ポンチャギン級

Characteristic class for real vector bundles

数学において、ポンチャギン類はレフ・ポンチャギンにちなんで名付けられ、実ベクトル束の特定の特性類である。ポンチャギン類は、次数が4の倍数であるコホモロジー群に属する。

意味

上の実ベクトル束が与えられたとき、その- 次ポントリャーギン類は次のように定義される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$

${\displaystyle p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),}$

どこ：

• ${\displaystyle c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )}$は の複素化の- 番目のチャーン類を表す。 ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Z} )}$は整数係数を持つの-コホモロジー群です。 ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

有理ポンチャギン類は、有理係数を持つの -コホモロジー群におけるの像として定義されます。 ${\displaystyle p_{k}(E,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p_{k}(E)}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle M}$

プロパティ

ポンチャギン階級全体

${\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),}$

はベクトル束のホイットニー和に関して（2-捩れを法として）乗法的である 、すなわち、

${\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}$

2つのベクトル束と以上の場合には となる。個々のポンチャギン類に関しては、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}$

${\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}$

等々。

ベクトル束のポンチャギン類とスティフェル・ホイットニー類が消滅しても、ベクトル束が自明であることは保証されない。例えば、ベクトル束同型を除けば、 9次元球面上には階数10の非自明なベクトル束が唯一存在する。（ のクラッチング関数はホモトピー群から生じる。）ポンチャギン類とスティフェル・ホイットニー類はすべて消滅する。ポンチャギン類は次数9には存在せず、のスティフェル・ホイットニー類はウー公式によって消滅する。さらに、このベクトル束は安定的に非自明である。すなわち、 と任意の自明な束とのホイットニー和は非自明のままである。（Hatcher 2009, p. 76） ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle \pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle w_{9}}$ ${\displaystyle E_{10}}$ ${\displaystyle w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})}$ ${\displaystyle E_{10}}$

次元ベクトル束が与えられると、 ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),}$

ここで、は のオイラー類、 はコホモロジー類のカップ積を表します。 ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \smile }$

ポンチャギン類と曲率

1948年頃にシー・シェン・チェンとアンドレ・ヴェイユによって示されたように、有理ポンチャギン類は

${\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

はベクトル束の曲率形式に多項式的に依存する微分形式として表すことができる。このチャーン＝ヴェイユ理論は、代数位相幾何学と大域微分幾何学の間に重要なつながりを明らかにした。

接続を備えた次元微分可能多様体上のベクトル束 に対して、全ポンチャギン類は次のように表される。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),}$

ここで、は曲率形式、 はド・ラームコホモロジー群を表す。^{[引用が必要]} ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$

多様体のポンチャギン類

滑らかな多様体のポンチャギン類は、その接束のポンチャギン類として定義されます。

ノビコフは1966年に、2つのコンパクトで有向性のある滑らかな多様体が同相である場合、それらの有理ポンチャギン類は同一であることを証明した。次元が5以上の場合、与えられたホモトピー型とポンチャギン類を持つ滑らかな多様体は最大で有限個しか存在しない。 ^[1] ${\displaystyle p_{k}(M,\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {Q} )}$

チャーン類からのポンチャギン類

複素ベクトル束のポンチャギン類は、そのチャーン類によって完全に決定される。これは、 という事実、ホイットニー和公式、そしてその複素共役束のチャーン類の性質から導かれる。つまり、であり、 である。そして、この関係から、 ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}}$ ${\displaystyle c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})}$

${\displaystyle 1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))}$^[2]。

例えば、この式を曲線と曲面上の複素ベクトル束のポンチャギン類に適用することができます。曲線の場合、

${\displaystyle (1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}}$

したがって、複素ベクトル束のポンチャギン類はすべて自明である。一般に、積の最初の2項を見ると、

${\displaystyle (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)+\ldots +(-1)^{n}c_{n}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\ldots +c_{n}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)+\ldots }$

となることがわかります。特に線束の場合、次元上の理由により となるため、これはさらに単純化されます。 ${\displaystyle p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)}$ ${\displaystyle c_{2}(L)=0}$

四次K3曲面上のポンチャギン類

消失軌跡が滑らかな部分多様体である4次多項式はK3曲面であることを思い出してください。正規列を用いると ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0}$

見つけることができる

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}}$

とを示している。 は4点に対応するので、ベズーの補題により、第2チャーン数は となる。この場合、 ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=6[H]^{2}}$ ${\displaystyle [H]^{2}}$ ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle p_{1}(X)=-2c_{2}(X)}$

${\displaystyle p_{1}(X)=-48}$この数は球面の3番目の安定ホモトピー群を計算するのに使えます。^[3]

ポンチャギン数

ポンチャギン数は、滑らかな多様体の特定の位相不変量です。多様体の各ポンチャギン数は、の次元が4で割り切れない場合に0になります。ポンチャギン数は、多様体のポンチャギン類を用いて次のように定義されます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

滑らかな次元多様体と自然数の集合 が与えられると ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}$となる。 ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$

ポンチャギン数は次のように定義される。 ${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}}$

${\displaystyle P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])}$

ここで、 は- 番目のポンチャギン類と の基本類を表します。 ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$

プロパティ

1. ポンチャギン数は有向コボルディズム不変であり、スティフェル・ホイットニー数とともに有向多様体の有向コボルディズム類を決定します。
2. 閉じたリーマン多様体（およびポンチャギン類）のポンチャギン数は、リーマン多様体の曲率テンソルから特定の多項式の積分として計算できます。
3. 符号や種数などの不変量はポンチャギン数で表現できます。ポンチャギン数の線形結合が符号を与えることを記述する定理については、ヒルツェブルッフの符号定理を参照してください。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$

一般化

四元数構造 を持つベクトル束のための四元数Pontryagin クラスもあります。

参照

• チャーン・サイモンズ形式
• ヒルツェブルッフの署名定理

参考文献

1. ノヴィコフ、SP (1964)。 「ホモトピカルに等価な滑らかな多様体。I」。イズベスティア・アカデミ・ナウクSSSR。セリヤ・マテマチェスカヤ。28 : 365–474。MR 0162246  。​
2. マクリーン、マーク。「ポンチャギンの階級」（PDF） 。 2016年11月8日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。^{[自費出版ソース? ]}
3. 「球面とコボルディズムのホモトピー群の計算の概説」（PDF） 16ページ。2016年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。^{[自費出版ソース? ]}

• ミルナー・ジョン・W. ;スタシェフ・ジェームズ・D. (1974).特性クラス. Annals of Mathematics Studies. プリンストン、ニュージャージー; 東京: プリンストン大学出版局 / 東京大学出版局. ISBN 0-691-08122-0。
• ハッチャー、アレン(2009). ベクトル束とK理論 (第2.1版).

外部リンク

• 「ポンチャギン階級」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].

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