分離和集合

In mathematics, operation on sets

分離和集合

タイプ	集合演算
分野	集合論
象徴的な声明	$${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}}$$

数学において、集合AとBの非素和集合（または判別和集合）とは、 AとBの要素に、それらが属する集合の名前でラベル（添字）を付けて構成される集合である。したがって、 AとBの両方に属する要素は、非素和集合において2回出現し、それぞれ異なるラベルが付けられる。 ${\displaystyle A\sqcup B}$

添字付き集合族の非素和集合とは、各 をに射影しての分割を形成するような集合であり、これらの射影の像はの分割を形成する（つまり、 の各要素はこれらの像のどれか1つに属する）ような集合である。対素集合族の非素和集合は、それらの和集合である。 ${\displaystyle (A_{i}:i\in I)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

圏論において、素和は集合の圏の余積であり、したがって一対一で定​​義される。この文脈では、 という表記法がよく用いられる。 ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$

2つの集合と の互いに素な和集合は、中置記法でと表されます。著者によっては、 または（および対応するまたは）という代替記法を使用する人もいます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\sqcup B}$ ${\displaystyle A\uplus B}$ ${\displaystyle A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B}$ ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$

分離和集合を構築する標準的な方法は、を となる順序付きペアの集合として定義し、 を とする射影関数を次のように定義することです。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x,i)}$ ${\displaystyle x\in A_{i},}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

例

集合を考えてみると、関連する集合を形成することによって集合の起源に従って集合の要素をインデックス付けすることが可能です。 ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$ ${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}.}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}}$

各ペアの2番目の要素は原点集合の添字と一致します（例えば、の はの添字と一致します）。したがって、分離和集合は次のように計算できます。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (5,0)}$ ${\displaystyle A_{0},}$ ${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$ $${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.}$$

集合論の定義

正式には、 がでインデックス付けされたセットのインデックス付きファミリであるとします。このファミリの非結合和はセット です。 非結合和の要素は順序付きペアです。ここで は、要素がどこから来たのかを示す補助インデックスとして機能します。 ${\displaystyle \left(A_{i}:i\in I\right)}$ ${\displaystyle I.}$ $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle (x,i).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle x}$

それぞれの集合は集合 と正準同型である。この同型性を通して、は素和に正準的に埋め込まれていると考えることができる。集合とは素であるが、集合と は素ではない。 ${\displaystyle A_{i}}$ $${\displaystyle A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\neq j,}$ ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

のそれぞれが、それぞれについて何らかの固定された集合に等しいという極端なケースでは、分離した和集合は、およびの直積です。 ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$$

時々、この表記法は集合族の非素和集合、あるいは2つの集合の非素和集合を表すのに用いられます。この表記法は、非素和集合の基数が集合族内の項の基数の和であるという事実を示唆しています。これを集合族の直積を表す表記法と比較してみてください。 $${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$$ ${\displaystyle A+B}$

圏論の言語において、素和は集合の圏における余積である。したがって、これは関連する普遍性を満たす。これはまた、素和が直積構成の圏的双対であることも意味する。詳細は余積を参照のこと。

多くの目的において、補助インデックスの特定の選択は重要ではなく、表記法 を単純化して乱用することで、インデックス付き族を単に集合の集合として扱うことができます。この場合、は のコピーと呼ばれ、 という表記法が使用されることもあります。 ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

カテゴリー理論の観点

カテゴリー理論では、分離和は集合のカテゴリーにおける 余積として定義されます。

このように、素和は同型写像まで定義され、上記の定義は余積の実現例の一つに過ぎません。集合が互いに素である場合、通常の和は余積の別の実現例です。これは、冒頭の2番目の定義を正当化します。

分離和集合のこのカテゴリカルな側面により、余積を表すために ではなく が頻繁に使用される理由が説明されます。 ${\displaystyle \coprod }$ ${\displaystyle \bigsqcup ,}$

参照

• 共積 – 圏論的構成
• 直接極限 – 圏論における余極限の特殊ケース
• 不連続和（位相）  – 数学用語
• グラフの非結合和 – 2つのグラフの頂点と辺の集合を結合する二項演算
• 交差（集合論）  – いくつかの集合のすべてに共通する要素の集合
• 集合の恒等式と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
• 集合の分割 – 集合の要素をグループ化する数学的な方法
• 合計型 – 複数の異なるが固定された型を取ることができる値を保持するために使用されるデータ構造Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 対称差 – 2つの集合のうちの1つに含まれる要素
• タグ付きユニオン – 複数の異なるが固定された型を取ることができる値を保持するために使用されるデータ構造
• ユニオン（コンピュータサイエンス）  - 複数の異なるデータ型のいずれかの値を許可するデータ型Pages displaying short descriptions of redirect targets

参考文献

• ラング、セルジュ（2004）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（訂正第4刷、改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、p. 60、ISBN 978-0-387-95385-4
• ワイスタイン、エリック・W.「不連続和」。MathWorld。

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