楕円軌道

Kepler orbit with an eccentricity of less than one

離心率による軌道のアニメーション
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質量が同じ 2 つの物体が、共通の重心の周りを楕円軌道で周回します。

質量の異なる 2 つの物体が共通の重心の周りを円軌道で周回します。

質量が大きく異なる 2 つの物体が、共通の重心の周りを円軌道で回っています。

この図の右上象限には楕円軌道が描かれており、中心質量の重力ポテンシャル井戸が位置エネルギーを示し、軌道速度の運動エネルギーが赤で示されています。ケプラーの法則に従い、軌道を周回する天体の速度が低下し、距離が増加するにつれて、運動エネルギーの高さは減少します。

天体力学または天体力学において、楕円軌道または偏心軌道とは、離心率が1未満の軌道のことである。 ^{[要出典]これには、離心率が0である}円軌道という特殊なケースが含まれる。離心率が「高い」軌道は「細長い軌道」と呼ばれることがあるが、これは説明的な用語ではない。単純な二体問題では、すべての軌道は楕円である。

重力二体問題において、両物体は共通の重心の周りを同じ軌道周期で回る相似の楕円軌道を描く。一方の物体と他方の物体の相対的な位置も楕円軌道を描く。

楕円軌道の例としては、ホーマン遷移軌道、モルニヤ軌道、ツンドラ軌道などがあります。

速度

標準的な仮定の下では、2つの球対称物体と以外には作用する力はなく、^[1]楕円軌道に沿って移動する1つの物体の軌道速度（）は、vis-viva方程式から次のように計算できます。 ^[2] ${\displaystyle (m_{1})}$ ${\displaystyle (m_{2})}$ ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータであり、一方の物体がもう一方の物体よりもはるかに大きい場合は と表現されることが多い。 ${\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}$ ${\displaystyle GM}$
• ${\displaystyle r\,}$両方の物体の重心間の距離です。
• ${\displaystyle a\,\!}$長半径の長さです。

双曲軌道の速度方程式は、または となる規則と同じで、その場合はが負になります。 ${\displaystyle (+{1 \over {a}})}$ ${\displaystyle (a)}$

軌道周期

標準的な仮定の下では、楕円軌道に沿って移動する物体の軌道周期（）は次のように計算できる：^[3] ${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \mu }$は標準的な重力パラメータです。
• ${\displaystyle a\,\!}$長半径の長さです。

結論:

• 軌道周期は、軌道半径が長半径（）に等しい円軌道の周期に等しい。 ${\displaystyle a\,\!}$
• 与えられた軌道長半径に対して、軌道周期は離心率に依存しません（ケプラーの第三法則も参照）。

エネルギー

標準的な仮定の下では、楕円軌道の特定の軌道エネルギー（ ）は負であり、この軌道の軌道エネルギー保存方程式（ Vis-viva方程式）は次の形を取ることができる： ^[4] ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

どこ：

• ${\displaystyle v\,}$軌道を周回する天体の軌道速度である。
• ${\displaystyle r\,}$は、軌道を周回する天体と中心天体との距離であり、
• ${\displaystyle a\,}$長半径の長さ、
• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータです。

結論:

• 与えられた軌道長半径に対して、特定の軌道エネルギーは離心率に依存しません。

ビリアル定理を使用して次を求めます。

• 比位置エネルギーの時間平均は−2εに等しい
  • r ⁻¹の時間平均は−1^である
• 比運動エネルギーの時間平均はεに等しい

長半径から見たエネルギー

軌道長半径（および関係する質量）に基づいてエネルギーを知ることは有用である。軌道の全エネルギーは次のように与えられる。

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$、

ここで、a は長半径です。

導出

重力は中心力なので、角運動量は一定です。

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

最も近づくときと最も遠いとき、角運動量は周回する質量からの距離に対して垂直なので、次のようになります。

${\displaystyle L=rp=rmv}$。

軌道の全エネルギーは^{[5]で与えられる。}

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$。

vを代入すると、式は次のようになる。

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$。

これは、r が最も近い/最も遠い距離であるため、2 つの同時方程式が作成され、これを E について解くと次のようになります。

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

および（イプシロンは軌道の離心率）であるため、述べられた結果が得られます。 ${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$ ${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

飛行経路角度

飛行経路角とは、軌道を周回する物体の速度ベクトル（瞬間軌道の接線ベクトルに等しい）と局所水平面との間の角度である。角運動量保存則の標準的な仮定の下では、飛行経路角は次の式を満たす：^[6] ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

どこ：

• ${\displaystyle h\,}$軌道の特定の相対角運動量であり、
• ${\displaystyle v\,}$軌道を周回する天体の軌道速度である。
• ${\displaystyle r\,}$は、中心天体からの周回天体の半径距離である。
• ${\displaystyle \phi \,}$飛行経路の角度は

${\displaystyle \psi }$は軌道速度ベクトルと長半径の間の角度です。は局所的な真近点角です。したがって、 ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

離心率はどこにありますか。 ${\displaystyle e}$

角運動量は位置と速度のベクトル積に関係しており、これはこれら2つのベクトル間の角度の正弦に比例します。ここで はこれから90度異なる角度として定義されるため、正弦の代わりに余弦が用いられます。 ${\displaystyle \phi }$

運動方程式

初期位置と速度から

軌道方程式は、中心天体の周りを周回する天体 の軌道を、位置を時間の関数として指定することなく、中心天体に対する相対的な軌道として定義します。離心率が1未満の場合、運動方程式は楕円軌道を描きます。ケプラーの方程式は、平均近点(M)に関する離心近点(E)の一般的な閉形式解を持たないため、時間の関数としての運動方程式にも閉形式解は存在しません（ただし、どちらも数値解は存在します）。 ${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

しかし、中心物体に対する楕円軌道の時間に依存しない閉じた形の経路方程式は、初期位置( )と速度( )だけで決定できます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

この場合、上記の標準的な仮定とは多少異なる次の仮定を使用すると便利です。

1. 中心天体の位置は原点にあり、楕円の主焦点（ ）となる（あるいは、周回天体が大きな質量を持つ場合は、代わりに質量中心が使用されることもある）。 ${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. 中心天体の質量（m1）は既知である
3. 軌道を周回する物体の初期位置（）と速度（）は既知である ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. 楕円はXY平面内にある

4番目の仮定は、3点（またはベクトル）は必ず共通平面内にあるため、一般性を失うことなく成立します。これらの仮定の下では、2番目の焦点（「空」焦点と呼ばれることもあります）もXY平面内にある必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

ベクトルの使用

これらの仮定のもとでベクトルを使用した楕円の一般的な方程式は次のようになります。

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}$

どこ：

• ${\displaystyle a\,\!}$長半径の長さです。
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$2 番目の (「空の」) フォーカスです。
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$式を満たす任意の (x,y) 値です。

半長軸の長さ（a）は次のように計算できます。

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

ここでは標準重力パラメータです。 ${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

空の焦点（ ）は、まず偏心ベクトルを決定することによって見つけることができます。 ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

軌道を周回する物体の特定の角運動量はどこにあるか: ^[7] ${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

それから

${\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }$

XY座標の使用

これは、次の手順を使用して、直交座標で実行できます。

上記の仮定に基づく楕円の一般的な方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

与えられた条件:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$初期位置座標

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$初期速度座標

そして

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$重力パラメータ

それから：

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$比角運動量

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$F1（原点）からの初期距離

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$半長軸の長さ

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$離心率ベクトル座標

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

最後に、空のフォーカス座標

${\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }$

これで、結果の値fx、fy、aを上記の一般的な楕円方程式に適用できます。

軌道パラメータ

軌道を周回する物体の任意の時点における状態は、中心物体に対する軌道を周回する物体の位置と速度によって定義されます。中心物体は、3次元直交座標（軌道を周回する物体の位置はx、y、zで表されます）と、軌道を周回する物体の速度の直交座標成分で表されます。この6つの変数と時間は、軌道状態ベクトルと呼ばれます。2つの物体の質量が与えられれば、これらによって完全な軌道が決定されます。これらの6つの自由度を持つ最も一般的な2つのケースは、楕円軌道と双曲軌道です。自由度が少ない特殊なケースは、円軌道と放物線軌道です。

このパラメータセットで楕円軌道を完全に表現するには、少なくとも6つの変数が絶対に必要であるため、任意のパラメータセットで軌道を表現するには6つの変数が必要です。よく使用されるもう1つの6つのパラメータセットは、軌道要素です。

太陽系

太陽系では、惑星、小惑星、ほとんどの彗星、および一部の宇宙ゴミが、太陽の周りをほぼ楕円形の軌道で回っています。厳密に言えば、どちらの天体も、より質量の大きい天体に近い方の楕円の同じ焦点の周りを回っていますが、一方の天体の方が地球に対してかなり質量が大きい場合など、質量が大きい天体の内部に焦点が含まれることがあり、そのため小さい方の天体がその周りを回っていると言えます。次の図は、惑星、準惑星、ハレー彗星の近日点と遠日点を示し、楕円軌道の離心率の変化を示しています。太陽からの距離が同じ場合、バーが広いほど離心率が大きいことを示します。地球と金星の離心率はほぼゼロであるのに対し、ハレー彗星とエリスの離心率は極めて大きいことに注目してください。

太陽系内の選択された天体と太陽との距離。各バーの左端と右端はそれぞれ近日点と遠日点に対応しており、バーが長いほど軌道離心率が高いことを示しています。太陽の半径は70万km、木星（最大の惑星）の半径は70万kmですが、どちらもこの画像では解像するには小さすぎます。

放射状楕円軌道

放射状の軌道は、短半径 = 0 かつ離心率 = 1 の退化した楕円である二重線分になることがあります。離心率は 1 ですが、これは放物線軌道ではありません。楕円軌道のほとんどの特性と公式が適用されます。ただし、この軌道は閉じられません。これは、物体が互いに接触して互いに離れ、再び接触するまでの退化した楕円の部分に対応する開いた軌道です。質点の場合、特異点で始まり、特異点で終わる 1 つの完全な軌道が可能です。開始時と終了時の速度は反対方向に無限大であり、位置エネルギーはマイナス無限大に等しくなります。

放射状楕円軌道は、物体を落下させる場合（空気抵抗を無視）のように、ある瞬間に速度がゼロになる二体問題の解です。

歴史

バビロニア人は、太陽の黄道に沿った動きが均一ではないことに初めて気づいたが、その理由は知らなかった。今日では、これは地球が太陽の周りを楕円軌道で回っており、近日点で太陽に近いときには地球の動きが速く、遠日点で太陽から遠いときには地球の動きが遅いためであることが分かっている。 [ ^8]

17世紀、ヨハネス・ケプラーは、惑星が太陽の周りを回る軌道が太陽を一つの焦点とする楕円形であることを発見し、これを惑星運動の第一法則として記述しました。後に、アイザック・ニュートンはこれを万有引力の法則の帰結として説明しました。

参照

• アプシス
• 特性エネルギー
• 楕円
• 軌道一覧
• 軌道離心率
• 軌道方程式
• 放物線軌道

参考文献

1. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（初版）. ニューヨーク: ドーバー. pp.  11– 12. ISBN 0-486-60061-0。
2. リッサウアー、ジャック・J.; デ・パター、イムケ (2019). 『基礎惑星科学：物理学、化学、そして居住可能性』 ニューヨーク、ニューヨーク州、アメリカ合衆国: ケンブリッジ大学出版局. pp.  29– 31. ISBN 9781108411981。
3. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（初版）. ニューヨーク: ドーバー. p. 33. ISBN 0-486-60061-0。
4. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（初版）. ニューヨーク: ドーバー. pp.  27– 28. ISBN 0-486-60061-0。
5. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（初版）. ニューヨーク: ドーバー. p. 15. ISBN 0-486-60061-0。
6. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（初版）. ニューヨーク: ドーバー. p. 18. ISBN 0-486-60061-0。
7. ベイト, ロジャー・R.; ミューラー, ドナルド・D.; ホワイト, ジェリー・E. (1971). 『天体力学の基礎』（初版）. ニューヨーク: ドーバー. p. 17. ISBN 0-486-60061-0。
8. デイヴィッド・レバリントン（2003年）、バビロンからボイジャー、そしてその先へ：惑星天文学の歴史、ケンブリッジ大学出版局、 6～ 7頁 、ISBN 0-521-80840-5

出典

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). 「一次軌道方程式」. American Journal of Physics . 75 (4): 352– 355. Bibcode :2007AmJPh..75..352D. doi :10.1119/1.2432126.
• D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). 「重力楕円」. Journal of Mathematical Physics . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode :2009JMP....50a2901M. doi :10.1063/1.3078419.
• カーティス、ハワード・D. (2019). 『工学部学生のための軌道力学（第4版）』バターワース・ハイネマン. ISBN 978-0-08-102133-0。

外部リンク

• 遠地点 - 近地点 月の写真比較
• 遠日点 - 近日点 太陽写真比較
• カナダ天文学、衛星追跡および光学研究（CASTOR）

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