重み関数

Construct related to weighted sums and averages

重み関数とは、合計、積分、または平均を計算する際に、一部の要素に同じ集合内の他の要素よりも大きな「重み」、つまり結果への影響を与えるために用いられる数学的手法である。重み関数を適用した結果は、加重和または加重平均となる。重み関数は統計学や分析において頻繁に用いられ、測度の概念と密接に関連している。重み関数は離散的および連続的な状況の両方で用いることができる。重み関数は、「重み付き計算」^[1]や「メタ計算」^{[2]と呼ばれる計算体系の構築に用いられる。}

離散重み

一般的な定義

離散設定において、重み関数は離散集合（通常は有限または可算）上で定義される正関数です。重み関数は、すべての要素の重みが等しい重み付けのない状況に対応します。この重みは様々な概念に適用できます。 ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w(a):=1}$

関数 が実数値関数である場合、の重みなし和は次のように定義される。 ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a);}$

しかし重み関数 が与えられた場合、重み付き和または円錐結合は次のように定義される。 ${\displaystyle w\colon A\to \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}f(a)w(a).}$

加重和の一般的な応用例の 1 つは、数値積分です。

BがAの有限部分集合である場合、 Bの重み付けされていない基数| B |を重み付けされた基数に置き換えることができる。

${\displaystyle \sum _{a\in B}w(a).}$

Aが有限の空でない集合である場合、重み付けされていない平均を

${\displaystyle {\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)}$

加重平均または加重平均によって

${\displaystyle {\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.}$

この場合、相対的な重みのみが関係します。

統計

重み付き平均は、統計学においてバイアスの存在を補正するために一般的に用いられます。ある量が複数の独立した時間に分散で測定された場合、シグナルの最良推定値はすべての測定値を重み で平均化することで得られ、その結果得られる分散は各独立した測定値よりも小さくなります。最尤法は、適合値とデータ間の差に同じ重み を用いて重み付けします。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$ ${\textstyle w_{i}=1/{\sigma _{i}^{2}}}$ ${\textstyle \sigma ^{2}=1/\sum _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$

確率変数の期待値は、その変数が取り得る値の重み付け平均であり、重みはそれぞれの確率です。より一般的には、確率変数の関数の期待値は、その関数が取り得る値の確率加重平均です。

従属変数が独立変数の現在値と過去のラグ値の両方の影響を受けると仮定する回帰分析では、分布ラグ関数が推定されます。この関数は、独立変数の現在値と様々なラグ値の加重平均です。同様に、移動平均モデルでは、変化変数は、ランダム変数の現在値と様々なラグ値の加重平均として指定されます。

力学

重量関数という用語は力学から来ています。レバー上に、重さ（ここでは重量は物理的な意味で解釈されます）と位置を持つオブジェクトのコレクションがある場合、レバーの支点が質量の中心にある場合、レバーはバランスが取れています。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dotsc ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

これはポジションの加重平均でもあります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{i}}$

連続重み

連続的な設定において、重みは、ある領域のような正の測度であり、領域 は通常はユークリッド空間の部分集合であり、例えば区間などが考えられます。ここで はルベーグ測度であり、は非負の可測関数です。この文脈では、重み関数は密度と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle w(x)\,dx}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle w\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle w(x)}$

一般的な定義

が実数値関数である場合、重みなし積分 ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\ dx}$

重み付き積分に一般化できる

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx}$

この積分が有限であるためには、重みに関して絶対積分可能であることを要求する必要があり得ることに注意してください。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w(x)\,dx}$

加重ボリューム

Eが の部分集合である場合、Eの体積vol( E )は重み付き体積に一般化できる。 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{E}w(x)\ dx,}$

加重平均

有限の非ゼロ加重ボリュームを持つ場合、加重平均を置き換えることができる。 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx}$

加重平均によって

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,w(x)\,dx}{\displaystyle \int _{\Omega }w(x)\,dx}}}$

双線形形式

とが2つの関数である場合、重み付けされていない双線形形式を一般化することができる。 ${\displaystyle f\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle g\colon \Omega \to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx}$

重み付き双線形形式に

${\displaystyle {\langle f,g\rangle }_{w}:=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)\ dx.}$

重み付き直交関数の例については、直交多項式の項目を参照してください。

参照

• 重心
• 数値積分
• 直交性
• 加重平均
• 線形結合
• カーネル（統計）
• 測定（数学）
• リーマン・スティルチェス積分
• 重み付け
• ウィンドウ関数

参考文献

1. ジェーン・グロスマン、マイケル・グロスマン、ロバート・カッツ著『重み付き微分積分法の初体系』ISBN 0-9771170-1-4、1980年。
2. ジェーン・グロスマン著「メタ微分積分学」ISBN 0-9771170-2-2、1981年。

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