 13 ∂ x 3 ∂ A 21 ∂ x 1 + ∂ A 22 ∂ x 2 + ∂ A 23 ∂ x 3 ∂ A 31 ∂ x 1 + ∂ A 32 ∂ x 2 + ∂ A 33 ∂ x 3 ] {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )={\frac {\partial A_{ik}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ik,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}}
および [5] [6] [7]
∇ ⋅ A = ∂ A k i ∂ x k e i = A k i , k e i = [ ∂ A 11 ∂ x 1 + ∂ A 21 ∂ x 2 + ∂ A 31 ∂ x 3 ∂ A 12 ∂ x 1 + ∂ A 22 ∂ x 2 + ∂ A 32 ∂ x 3 ∂ A 13 ∂ x 1 + ∂ A 23 ∂ x 2 + ∂ A 33 ∂ x 3 ] {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{ki}}{\partial x_{k}}}~\mathbf {e} _{i}=A_{ki,k}~\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial A_{11}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{21}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{31}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{12}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{22}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{32}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial A_{13}}{\partial x_{1}}}+{\dfrac {\partial A_{23}}{\partial x_{2}}}+{\dfrac {\partial A_{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}
我々は
div ( A T ) = ∇ ⋅ A {\displaystyle \operatorname {div} {\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)}=\nabla \cdot \mathbf {A} }
テンソルが対称な場合、 A ij = A ji となります 。 このため、文献では2つの定義（および記号 div と ）が互換的に使用されることがよくあります（特にテンソル対称性が仮定されている力学方程式において）。 div ( A ) = ∇ ⋅ A {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} } ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
円筒座標と球面座標におけるの表現は、 円筒座標と球面座標におけるdelの 記事に記載されています 。 ∇ ⋅ A {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }
一般座標 アインシュタイン記法 を用いると、 一般座標 における発散を考えることができます。これは x 1 , …, x i , …, x n と書きます 。ここで、 n は定義域の次元数です。ここで、上付き添字は座標または成分の番号を指すため、 x 2 は 2番目の成分を指し、量 x の2乗ではありません。添字変数 iは、 x i などの任意の成分を指すために使用されます 。Voss- Weylの 公式 [8] は、単純な偏座標微分を用いて発散を決定できるようにしており、以下の通りです。
div ( F ) = 1 ρ ∂ ( ρ F i ) ∂ x i , {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\left(\rho \,F^{i}\right)}}{\partial x^{i}}},}
ここで、 は 体積要素 の局所係数であり 、 F i は 局所非正規化 共変基底 （ と表記されることもある ） に関する の成分です。 アインシュタイン記法は、 i が上付き添字と下付き添字の両方として現れるため、 iについての和を意味します。 ρ {\displaystyle \rho } F = F i e i {\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}} e i = ∂ x / ∂ x i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}
体積係数 ρ は、座標系に依存する位置の関数です直交座標、円筒座標、球座標では、前と同じ規則を使うと、それぞれ ρ = 1 、 ρ = r 、 ρ = r 2 sin θ となります。体積は と表すこともできます。 ここで、 g ab は計量テンソル です 。 行列式は 、ベクトルのセットが与えられたときに、体積の適切な不変定義を提供するため登場します。行列式は添え字に依存しないスカラー量なので、添え字を省略して と書くことができます 。 絶対値は、擬リーマン空間などで行列式が負になる可能性のある一般的な場合を扱うために取られます。平方根を取る理由は少々微妙です。曲線座標から直交座標へ、そしてその逆へ進むときに、二重カウントを効果的に避けるためです。体積（行列式）は、 直交座標から曲線座標への変換の ヤコビアンとして理解することもでき、 n = 3 の場合 となります 。 ρ = | det g a b | {\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g_{ab}\right|}}} ρ = | det g | {\textstyle \rho ={\sqrt {\left|\det g\right|}}} ρ = | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( x 1 , x 2 , x 3 ) | {\textstyle \rho =\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}\right|}
いくつかの慣例では、前のセクションで行ったように、すべての局所基底元が単位長さに正規化されることが想定されています。 正規化された基底を 、 それに関する F の成分をと書くと、 計量テンソルの性質の1つを用いて となります。最後の等式の両辺に反変元 を点線で結ぶと 、 と結論付けることができます 。代入後、式は次のようになります
。 e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} F ^ i {\displaystyle {\hat {F}}^{i}} F = F i e i = F i ‖ e i ‖ e i ‖ e i ‖ = F i g i i e ^ i = F ^ i e ^ i , {\displaystyle \mathbf {F} =F^{i}\mathbf {e} _{i}=F^{i}\|{\mathbf {e} _{i}}\|{\frac {\mathbf {e} _{i}}{\|\mathbf {e} _{i}\|}}=F^{i}{\sqrt {g_{ii}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {F}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},} e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}} F i = F ^ i / g i i {\textstyle F^{i}={\hat {F}}^{i}/{\sqrt {g_{ii}}}}
div ( F ) = 1 ρ ∂ ( ρ g i i F ^ i ) ∂ x i = 1 det g ∂ ( det g g i i F ^ i ) ∂ x i . {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\frac {\rho }{\sqrt {g_{ii}}}}{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {\frac {\det g}{g_{ii}}}}\,{\hat {F}}^{i}\right)}{\partial x^{i}}}.}
詳細については、 § 曲線座標系を 参照してください。
性質 以下の性質はすべて、微積分 の通常の微分則から導くことができます 。最も重要なのは、発散は 線形演算子 、つまり
div ( a F + b G ) = a div F + b div G {\displaystyle \operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G} } すべてのベクトル場 F と G 、およびすべての 実数 a と b に対して であるということです。
次のタイプの 積の法則 があります。φ が スカラー値関数で F がベクトル場である場合、
div ( φ F ) = grad φ ⋅ F + φ div F , {\displaystyle \operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,} またはより示唆的な表記法では
∇ ⋅ ( φ F ) = ( ∇ φ ) ⋅ F + φ ( ∇ ⋅ F ) . {\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).} 3次元における 2つのベクトル場 F と G の外積 に関する別の積則は 回転 に関係しており、次のように記述されます。
div ( F × G ) = curl F ⋅ G − F ⋅ curl G , {\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,} または
∇ ⋅ ( F × G ) = ( ∇ × F ) ⋅ G − F ⋅ ( ∇ × G ) . {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).} スカラー場 の ラプラシアン は 、場の 勾配 の発散です。
div ( grad φ ) = Δ φ . {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .} 任意のベクトル場（3次元）の回転 の発散は ゼロです。
∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0. {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.} 発散ゼロのベクトル場 F が R 3 内の球体上に定義されている場合、 球体上に F = 回転 Gとなるベクトル場 G が存在します。R 3 内のこれよりも位相的に複雑な 領域では、後者の命題 は 誤りである可能性があります（ポアンカレの補題を参照）。 連鎖複体 の ホモロジー によって測定される、命題の真偽の度合いは、
{ scalar fields on U } → grad { vector fields on U } → curl { vector fields on U } → div { scalar fields on U } {\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {grad} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {curl} }{\rightarrow }}~\{{\text{vector fields on }}U\}~{\overset {\operatorname {div} }{\rightarrow }}~\{{\text{scalar fields on }}U\}} となる領域U の複雑さをうまく定量化したものとなります。これらは 、ド・ラーム・コホモロジー の始まりであり、主な動機です 。
分解定理 R 3 において2回連続微分 可能で、 | r | → ∞ に対して十分速く消滅する任意の定常フラックス v ( r )は、 非回転部分 E ( r ) と ソースフリー部分 B ( r ) に一意に分解できることが示されます 。さらに、これらの部分は、それぞれの ソース密度 （上記参照）と 循環密度（ Curlの 記事参照 ）によって明示的に決定されます。
非回転部分については
E = − ∇ Φ ( r ) , {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),} と
Φ ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ div v ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | . {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,d^{3}\mathbf {r} '\;{\frac {\operatorname {div} \mathbf {v} (\mathbf {r} ')}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.} ソースフリー部分B も同様に記述できます。スカラーポテンシャル Φ( r )を ベクトルポテンシャル A ( r ) に 、項 −∇Φを +∇ × A に 、ソース密度 div v を
循環密度 ∇ × v に 置き換えるだけです
この「分解定理」は、電気力学 の定常ケースの副産物です 。これは、 3次元を超える次元でも機能する、
より一般的な ヘルムホルツ分解の特殊なケースです。
任意の有限次元において ベクトル場の発散は、任意の有限次元で定義できます 。もし n {\displaystyle n}
F = ( F 1 , F 2 , … F n ) , {\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots F_{n}),} 座標が x 1 、 x 2 、…、 x n のユークリッド座標系において、次のように定義します
。
div F = ∇ ⋅ F = ∂ F 1 ∂ x 1 + ∂ F 2 ∂ x 2 + ⋯ + ∂ F n ∂ x n . {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.} 1次元の場合、 Fは 通常の関数に簡約され、発散は微分に簡約されます。
任意のn に対して 、発散は線形演算子であり、「積の法則」を満たします
。
∇ ⋅ ( φ F ) = ( ∇ φ ) ⋅ F + φ ( ∇ ⋅ F ) {\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} )} 任意のスカラー値関数 φ に対して。
外微分との関係 発散は、 R 3 において2次元形式 から3次元形式を とる 外微分 の特殊なケースとして表現できます 。現在の2次元形式を次のように定義します
j = F 1 d y ∧ d z + F 2 d z ∧ d x + F 3 d x ∧ d y . {\displaystyle j=F_{1}\,dy\wedge dz+F_{2}\,dz\wedge dx+F_{3}\,dx\wedge dy.} これは、密度ρ = 1 dx ∧ dy ∧ dz の「物質流体」が局所速度 F で運動し、単位時間あたりに表面を流れる「物質」の量を測定します。 その外微分 dj は 次のように与えられます 。
d j = ( ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z = ( ∇ ⋅ F ) ρ {\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot {\mathbf {F} })\rho } ここで は ウェッジ積 です ∧ {\displaystyle \wedge }
したがって、ベクトル場 F の発散は次のように表すことができます。
∇ ⋅ F = ⋆ d ⋆ ( F ♭ ) . {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {F} }={\star }d{\star }{\big (}{\mathbf {F} }^{\flat }{\big )}.} ここで、上付き文字 ♭ は2つの 音楽同型 の1つであり、 ⋆は ホッジスター演算子 です 。発散がこのように書かれる場合、演算子は 共微分 と呼ばれます 。現在の2形式と外微分を扱うことは、通常、ベクトル場と発散を扱うよりも簡単です。なぜなら、発散とは異なり、外微分は（曲線）座標系の変化と交換するからです。 ⋆ d ⋆ {\displaystyle {\star }d{\star }}
曲線座標において 曲線座標 では、適切な表現はより複雑になります 。ベクトル場の発散は、 体積形式 （または 密度 ） μ を持つ n 次元の任意の 微分可能多様体 、例えば リーマン多様体 や ローレンツ多様体に自然に拡張されます。R 3 上 のベクトル場の 2形式 の構築を一般化すると 、そのような多様体上で、ベクトル場 X は、 X を μ で 縮約することによって得られる ( n − 1) 形式 j = i X μ を定義します 。発散は次のように定義される関数です。
d j = ( div X ) μ . {\displaystyle dj=(\operatorname {div} X)\mu .} 発散は、リー微分 を用いて次のよう に定義できます。
L X μ = ( div X ) μ . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =(\operatorname {div} X)\mu .} これは、発散が、体積の単位（ 体積要素 ）がベクトル場とともに流れる際の膨張率を測定することを意味します。
擬リーマン多様体 上では 、体積に関する発散は、 レヴィ・チヴィタ接続 ∇ を 用い
て表すことができます
div X = ∇ ⋅ X = X a ; a , {\displaystyle \operatorname {div} X=\nabla \cdot X={X^{a}}_{;a},} ここで、2番目の式は1形式ベクトル場 ∇X を それ自身で縮約したものであり、最後の式はリッチ計算 の伝統的な座標式です 。
接続を用いない同等の式は
div ( X ) = 1 | det g | ∂ a ( | det g | X a ) , {\displaystyle \operatorname {div} (X)={\frac {1}{\sqrt {\left|\det g\right|}}}\,\partial _{a}\left({\sqrt {\left|\det g\right|}}\,X^{a}\right),} ここで、 gは 計量 であり 、座標 x a に関する偏微分を表します。計量 （の 行列式 の絶対値）の平方根は、 発散が 体積 の正しい概念で表されなければならないため、現れます。曲線座標系では、基底ベクトルはもはや直交座標系ではありません。この場合、行列式は体積の正しい概念を符号化します。行列式は2回現れます。1回目は を 「平坦空間」（座標は実際には直交座標系です）に変換できるように、もう1回目は も「平坦空間」に変換できるように、最終的に「通常の」発散が平坦空間における体積の「通常の」概念（ つまり 単位体積、 つまり 1、 つまり 書き記されない）で表されます。平方根は分母に現れます。なぜなら、微分は ベクトル（ 共変）と逆方向（ 反変 ）に変換されるからです。局所的な計算を従来の方法で行うことができる「平坦な座標系」に到達するというこの考え方は、 ヴィールバインと呼ばれます。これを別の方法で見るには 、 発散が 共微分を 隠したものであることに注意することです。つまり、発散は微分とホッジスターを含む式に対応します 。 ホッジ スター は 、 その構成により、 体積形がすべての適切な場所に現れるようにします。 ∂ a {\displaystyle \partial _{a}} X a {\displaystyle X^{a}} ∂ a {\displaystyle \partial _{a}} ⋆ d ⋆ {\displaystyle \star d\star } d {\displaystyle d} ⋆ {\displaystyle \star }
テンソルの発散 発散はテンソル にも一般化できます 。 アインシュタイン記法では、 反変ベクトル F μ の発散は 与えられます
。
∇ ⋅ F = ∇ μ F μ , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla _{\mu }F^{\mu },} ここで、 ∇ μ は共変微分 を表します。この一般的な設定では、発散の正しい定式化は、それが 共微分で あることを認識することです。 そこから適切な特性が導かれます
同様に、一部の著者は、音楽同型性 ＃ を用いて 混合テンソル の発散を定義している 。T が （ p 、 q ） - テンソル （ p は反変ベクトル、 q は共変ベクトル）である場合、 T の発散を （ p 、 q − 1 ） -テンソル と 定義する。
( div T ) ( Y 1 , … , Y q − 1 ) = trace ( X ↦ ♯ ( ∇ T ) ( X , ⋅ , Y 1 , … , Y q − 1 ) ) ; {\displaystyle (\operatorname {div} T)(Y_{1},\ldots ,Y_{q-1})={\operatorname {trace} }{\Big (}X\mapsto \sharp (\nabla T)(X,\cdot ,Y_{1},\ldots ,Y_{q-1}){\Big )};} つまり、 共変微分の 最初の2つの共変インデックス上のトレースを取る。 [a] 記号は 音楽同型性 を表す 。 ♯ {\displaystyle \sharp }
参照
注釈 ^ テンソルの「最初の」共変インデックスの選択は本質的であり、テンソルが多重線型写像 V × V × ... × V → R として与えられるベクトル空間の直積の項の順序に依存します。しかし、他のインデックスを用いることで、同様に明確に定義された発散の選択を行うことができます。したがって、指定されたインデックスに関して T の発散を指定する方が自然です 。ただし、この選択が本質的に無関係な重要な特殊なケースが2つあります。1つは、すべての選択が同等である完全対称反変テンソルの場合、もう1つは、選択が符号のみに影響する完全反対称反変テンソル（k ベクトル とも 呼ばれます）の場合です。
引用 ^ Wolfram Mathworldの円筒座標 ^ Wolfram Mathworldの球座標 ^ 「1.14 テンソル微積分 I：テンソル場」 （PDF） . 連続体力学の基礎 . 2013年1月8日時点のオリジナルからアーカイブ （PDF） . ^ William M. Deen (2016). Introduction to Chemical Engineering Fluid Mechanics. Cambridge University Press. p. 133. ISBN 978-1-107-12377-9 。 ^ Tasos C. Papanastasiou; Georgios C. Georgiou; Andreas N. Alexandrou (2000). Viscous Fluid Flow (PDF) . CRC Press. p. 66,68. ISBN 0-8493-1606-5 2020年2月20日時点のオリジナルから アーカイブ （PDF） 。 ^ Adam Powell（2010年4月12日）「ナビエ・ストークス方程式」 （PDF） 。 ^ Grinfeld, Pavel（2014年4月16日）「フォス・ワイルの公式（YouTubeリンク）」 YouTube 。2021年12月11日時点のオリジナルからアーカイブ。 2018年 1月9日 閲覧 。
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外部リンク ウィキメディア・コモンズには、 発散 に関連するメディアがあります
「発散」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001年 [1994] ベクトル場の発散の考え方 カーンアカデミー：発散のビデオレッスン サンダーソン、グラント（2018年6月21日）。「発散と回転：マクスウェル方程式、流体の流れ、その他における言語」。3Blue1Brown 。 2021年12月11日にオリジナルからアーカイブ – YouTube 経由。
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