Mathematical construction
超 積は 、主に 抽象代数学 と 数理論理学 、特に モデル理論 と 集合論に現れる 数学的 構成である 。超積は、 構造 族の 直積 の 商集合である。すべての因数は同じ 符号を 持つ必要がある 。 超冪は 、この構成の特殊なケースであり、すべての因数が等しい。
例えば、超冪は与えられた体から新しい 体 を構築するために使用できます。 実数 の超冪である超実数は 、 この特殊なケースです。
超積の注目すべき応用としては、コンパクト性定理 と 完全性定理 の非常にエレガントな証明 、 基本同値性の意味概念を代数的に特徴付ける Keislerの超冪定理、および、スーパーストラクチャとその単射を使用して非標準解析モデルを構築する Robinson–Zakon の提示などがあり、これにより、 アブラハム ロビンソン が (コンパクト性定理の応用として) 開拓した 非標準解析 の分野の発展につながりました。
意味 超積を得るための一般的な方法は、各要素（すべて同じ シグネチャ ）のインデックスセット 構造 （ この記事では空ではないと仮定） と、 超フィルタ を使用する。 I , {\displaystyle I,} M i {\displaystyle M_{i}} i ∈ I {\displaystyle i\in I} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} I . {\displaystyle I.}
直積の任意 の 2つの要素とに対して 、それらが -同値で
あると宣言し 、 またはと書き、それらが一致する 添字の集合が 記号 の の要素である場合に限り、 超フィルタに対してのみコンポーネントを比較します。
この 2項関係 は直積上の 同値関係 [証明1] です。 a ∙ = ( a i ) i ∈ I {\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I}} b ∙ = ( b i ) i ∈ I {\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I}} ∏ i ∈ I M i , {\textstyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} a ∙ ∼ b ∙ {\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }} a ∙ = U b ∙ , {\displaystyle a_{\bullet }=_{\mathcal {U}}b_{\bullet },} { i ∈ I : a i = b i } {\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}} U ; {\displaystyle {\mathcal {U}};} a ∙ ∼ b ∙ ⟺ { i ∈ I : a i = b i } ∈ U , {\displaystyle a_{\bullet }\sim b_{\bullet }\;\iff \;\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}},} U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.} ∼ {\displaystyle \,\sim \,} ∏ i ∈ I M i . {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.}
を 法 とする超積は の 商 集合 M ∙ = ( M i ) i ∈ I {\displaystyle M_{\bullet }=\left(M_{i}\right)_{i\in I}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} で あり 、 したがって またはと表記されることもある。 ∏ i ∈ I M i {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}} ∼ {\displaystyle \sim } ∏ i ∈ I M i / U {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}} ∏ U M ∙ . {\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }.}
明示的に、 ある要素の - 同値類 が で表される
場合、超積はすべての - 同値類 の集合である。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} a ∈ ∏ i ∈ I M i {\displaystyle a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}} a U := { x ∈ ∏ i ∈ I M i : x ∼ a } {\displaystyle a_{\mathcal {U}}:={\big \{}x\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\;:\;x\sim a{\big \}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ∏ U M ∙ = ∏ i ∈ I M i / U := { a U : a ∈ ∏ i ∈ I M i } . {\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\;=\;\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\;:=\;\left\{a_{\mathcal {U}}\;:\;a\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\right\}.}
は超フィルタであると仮定されていたが 、上記の構成は、 が 単に の フィルタ である場合に、より一般的に実行することができ 、その場合、結果として得られる商集合 は と呼ばれる。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} I , {\displaystyle I,} ∏ i ∈ I M i / U {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/\,{\mathcal {U}}} 削減された製品 。
が主超フィルタ である 場合（ その 核 を含む場合のみ ），超積 は因数の1つと同型です。したがって，通常， は 主超フィルタ ではありません。主超フィルタ は，が自由（つまり ） である場合，あるいは同等に， のすべての 余有限 部分集合が の元である場合のみに生じます。
有限集合上のすべての超フィルタは主超フィルタであるため，結果として，添字集合 も通常は無限となります。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ∩ U {\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ∩ U = ∅ {\displaystyle \cap \,{\mathcal {U}}=\varnothing } I {\displaystyle I} U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.} I {\displaystyle I}
超積はフィルター積空間として作用し、要素はフィルターされた成分においてのみ等しい場合、等しくなります（フィルターされていない成分は同値性において無視されます）。 添字集合において、 もしかつ でないと 仮定することで、有限加法 測度を定義することができます。すると、直積の2つの要素は、添字集合の ほぼすべての点 で等しい場合、正確に同値となります 。超積は、このようにして生成された同値類の集合です。 m {\displaystyle m} I {\displaystyle I} m ( A ) = 1 {\displaystyle m(A)=1} A ∈ U {\displaystyle A\in {\mathcal {U}}} m ( A ) = 0 {\displaystyle m(A)=0}
直積上の 有限 演算は 点ごとに定義されます（例えば、 が二項関数である場合、 ）。他の 関係も 同様に拡張できます。 ここで は に関する の同値類 を表します。
特に、任意の が 順序体 である場合、 超積も順序体です。 ∏ i ∈ I M i {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}} + {\displaystyle +} a i + b i = ( a + b ) i {\displaystyle a_{i}+b_{i}=(a+b)_{i}} R ( a U 1 , … , a U n ) ⟺ { i ∈ I : R M i ( a i 1 , … , a i n ) } ∈ U , {\displaystyle R\left(a_{\mathcal {U}}^{1},\dots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right)~\iff ~\left\{i\in I:R^{M_{i}}\left(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n}\right)\right\}\in {\mathcal {U}},} a U {\displaystyle a_{\mathcal {U}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} a {\displaystyle a} ∼ . {\displaystyle \sim .} M i {\displaystyle M_{i}}
ウルトラパワー 超 パワー とは、すべての要素 が等しい超製品である。 M i {\displaystyle M_{i}} 集合の 超冪は 、 M {\displaystyle M} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} すべての添字に対して で定義される 添字族の 超積である。
超冪は で表すこともできるし （ は で表されることが多い ）、 で ∏ i ∈ I M i / U = ∏ U M ∙ {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}={\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }} M ∙ := ( M i ) i ∈ I {\displaystyle M_{\bullet }:=\left(M_{i}\right)_{i\in I}} M i := M {\displaystyle M_{i}:=M} i ∈ I . {\displaystyle i\in I.} ∏ U M {\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M} ∏ i ∈ I M {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M} M I {\displaystyle M^{I}} M I / U := ∏ i ∈ I M / U {\displaystyle M^{I}/{\mathcal {U}}~:=~\prod _{i\in I}M\,/\,{\mathcal {U}}\,}
に対して、 定数マップは 次の ように表される 。この定数マップ/タプルは直積の要素であり 、したがって割り当ては マップを定義する
。 m ∈ M , {\displaystyle m\in M,} ( m ) i ∈ I {\displaystyle (m)_{i\in I}} I → M {\displaystyle I\to M} m . {\displaystyle m.} M I = ∏ i ∈ I M {\displaystyle M^{I}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M} m ↦ ( m ) i ∈ I {\displaystyle m\mapsto (m)_{i\in I}} M → ∏ i ∈ I M . {\displaystyle M\to {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M.} の 自然な埋め込み は M {\displaystyle M} ∏ U M {\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M} 、定数タプルの同値類 に 要素を送る 写像である。 M → ∏ U M {\displaystyle M\to {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M} m ∈ M {\displaystyle m\in M} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ( m ) i ∈ I . {\displaystyle (m)_{i\in I}.}
例 超 実数は、すべての自然数に対する 実数 のコピーの超積であり 、すべての余有限集合を含む自然数上の超フィルターに関するものである。その順序は実数の順序の拡張である。例えば、 で表される数列は 、任意の実数よりも大きい超実数を表す同値類を定義する。 ω {\displaystyle \omega } ω i = i {\displaystyle \omega _{i}=i}
同様に、対応する構造のコピーの超積を取ることで、 非標準の整数 、 非標準の複素数 などを定義できます。
関係を超積に持ち込む例として、 で定義される列を考えてみましょう。 に対して 、 の同値類は の同値 類よりも大きい ため、これは元々構築された数よりも大きい無限数として解釈できます。ただし、 は と 等しくありませんが 、 と が一致する 添字の集合 は任意の超フィルタの要素です（ と は ほぼすべての点で一致するため）。したがって、 と は 同じ同値類に属します。 ψ {\displaystyle \psi } ψ i = 2 i . {\displaystyle \psi _{i}=2i.} ψ i > ω i = i {\displaystyle \psi _{i}>\omega _{i}=i} i , {\displaystyle i,} ψ i = 2 i {\displaystyle \psi _{i}=2i} ω i = i , {\displaystyle \omega _{i}=i,} χ i = i {\displaystyle \chi _{i}=i} i {\displaystyle i} 7 , {\displaystyle 7,} χ 7 = 8. {\displaystyle \chi _{7}=8.} ω {\displaystyle \omega } χ {\displaystyle \chi } ω {\displaystyle \omega } χ {\displaystyle \chi } ω {\displaystyle \omega } χ {\displaystyle \chi }
大規模基数 理論における 標準的な構成は、注意深く選ばれた超フィルタに関して集合論的宇宙全体の超積をとることである。 この超フィルタ の特性は超積の（高次の）特性に強い影響を及ぼします。例えば、が完全 であれば 、超積は再び整基数になります。（ 典型的な例については、 可測基数を参照してください。） U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} σ {\displaystyle \sigma }
ウォシュの定理 Łośの定理は、 超積の基本定理とも呼ばれ、 Jerzy Łoś （姓は [ˈwɔɕ] と発音され、ほぼ「ウォッシュ」または [ˈɫɔɕ] と発音されます）によるものです。この定理は、 任意の一階述語 論理式が超積において真となるのは、その論理式が真となるような 添え字の集合がの 要素である場合に限る と述べています。 より正確に
は、 i {\displaystyle i} M i {\displaystyle M_{i}} U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.}
を署名とし、 集合 上の超フィルタとし 、各に対してを-構造 とする 。 または を の超積とすると、各に対して、任意の -
式 に対して と なる。 σ {\displaystyle \sigma } U {\displaystyle {\mathcal {U}}} I , {\displaystyle I,} i ∈ I {\displaystyle i\in I} M i {\displaystyle M_{i}} σ {\displaystyle \sigma } ∏ U M ∙ {\displaystyle {\textstyle \prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }} ∏ i ∈ I M i / U {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}/{\mathcal {U}}} M i {\displaystyle M_{i}} U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.} a 1 , … , a n ∈ ∏ i ∈ I M i , {\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i},} a k = ( a i k ) i ∈ I , {\displaystyle a^{k}=\left(a_{i}^{k}\right)_{i\in I},} σ {\displaystyle \sigma } ϕ , {\displaystyle \phi ,} ∏ U M ∙ ⊨ ϕ [ a U 1 , … , a U n ] ⟺ { i ∈ I : M i ⊨ ϕ [ a i 1 , … , a i n ] } ∈ U . {\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}
この定理は、式 の計算量に関する帰納法によって証明される。 が （単なるフィルタではなく）超フィルタである という事実は否定節で用いられ、存在量化子の段階では 選択公理 が必要となる。応用として、 超実体 に対する 転送定理 が得られる。 ϕ . {\displaystyle \phi .} U {\displaystyle {\mathcal {U}}}
例 を構造における単項関係とし 、 の超冪 を形成すると、 集合は 超冪に 類似しており、 を含む一階論理式 も に対して有効である。 例えば、 を実数とし、 が有理数である 場合に が成り立つとしよう。すると、 において、任意の有理数のペアと に対して 、 が 有理数ではない 別の数が存在し、 が成り立つ と言える。 これは関連する形式言語における一階論理式に変換できるため、Łoś の定理は が 同じ性質を持つことを意味する。つまり、超実数のサブセットである超有理数の概念を定義でき、それらは有理数と同じ一階の性質を持つ。 R {\displaystyle R} M , {\displaystyle M,} M . {\displaystyle M.} S = { x ∈ M : R x } {\displaystyle S=\{x\in M:Rx\}} ∗ S {\displaystyle {}^{*}S} S {\displaystyle S} ∗ S . {\displaystyle {}^{*}S.} M {\displaystyle M} R x {\displaystyle Rx} x {\displaystyle x} M {\displaystyle M} x {\displaystyle x} y , {\displaystyle y,} z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} x < z < y . {\displaystyle x<z<y.} ∗ S {\displaystyle {}^{*}S}
しかし、 実数の アルキメデス的性質 を考えてみましょう。これは、無限リストの任意の不等式に対してとなるような実数 は存在しないというものです。ウォシュの定理はアルキメデス的性質には適用されません。なぜなら、アルキメデス的性質は一階述語論理では記述できないからです。実際、 上記の超実数の構成が示すように、アルキメデス的性質は超実数に対しては偽です。 x {\displaystyle x} x > 1 , x > 1 + 1 , x > 1 + 1 + 1 , … {\displaystyle x>1,\;x>1+1,\;x>1+1+1,\ldots } ω {\displaystyle \omega }
超能力の直接的な限界（超限界） モデル理論 と 集合論 では 、 超冪列の 直接的な極限がしばしば考慮される。 モデル理論では、この構成は 超極限 または 極限超冪 と呼ばれることがある 。
構造 と超フィルタから始めて、 超冪を形成します。 そして、このプロセスを繰り返して 、さらに形成していきます。それぞれの 極限段階において、例えば、前段階の直接極限を形成する ような標準的な対角埋め込みが存在します 。超限段階まで続けることもできます。 A 0 {\displaystyle A_{0}} D 0 , {\displaystyle {\mathcal {D}}_{0},} A 1 . {\displaystyle A_{1}.} A 2 , {\displaystyle A_{2},} n {\displaystyle n} A n → A n + 1 . {\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}.} A ω , {\displaystyle A_{\omega },}
超積モナド ウルトラ フィルタモナドは、 有限集合のカテゴリを すべての集合のカテゴリ に 含める 共密度モナド である 。 [1]
同様に、 超積モナドは 、有限添字集合 族 の すべての 添字 集合族 圏に 包含するコデンシティモナドである 。したがって、この意味では、超積は圏論的に必然的である。 [1]
明示的に、 のオブジェクトは、 空でない 添字集合 と 添字集合族 から構成される。2つのオブジェクト間の射は、 添字集合間の関数と、 添字 集合族の 関数から構成される。
この圏は、 添字集合が あるすべてのオブジェクトからなる この圏の完全なサブカテゴリである 。包含写像のコデンシティモナドは 、本質的には、次のように与えられる F i n F a m {\displaystyle \mathbf {FinFam} } F a m {\displaystyle \mathbf {Fam} } F a m {\displaystyle \mathbf {Fam} } I {\displaystyle I} ( M i ) i ∈ I {\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}} ( N i ) j ∈ J → ( M i ) i ∈ I {\displaystyle \left(N_{i}\right)_{j\in J}\to \left(M_{i}\right)_{i\in I}} ϕ : I → J {\displaystyle \phi :I\to J} J {\displaystyle J} ( ϕ j ) j ∈ J {\displaystyle \left(\phi _{j}\right)_{j\in J}} ϕ j : M ϕ ( j ) → N j . {\displaystyle \phi _{j}:M_{\phi (j)}\to N_{j}.} F i n F a m {\displaystyle \mathbf {FinFam} } F a m {\displaystyle \mathbf {Fam} } ( M i ) i ∈ I {\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}} I {\displaystyle I} F i n F a m ↪ F a m {\displaystyle \mathbf {FinFam} \hookrightarrow \mathbf {Fam} } ( M i ) i ∈ I ↦ ( ∏ i ∈ I M i / U ) U ∈ U ( I ) . {\displaystyle \left(M_{i}\right)_{i\in I}~\mapsto ~\left(\prod _{i\in I}M_{i}\,/\,{\mathcal {U}}\right)_{{\mathcal {U}}\in U(I)}\,.}
参照
注記 ^ ab Leinster, Tom (2013). 「コデンシティとウルトラフィルタモナド」 (PDF) . カテゴリーの理論と応用 . 28 : 332–370 . arXiv : 1209.3606 . Bibcode :2012arXiv1209.3606L. 証明
^ は 上の超フィルタであると仮定されている が、 この証明は 上のフィルタであることのみを要求する。 全体を通して、 と を の要素とする。 はフィルタの要素であるため、 関係は 常に成り立つ。 したがって、 の 反射性は 等式の反射性から導かれる。 同様に、は 対称であるため、等式は 対称 である。 推移性 について、 と が の要素であると仮定すると、 も に属する ことが示される。 等式の推移性は保証する （ ならば と であるため ） 。 は 二項交差の下で閉じているため、 は で上向きに閉じている ため、 は のすべてのスーパーセット （添字から成る）を含む。特に、 を含む。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} I , {\displaystyle I,} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} I . {\displaystyle I.} a ∙ = ( a i ) i ∈ I , b ∙ = ( b i ) i ∈ I , {\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{i}\right)_{i\in I},b_{\bullet }=\left(b_{i}\right)_{i\in I},} c ∙ = ( c i ) i ∈ I {\displaystyle c_{\bullet }=\left(c_{i}\right)_{i\in I}} ∏ i ∈ I M i . {\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}M_{i}.} a ∙ ∼ a ∙ {\displaystyle a_{\bullet }\,\sim \,a_{\bullet }} { i ∈ I : a i = a i } = I {\displaystyle \{i\in I:a_{i}=a_{i}\}=I} U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.} ∼ {\displaystyle \,\sim \,} = . {\displaystyle \,=.\,} ∼ {\displaystyle \,\sim \,} R = { i : a i := b i } {\displaystyle R=\{i:a_{i}:=b_{i}\}} S := { i : b i = c i } {\displaystyle S:=\{i:b_{i}=c_{i}\}} U ; {\displaystyle {\mathcal {U}};} T := { i : a i = c i } {\displaystyle T:=\{i:a_{i}=c_{i}\}} U . {\displaystyle {\mathcal {U}}.} R ∩ S ⊆ T {\displaystyle R\cap S\subseteq T} i ∈ R ∩ S {\displaystyle i\in R\cap S} a i = b i {\displaystyle a_{i}=b_{i}} b i = c i {\displaystyle b_{i}=c_{i}} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} R ∩ S ∈ U . {\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {U}}.} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} I , {\displaystyle I,} R ∩ S {\displaystyle R\cap S} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} T . {\displaystyle T.} ◼ {\displaystyle \blacksquare }
参考文献 ベル、ジョン・レーン; スロムソン、アラン・B. (2006) [1969]. モデルとウルトラプロダクト：入門 （1974年版の再版）. ドーバー出版 . ISBN 0-486-44979-3 。 Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. 『普遍代数学講座』（ミレニアム版）.
![{\displaystyle {\prod }_{\mathcal {U}}\,M_{\bullet }\models \phi \left[a_{\mathcal {U}}^{1},\ldots ,a_{\mathcal {U}}^{n}\right]~\iff ~\{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in {\mathcal {U}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89df6f8267891190e4d81a65094253c21d2374b6)
