ヒル球

Region in which an astronomical body dominates the attraction of satellites

ヒル球の3次元概念を2次元的に表現した断面図／側面図。地球の「重力井戸」（地球の重力ポテンシャル、青線）、月の重力ポテンシャル（赤線）、そしてそれらの合成ポテンシャル（黒の太線）を示している。点Pはフォースフリースポットであり、地球と月の重力が打ち消し合う。地球と月の大きさは比例しているが、距離とエネルギーは縮尺どおりではない。

ヒル球は、重力の影響圏を計算するための一般的なモデルである。これは、天体（m ）の重力影響の空間的範囲を計算するために最も一般的に使用されるモデルであり、その範囲では、他の天体、特に主天体（M）の重力影響よりも天体（m）が支配的である。 ^[1]ラプラス球^[1]やロッシュ球などの他の重力影響モデルと混同されることがある。ロッシュ球はロッシュ限界^[2]と混同される。^[3]アメリカの 天文学者 ジョージ・ウィリアム・ヒルが、フランスの天文学者エドゥアール・ロッシュの研究に基づいて定義した。^{[本文では未検証]}

より重力的に引きつける天体（より質量の大きい恒星による惑星、より質量の大きい惑星による衛星）に引きつけられるためには、質量の小さい方の天体は、質量の大きい方の天体のヒル球面によって表される重力ポテンシャルの範囲内にある軌道を持たなければなりません。 ^{[本文では未検証]}その衛星は、同様に、独自のヒル球面を持ち、その距離内にある物体は、惑星自体の衛星ではなく、月の衛星になる傾向があります。^{[本文では未検証]}

太陽と地球の2体系の有効重力ポテンシャルの等高線図。5つのラグランジュ点を示している。^{[要説明] [要出典]}

太陽系の範囲に関する一つの単純な見方は、太陽のヒル球（太陽と銀河核や他のより質量の大きい恒星との相互作用によって生じる）によって境界が定められているというものである。^{[4] [検証が必要]}より複雑な例は、右に示す地球のヒル球で、ラグランジュ点 L ₁とL ₂の間に広がっており、^{[明確化が必要]}これらの点は、地球と質量の大きい太陽の中心線に沿って位置している。^{[本文では未検証]}質量の小さい方の天体の重力の影響は、その方向では最小となるため、ヒル球の大きさを制限する要因として働く。^{[明確化が必要]}その距離を超えると、地球を周回する第三の天体は、少なくともその軌道の一部をヒル球の外側で周回することになり、質量の大きい天体である太陽の潮汐力によって次第に摂動を受け、最終的には太陽を周回することになる。^{[本文では未検証]}

重力ポテンシャルを持つ 2 つの質量の大きい物体と、それらと相互作用する無視できる質量の第 3 の物体の任意のエネルギーについては、通過できない空間内のゼロ速度面、つまりヤコビ積分の輪郭を定義できます。^{[本文では未検証]}物体のエネルギーが低い場合、ゼロ速度面は (この制限された 3 体系の) 質量の小さい物体を完全に取り囲みます。つまり、第 3 の物体は脱出できません。エネルギーが高い場合、1 つ以上の隙間またはボトルネックが発生し、第 3 の物体がより質量の小さい物体から脱出し、質量が大きい方の物体の周りの軌道に入ることができます。^{[本文では未検証]}エネルギーがこれら 2 つのケースの境界にある場合、第 3 の物体は脱出できませんが、それを閉じ込めるゼロ速度面は、近くのラグランジュ点の 1 つで質量の小さい物体の周りのより大きなゼロ速度面に接し^{[検証が必要]}、そこに円錐状の点を形成します。^{[説明が必要] [本文では検証されていません]}質量の小さい方の物体の反対側では、ゼロ速度面はもう一方のラグランジュ点に近づきます。^{[本文では検証されていません]}

意味

ヒル半径または球面（後者は前者の半径によって定義される^[要出典]）は、「惑星の周囲の領域で、その自身の重力（太陽や他の近くの天体の重力と比較して）が衛星を引き付ける支配的な力である」自然および人工の両方の衛星を引き付ける領域」と説明されている。^{[5] [より良い出典が必要]}

de PaterとLissauerが述べているように、太陽系のような系内のすべての物体は「互いの重力の作用を受ける」。そして、重力相互作用する2つの物体の運動（「二体問題」を構成する）は「完全に積分可能（[つまり]…自由度ごとに独立した積分または制約が1つ存在する）」であり、したがって正確な解析解が得られる。一方、3つ（あるいはそれ以上）の物体の相互作用は「解析的に導くことができない」ため、可能であれば数値積分による解が必要となる。^{[6] : p.26}これは、3つの物体のうち1つの質量が無視できるほど小さいため、系を正式には「制約三体問題」として知られる2体問題として近似できる場合を除いて当てはまる。^{[6] : p.26}

最も単純な例である2体問題または制限された3体問題（例えば、質量が大きい1つの主天体（質量 ）と、質量が小さい2番目の天体（質量 ））の場合、ヒル半径またはヒル球の概念は、2番目の質量の「重力支配」のおおよその限界であり、^[6]ヒル球の「範囲」によって定義される限界であり、数学的には次のように表されます。^{[6] : p.29  [7]} ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}}$、

ここで、この表現では、半径「 」は、2つの質量間の「瞬間的な太陽中心距離」（他の箇所ではr pと略記）として理解される。^{[6] : p.29  [7]} ${\displaystyle a}$

より一般的には、より質量の小さい天体 がより質量の大きい天体 を周回しており（例えば、太陽の周りを回る惑星のように）、その長半径と離心率を持つ場合、近点で計算された質量の小さい天体のヒル半径または球面 は、おおよそ次のようになります。^{[8] [一次以外の情報源が必要] [より良い情報源が必要]} ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}.}$

離心率が無視できる場合（軌道安定性にとって最も好ましい場合）、この式は上記の式に簡略化されます。^{[引用が必要]}

例と導出

太陽・地球・月系の各天体のヒル球（2次元半径）とロッシュ限界を、縮尺通りには示していない模式的に示した図。月のヒル半径は約60,000 km（つまり、月と地球の間の距離378,000 kmの6分の1未満）である。^[9]

地球と太陽の例では、地球（5.97 × 10 ²⁴  kg）が太陽の周りを公転（月の重力加速度は、地球から1億4960万km（1天文単位、AU）の距離で、約199万× 10 ³⁰  kgです。地球のヒル球は約150万km（0.01 AU）まで広がります。地球から38万4000kmの距離にある月の軌道は、地球の重力圏内にあり、太陽の周りを独立して回る軌道に引き込まれる危険性はありません。

先ほどの離心率を無視した式は次のように言い換えることができます。

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m_{2}}{M}}}$、 または 、 ${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m_{2}}{M}}}$

ここで、M は相互作用する質量の合計です。

導出

ヒル半径の式は、二次天体を周回する試験粒子（質量は よりはるかに小さい）に作用する重力と遠心力を等しくすることで求められる。質量と質量間の距離は であり、試験粒子は二次天体から の距離を周回していると仮定する。試験粒子が一次天体と二次天体を結ぶ線上にある場合、力の釣り合いは次式を満たす。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

ここでは重力定数、は（ と仮定した場合）二次元の一次元の周りの（ケプラーの）角速度である。上記の式は次のようにも書ける。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$ ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

これを の主位への二項展開により次のように表すことができる。 ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

したがって、上記の関係は

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

主星の周りの伴星の軌道が楕円形の場合、ヒル半径は遠心点（が最大）で最大となり、軌道の近心点で最小となる。したがって、試験粒子（例えば小型衛星）の安定性を確保するためには、近心距離におけるヒル半径を考慮する必要がある。 ${\displaystyle r}$

の主要な順序に対して、上記のヒル半径は、ラグランジュ点 L ₁から二次点までの距離も表します。 ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

安定領域

ヒル球は近似値に過ぎず、他の力（放射圧やヤルコフスキー効果など）によって、最終的には物体が球から外れる可能性がある。^[要出典]前述のように、衛星（第3の質量）は、その重力の影響が無視できるほど小さくなければならない。^{[6] : p.26ff}

主星から遠く離れた逆行軌道の安定領域は、主星から遠く離れた順行軌道の安定領域よりも広い。これは木星の衛星が逆行衛星が多い理由を説明すると考えられていたが、土星の衛星は逆行衛星と順行衛星がより均等に混在しているため、理由はより複雑である。 ^[10] 2惑星系では、2つの惑星の相互ヒル半径が10を超えると安定する。3つ以上の惑星からなる多惑星系で、長半径の差が相互ヒル半径の10倍未満の場合、常に不安定となる。これは、3番目の惑星による摂動によって角運動量が失われるためである。^[11] ${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$

その他の例

ヒル球が小さすぎて、天体の周りを周回軌道を維持できなくなる可能性があります。たとえば、宇宙飛行士は104トンの スペースシャトルを地球から300 kmの高度で周回させることはできませんでした。なぜなら、その高度での104トンの物体のヒル球の半径はわずか120 cmで、スペースシャトルよりはるかに小さいからです。このサイズと質量の球体は鉛よりも密度が高く、実際、低地球軌道では、球体は自身のヒル球内に収まるためには鉛よりも密度が高くなければなりません。そうでなければ、軌道を維持することはできません。ただし、静止軌道のさらに外側にある衛星は、自身のヒル球内に収まるために密度が水の6%以上であれば十分です。^[要出典]

太陽系内で、ヒル半径が最も大きい惑星は海王星で、1億1600万km（0.775天文単位）である。太陽からの距離が遠いため、木星（ヒル半径は5300万km）に比べて質量が小さいが、その分だけ太陽から遠い。小惑星帯の小惑星のヒル球面は最大22万km（ 1ケレスの場合）に達し、質量が減少するにつれて急速に小さくなる。水星を横切る小惑星で、衛星（スクアニット）を持つモシュプ（66391 Moshup）のヒル球面は半径22kmである。^[12]

典型的な太陽系外惑星「ホット・ジュピター」であるHD 209458 b [ ^13]は、ヒル球半径が593,000 kmで、その物理半径約71,000 kmの約8倍に相当します。太陽系外惑星の中で最も小さいCoRoT - 7b ^{[14]でさえ、ヒル球半径（61,000 km）は、その物理半径（約10,000 km）の6倍に相当します。したがって、これらの惑星は、それぞれの}ロッシュ限界内には収まらないものの、近傍に小さな衛星を持つ可能性があります。^[要出典]

太陽系の丘球

以下の表と対数プロットは、JPL DE405暦とNASA太陽系探査ウェブサイトから得られた値を使用して、上記の最初の式（軌道離心率を含む）で計算された太陽系のいくつかの天体のヒル球の半径を示しています。^[15]

太陽系のいくつかの天体のヒル球の半径

体	百万キロ	au	ボディ半径	アークミニッツ[注1]	最も遠い月（au）
水銀	0.1753	0.0012	71.9	10.7	—
金星	1.0042	0.0067	165.9	31.8	—
地球	1.4714	0.0098	230.7	33.7	0.00257
火星	0.9827	0.0066	289.3	14.9	0.00016
木星	50.5736	0.3381	707.4	223.2	0.1662
土星	61.6340	0.4120	1022.7	147.8	0.1785
天王星	66.7831	0.4464	2613.1	80.0	0.1366
ネプチューン	115.0307	0.7689	4644.6	87.9	0.3360
セレス	0.2048	0.0014	433.0	1.7	—
冥王星	5.9921	0.0401	5048.1	3.5	0.00043
エリス	8.1176	0.0543	6979.9	2.7	0.00025

太陽系天体のヒル半径（km）の対数プロット

参照

• ラプラス球 – 衛星軌道が安定する宇宙領域
• 惑星間輸送ネットワーク – 太陽系における低エネルギー軌道
• n体問題 – 物理学と天体力学における問題
• ロッシュローブ – 連星系における恒星の周りの重力結合領域
• 影響圏（天体力学）  – 特定の天体によって重力が支配される空間領域
• 影響圏（ブラックホール）  – 超大質量ブラックホールが重力的に銀河を支配する領域

説明ノート

1. 太陽から見た平均距離。地球から見た角度の大きさは、地球からの距離によって異なります。

参考文献

1. ソーアミ、D.;クレッソン、J.ビエルナッキ、C.ピエレット、F. (2020)。 「重力影響圏のローカルおよびグローバルな特性について」。王立天文協会の月次通知。496 (4 ) : 4287–4297。arXiv : 2005.13059 。土井：10.1093/mnras/staa1520。
2. ウィリアムズ、マット (2015年12月30日). 「水星には衛星がいくつあるか？」Universe Today . 2023年11月8日閲覧。
3. Hill, Roderick J. (2022). 「自然衛星軌道の重力除去」.オーストラリア天文学会出版物. 39.ケンブリッジ大学出版局. Bibcode :2022PASA...39....6H. doi :10.1017/pasa.2021.62. ISSN  1323-3580. S2CID  246637375.
4. Chebotarev, GA (1965年3月). 「太陽系の力学的限界について」.ソビエト天文学. 8 : 787.書誌コード:1965SvA.....8..787C.
5. ラウレッタ、ダンテ、オシリス・レックス小惑星サンプル帰還ミッションのスタッフ (2023)。 「今週の言葉：ヒルスフィア」。オシリス・レックス小惑星サンプルリターンミッション (AsteroidMission.org)。アリゾナ州テンピ: アリゾナ大学。2023 年7 月 22 日に取得。
6. de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015). 「ダイナミクス（三体問題、摂動、共鳴）」. 惑星科学（第2版）. ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局. pp. 26, 28– 30, 34. ISBN 9781316195697. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Higuchi1, A. & Ida, S. (2017年4月). 「偏心惑星による小惑星の一時的捕獲」.天文学ジャーナル. 153 (4). ワシントンD.C.: アメリカ天文学会: 155. arXiv : 1702.07352 . Bibcode :2017AJ....153..155H. doi : 10.3847/1538-3881/aa5daa . S2CID  119036212.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
8. Hamilton, DP & Burns, JA (1992年3月). 「小惑星周辺の軌道安定領域：II. 偏心軌道と太陽放射の不安定化効果」. Icarus . 96 (1). ニューヨーク：Academic Press: 43–64 . Bibcode :1992Icar...96...43H. doi : 10.1016/0019-1035(92)90005-R .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)Hamilton, DP & Burns, JA (1991年3月). "Orbital Stability Zones Around Asteroids" (PDF) . Icarus . 92 (1). New York, NY: Academic Press: 118– 131. Bibcode :1991Icar...92..118H. doi :10.1016/0019-1035(91)90039-V . 2023年7月22日閲覧.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)そこに引用されている。
9. Follows, Mike (2017年10月4日). 「Ever Decreasing Circles」. NewScientist.com . 2023年7月23日閲覧。月のヒル球の半径は6万キロメートルで、地球と月の距離の約6分の1に相当する。
10. Astakhov, Sergey A.; Burbanks, Andrew D.; Wiggins, Stephen & Farrelly, David (2003). 「カオスによる不規則衛星の捕獲」. Nature . 423 (6937): 264– 267. Bibcode :2003Natur.423..264A. doi :10.1038/nature01622. PMID  12748635. S2CID  16382419.
11. Chambers, JE, Wetherill, GW, & Boss, AP (1996). 多惑星系の安定性. Icarus, 119(2), 261-268.
12. Johnston, Robert (2019年10月20日). “(66391) Moshup and Squannit”. Johnston's Archive . 2017年3月30日閲覧。
13. “HD 209458 b”.太陽系外惑星百科事典. 2010年1月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年2月16日閲覧。
14. 「惑星CoRoT-7 b」。太陽系外惑星百科事典。2024年。
15. 「NASA​​太陽系探査」NASA . 2020年12月22日閲覧。

さらに読む

• de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015). 「ダイナミクス（三体問題、摂動、共鳴）」. 惑星科学（第2版）. ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局. pp.  28– 30, 34. ISBN 9781316195697. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015). 「惑星形成（巨大惑星、惑星の衛星、小惑星の形成）」. 惑星科学（第2版）. ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局. pp. 539, 544. ISBN 9781316195697. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• グルザディアン、グリゴール・A. (2020). 「引力球、作用球、そしてヒルの球」. 惑星間飛行理論. ボカラトン、フロリダ州: CRCプレス. pp.  258– 263. ISBN 9781000116717. 2023年7月22日閲覧。
• グルザディアン、グリゴール・A. (2020). 「ロッシュ限界」. 惑星間飛行理論. ボカラトン、フロリダ州: CRCプレス. pp. 263f. ISBN 9781000116717. 2023年7月22日閲覧。
• 井田 誠; 小久保 英治 & 武田 剛 (2012). 「月降着のN体シミュレーション」. ミハイル・ヤ・マロフ & ハンス・リックマン (編). 太陽系における衝突過程. 天体物理学・宇宙科学図書館. 第261巻. ベルリン, ドイツ: シュプリンガー・サイエンス&ビジネス・メディア. pp. 206, 209f. ISBN 9789401007122. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ip, W.-H. & Fernandez, JA (2012). 「巨大平面惑星の集積起源とその帰結」. Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (編). 太陽系における衝突過程. 天体物理学・宇宙科学図書館. 第261巻. ベルリン, ドイツ: Springer Science & Business Media. pp. 173f. ISBN 9789401007122. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Asher, DJ; Bailey, ME & Steel (2012). 「木星からの軌道分離における非重力力の役割」. Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (編). 太陽系における衝突過程. 天体物理学・宇宙科学図書館. 第261巻. ベルリン, ドイツ: Springer Science & Business Media. p. 122. ISBN 9789401007122. 2023年7月22日閲覧。{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

外部リンク

• 宇宙飛行士はスペースシャトルを周回できますか?
• 丘を登った月が惑星に降りてきた 2008年9月30日アーカイブ - Wayback Machine

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