平面曲線
円錐と傾斜面の交差によって得られる楕円 (赤)。 楕円：離心率が増加する例 数学 において 、 楕円とは、2つの 焦点 を囲む 平面曲線 であり 、曲線上のすべての点において、焦点までの距離の和が一定となる曲線です。 楕円は 、2つの焦点が一致する特殊な楕円である円を一般化したものです。楕円の伸長は、 離心率 によって測定されます。離心率は、 （ 円の 極限の場合 ）から（無限伸長の極限の場合、もはや楕円ではなく放物線 ） の範囲の数値です 。 e {\displaystyle e} e ＝ 0 {\displaystyle e=0} e ＝ 1 {\displaystyle e=1}
楕円の面積は簡単な 代数 解で求められますが、 周囲長（ 円周 とも呼ばれます ）については、正確な解を得るには 積分 が必要です。
楕円の 最大直径と最小 直径（幅と高さとも呼ばれます）は、通常 2a と 2b で表されます。楕円には 4 つの 端点 があります。 長軸 の両端に2 つの 頂点 、短軸の両端に 2 つの 共頂点です。
楕円内の注目すべき点と線分。 解析的に 、原点を中心とする標準楕円の方程式は： と仮定すると 、焦点は であり 、ここで （ 線型離心率 ）は中心から焦点までの距離である。標準的な 媒介変数方程式 は： × 2 1つの 2 + y 2 b 2 ＝ 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.} 1つの ≥ b {\displaystyle a\geq b} （ ± c 、 0 ） {\displaystyle (\pm c,0)} c ＝ 1つの 2 − b 2 {\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} （ × 、 y ） ＝ （ 1つの コス （ t ） 、 b 罪 （ t ） ） のために 0 ≤ t ≤ 2 π 。 {\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}
楕円は 円錐曲線 の 閉じたタイプです。 円錐 と 平面 の交点をなぞる平面曲線です （図を参照）。楕円は、放物線と 双曲線という 他の2つの円錐曲線と多くの類似点を持っています。放物線と双曲線はどちらも 開い ており、 境界がありません 。直円柱の 角度 付き 断面 も楕円です。
楕円は、1 つの焦点と、準線 と呼ばれる楕円の外側の線で定義することもできます 。楕円上のすべての点について、焦点までの距離と準線までの距離の比率は一定であり、 離心率 と呼ばれます。 e ＝ c 1つの ＝ 1 − b 2 1つの 2 。 {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}}
楕円は 物理学 、 天文学 、 工学 でよく用いられます。たとえば、 太陽系 の各惑星の 軌道は 、太陽を 1 つの焦点とするほぼ楕円形です (より正確には、焦点は太陽と惑星の ペア の重心です)。同じことが、惑星を周回する衛星や、その他すべての 2 つの天体からなる系にも当てはまります。惑星や恒星の形状は、多くの場合、 楕円体 でうまく説明できます。側面から見た円は楕円のように見えます。つまり、楕円は、円を 平行 投影または 透視投影した 像です。楕円は、水平方向と垂直方向の運動が同じ周波数の 正弦波 である場合に形成される最も単純な リサジュー図形 でもあります。同様の効果により、 光学 では光の 楕円偏光 が起こります。
ἔλλειψις ( élleipsis 、「省略」)という名前は、 ペルガのアポロニウスが著書 『円錐図法』 の中で 付けたものです 。
楕円：焦点までの距離の合計による定義 楕円：焦点と円準線による定義 楕円は、 ユークリッド平面上の 点の集合または軌跡として幾何学的に定義できます。
焦点と呼ばれる 2 つの固定点と、焦点間の距離よりも大きい距離が与えられた場合、楕円は 距離の合計が 次の値に等しくなるような 点の集合です 。 F 1 、 F 2 {\displaystyle F_{1},F_{2}} 2 1つの {\displaystyle 2a} P {\displaystyle P} | P F 1 | 、 | P F 2 | {\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|} 2 1つの {\displaystyle 2a} E ＝ { P ∈ R 2 ∣ | P F 2 | + | P F 1 | ＝ 2 1つの } 。 {\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,\left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a\right\}.} 焦点を結ぶ 線分 の 中点は楕円の 中心 と呼ばれます。焦点を通る直線は 長軸 、それに垂直で中心を通る直線は 短軸 と呼ばれます。 C {\displaystyle C} 長軸は楕円の2つの 頂点 で交差し、これらの 頂点からの中心までの距離は 焦点距離 または線離心率 と呼ばれます。この商が 離心率 として定義されます 。 V 1 、 V 2 {\displaystyle V_{1},V_{2}} 1つの {\displaystyle a} c {\displaystyle c} e ＝ c 1つの {\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}
このケースは 円となり、楕円の特殊なタイプとして含まれます。 F 1 ＝ F 2 {\displaystyle F_{1}=F_{2}}
この方程式は 別の方法でも見ることができます (図を参照)。 | P F 2 | + | P F 1 | ＝ 2 1つの {\displaystyle \left|PF_{2}\right|+\left|PF_{1}\right|=2a}
が中心 、半径 の円である 場合 、点 から円までの距離は 焦点までの距離に等しくなります 。 c 2 {\displaystyle c_{2}} F 2 {\displaystyle F_{2}} 2 a {\displaystyle 2a} P {\displaystyle P} c 2 {\displaystyle c_{2}} F 1 {\displaystyle F_{1}} | P F 1 | = | P c 2 | . {\displaystyle \left|PF_{1}\right|=\left|Pc_{2}\right|.} c 2 {\displaystyle c_{2}} は楕円の 円準線 （焦点に関連 ） と呼ばれます。 [ 1 ] [ 2 ] この性質は、以下の準線を使用した楕円の定義と混同しないでください。 F 2 {\displaystyle F_{2}}
ダンデリン球 を使用すると 、平面に頂点が含まれず、その傾斜が円錐上の線の傾斜よりも小さいと仮定すると、平面を含む円錐の任意の断面が楕円であることを証明できます。
形状パラメータ: a : 長半径、 b : 短半径、 c : 直線偏心、 p : 半広腸直腸 (通常は )。 ℓ {\displaystyle \ell } デカルト座標における楕円の標準的な形式では、原点が楕円の中心、 x 軸が長軸、次の式が成り立ちます。
焦点は点であり 、 F 1 = ( c , 0 ) , F 2 = ( − c , 0 ) {\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)} 頂点は です 。 V 1 = ( a , 0 ) , V 2 = ( − a , 0 ) {\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)} 任意の点について、 焦点までの距離 は であり 、もう一方の焦点までの距離は である 。したがって、 以下の場合、その点は楕円上にある。 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ( c , 0 ) {\displaystyle (c,0)} ( x − c ) 2 + y 2 {\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}} ( x + c ) 2 + y 2 {\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}} ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} ( x − c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a . {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}
適切な平方根をとって（図を参照）を使うと、 楕円 の 標準方程式が得られる： [ 3 ] または、 y について解くと： b 2 = a 2 − c 2 {\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}} x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,} y = ± b a a 2 − x 2 = ± ( a 2 − x 2 ) ( 1 − e 2 ) . {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}
幅と高さのパラメータは、 長半径と短半径 と呼ばれます 。上端と下端は 共頂点 です。 楕円上の点から左右の焦点まで の距離は、 それぞれ とです 。 a , b {\displaystyle a,\;b} V 3 = ( 0 , b ) , V 4 = ( 0 , − b ) {\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)} ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} a + e x {\displaystyle a+ex} a − e x {\displaystyle a-ex}
この方程式から、楕円は 座標軸に対して 対称であり、したがって原点に対して対称であることがわかります。
この記事全体を通して、 長半径と短半径は それぞれ とで 表されます 。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a ≥ b > 0 . {\displaystyle a\geq b>0\ .}
原理的には、標準的な楕円方程式は（したがって楕円は幅よりも高さが大きくなる） となる。この形式は、変数名 と パラメータ名 とを 転置することで標準形式に変換できる。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} a < b {\displaystyle a<b} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} a {\displaystyle a} b . {\displaystyle b.}
これは中心から焦点までの距離です 。 c = a 2 − b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
長軸a と短軸 b に関する 離心率 e : e ² + ( b/a )² = 1 離心率は次のように表すことができます。 e = c a = 1 − ( b a ) 2 , {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}},}
等しい軸を持つ楕円 ( ) は離心率がゼロで円であると 仮定します。 a > b . {\displaystyle a>b.} a = b {\displaystyle a=b}
長軸に垂直な、焦点を通る弦の長さは、 大腿直筋 と呼ばれる。その半分は 半大腿直筋 である。計算により、以下の式が得られる。 [ 4 ] ℓ {\displaystyle \ell } ℓ = b 2 a = a ( 1 − e 2 ) . {\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}
半直筋は 頂点における 曲率半径 に等しい（曲 率 の項を参照）。 ℓ {\displaystyle \ell }
任意の直線は 楕円と0点、1点、または2点で交わります。これらの点はそれぞれ 外線 、 接線、 割線 と呼ばれます。楕円の任意の点を通る接線は1つだけです。 楕円の任意の 点における接線の 座標方程式は次のようになります。 g {\displaystyle g} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} x 1 a 2 x + y 1 b 2 y = 1. {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}
接線の ベクトル 媒介変数方程式は次のようになります。 x → = ( x 1 y 1 ) + s ( − y 1 a 2 x 1 b 2 ) , s ∈ R . {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}
証明： を楕円上の点とし、 を 含む 任意の直線の方程式とする 。直線の方程式を楕円方程式に代入し、 を尊重すると 、以下のようになる。 以下の場合が存在する。 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} x → = ( x 1 y 1 ) + s ( u v ) {\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}} g {\displaystyle g} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} x 1 2 a 2 + y 1 2 b 2 = 1 {\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1} ( x 1 + s u ) 2 a 2 + ( y 1 + s v ) 2 b 2 = 1 ⟹ 2 s ( x 1 u a 2 + y 1 v b 2 ) + s 2 ( u 2 a 2 + v 2 b 2 ) = 0 . {\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}
x 1 a 2 u + y 1 b 2 v = 0. {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.} すると、直線 と楕円は 共通点を1点だけ持ち、 接線となる。接線方向は 垂直ベクトル を持つので、接線は 何らかの に対して方程式を持つ 。 は接線と楕円上にあるので、 が得られる 。 g {\displaystyle g} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} g {\displaystyle g} ( x 1 a 2 y 1 b 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}} x 1 a 2 x + y 1 b 2 y = k {\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k} k {\displaystyle k} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} k = 1 {\displaystyle k=1} x 1 a 2 u + y 1 b 2 v ≠ 0. {\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.} すると、直線は 楕円と共通する 2 番目の点を持ち、正接になります。 g {\displaystyle g} (1)を用いると、 が点 における接ベクトルである ことがわかり 、ベクトル方程式が証明される。 ( − y 1 a 2 x 1 b 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}} ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}
と が 楕円の2点であって となる 場合 、これらの点は2つの 共役直径 上にあります（ 下の を 参照）。（ の場合 、楕円は円であり、「共役」とは「直交」を意味します。） ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} x 1 u a 2 + y 1 v b 2 = 0 {\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0} a = b {\displaystyle a=b}
標準楕円を中心 に移動すると 、その方程式は ( x ∘ , y ∘ ) {\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)} ( x − x ∘ ) 2 a 2 + ( y − y ∘ ) 2 b 2 = 1 . {\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}
軸は依然として x 軸と y 軸に平行です。
平面上の一般的な楕円は、直交座標の2変数二次方程式として、または中心、長軸と短軸、角度を使用して一意に記述できます。 解析幾何学 では 、楕円は 二次曲面 として定義される。二次曲面とは、非退化の場合に 暗黙の 方程式 [ 5 ] [ 6 ] を満たす直交平面 上の 点の集合で ある。 ( x , y ) {\displaystyle (x,\,y)} A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} B 2 − 4 A C < 0. {\displaystyle B^{2}-4AC<0.}
退化している場合と退化 していない場合を区別するために 、 ∆を 行列式 とする。 Δ = | A 1 2 B 1 2 D 1 2 B C 1 2 E 1 2 D 1 2 E F | = A C F + 1 4 B D E − 1 4 ( A E 2 + C D 2 + F B 2 ) . {\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}
楕円が非退化実楕円となるのは、 C∆ <0のときのみである。C∆>0のときは 虚 楕円、 ∆ =0のときは点楕円となる。 [ 7 ] :63
一般的な方程式の係数は、既知の長半径 、短半径 、中心座標 、および回転角度 （正の水平軸から楕円の長軸までの角度）から次の公式を使用して取得できます。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ( x ∘ , y ∘ ) {\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)} θ {\displaystyle \theta } A = a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ B = 2 ( b 2 − a 2 ) sin θ cos θ C = a 2 cos 2 θ + b 2 sin 2 θ D = − 2 A x ∘ − B y ∘ E = − B x ∘ − 2 C y ∘ F = A x ∘ 2 + B x ∘ y ∘ + C y ∘ 2 − a 2 b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}
これらの式は、座標のユークリッド変換によって 標準方程式から導くことができます 。 X 2 a 2 + Y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1} ( X , Y ) {\displaystyle (X,\,Y)} X = ( x − x ∘ ) cos θ + ( y − y ∘ ) sin θ , Y = − ( x − x ∘ ) sin θ + ( y − y ∘ ) cos θ . {\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}
逆に、標準形パラメータは一般形係数から次の式で得られる： [ 3 ]
a , b = − 2 ( A E 2 + C D 2 − B D E + ( B 2 − 4 A C ) F ) ( ( A + C ) ± ( A − C ) 2 + B 2 ) B 2 − 4 A C , x ∘ = 2 C D − B E B 2 − 4 A C , y ∘ = 2 A E − B D B 2 − 4 A C , θ = 1 2 atan2 ( − B , C − A ) , {\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}
ここで、 atan2 は 2 つの引数を持つ逆正接関数です。
媒介変数方程式に基づく点の構築と、 デ・ラ・イールによるパラメータ tの解釈 等間隔のパラメータを持つ有理表現によって計算された楕円点（ ）。 Δ u = 0.2 {\displaystyle \Delta u=0.2} 三角関数 を使用した 標準楕円のパラメトリック表現は 次のようになります。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ( x , y ) = ( a cos t , b sin t ) , 0 ≤ t < 2 π . {\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}
パラメータ t （天文学では 偏心異常 と呼ばれる）はx 軸に対する 角度ではなく、 フィリップ・ド・ラ・イール によって幾何学的な意味を持つようになった（以下の 「楕円の描き方 」を参照 ）。 [ 8 ] ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle (x(t),y(t))}
置換法 と三角関数の公式を用いると、次の式が得られる。 u = tan ( t 2 ) {\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)} cos t = 1 − u 2 1 + u 2 , sin t = 2 u 1 + u 2 {\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}
楕円の有理媒介 変数 方程式 { x ( u ) = a 1 − u 2 1 + u 2 y ( u ) = b 2 u 1 + u 2 − ∞ < u < ∞ {\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}
これは楕円の 左頂点以外の任意の点をカバーします 。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ( − a , 0 ) {\displaystyle (-a,\,0)}
この式は、 楕円の右上の4分の1が反時計回りに増加しながら移動することを表しています。 左の頂点が限界です。 u ∈ [ 0 , 1 ] , {\displaystyle u\in [0,\,1],} u . {\displaystyle u.} lim u → ± ∞ ( x ( u ) , y ( u ) ) = ( − a , 0 ) . {\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}
あるいは、パラメータが 実射影直線 上の点であるとみなされる場合 、対応する有理パラメータ化は [ u : v ] {\displaystyle [u:v]} P ( R ) {\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )} [ u : v ] ↦ ( a v 2 − u 2 v 2 + u 2 , b 2 u v v 2 + u 2 ) . {\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}
それから [ 1 : 0 ] ↦ ( − a , 0 ) . {\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}
円錐曲線の有理表現は、 コンピュータ支援設計 でよく使用されます( ベジェ曲線を 参照)。
楕円の点における接線の 傾きを使用するパラメトリック表現は、標準表現の導関数から得ることができます 。 m {\displaystyle m} x → ( t ) = ( a cos t , b sin t ) T {\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)^{\mathsf {T}}} x → ′ ( t ) = ( − a sin t , b cos t ) T → m = − b a cot t → cot t = − m a b . {\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}
三角関数の公式 を用いると 次の式が得られます。 cos t = cot t ± 1 + cot 2 t = − m a ± m 2 a 2 + b 2 , sin t = 1 ± 1 + cot 2 t = b ± m 2 a 2 + b 2 . {\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}
標準表現の と を 置き換えると次のようになります。 cos t {\displaystyle \cos t} sin t {\displaystyle \sin t} c → ± ( m ) = ( − m a 2 ± m 2 a 2 + b 2 , b 2 ± m 2 a 2 + b 2 ) , m ∈ R . {\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}
ここで 、 は対応する楕円点における接線の傾きであり、は 楕円の 上半分と下半分である。 垂直接線を持つ頂点 は、この表現には含まれない。 m {\displaystyle m} c → + {\displaystyle {\vec {c}}_{+}} c → − {\displaystyle {\vec {c}}_{-}} ( ± a , 0 ) {\displaystyle (\pm a,\,0)}
点 における接線の方程式は の形をとります 。まだ未知数である は、 対応する楕円点 の座標を代入することで決定できます 。 c → ± ( m ) {\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)} y = m x + n {\displaystyle y=mx+n} n {\displaystyle n} c → ± ( m ) {\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)} y = m x ± m 2 a 2 + b 2 . {\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}
楕円の接線に関するこの記述は、 楕円の 正射影を決定するための必須のツールです。正射影に関する論文には、微分積分や三角関数の公式を用いない別の証明が含まれています。
単位円のアフィン像としての楕円 楕円の別の定義では アフィン変換 を使用します。
任意の 楕円 は、方程式 を持つ単位円のアフィン像です 。 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} パラメトリック表現 ユークリッド平面のアフィン変換は の形をとります 。ここで は （行列式 が非零である ） 正則 行列であり 、 は任意のベクトルです。 が行列 の列ベクトルである場合 、単位円 、 は楕円 に写像されます。 x → ↦ f → 0 + A x → {\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}} A {\displaystyle A} f → 0 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}} f → 1 , f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}} A {\displaystyle A} ( cos ( t ) , sin ( t ) ) {\displaystyle (\cos(t),\sin(t))} 0 ≤ t ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi } x → = p → ( t ) = f → 0 + f → 1 cos t + f → 2 sin t . {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}
ここで は中心であり、は 2 つの 共役直径 の方向であり 、一般には垂直ではありません。 f → 0 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}} f → 1 , f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}
頂点 楕円の 4 つの頂点は であり 、パラメータは 次のように定義されます。 p → ( t 0 ) , p → ( t 0 ± π 2 ) , p → ( t 0 + π ) {\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)} t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} cot ( 2 t 0 ) = f → 1 2 − f → 2 2 2 f → 1 ⋅ f → 2 . {\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}
（ ならば 。 ）これは次のように導出されます。点における接線ベクトル は： f → 1 ⋅ f → 2 = 0 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0} t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} p → ( t ) {\displaystyle {\vec {p}}(t)} p → ′ ( t ) = − f → 1 sin t + f → 2 cos t . {\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}
頂点パラメータでは 、接線は長軸/短軸に垂直なので、次のようになります。 t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} 0 = p → ′ ( t ) ⋅ ( p → ( t ) − f → 0 ) = ( − f → 1 sin t + f → 2 cos t ) ⋅ ( f → 1 cos t + f → 2 sin t ) . {\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}
展開して恒等式を適用すると 次の式が得られる。 cos 2 t − sin 2 t = cos 2 t , 2 sin t cos t = sin 2 t {\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;} t = t 0 . {\displaystyle t=t_{0}\;.}
エリア アポロニオスの定理（下記参照）から次の式が得られる： 楕円の面積 は x → = f → 0 + f → 1 cos t + f → 2 sin t {\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;} A = π | det ( f → 1 , f → 2 ) | . {\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}
半軸 略語を用いると、 アポロニオスの定理は次のように書ける。 この非線形系を解くと、 半軸が得られる。 M = f → 1 2 + f → 2 2 , N = | det ( f → 1 , f → 2 ) | {\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|} a 2 + b 2 = M , a b = N . {\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .} a , b {\displaystyle a,b} a = 1 2 ( M + 2 N + M − 2 N ) b = 1 2 ( M + 2 N − M − 2 N ) . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}
暗黙的表現 の媒介変数表現を クラメールの定理 で解き 、 を使うと 、次の暗黙表現が得られる。 cos t , sin t {\displaystyle \;\cos t,\sin t\;} cos 2 t + sin 2 t − 1 = 0 {\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;} det ( x → − f → 0 , f → 2 ) 2 + det ( f → 1 , x → − f → 0 ) 2 − det ( f → 1 , f → 2 ) 2 = 0. {\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}
逆 に言えば、
x 2 + 2 c x y + d 2 y 2 − e 2 = 0 , {\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,} と d 2 − c 2 > 0 , {\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,} 原点を中心とする楕円の点が与えられている場合、2 つのベクトルは 2 つの共役点を指し、上で開発したツールが適用できます。 f → 1 = ( e 0 ) , f → 2 = e d 2 − c 2 ( − c 1 ) {\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}
例 ：方程式を持つ楕円の場合、 ベクトルは x 2 + 2 x y + 3 y 2 − 1 = 0 {\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;} f → 1 = ( 1 0 ) , f → 2 = 1 2 ( − 1 1 ) . {\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}
渦巻き：入れ子になり、拡大縮小され、回転した楕円。螺旋は描かれておらず、 楕円が互いに特に接近している点の 軌跡として捉えられています。 回転した標準楕円 角度 だけ 回転 した 標準楕円のパラメトリック表現が得られます 。 f → 0 = ( 0 0 ) , f → 1 = a ( cos θ sin θ ) , f → 2 = b ( − sin θ cos θ ) {\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }} θ {\displaystyle \theta } x = x θ ( t ) = a cos θ cos t − b sin θ sin t , y = y θ ( t ) = a sin θ cos t + b cos θ sin t . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}
宇宙の楕円 このセクションの楕円の定義は、 空間内のベクトルを許容する場合、空間内であっても任意の楕円のパラメトリック表現を与えます。 f → 0 , f → 1 , f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}
中心を中心とした極座標。 極座標 では 、原点を楕円の中心に置き、角度座標を 長軸から測ると、楕円の方程式は [ 7 ] ：75 となり、
ここで は離心率（ オイラー数 ではない）である。 θ {\displaystyle \theta } r ( θ ) = a b ( b cos θ ) 2 + ( a sin θ ) 2 = b 1 − ( e cos θ ) 2 {\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}} e {\displaystyle e}
焦点を中心とした極座標。 代わりに、原点を1つの焦点とする極座標を使用し、角度座標を 長軸から測定すると、楕円の方程式は次のようになります。 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} r ( θ ) = a ( 1 − e 2 ) 1 ± e cos θ {\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}
ここで、分母の符号は、基準方向が 中心に向いている場合（右図参照）は負になり、基準方向が中心から離れる方向を向いている場合は正になります。 θ = 0 {\displaystyle \theta =0}
この角度は、その点の 真異常角 と呼ばれます 。分子は 半直筋 です 。 θ {\displaystyle \theta } ℓ = a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}
楕円：準線の性質 短軸に平行で、短軸から の距離にある 2 本の線は、それぞれ 楕円の 準線 と呼ばれます(図を参照)。 d = a 2 c = a e {\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}}
楕円の任意の点について 、1つの焦点までの距離と対応する準線までの距離の商（図を参照）は離心率に等しくなります。 P {\displaystyle P} | P F 1 | | P l 1 | = | P F 2 | | P l 2 | = e = c a . {\displaystyle {\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .} ペアの証明は、 およびが 次式を満たす という事実から導かれる。 F 1 , l 1 {\displaystyle F_{1},l_{1}} | P F 1 | 2 = ( x − c ) 2 + y 2 , | P l 1 | 2 = ( x − a 2 c ) 2 {\textstyle \left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}} y 2 = b 2 − b 2 a 2 x 2 {\displaystyle y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}} | P F 1 | 2 − c 2 a 2 | P l 1 | 2 = 0 . {\displaystyle \left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\,.}
2 番目のケースも同様に証明されます。
逆もまた真であり、楕円を定義するのに使用できます（放物線の定義と同様の方法で）。
任意の点 （焦点）、 を通らない任意の直線 （準線） 、および楕円 を持つ 任意の実数について 、 は、点までの距離と直線までの距離の商が次の式で表される点の軌跡です 。 F {\displaystyle F} l {\displaystyle l} F {\displaystyle F} e {\displaystyle e} 0 < e < 1 , {\displaystyle 0<e<1,} e , {\displaystyle e,} E = { P | | P F | | P l | = e } . {\displaystyle E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.} 円の離心率である への延長は、この文脈ではユークリッド平面では認められない。しかし、円の準線は 射影平面 における 無限遠直線 であると考えることはできる。 e = 0 {\displaystyle e=0}
( を選択すると 放物線になり、 の場合は 双曲線になります。) e = 1 {\displaystyle e=1} e > 1 {\displaystyle e>1}
共通の頂点と共通の半横隔膜を持つ円錐曲線の鉛筆 証拠 とし、 を 曲線上の点と 仮定する。準線は 方程式 を持つ 。 とすると 、関係式は 次の式を生成する。 F = ( f , 0 ) , e > 0 {\displaystyle F=(f,\,0),\ e>0} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,\,0)} l {\displaystyle l} x = − f e {\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}} P = ( x , y ) {\displaystyle P=(x,\,y)} | P F | 2 = e 2 | P l | 2 {\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}
( x − f ) 2 + y 2 = e 2 ( x + f e ) 2 = ( e x + f ) 2 {\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}} そして x 2 ( e 2 − 1 ) + 2 x f ( 1 + e ) − y 2 = 0. {\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.} 置換 により p = f ( 1 + e ) {\displaystyle p=f(1+e)} x 2 ( e 2 − 1 ) + 2 p x − y 2 = 0. {\displaystyle x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.}
これは楕円 （ ）、 放物線 （ ）、 双曲線 （ ） の方程式です 。これらの非退化円錐曲線はすべて、原点を頂点とする点が共通しています（図を参照）。 e < 1 {\displaystyle e<1} e = 1 {\displaystyle e=1} e > 1 {\displaystyle e>1}
ならば 、新たなパラメータを導入してとする と 、上の式は e < 1 {\displaystyle e<1} a , b {\displaystyle a,\,b} 1 − e 2 = b 2 a 2 , and p = b 2 a {\displaystyle 1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}} ( x − a ) 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}
これは、中心 、長軸として x 軸、長/短半軸 を 持つ楕円の方程式です 。 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,\,0)} a , b {\displaystyle a,\,b}
準線の構築 準線の構築 準線 （ 図参照）と焦点は円 に関して逆向きである ため、 円 （図の緑色）での 反転は 逆向きです。したがって、図に示すように を構築できます。準線は、 点 における主軸への垂線です 。 c ⋅ a 2 c = a 2 {\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}} L 1 {\displaystyle L_{1}} l 1 {\displaystyle l_{1}} F 1 {\displaystyle F_{1}} x 2 + y 2 = a 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}} L 1 {\displaystyle L_{1}} l 1 {\displaystyle l_{1}} L 1 {\displaystyle L_{1}}
一般楕円 焦点が で準線がの場合 、次の式が得られます。 F = ( f 1 , f 2 ) {\displaystyle F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)} u x + v y + w = 0 {\displaystyle ux+vy+w=0} ( x − f 1 ) 2 + ( y − f 2 ) 2 = e 2 ( u x + v y + w ) 2 u 2 + v 2 . {\displaystyle \left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .}
(式の右側では、 直線の ヘッセ正規形 を使用して距離を計算します。) | P l | {\displaystyle |Pl|}
楕円: 接線 w は、 点 P から焦点までの線の間の角度 F1-P-F2 の 補角 LP-F1を二等分します。 一方の焦点からの光線は楕円で反射してもう一方の焦点を通過します。 楕円には次の特性があります。
ある点における法線は、 線の間の角度を二等分します 。 P {\displaystyle P} P F 1 ¯ , P F 2 ¯ {\displaystyle {\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}} 証拠 接線は法線に垂直なので、等価な表現は、接線は焦点への直線の外角二等分線であるということです（図を参照）。 を 焦点からの 距離を持つ 直線上の点とし 、 は 楕円の長半径とします。 を 直線の外角二等分線とします。 上の 他の任意の点を とします。 三角 不等式 と 角二等分線定理 により 、 は 楕円の外側になければなりません。 のあらゆる選択においてこれが成り立つため、 は楕円と でのみ交差するため 、接線も でなければなりません。 L {\displaystyle L} P F 2 ¯ {\displaystyle {\overline {PF_{2}}}} 2 a {\displaystyle 2a} F 2 {\displaystyle F_{2}} a {\displaystyle a} w {\displaystyle w} P F 1 ¯ {\displaystyle {\overline {PF_{1}}}} P F 2 ¯ . {\displaystyle {\overline {PF_{2}}}.} Q {\displaystyle Q} w . {\displaystyle w.} 2 a = | L F 2 | < {\displaystyle 2a=\left|LF_{2}\right|<{}} | Q F 2 | + | Q L | = {\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|={}} | Q F 2 | + | Q F 1 | , {\displaystyle \left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|,} Q {\displaystyle Q} Q , {\displaystyle Q,} w {\displaystyle w} P {\displaystyle P}
応用 一方の焦点から出た光線は、楕円によって反射されてもう一方の焦点に向かいます。この性質は、放物線の反射特性（ ウィスパリング・ギャラリーを参照）と同様に、光学的および音響的に応用されます。また、楕円に接する円上の反射に関する アルハゼンの問題を 定式化するのに用いられます 。
さらに、楕円は焦点から焦点まで反射するという性質があるため、光線が伝播し続けると、反射された光線は最終的に長軸とほぼ一致することになります。
接線の正方形、平行弦の中点、および共役直径、接線の平行四辺形、弦の中点を持つ楕円であるアフィン像を持つ円の直交直径。 円には次の特性があります。
平行弦の中点は直径上にあります。 アフィン変換は線分の平行性と中点を保持するため、この特性はどの楕円にも当てはまります。（平行弦と直径は直交しなくなることに注意してください。）
意味 楕円の 2つの直径は 、楕円に平行な弦の中点が 楕円の上にあるとき 共役である。 d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},\,d_{2}} d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 . {\displaystyle d_{2}\ .}
図から次のことがわかります。
楕円の 2 つの直径は、 および の接線 が に平行である場合に共役です 。 P 1 Q 1 ¯ , P 2 Q 2 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}} P 1 {\displaystyle P_{1}} Q 1 {\displaystyle Q_{1}} P 2 Q 2 ¯ {\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}} 楕円の共役直径は、円の直交直径を一般化します。
上記の一般的な楕円の媒介変数方程式では、 x → = p → ( t ) = f → 0 + f → 1 cos t + f → 2 sin t , {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}
任意の点のペアは 直径に属し、そのペアは その共役直径に属します。 p → ( t ) , p → ( t + π ) {\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )} p → ( t + π 2 ) , p → ( t − π 2 ) {\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}
楕円の 一般的な媒介変数表現は 次式で表されます。点 ( a cos t , b sin t ) {\displaystyle (a\cos t,b\sin t)} x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
( x 1 , y 1 ) = ( ± a cos t , ± b sin t ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad } （記号：(+,+) または (−,−) ） ( x 2 , y 2 ) = ( ∓ a sin t , ± b cos t ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad } （記号：（−、＋）または（＋、−）） 共役であり、 x 1 x 2 a 2 + y 1 y 2 b 2 = 0 . {\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .} 円の場合、最後の式は次のように変形される。 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 . {\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}
アポロニオスの定理 代替面積公式 半軸を持つ楕円の場合、 次の式が成り立ちます。 [ 9 ] [ 10 ] a , b {\displaystyle a,\,b}
とを2つの共役直径の半分とする と （図を参照）、 c 1 {\displaystyle c_{1}} c 2 {\displaystyle c_{2}} c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}} 。 辺を持つ 三角形（図参照） の 面積は一定で 、これも と表すことができます 。 は点の高度 と、 半直径間の角度です。したがって、楕円の面積（ 「計量特性 」のセクション参照）は と表すことができます 。 O , P 1 , P 2 {\displaystyle O,P_{1},P_{2}} c 1 , c 2 {\displaystyle c_{1},\,c_{2}} A Δ = 1 2 a b {\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab} A Δ = 1 2 c 2 d 1 = 1 2 c 1 c 2 sin α {\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha } d 1 {\displaystyle d_{1}} P 1 {\displaystyle P_{1}} α {\displaystyle \alpha } A e l = π a b = π c 2 d 1 = π c 1 c 2 sin α {\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha } 与えられた共役直径に隣接する接線の 平行四辺形 は、 Area 12 = 4 a b . {\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .} 証拠 楕円を媒介変数方程式の標準形とする p → ( t ) = ( a cos t , b sin t ) . {\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}
2点 は共役直径上にある（前節参照）。三角関数の公式から次式が得られる 。 c → 1 = p → ( t ) , c → 2 = p → ( t + π 2 ) {\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)} c → 2 = ( − a sin t , b cos t ) T {\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}} | c → 1 | 2 + | c → 2 | 2 = ⋯ = a 2 + b 2 . {\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}
によって生成される三角形の面積 は c → 1 , c → 2 {\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}} A Δ = 1 2 det ( c → 1 , c → 2 ) = ⋯ = 1 2 a b {\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}
そして、図から、平行四辺形の面積は の8倍であることがわかります 。したがって、 A Δ {\displaystyle A_{\Delta }} Area 12 = 4 a b . {\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}
楕円とその視力矯正 楕円の場合、 直交 接線の交点は 円上にあります 。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} x 2 + y 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}
この円は 楕円の 視準 円または 導円と呼ばれます (上で定義した円準線と混同しないでください)。
円の中心投影（門） 楕円は、記述幾何学 において円の像（平行投影または中心投影）として現れる 。楕円を描くための様々なツールが存在する。コンピュータは、楕円を描くための最も高速かつ正確な方法を提供する。しかし、コンピュータを使わずに楕円を描くための技術的なツール（ エリプソグラフ ）も存在する。この原理は5世紀の数学者 プロクロスに知られており、現在 楕円形トラメル として知られているツールは、 レオナルド・ダ・ヴィンチ によって発明された 。 [ 11 ]
楕円曲線が利用できない場合は、頂点における 4 つの接触円による近似 を使用して楕円を描くことができます 。
以下に述べるいずれの方法においても、軸と半軸（あるいは同義語：焦点と長軸半軸）の知識が必要です。この前提が満たされない場合は、少なくとも2つの共役直径を知る必要があります。 リッツの構成法 を用いることで、軸と半軸を復元することができます。
楕円の各点の次の構成は、 ド・ラ・イル によるものである。 [ 12 ] これは 楕円の 標準的な媒介変数表現に基づいている。 ( a cos t , b sin t ) {\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
楕円の中心を中心として、半径 と楕円の軸を持つ 2 つの 円を描きます。 a , b {\displaystyle a,b} 中心 を通る線 を引きます 。この線は、2 つの円とそれぞれ点 およびで交差します 。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 短軸に平行な直線と 長 軸に平行な直線を描きます。これらの直線は楕円の点で交わります （ 図 を 参照 ）。 A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} P {\displaystyle P} 中心を通る異なる線で手順（2）と（3）を繰り返します。 楕円：庭師の方法 楕円を、焦点までの距離の合計が一定となるような点の軌跡として特徴付けると、2 本の 画鋲 、長い紐、鉛筆を使用して楕円を描く方法が考えられます。この方法では、紙の 2 点に画鋲を刺し、その 2 点が楕円の焦点になります。2 本の画鋲に紐の両端を結びます。結んだ後の紐の長さは です 。紐をぴんと張ったまま鉛筆の先を動かすと、楕円を描きます。庭師は、2 本の画鋲とロープを使用してこの手順で楕円形の花壇の輪郭を描きます。そのため、これは 庭師の楕円 と呼ばれています。ビザンチン建築家 のトラレスのアンテミウス （ 600 年頃 ）は、この方法を使って楕円形の反射鏡を製作する方法を説明しており、 [ 13 ] 、これは現在では失われている9世紀のアル・ハサン・イブン・ムーサ の論文にも詳しく記されている 。 [ 14 ] 2 a {\displaystyle 2a}
閉じた 弦で 共焦点楕円 を描く同様の方法は 、アイルランドの司教 チャールズ・グレイブス によるものです。
次の 2 つの方法は、パラメトリック表現に依存します (上記の § 標準パラメトリック表現 を 参照)。 ( a cos t , b sin t ) {\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}
この表現は、2つの簡単な方法で技術的にモデル化できます。どちらの場合も、中心、軸、半軸が 分かっている必要があります。 a , b {\displaystyle a,\,b}
方法1 最初の方法は
長さ の 紙片 。 a + b {\displaystyle a+b} 半軸が交わる点は で示されます 。紙片の両端が目的の楕円の軸上を滑る場合、点は 楕円を描きます。証明として、点 が 媒介変数表現 を持つことを示します 。ここで、パラメータは 紙片の傾斜角です。 P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} ( a cos t , b sin t ) {\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)} t {\displaystyle t}
紙片の動きを技術的に実現するには、 トゥシカップル （アニメーション参照）が効果的です。この装置は、一定の 和（大きな円の半径）を持つ 任意の 楕円を描くことができます。この制約は実生活では不利になる可能性があります。より柔軟なのは、2つ目の紙片法です。 a + b {\displaystyle a+b}
紙片法1のバリエーションでは、 紙片の中点が （楕円の中心）と半径を持つ円上を動いているという観察を利用します 。したがって、紙片を点で 半分に切断し、再びジョイントで接続し 、スライド端を 中央に固定することができます （図を参照）。この操作後、紙片の動かない方の半分の動きは変化しません。 [ 15 ] このバリエーションでは、スライドシューが1つだけ必要です。 N {\displaystyle N} M {\displaystyle M} a + b 2 {\displaystyle {\tfrac {a+b}{2}}} N {\displaystyle N} N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} M {\displaystyle M}
紙片法のバリエーション1
紙片法のバリエーション1のアニメーション
楕円の作図：紙片法2 方法2 2番目の方法は
長さ の 紙片 。 a {\displaystyle a} 点をマークし、その点が紙片を長さ と の2つの部分紙片に分割します 。 紙片は図に示されているように軸上に配置されます。次に、紙片の自由端が楕円を描きながら、紙片自体を動かします。証明として、トレース点は によってパラメトリックに記述できることが分かります 。ここで、パラメータ は紙片の傾斜角です。 b {\displaystyle b} a − b {\displaystyle a-b} ( a cos t , b sin t ) {\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)} t {\displaystyle t}
この方法は、いくつかの楕円グラフ の基礎となります (以下のセクションを参照)。
紙ストリップ法 1 のバリエーションと同様に、 軸間の部分を半分に切断することによって、 紙ストリップ法 2 のバリエーションを確立できます (図を参照)。
ほとんどの楕円曲線 製図 器具は、第 2 のペーパーストリップ方式に基づいています。
接触円による楕円の近似 以下のメトリック プロパティ から 次の結果が得られます。
頂点における曲率半径は 次のとおりです。 V 1 , V 2 {\displaystyle V_{1},\,V_{2}} b 2 a {\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}} 共頂点における曲率半径は 次のようになります。 V 3 , V 4 {\displaystyle V_{3},\,V_{4}} a 2 b . {\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}\ .} この図は、頂点 と共頂点における 曲率中心を それぞれ見つける簡単な方法を示しています。 C 1 = ( a − b 2 a , 0 ) , C 3 = ( 0 , b − a 2 b ) {\displaystyle C_{1}=\left(a-{\tfrac {b^{2}}{a}},0\right),\,C_{3}=\left(0,b-{\tfrac {a^{2}}{b}}\right)} V 1 {\displaystyle V_{1}} V 3 {\displaystyle V_{3}}
補助点をマークし 、線分を描く H = ( a , b ) {\displaystyle H=(a,\,b)} V 1 V 3 , {\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,} 直線に垂直な 直線を引く H {\displaystyle H} V 1 V 3 , {\displaystyle V_{1}V_{3}\ ,} この線と軸の交点は接触円の中心です。 （証明：簡単な計算です。）
残りの頂点の中心は対称性によって見つけられます。
フレンチカーブ の助けを借りて、 接触円 に滑らかに接触する曲線を描きます 。
楕円：シュタイナー世代 楕円：シュタイナー世代 楕円の単一の点を構築する次の方法は、 円錐曲線のシュタイナー生成 に依存しています。
2 点における 2 つの線分 束 (すべての線分はそれぞれ と を含む) と から へ の 射影写像 (透視写像ではない)が与えられている 場合、対応する線分の交点は非退化射影円錐曲線を形成します。 B ( U ) , B ( V ) {\displaystyle B(U),\,B(V)} U , V {\displaystyle U,\,V} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} π {\displaystyle \pi } B ( U ) {\displaystyle B(U)} B ( V ) {\displaystyle B(V)} 楕円の点の生成には、 頂点 における線分 を用いる 。 を 楕円の上側の共頂点とし、 とする 。 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} V 1 , V 2 {\displaystyle V_{1},\,V_{2}} P = ( 0 , b ) {\displaystyle P=(0,\,b)} A = ( − a , 2 b ) , B = ( a , 2 b ) {\displaystyle A=(-a,\,2b),\,B=(a,\,2b)}
P {\displaystyle P} は長方形の中心です 。長方形の辺 はn個の等間隔の線分に分割され、この分割は対角線を 方向として線分に 平行に投影され 、図に示すように分割が割り当てられます。平行投影と方向の反転は、必要な線分 と線分の間の射影写像の一部です。任意の2つの関連する線分 と 線の交点 は、 一意に定義された楕円の点です。これらの点を利用して、 楕円の2番目の4分の1の点を決定できます。同様に、楕円の下半分の点も取得できます。 V 1 , V 2 , B , A {\displaystyle V_{1},\,V_{2},\,B,\,A} A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} A V 2 {\displaystyle AV_{2}} V 1 B ¯ {\displaystyle {\overline {V_{1}B}}} V 1 {\displaystyle V_{1}} V 2 {\displaystyle V_{2}} V 1 B i {\displaystyle V_{1}B_{i}} V 2 A i {\displaystyle V_{2}A_{i}} C 1 , … {\displaystyle C_{1},\,\dotsc }
シュタイナー生成法は、双曲線や放物線にも定義できます。頂点ではなく他の点を使用できることから、 平行四辺形法 と呼ばれることもあります。これは長方形ではなく平行四辺形から開始します。
R = 2 r の 特別 な 場合の楕円（赤） 楕円は、 下トロコイド の特殊なケースです（ 右図参照）。半径 の円が半径 の円の内側を移動する特殊なケースは、 トゥシカップル と呼ばれます 。 R = 2 r {\displaystyle R=2r} r {\displaystyle r} R = 2 r {\displaystyle R=2r}
円：円周角定理 方程式を持つ円は 、直線上にない 3点によって一意に決定されます。パラメータを決定する簡単な方法は、円 の円周角定理 を用いることです 。 ( x − x ∘ ) 2 + ( y − y ∘ ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=r^{2}} ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right),\;\left(x_{2},\,y_{2}\right),\;\left(x_{3},\,y_{3}\right)} x ∘ , y ∘ , r {\displaystyle x_{\circ },y_{\circ },r}
4 つのポイント (図を参照) について、次のステートメントが当てはまります。 P i = ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , 3 , 4 , {\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,} 4 つの点が円上にあるのは、と の 角度 が等しい場合のみです。 P 3 {\displaystyle P_{3}} P 4 {\displaystyle P_{4}} 通常、円周角は度またはラジアン θ で測定しますが、ここでは次の測定の方が便利です。
2 本の線の間の角度を方程式で測定するには、 商を使用します。 y = m 1 x + d 1 , y = m 2 x + d 2 , m 1 ≠ m 2 , {\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2},} 1 + m 1 m 2 m 2 − m 1 = cot θ . {\displaystyle {\frac {1+m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}=\cot \theta \ .} 直線上に 3 点ずつない 4 点の場合 、次のようになります (図を参照)。 P i = ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , 3 , 4 , {\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4,\,}
4点が円周上にある場合、かつその場合のみ、 と の角 が等しい。上記の角度の測定において、これは次のことを意味します。 P 3 {\displaystyle P_{3}} P 4 {\displaystyle P_{4}} ( x 4 − x 1 ) ( x 4 − x 2 ) + ( y 4 − y 1 ) ( y 4 − y 2 ) ( y 4 − y 1 ) ( x 4 − x 2 ) − ( y 4 − y 2 ) ( x 4 − x 1 ) = ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) + ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) ( y 3 − y 1 ) ( x 3 − x 2 ) − ( y 3 − y 2 ) ( x 3 − x 1 ) . {\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.} 最初は、この測定は y 軸に平行でないコードに対してのみ使用できますが、最終的な数式はどのコードに対しても機能します。
その結果、3つの非共線的な点によって決定される円の方程式が得られます 。 P i = ( x i , y i ) {\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)} ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) ( y − y 1 ) ( x − x 2 ) − ( y − y 2 ) ( x − x 1 ) = ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) + ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) ( y 3 − y 1 ) ( x 3 − x 2 ) − ( y 3 − y 2 ) ( x 3 − x 1 ) . {\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.} たとえば、 3 点方程式の場合は次のようになります。 P 1 = ( 2 , 0 ) , P 2 = ( 0 , 1 ) , P 3 = ( 0 , 0 ) {\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)}
( x − 2 ) x + y ( y − 1 ) y x − ( y − 1 ) ( x − 2 ) = 0 {\displaystyle {\frac {(x-2)x+y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0} を並べ替えると、 ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 2 ) 2 = 5 4 . {\displaystyle (x-1)^{2}+\left(y-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}={\tfrac {5}{4}}\ .} ベクトル、 ドット積 、 行列式 を使用すると、この式はより明確に整理できます 。 x → = ( x , y ) {\displaystyle {\vec {x}}=(x,\,y)} ( x → − x → 1 ) ⋅ ( x → − x → 2 ) det ( x → − x → 1 , x → − x → 2 ) = ( x → 3 − x → 1 ) ⋅ ( x → 3 − x → 2 ) det ( x → 3 − x → 1 , x → 3 − x → 2 ) . {\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)\cdot \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}}.}
円の中心は次の 条件を満たします。 ( x ∘ , y ∘ ) {\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)} [ 1 y 1 − y 2 x 1 − x 2 x 1 − x 3 y 1 − y 3 1 ] [ x ∘ y ∘ ] = [ x 1 2 − x 2 2 + y 1 2 − y 2 2 2 ( x 1 − x 2 ) y 1 2 − y 3 2 + x 1 2 − x 3 2 2 ( y 1 − y 3 ) ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}
半径は、3 つの点と中心の間の距離です。 r = ( x 1 − x ∘ ) 2 + ( y 1 − y ∘ ) 2 = ( x 2 − x ∘ ) 2 + ( y 2 − y ∘ ) 2 = ( x 3 − x ∘ ) 2 + ( y 3 − y ∘ ) 2 . {\displaystyle r={\sqrt {\left(x_{1}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{2}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{\circ }\right)^{2}}}={\sqrt {\left(x_{3}-x_{\circ }\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{\circ }\right)^{2}}}.}
この節では、離心率 を固定した 方程式で 定義される楕円族について考察する 。パラメータとして以下のものを用いると便利である。 ( x − x ∘ ) 2 a 2 + ( y − y ∘ ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1} e {\displaystyle e} q = a 2 b 2 = 1 1 − e 2 , {\displaystyle {\color {blue}q}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {1}{1-e^{2}}},}
楕円方程式は次のように書きます。 ( x − x ∘ ) 2 + q ( y − y ∘ ) 2 = a 2 , {\displaystyle \left(x-x_{\circ }\right)^{2}+{\color {blue}q}\,\left(y-y_{\circ }\right)^{2}=a^{2},}
ここで、 q は固定で、 実数にわたって変化します。(このような楕円の軸は座標軸と平行です。つまり、 の場合 、長軸は x 軸と平行であり、 の場合、長軸は y 軸と平行です 。) x ∘ , y ∘ , a {\displaystyle x_{\circ },\,y_{\circ },\,a} q < 1 {\displaystyle q<1} q > 1 {\displaystyle q>1}
楕円の円周角定理 円と同様に、このような楕円は直線上ではなく 3 つの点によって決まります。
この楕円族に対して、通常の角度測度 θ の関数では ない次の qアナログ 角度測度を導入する ： [ 16 ] [ 17 ]
2 本の線の間の角度を方程式で測定するには、 商を使用します。 y = m 1 x + d 1 , y = m 2 x + d 2 , m 1 ≠ m 2 {\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2},\ m_{1}\neq m_{2}} 1 + q m 1 m 2 m 2 − m 1 . {\displaystyle {\frac {1+{\color {blue}q}\;m_{1}m_{2}}{m_{2}-m_{1}}}\ .} 4 つの点が与えられます が、そのうち 3 つが直線上にはありません (図を参照)。 P i = ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right),\ i=1,\,2,\,3,\,4} 4つの点が方程式を持つ楕円上にあるのは、上の測定の意味で 、と における角度 が等しい場合、つまり、 ( x − x ∘ ) 2 + q ( y − y ∘ ) 2 = a 2 {\displaystyle (x-x_{\circ })^{2}+{\color {blue}q}\,(y-y_{\circ })^{2}=a^{2}} P 3 {\displaystyle P_{3}} P 4 {\displaystyle P_{4}} ( x 4 − x 1 ) ( x 4 − x 2 ) + q ( y 4 − y 1 ) ( y 4 − y 2 ) ( y 4 − y 1 ) ( x 4 − x 2 ) − ( y 4 − y 2 ) ( x 4 − x 1 ) = ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) + q ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) ( y 3 − y 1 ) ( x 3 − x 2 ) − ( y 3 − y 2 ) ( x 3 − x 1 ) . {\displaystyle {\frac {(x_{4}-x_{1})(x_{4}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{4}-y_{1})(y_{4}-y_{2})}{(y_{4}-y_{1})(x_{4}-x_{2})-(y_{4}-y_{2})(x_{4}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .} 最初は、この尺度はy軸に平行でない弦に対してのみ適用できます。しかし、最終的な公式はどの弦にも適用できます。証明は簡単な計算で得られます。証明の方向については、点が楕円上にあることを前提としているため、楕円の中心を原点と仮定できます。
その結果、3つの非共線的な点によって決定される楕円の方程式が得られます 。 P i = ( x i , y i ) {\displaystyle P_{i}=\left(x_{i},\,y_{i}\right)} ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + q ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) ( y − y 1 ) ( x − x 2 ) − ( y − y 2 ) ( x − x 1 ) = ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) + q ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) ( y 3 − y 1 ) ( x 3 − x 2 ) − ( y 3 − y 2 ) ( x 3 − x 1 ) . {\displaystyle {\frac {({\color {red}x}-x_{1})({\color {red}x}-x_{2})+{\color {blue}q}\;({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {red}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+{\color {blue}q}\;(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}\ .} 例えば、 とについては 、3点形式が得られる。 P 1 = ( 2 , 0 ) , P 2 = ( 0 , 1 ) , P 3 = ( 0 , 0 ) {\displaystyle P_{1}=(2,\,0),\;P_{2}=(0,\,1),\;P_{3}=(0,\,0)} q = 4 {\displaystyle q=4}
( x − 2 ) x + 4 y ( y − 1 ) y x − ( y − 1 ) ( x − 2 ) = 0 {\displaystyle {\frac {(x-2)x+4y(y-1)}{yx-(y-1)(x-2)}}=0} そして改宗後 ( x − 1 ) 2 2 + ( y − 1 2 ) 2 1 2 = 1. {\displaystyle {\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\frac {1}{2}}}=1.} 円の場合と同様に、ベクトルを使用すると方程式をより明確に記述できます。 ( x → − x → 1 ) ∗ ( x → − x → 2 ) det ( x → − x → 1 , x → − x → 2 ) = ( x → 3 − x → 1 ) ∗ ( x → 3 − x → 2 ) det ( x → 3 − x → 1 , x → 3 − x → 2 ) , {\displaystyle {\frac {\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{1},{\color {red}{\vec {x}}}-{\vec {x}}_{2}\right)}}={\frac {\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1}\right)*\left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}{\det \left({\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{3}-{\vec {x}}_{2}\right)}},}
修正 ドット積は どこにありますか ∗ {\displaystyle *} u → ∗ v → = u x v x + q u y v y . {\displaystyle {\vec {u}}*{\vec {v}}=u_{x}v_{x}+{\color {blue}q}\,u_{y}v_{y}.}
楕円：極-極関係 任意の楕円は、適切な座標系において方程式で表すことができます。 楕円の 点における接線の方程式は、 点を 原点とは異なる任意の点とすると、 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} P 1 = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)} x 1 x a 2 + y 1 y b 2 = 1. {\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1.} P 1 = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)}
点は 楕円の中心を通るのではなく、 線上にマッピングされます。 P 1 = ( x 1 , y 1 ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},\,y_{1}\right)\neq (0,\,0)} x 1 x a 2 + y 1 y b 2 = 1 {\displaystyle {\tfrac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}y}{b^{2}}}=1} 点と線の間のこの関係は 一対一の関係 です。
逆 関数 マップ
点に 線 を引いて y = m x + d , d ≠ 0 {\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0} ( − m a 2 d , b 2 d ) {\displaystyle \left(-{\tfrac {ma^{2}}{d}},\,{\tfrac {b^{2}}{d}}\right)} 点に 線を引く x = c , c ≠ 0 {\displaystyle x=c,\ c\neq 0} ( a 2 c , 0 ) . {\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}}{c}},\,0\right).} 円錐曲線によって生成される点と直線の間のこのような関係は、 極-極関係 または 極性 と呼ばれます。極は点であり、極は直線です。
計算により、楕円の極-極関係の次の特性を確認できます。
楕円上の 点（極）の場合 、極線はその点における接線です（図を参照 ）。 P 1 , p 1 {\displaystyle P_{1},\,p_{1}} 楕円の外側にある 極の場合 、その極と楕円の交点は、2 つの接線が通る接点です (図を参照 )。 P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} P 2 , p 2 {\displaystyle P_{2},\,p_{2}} 楕円内の 点の場合 、極座標には楕円と共通する点がありません (図を参照 )。 F 1 , l 1 {\displaystyle F_{1},\,l_{1}} 2 つの極の交点は、それらの極を通る線の極です。 焦点 と 、および準線 と は それぞれ極と極の対に属します。これらは円 に関して偶数極であるため 、準線はコンパスと定規で作図できます（ 逆幾何学 を参照）。 ( c , 0 ) {\displaystyle (c,\,0)} ( − c , 0 ) {\displaystyle (-c,\,0)} x = a 2 c {\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}} x = − a 2 c {\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}} x 2 + y 2 = a 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}} 極-極関係は双曲線と放物線にも存在します。
以下に示すすべてのメトリック特性は、次式で表される楕円を参照します。
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 1
ただし、傾斜した楕円で囲まれた領域上の断面では、式( 1 )の一般化された形が与えられる。
楕円で囲まれた 領域 は次のとおりです。 A ellipse {\displaystyle A_{\text{ellipse}}}
A ellipse = π a b {\displaystyle A_{\text{ellipse}}=\pi ab} 2
ここで 、 と はそれぞれ長軸と短軸の長さです。面積の公式は 直感的です。半径 の円 （面積は ）から始めて、係数で引き伸ばして 楕円を作ります。これにより、面積は同じ係数で拡大されます。 [ 18 ] しかし、同じ方法を円周に適用するのは誤りです。 積分 と を比較してください 。次のように積分を使用して、面積の公式を厳密に証明することも簡単です。式（ 1 ） は と書き直すことができます。この曲線は楕円の上半分です。したがって、 の区間で の積分の2倍が 楕円の面積になります。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} π a b {\displaystyle \pi ab} b {\displaystyle b} π b 2 {\displaystyle \pi b^{2}} a / b {\displaystyle a/b} π b 2 ( a / b ) = π a b . {\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.} ∫ f ( x ) d x {\textstyle \int f(x)\,dx} ∫ 1 + f ′ 2 ( x ) d x {\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx} y ( x ) = b 1 − x 2 / a 2 . {\textstyle y(x)=b{\sqrt {1-x^{2}/a^{2}}}.} x ∈ [ − a , a ] , {\displaystyle x\in [-a,a],} y ( x ) {\displaystyle y(x)} [ − a , a ] {\displaystyle [-a,a]} A ellipse = ∫ − a a 2 b 1 − x 2 a 2 d x = b a ∫ − a a 2 a 2 − x 2 d x . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{ellipse}}&=\int _{-a}^{a}2b{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\,dx\\&={\frac {b}{a}}\int _{-a}^{a}2{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}
2番目の積分は半径の円の面積で あり 、 a , {\displaystyle a,} π a 2 . {\displaystyle \pi a^{2}.} A ellipse = b a π a 2 = π a b . {\displaystyle A_{\text{ellipse}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}
によって暗黙的に定義される楕円の 面積は A x 2 + B x y + C y 2 = 1 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1} 2 π / 4 A C − B 2 . {\displaystyle 2\pi /{\sqrt {4AC-B^{2}}}.}
面積は、離心率と長半径の長さを使って次のように表すこともできます( 扁平率 を解き 、次に短半径を計算することで得られます)。 a 2 π 1 − e 2 {\displaystyle a^{2}\pi {\sqrt {1-e^{2}}}}
傾いた楕円で囲まれた面積は です 。 π y int x max {\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}} これまで、長軸と短軸が軸 と軸に平行な 正立 楕円を扱ってきました 。しかし、用途によっては 傾斜 楕円が必要となる場合もあります。例えば、荷電粒子ビーム光学系では、正立楕円または傾斜楕円の囲まれた面積はビームの重要な特性であり、その 放射率は となります 。この場合も、単純な式が適用されます。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
A ellipse = π y int x max = π x int y max {\displaystyle A_{\text{ellipse}}=\pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}=\pi \;x_{\text{int}}\,y_{\text{max}}} 3
ここで 、 、 は切片、 、 は最大値です。これは アポロニオスの定理 から直接導かれます。 y int {\displaystyle y_{\text{int}}} x int {\displaystyle x_{\text{int}}} x max {\displaystyle x_{\text{max}}} y max {\displaystyle y_{\text{max}}}
同じ円周の楕円 楕円の 円周は次のようになります。 C {\displaystyle C} C = 4 a ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sin 2 θ d θ = 4 a E ( e ) {\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}
ここで、 は長半径の長さ、 は離心率、関数 は 第2種完全楕円積分 であり 、 一般には 基本関数 ではありません。 a {\displaystyle a} e = 1 − b 2 / a 2 {\textstyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}} E {\displaystyle E} E ( e ) = ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sin 2 θ d θ {\displaystyle E(e)\,=\,\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta }
楕円の円周は ガウスの算術幾何平均 を用いて評価することができる 。 [ 19 ] これは二次収束反復法である（ 詳細は こちらを参照）。 E ( e ) {\displaystyle E(e)}
正確な 無限級数は 、次のようになります。 ここで、 は 二重階乗 です （通常の方法で負の奇数に拡張され、 および となります ）。 C 2 π a = 1 − ( 1 2 ) 2 e 2 − ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 e 4 3 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) 2 e 6 5 − ⋯ = 1 − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 e 2 n 2 n − 1 = − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 e 2 n 2 n − 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{2\pi a}}&=1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots \\&=1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\\&=-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}},\end{aligned}}} n ! ! {\displaystyle n!!} ( − 1 ) ! ! = 1 {\displaystyle (-1)!!=1} ( − 3 ) ! ! = − 1 {\displaystyle (-3)!!=-1}
この級数は収束するが、ジェームズ・アイボリー [ 20 ] 、 ベッセル [ 21 ] 、 クンマー [ 22 ] は、 を用いて展開することで、 はるかに急速に収束する級数を導出した。これは、 の 二項係数を 用いて最も簡潔に表される。 係数はわずかに（ の係数だけ ）小さいが、 と を除いて 、 よりも数値的にはるかに小さい。離心率が0.5 （ ） 未満の場合、誤差は の項の後で 倍精度浮動小数点 の限界となる 。 [ 23 ] h = ( a − b ) 2 / ( a + b ) 2 , {\displaystyle h=(a-b)^{2}/(a+b)^{2},} n = 1 / 2 {\displaystyle n=1/2} C π ( a + b ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 n ) 2 h n = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 3 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 h n = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 3 ) ! ! 2 n n ! ) 2 h n = ∑ n = 0 ∞ ( 1 ( 2 n − 1 ) 4 n ( 2 n n ) ) 2 h n = 1 + h 4 + h 2 64 + h 3 256 + 25 h 4 16384 + 49 h 5 65536 + 441 h 6 2 20 + 1089 h 7 2 22 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {C}{\pi (a+b)}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose n}^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-3)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}h^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2n-1)4^{n}}}{\binom {2n}{n}}\right)^{2}h^{n}\\&=1+{\frac {h}{4}}+{\frac {h^{2}}{64}}+{\frac {h^{3}}{256}}+{\frac {25\,h^{4}}{16384}}+{\frac {49\,h^{5}}{65536}}+{\frac {441\,h^{6}}{2^{20}}}+{\frac {1089\,h^{7}}{2^{22}}}+\cdots .\end{aligned}}} 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} e 4 / 16 ≤ h ≤ e 4 {\displaystyle e^{4}/16\leq h\leq e^{4}} e {\displaystyle e} h = e = 0 {\displaystyle h=e=0} h = e = 1 {\displaystyle h=e=1} h < 0.005 {\displaystyle h<0.005} h 4 {\displaystyle h^{4}}
シュリニヴァーサ・ラマヌジャン は「モジュラー方程式と の近似」 の§16で、円周の 2つの近似 値を与えている。 [ 24 ] それらは と で
ある。 ここで は 上記と同じ意味を持つ。これらの近似値の誤差は経験的に得られ、それぞれ と のオーダーである 。 [ 25 ] [ 26 ] これ は、2番目の式の無限級数展開が項までアイヴォリーの式と一致するためである 。 [ 25 ] : 3 π {\displaystyle \pi } C π ≈ 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) = 3 ( a + b ) − 3 ( a + b ) 2 + 4 a b {\displaystyle {\frac {C}{\pi }}\approx 3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}=3(a+b)-{\sqrt {3(a+b)^{2}+4ab}}} C π ( a + b ) ≈ 1 + 3 h 10 + 4 − 3 h , {\displaystyle {\frac {C}{\pi (a+b)}}\approx 1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}},} h {\displaystyle h} h 3 {\displaystyle h^{3}} h 5 , {\displaystyle h^{5},} h 4 {\displaystyle h^{4}}
より一般的には、 円周の一部の 弧長は 、その角度（または楕円の上半分の任意の2点の x 座標）の関数として、不完全 楕円積分 によって与えられる。楕円の上半分は、次のようにパラメータ化される。 y = b 1 − x 2 a 2 . {\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}
から までの 弧の長さは次のように なります。 s {\displaystyle s} x 1 {\displaystyle \ x_{1}\ } x 2 {\displaystyle \ x_{2}\ } s = − b ∫ arccos x 1 a arccos x 2 a 1 + ( a 2 b 2 − 1 ) sin 2 z d z . {\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;dz~.}
これは次の式と同等である。 s = b [ E ( z | 1 − a 2 b 2 ) ] z = arccos x 2 a arccos x 1 a {\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}
ここで 、パラメータが である第二種不完全楕円積分は E ( z ∣ m ) {\displaystyle E(z\mid m)} m = k 2 . {\displaystyle m=k^{2}.}
標準楕円の円周の下限と上限は [ 27 ] で ある。 x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 {\displaystyle \ x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}=1\ } a ≥ b {\displaystyle \ a\geq b\ } 2 π b ≤ C ≤ 2 π a , π ( a + b ) ≤ C ≤ 4 ( a + b ) , 4 a 2 + b 2 ≤ C ≤ 2 π a 2 + b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}2\pi b&\leq C\leq 2\pi a\ ,\\\pi (a+b)&\leq C\leq 4(a+b)\ ,\\4{\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}&\leq C\leq {\sqrt {2\ }}\pi {\sqrt {a^{2}+b^{2}\ }}~.\end{aligned}}}
ここで、上限は楕円の長軸の端点を通る 外接 同心円 の円周であり 、下限は 長軸と短軸の端点を 頂点 とする 内接 菱形 の周囲長です。 2 π a {\displaystyle \ 2\pi a\ } 4 a 2 + b 2 {\displaystyle 4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
軸が描かれた楕円が与えられれば、 定規とコンパス だけを使って、長さが楕円の円周の 8 分の 1 である特定の楕円弧の端点を有限数のステップで作図することができます。軸の長さの比が 2 : 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}:1} であるような楕円の特定の形状では、長さが円周の 12 分の 1 である特定の弧の端点を追加で作図することができます。 [ 28 ] (頂点と共頂点は、すでに長さが楕円の円周の 2 分の 1 または 4 分の 1 である弧の端点です。) しかし、円 や レムニスケート の場合 とは異なり、定規とコンパスによる楕円分割の一般理論は知られていないようです。特殊なケースでの分割は、 ルジャンドルが古典 的な論文で研究しています。 [ 29 ]
曲 率は 次のように与えられます。
κ = 1 a 2 b 2 ( x 2 a 4 + y 2 b 4 ) − 3 2 , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{a^{2}b^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}\ ,}
点 における曲率半径 ρ = 1/κ は次のようになります 。 楕円の曲率半径は、 中心からの
角度 θ の関数として、次の式で表されます。ここで、e は離心率です。 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ρ = a 2 b 2 ( x 2 a 4 + y 2 b 4 ) 3 2 = 1 a 4 b 4 ( a 4 y 2 + b 4 x 2 ) 3 . {\displaystyle \rho =a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {1}{a^{4}b^{4}}}{\sqrt {\left(a^{4}y^{2}+b^{4}x^{2}\right)^{3}}}\ .} R ( θ ) = a 2 b ( 1 − e 2 ( 2 − e 2 ) ( cos θ ) 2 ) 1 − e 2 ( cos θ ) 2 ) 3 / 2 , {\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}
2つの 頂点 と曲率中心における曲率半径: ( ± a , 0 ) {\displaystyle (\pm a,0)} ρ 0 = b 2 a = p , ( ± c 2 a | 0 ) . {\displaystyle \rho _{0}={\frac {b^{2}}{a}}=p\ ,\qquad \left(\pm {\frac {c^{2}}{a}}\,{\bigg |}\,0\right)\ .}
二つの 共頂点 と曲率中心における曲率半径： すべての曲率中心の軌跡は 縮閉線と 呼ばれます。楕円の場合、縮閉線は 小惑星 です。 ( 0 , ± b ) {\displaystyle (0,\pm b)} ρ 1 = a 2 b , ( 0 | ± c 2 b ) . {\displaystyle \rho _{1}={\frac {a^{2}}{b}}\ ,\qquad \left(0\,{\bigg |}\,\pm {\frac {c^{2}}{b}}\right)\ .}
楕円は三角形の幾何学では次のように表される。
シュタイナー楕円 ：重心を中心とする三角形の頂点を通る楕円。 内楕円 ：三角形の辺に接する楕円。特殊な例としては、 シュタイナー内楕円 と マンダート内楕円 がある。 楕円は次の二次 曲線 の平面切断面として現れます。
楕円の焦点にある水銀に滴下した小さな液滴の波形 楕円形の水槽の一方の焦点で水面が乱されると、その乱れの円形波は 壁で 反射した後、同時に一点、すなわち 第二の焦点 に収束します。これは、二つの焦点間の壁反射経路における総移動距離が同じであることから生じます。
同様に、光源を楕円 鏡 の一方の焦点に置くと、楕円面上のすべての光線はもう一方の焦点に反射されます。このような特性を持つ滑らかな曲線は他に存在しないため、楕円の別の定義として使用できます。(中心に光源がある円の特殊なケースでは、すべての光が中心に戻って反射されます。)楕円を長軸に沿って回転させて楕円面鏡(具体的には長 球面)を作成すると、この特性は光源から出るすべての光線に当てはまります。あるいは、楕円形の断面を持つ円筒形の鏡を使用して、線状 蛍光灯 からの光を紙の線に沿って焦点を合わせることもできます。このような鏡は一部の 文書スキャナ で使用されています 。
音波も同様に反射するため、大きな楕円形の部屋では、一方の焦点に立っている人はもう一方の焦点に立っている人の声が非常によく聞こえます。この効果は、 長楕円体の一部分のような形をし たアーチ型の屋根の下ではさらに顕著になります。このような部屋は ウィスパー チェンバー と呼ばれます。このような長楕円体の端のキャップのような形をした 2 つの反射器を適切な距離で向かい合わせて配置することで、同じ効果を実証できます。例としては、 米国議会議事堂 の 国立彫像ホール ( ジョン クィンシー アダムズ がこの特性を利用して政治の盗聴をしたと言われている)、 ユタ 州 ソルトレーク シティ の テンプル スクエア にある モルモン教の礼拝堂 、シカゴ 科学産業博物館 の音響展、 イリノイ 大学アーバナ シャンペーン校のフォーリンガー オーディトリアムの前、 アルハンブラ 宮殿のカール 5 世宮殿の脇の部屋などがあります 。
17世紀、 ヨハネス・ケプラーは、 惑星運動の第一法則 において、惑星が太陽の周りを回る軌道は、太陽をほぼ一つの焦点とする楕円軌道であることを発見しました 。後に アイザック・ニュートンは、これを 万有引力の法則 の帰結として説明しました 。
より一般的には、重力 二体問題 において、二つの物体が互いに束縛されている場合（つまり、全エネルギーが負の場合）、それらの軌道は 相似 楕円となり、共通の 重心 はそれぞれの楕円の焦点の一方となる。どちらの楕円のもう一方の焦点には、物理的な意味は知られていない。一方の物体の基準座標系における一方の物体の軌道も楕円となり、もう一方の物体は同じ焦点に位置する。
ケプラーの楕円軌道は、その強さが距離の2乗に反比例する、放射状に向いた引力によって形成される。したがって、原理的には、空間における2つの反対電荷を持つ粒子の運動も楕円軌道を描くことになる。（ただし、この結論は、 粒子が高速で運動しているときに顕著になる 電磁放射 と 量子効果による損失を無視している。）
楕円軌道 の場合 、離心率に関する有用な関係は 次のとおりです。 e {\displaystyle e} e = r a − r p r a + r p = r a − r p 2 a r a = ( 1 + e ) a r p = ( 1 − e ) a {\displaystyle {\begin{aligned}e&={\frac {r_{a}-r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}={\frac {r_{a}-r_{p}}{2a}}\\r_{a}&=(1+e)a\\r_{p}&=(1-e)a\end{aligned}}}
どこ
r a {\displaystyle r_{a}} 遠点 半径、すなわち、 楕円の 焦点 である系の 重心 までの軌道の最遠距離である。 r p {\displaystyle r_{p}} 近点 半径 、つまり最も近い距離 a {\displaystyle a} 長半径 の長さ また、と に関しては 、長半径 は 算術平均 、短半径 は 幾何平均 、 直腸半半径は 調和平均 です 。言い換えれば、 r a {\displaystyle r_{a}} r p {\displaystyle r_{p}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} ℓ {\displaystyle \ell } a = r a + r p 2 b = r a r p ℓ = 2 1 r a + 1 r p = 2 r a r p r a + r p . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}
2次元 以上の 調和振動子 の一般解 も楕円形となる。例えば、2次元で自由に運動する長い振り子、完全に弾性的な バネ によって固定点に固定された質量、あるいは固定されたアトラクターからの距離に正比例する引力の影響を受けて運動する物体などがこれに該当する。しかしながら、ケプラーの軌道とは異なり、これらの「調和軌道」は楕円の幾何学的中心に引力の中心を持ち、運動方程式は比較的単純である。
電子工学 では、2つの正弦波信号を オシロスコープ の垂直入力と水平入力に入力することで、それらの相対位相を比較することができます 。 リサージュ波形 が直線ではなく楕円形の場合、2つの信号の位相はずれています。
同じ楕円形の輪郭を持つ 2つの 非円形歯車は、それぞれが1つの焦点を中心に回転し、適切な角度に配置され、常に接触を保ちながら滑らかに回転します。あるいは、 リンクチェーン や タイミングベルト で接続することもできます。また、自転車の場合は、メイン チェーンリング が楕円形、あるいは楕円に似た 卵形になることもあります。このような楕円形歯車は、駆動軸の一定回転から可変 角速度 または トルクを 生成する機械装置に使用されます。また、自転車の場合は、クランクの回転速度を変化させることで、 機械的利点 を反比例して変化させるために使用されます 。
楕円形の自転車ギアは、ギアを変えるときにチェーンが歯車から滑り落ちるのを容易にします。 [ 30 ]
歯車の応用例としては、紡績 機の円錐状の ボビン に糸を巻き取る装置が挙げられます 。糸がボビンの頂点付近にあるときの方が、底部付近にあるときよりも速く糸を巻き取る必要があります。 [ 31 ]
光学的に異方性 （ 複屈折性 ）を持つ物質では 、 屈折率は 光の方向に依存します。この依存性は 屈折率楕円体 で表すことができます。（物質が光学的に 等方性 の場合、この楕円体は球体です。） ランプ 励起 固体レーザーでは、楕円柱状の反射鏡を用いて励起ランプ（一方の楕円焦点軸と同軸）からの光を活性媒質ロッド（もう一方の焦点軸と同軸）に導く。 [ 32 ] マイクロチップリソグラフィー で使用されるレーザープラズマ生成 EUV 光源では 、楕円面鏡の主焦点に配置されたプラズマによってEUV光が生成され、リソグラフィー装置の入力にある二次焦点に集められます。 [ 33 ] 統計学 において 、二変量 ランダムベクトル は、 その等密度等高線（密度関数の等しい値の軌跡）が楕円形である場合、 共楕円分布する。この概念はランダムベクトルの任意の個数の要素に拡張され、その場合、一般に等密度等高線は楕円体となる。特殊なケースとして 多変量正規分布 がある。楕円分布は金融分野で重要である。なぜなら、資産収益率が共楕円分布する場合、すべてのポートフォリオをその平均と分散によって完全に特徴付けることができるためである。つまり、ポートフォリオ収益率の平均と分散が同一の2つのポートフォリオは、ポートフォリオ収益率の分布も同一である。 [ 34 ] [ 35 ] ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)}
楕円を グラフィックスプリミティブ として描画することは、Macintosh QuickDraw APIや Windowsの Direct2Dなどの標準的なディスプレイライブラリで一般的です。IBMの ジャック・ブレゼンハムは 、加算や桁上げビットによる分岐などの高速な整数演算のみを使用して、直線や円の描画を含む2D描画プリミティブを発明したことで最も有名です。MLV Pittewayは1967年にブレゼンハムの直線アルゴリズムを円錐曲線に拡張しました。 [ 36 ] 楕円を描画するための別の効率的な一般化は、1984年にジェリー・ヴァン・エイケンによって発明されました。 [ 37 ]
1970年、ダニー・コーエンはイギリスで開催された「コンピュータグラフィックス1970」会議で、楕円と円を描画するための線形アルゴリズムを発表しました。1971年、LBスミスはすべての円錐曲線に対する同様のアルゴリズムを発表し、それらが優れた特性を持つことを証明しました。 [ 38 ] これらのアルゴリズムは、各ベクトルを計算するのにわずかな乗算と加算のみを必要とします。
コンピュータグラフィックスでは、曲率が最も高い場所で点の密度が最大になるため、パラメトリックな定式化を用いるのが効果的です。そのため、連続する各点間の傾きの変化は小さくなり、近似値の見かけ上の「ギザギザ感」が軽減されます。
ベジェパスによる描画 複合ベジェ曲線は 、楕円を十分な精度で描くためにも使用できます。これは、楕円は円の アフィン変換 として解釈できるためです。円を描くために使用されるスプライン法は、楕円を描くために使用できます。これは、構成する ベジェ曲線が そのような変換に対して適切に動作するためです。
点集合上の最小の境界楕円を求めることが有用な場合があります。この問題を解くには、 楕円体法が 非常に役立ちます。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83709b15a759e09332f42231c992ef5f97e6e2cb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,CA),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c699db33888167e2c0c9fb5223b3b11d5124f9)
![{\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338f80cb5063c4db7bb394618c0012575c6ae071)
![{\displaystyle u\in [0,\,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61b780db9ac550dd283876e16abe9c2cccdf8c3)
![{\displaystyle [u:v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/297de5a93c52f13ef84add1d79d693fcda686176)
![{\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1c21205522d70966ce62b8e324b19ec4c90f41)
![{\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da12e69b8138a30dcb6cfbeeb95bd63b890f2db)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8252bcba269bad4896aef5f664a83860320d49b5)
ド・ラ・イル法
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\dfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\\[2ex]{\dfrac {x_{1}-x_{3}}{y_{1}-y_{3}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\circ }\\[1ex]y_{\circ }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(x_{1}-x_{2})}}\\[2ex]{\dfrac {y_{1}^{2}-y_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}{2(y_{1}-y_{3})}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505e489a44d7620be3ab20771d38951e0eef7409)
![{\displaystyle x\in [-a,a],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb19e5015712fa6f6c57d3f334266c73d7782434)
![{\displaystyle [-a,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ccbcece37f9ec0a4c6d396be3a143a0b76d5c1)
![{\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7338c6c7bf9cc8e20da6c7da90eecd93f540416)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe971ae54d15192d057cf4ab90494745bfb3a006)
