Matrices important in quantum mechanics and the study of spin
ヴォルフガング・パウリ （1900–1958）、1924年頃。パウリは、 アルバート・アインシュタイン の推薦により、 パウリの排他原理 により、 1945年に ノーベル物理学賞 を受賞した。 数理物理学 および 数学 において 、 パウリ行列は 、 トレースレス、 エルミート 、 インボリューション 、 ユニタリ の3つの 2×2 複素 行列 の集合である。通常は ギリシャ 文字の シグマ （ σ ）で表されるが、 アイソスピン 対称性と関連して使用される場合は タウ （ τ ）で表されることもある 。 σ 1 = σ x = ( 0 1 1 0 ) , σ 2 = σ y = ( 0 − i i 0 ) , σ 3 = σ z = ( 1 0 0 − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{aligned}}}
これらの行列は物理学者 ヴォルフガング・パウリ にちなんで名付けられました。 量子力学 では、 粒子の スピンと外部 電磁場 との相互作用を考慮した パウリ方程式 に現れます。また、水平/垂直偏光、45度偏光（右/左）、円偏光（右/左）の2つの偏光フィルターの相互作用状態も表します。
各パウリ行列は エルミート行列 であり、単位行列 I （零次パウリ行列 σ 0 とみなされることもある）と共に、パウリ行列は加法のもとで、 実数上の 2 × 2 エルミート行列 の ベクトル空間 の 基底を形成する。これは、任意の 2 × 2 エルミート行列は 、すべての係数が実数であるパウリ行列の 線型結合 として一意に表すことができる ことを意味する。
パウリ行列は有用な積の関係を満たす：
σ i σ j = δ i j I + i ε i j k σ k , {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}\ \sigma _{j}=\delta _{ij}\ I+i\ \varepsilon _{ijk}\ \sigma _{k}\ ,\end{aligned}}} ここで、 δ ij はクロネッカーのデルタ であり 、 i = j の場合は +1 、 それ以外の場合は 0 となり、 レヴィ・チヴィタ記号 ε ijk が使用されます。
エルミート作用素は 量子力学における 観測量を 表すため、パウリ行列は 複素 二次元 ヒルベルト空間 の観測量空間を張る。パウリの研究の文脈では、 σ k は 三次元 ユークリッド空間の k 番目の座標軸に沿ったスピンに対応する観測量を表す。 R 3 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}~.}
パウリ行列（ iを乗じて 反エルミート にした後）も、 リー代数 の意味で変換を生成します 。行列 i σ 1 、 i σ 2 、 i σ 3 は、特殊ユニタリ群 SU(2)に指数関数的に 増加する 実リー代数の基底を形成します 。 [ a] 3 つの行列 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 によって生成される 代数 は [ 1 ] の クリフォード 代数 と 同型 で あり 、 iσ 1 、 iσ 2 、 iσ 3 によって 生成 さ れる （ユニタル） 結合代数は、 四元数 （ ） と 同様に機能します（ 同型です ） 。 s u ( 2 ) , {\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ ,} R 3 , {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ ,} H {\displaystyle \mathbb {H} }
代数的性質 ケイリー表 。エントリには行の値と列の値を掛けた値が表示されます。 × σ x {\displaystyle \sigma _{x}} σ y {\displaystyle \sigma _{y}} σ z {\displaystyle \sigma _{z}} σ x {\displaystyle \sigma _{x}} I {\displaystyle I} i σ z {\displaystyle i\ \sigma _{z}} − i σ y {\displaystyle -i\ \sigma _{y}} σ y {\displaystyle \sigma _{y}} − i σ z {\displaystyle -i\ \sigma _{z}} I {\displaystyle I} i σ x {\displaystyle i\ \sigma _{x}} σ z {\displaystyle \sigma _{z}} i σ y {\displaystyle i\sigma _{y}} − i σ x {\displaystyle -i\ \sigma _{x}} I {\displaystyle I}
これら 3 つのパウリ行列はすべて 1 つの式にまとめることができます。
σ j = ( δ j 3 δ j 1 − i δ j 2 δ j 1 + i δ j 2 − δ j 3 ) . {\displaystyle \sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\ \delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\ \delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}}~.} この式は、 j = 1、2、3 の値を代入して、いずれかの行列を数値的に「選択」するのに役立ち、また、 いずれかの行列 (特定の行列ではない) を代数操作で使用する場合にも役立ちます。
行列は 逆行列 である：
σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = − i σ 1 σ 2 σ 3 = ( 1 0 0 1 ) = I , {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\ \sigma _{1}\ \sigma _{2}\ \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I\ ,} ここで、 Iは 単位行列 です 。
パウリ行列の 行列 式 と トレースは
det σ j = − 1 , tr σ j = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1\ ,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0\ ,\end{aligned}}} ここから、各行列σ j には固有値 +1 と −1 がある ことがわかります 。
単位行列I （ σ0 と 表記されることもある）を含めると、パウリ行列は、 2×2 エルミート行列 の ヒルベルト空間 の（ヒルベルト・シュミットの意味で）直交基底を形成し、また、 すべての 複素 2×2 行列の ヒルベルト空間の（ ヒルベルト・シュミット の意味で）直交基底を形成する。 H 2 {\displaystyle \ {\mathcal {H}}_{2}\ } R , {\displaystyle \ \mathbb {R} \ ,} M 2 , 2 ( C ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )} C . {\displaystyle \ \mathbb {C} ~.}
交換関係と反交換関係
交換関係 パウリ行列は次の 交換 関係に従います。
[ σ j , σ k ] = 2 i ε j k l σ l . {\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2\ i\ \varepsilon _{jkl}\ \sigma _{l}~.} これらの交換関係により、パウリ行列はリー代数の表現の生成元となる。 ( R 3 , × ) ≅ s u ( 2 ) ≅ s o ( 3 ) . {\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )\ \cong \ {\mathfrak {su}}(2)\ \cong \ {\mathfrak {so}}(3)~.}
反交換関係 これらは 反交換 関係も満たしている：
{ σ j , σ k } = 2 δ j k I , {\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}=2\ \delta _{jk}\ I\ ,} ここで は と定義され 、 δ jk はクロネッカーのデルタ です 。I は 2 × 2 の 単位行列 を表します。 { σ j , σ k } {\displaystyle \{\sigma _{j},\sigma _{k}\}} σ j σ k + σ k σ j , {\displaystyle \ \sigma _{j}\ \sigma _{k}+\sigma _{k}\ \sigma _{j}\ ,}
これらの反交換関係により、パウリ行列は、次のように 表記される クリフォード代数 の表現の生成元となる。 R 3 , {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ ,} C l 3 ( R ) . {\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{3}(\mathbb {R} )~.}
クリフォード代数を使用した 通常の生成器の構築 により、重要でない数値係数まで、上記の交換関係が回復されます。 σ j k = 1 4 [ σ j , σ k ] {\displaystyle \ \sigma _{jk}={\tfrac {1}{4}}[\sigma _{j},\sigma _{k}]\ } s o ( 3 ) {\displaystyle \ {\mathfrak {so}}(3)\ }
以下に、明示的な交換子と反交換子の例をいくつか示します。
整流子 反交換子 [ σ 1 , σ 1 ] = 0 [ σ 1 , σ 2 ] = 2 i σ 3 [ σ 2 , σ 3 ] = 2 i σ 1 [ σ 3 , σ 1 ] = 2 i σ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}\ \sigma _{1},\sigma _{1}\ {\bigr ]}&=~~~0\\{\bigl [}\ \sigma _{1},\sigma _{2}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{3}\\{\bigl [}\ \sigma _{2},\sigma _{3}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{1}\\{\bigl [}\ \sigma _{3},\sigma _{1}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{2}\end{aligned}}} { σ 1 , σ 1 } = 2 I { σ 1 , σ 2 } = 0 { σ 2 , σ 3 } = 0 { σ 3 , σ 1 } = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl \{}\ \sigma _{1},\sigma _{1}\ {\bigr \}}&=2\ I\\{\bigl \{}\ \sigma _{1},\sigma _{2}\ {\bigr \}}&=~0\\{\bigl \{}\ \sigma _{2},\sigma _{3}\ {\bigr \}}&=~0\\{\bigl \{}\ \sigma _{3},\sigma _{1}\ {\bigr \}}&=~0\end{aligned}}}
固有ベクトルと固有値 それぞれの（ エルミート ）パウリ行列は2つの 固有値 、 +1 と -1 を持ちます。対応する 正規化された 固有ベクトル は
ψ x + = 1 2 [ 1 1 ] , ψ x − = 1 2 [ 1 − 1 ] , ψ y + = 1 2 [ 1 i ] , ψ y − = 1 2 [ 1 − i ] , ψ z + = [ 1 0 ] , ψ z − = [ 0 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}
パウリベクトル パウリベクトルは [b] で定義される。
ここで 、ととは、 より馴染みのあるパウリベクトルと同等の表記である 。 σ → = σ 1 x ^ 1 + σ 2 x ^ 2 + σ 3 x ^ 3 , {\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}_{1}+\sigma _{2}{\hat {x}}_{2}+\sigma _{3}{\hat {x}}_{3}\ ,} x ^ 1 , {\displaystyle \ {\hat {x}}_{1}\ ,} x ^ 2 , {\displaystyle \ {\hat {x}}_{2}\ ,} x ^ 3 {\displaystyle \ {\hat {x}}_{3}\ } x ^ , {\displaystyle \ {\hat {x}}\ ,} y ^ , {\displaystyle \ {\hat {y}}\ ,} z ^ . {\displaystyle \ {\hat {z}}~.}
パウリベクトルはベクトル基底からパウリ行列基底へのマッピングメカニズムを次のように提供する [2] 。 a → ⋅ σ → = ∑ k , l a k σ ℓ x ^ k ⋅ x ^ ℓ = ∑ k a k σ k = ( a 3 a 1 − i a 2 a 1 + i a 2 − a 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=\sum _{k,l}a_{k}\,\sigma _{\ell }\,{\hat {x}}_{k}\cdot {\hat {x}}_{\ell }\\&=\sum _{k}a_{k}\,\sigma _{k}\\&={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}
より正式には、これは から のトレースレスエルミート行列のベクトル空間への 写像を定義する 。この写像は、 を ノルムベクトル空間として、またリー代数（その 外積を リー括弧とする）として行列の関数を介して符号化し、写像をリー代数の同型にする。これにより、表現論の観点から、パウリ行列は互いに絡み合うものとなる。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
パウリベクトルを別の見方で見ると、エルミートなトレースレス行列値双対ベクトル、つまり 写像 の要素として捉えることができる。 2 × 2 {\displaystyle \ 2\times 2\ } M a t 2 × 2 ( C ) ⊗ ( R 3 ) ∗ {\displaystyle \ \mathrm {Mat} _{2\times 2}(\mathbb {C} )\otimes (\mathbb {R} ^{3})^{*}\ } a → ↦ a → ⋅ σ → . {\displaystyle \ {\vec {a}}\mapsto {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}~.}
完全性関係 の各コンポーネントは 、行列から復元できます (以下の完全性関係を参照)。 これは、マップの逆を構成し 、マップが一対一であることを明確にします。 a → {\displaystyle {\vec {a}}} 1 2 tr ( ( a → ⋅ σ → ) σ → ) = a → . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl (}\ {\bigl (}\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\vec {\sigma }}\ {\Bigr )}={\vec {a}}~.} a → ↦ a → ⋅ σ → , {\displaystyle \ {\vec {a}}\ \mapsto \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}
行列式 ノルムは行列式（マイナス符号まで）で与えられる。
次に、 この行列空間における 行列 の共役作用を考えると、 det ( a → ⋅ σ → ) = − a → ⋅ a → = − | a → | 2 . {\displaystyle \det \!{\bigl (}\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}\ =\ -{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\ =\ -\left|\ {\vec {a}}\ \right|^{2}~.} S U ( 2 ) {\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ } U {\displaystyle U}
U ∗ a → ⋅ σ → := U a → ⋅ σ → U − 1 , {\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ :=\ U\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ U^{-1}\ ,} となり 、これはエルミートかつトレースゼロである。したがって、 が と同じノルムを持つ と定義することは理にかなっている ため、 を 3次元空間の回転として解釈する。実際、 に対する 特別な 制約は、回転が方向保存であることを意味している。これにより、次式で表される 写像の定義が可能になる。 det ( U ∗ a → ⋅ σ → ) = det ( a → ⋅ σ → ) , {\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ =\ \det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,} U ∗ a → ⋅ σ → {\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ } U ∗ a → ⋅ σ → = a → ′ ⋅ σ → , {\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ ,} a → ′ {\displaystyle \ {\vec {a}}'\ } a → , {\displaystyle {\vec {a}},} U {\displaystyle U} U {\displaystyle U} R : S U ( 2 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)\ }
U ∗ a → ⋅ σ → = a → ′ ⋅ σ → =: ( R ( U ) a → ) ⋅ σ → , {\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ =:\ (R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,} ここで、この写像は による の二重被覆の具体的な実現であり 、したがって であることを示しています。 の成分は、 上記のトレースのプロセスを使用して復元できます。 R ( U ) ∈ S O ( 3 ) . {\displaystyle \ R(U)\ \in \ \mathrm {SO} (3)~.} S O ( 3 ) {\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ } S U ( 2 ) , {\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,} S U ( 2 ) ≅ S p i n ( 3 ) . {\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ \cong \ \mathrm {Spin} (3)~.} R ( U ) {\displaystyle R(U)}
R ( U ) i j = 1 2 tr ( σ i U σ j U − 1 ) . {\displaystyle \ R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \!\left(\ \sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\ \right)~.}
クロスプロダクト 外積は、行列交換子によって与えられます（ の係数まで ）。 実際、ノルムの存在は、 が リー代数であるという事実から生じます（ キリング形式 を 参照）。 2 i {\displaystyle \ 2\ i\ } [ a → ⋅ σ → , b → ⋅ σ → ] = 2 i ( a → × b → ) ⋅ σ → . {\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~.} R 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }
この外積は、上記のマップの方向保存特性を証明するために使用できます。
固有値と固有ベクトル の 固有値は、 トレースがないことと行列式の明示的な計算から直接得られます。 a → ⋅ σ → {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ } ± | a → | . {\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}
より抽象的に言えば、パウリ行列の明示的な特性を必要とする行列式を計算せずに、これは から得られます。 これは に因数分解できるためです 。線型代数の標準的な結果 (異なる線型因子で書かれた多項式方程式を満たす線型写像は 対角化可能 ) は、これはが可能な固有値で対角化可能であること を意味します。 のトレースが存在しないという ことは、 が各固有値を 1 つだけ持つことを意味します。 ( a → ⋅ σ → ) 2 − | a → | 2 = 0 , {\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,} ( a → ⋅ σ → − | a → | ) ( a → ⋅ σ → + | a → | ) = 0 . {\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.} a → ⋅ σ → {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ } ± | a → | . {\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.} a → ⋅ σ → {\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }
その正規化された固有ベクトルは、 これらの式は、に対して特異となる。これらは、 正しい固有ベクトル (0,1) と (1,0) を与える 極限をとること によって救済される。 ψ + = 1 2 | a → | ( a 3 + | a → | ) [ a 3 + | a → | a 1 + i a 2 ] ; ψ − = 1 2 | a → | ( a 3 + | a → | ) [ i a 2 − a 1 a 3 + | a → | ] . {\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}}\ ;\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.} a 3 → − | a → | . {\displaystyle \ a_{3}\to -\left|\ {\vec {a}}\ \right|~.} a → = | a → | ( ϵ , 0 , − ( 1 − ϵ 2 2 ) ) {\displaystyle {\vec {a}}=\left|\ {\vec {a}}\ \right|\left(\epsilon ,\ 0,\ -\left(1-{\tfrac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)\right)\ } ϵ → 0 , {\displaystyle \ \epsilon \to 0\ ,} σ z . {\displaystyle \ \sigma _{z}~.}
あるいは、球座標を使って 固有ベクトルを求めることもできる 。 a → = a ( sin ϑ cos φ , sin ϑ sin φ , cos ϑ ) {\displaystyle \ {\vec {a}}=a\ {\bigl (}\ \sin \vartheta \ \cos \varphi ,\ \sin \vartheta \ \sin \varphi ,\ \cos \vartheta \ {\bigr )}\ } ψ + = ( cos ϑ 2 , sin ϑ 2 e + i φ ) {\displaystyle \ \psi _{+}=\left(\ \cos {\tfrac {\vartheta }{2}},\;\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{+i\varphi }\ \right)\ } ψ − = ( − sin ϑ 2 e − i φ , cos ϑ 2 ) . {\displaystyle \ \psi _{-}=\left(\ -\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{-i\varphi },\;\cos {\tfrac {\vartheta }{2}}\ \right)~.}
パウリ4ベクトル スピノル理論で用いられるパウリ4次元ベクトルは、 成分 σ μ {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }
σ μ = ( I , σ → ) . {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }={\bigl (}\ I,\ {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.} これは、からエルミート行列のベクトル空間への 写像を定義する。 R 1 , 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ }
x μ ↦ x μ σ μ , {\displaystyle \ x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,} これはまた、 ミンコフスキー計量 （ 主にマイナスの 規則）をその行列式にエンコードします。
det ( x μ σ μ ) = η ( x , x ) . {\displaystyle \ \det {\bigl (}\ x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ {\bigr )}=\eta (x,x)~.} この4次元ベクトルも完全性関係を持つ。2つ目のパウリ4次元ベクトルを定義すると便利である。
σ ¯ μ = ( I , − σ → ) . {\displaystyle \ {\bar {\sigma }}^{\mu }={\bigl (}\ I,-{\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.} ミンコフスキー計量テンソルを用いて上下動を許容する。この関係は次のように書ける。 x ν = 1 2 tr ( σ ¯ ν ( x μ σ μ ) ) . {\displaystyle \ x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!{\Bigl (}\ {\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}\ {\Bigr )}~.}
パウリの3次元ベクトルの場合と同様に、等長行列群が成り立つことが分かる。 この場合、行列群はとなり 、これは次式で表される。上式と同様に、これは 成分を持つ
行列群 に対して明示的に実現できる。 R 1 , 3 ; {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ ;} S L ( 2 , C ) , {\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,} S L ( 2 , C ) ≅ S p i n ( 1 , 3 ) . {\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ \cong \ \mathrm {Spin} (1,3)~.} S ∈ S L ( 2 , C ) {\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }
Λ ( S ) μ ν = 1 2 tr ( σ ¯ ν S σ μ S † ) . {\displaystyle \ \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!\left(\ {\bar {\sigma }}_{\nu }\ S\ \sigma ^{\mu }\ S^{\dagger }\ \right)~.} 実際、行列式の性質は、 行列の トレースの性質から抽象的に導かれます。行列の場合、次の恒等式が成り立ちます。 σ μ . {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }~.} 2 × 2 {\displaystyle \ 2\times 2\ }
det ( A + B ) = det ( A ) + det ( B ) + tr ( A ) tr ( B ) − tr ( A B ) . {\displaystyle \ \det(\ A+B\ )\ =\ \det(A)\ +\ \det(B)\ +\ \operatorname {tr} (A)\ \operatorname {tr} (B)\ -\ \operatorname {tr} (\ A\ B\ )~.} つまり、「交差項」はトレースとして表すことができます。 異なる値を取ると、 交差項は消えます。したがって、明示的に和をとると、次の式が成り立ちます。 行列がであるので、 これは次の式に等しくなります。 A , B {\displaystyle \ A,B\ } σ μ , {\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,} det ( ∑ μ x μ σ μ ) = ∑ μ det ( x μ σ μ ) . {\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).} 2 × 2 , {\displaystyle \ 2\times 2\ ,} ∑ μ x μ 2 det ( σ μ ) = η ( x , x ) . {\textstyle \ \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}
内積と外積との関係 パウリベクトルはこれらの交換関係と反交換関係を対応するベクトル積に巧みに写像する。交換関係を反交換関係に加えると、
[ σ j , σ k ] + { σ j , σ k } = ( σ j σ k − σ k σ j ) + ( σ j σ k + σ k σ j ) 2 i ε j k ℓ σ ℓ + 2 δ j k I = 2 σ j σ k {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}} となることによって、
σ j σ k = δ j k I + i ε j k ℓ σ ℓ . {\displaystyle ~~\sigma _{j}\sigma _{k}=\delta _{jk}I+i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }~.~}
方程式の各辺を、2つの 3 ベクトル a p と b q （これらはパウリ行列と可換、つまり a p σ q = σ q a p ）の要素で 縮約すると 、各行列 σ q とベクトル成分 a p （ b q についても同様 ）が得られる。
a j b k σ j σ k = a j b k ( i ε j k ℓ σ ℓ + δ j k I ) a j σ j b k σ k = i ε j k ℓ a j b k σ ℓ + a j b k δ j k I . {\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.} 最後に、ドット積 と クロス積の インデックス表記を変換すると、 次のようになります。
( a → ⋅ σ → ) ( b → ⋅ σ → ) = ( a → ⋅ b → ) I + i ( a → × b → ) ⋅ σ → {\displaystyle ~~{\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}{\Bigr )}={\Bigl (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\Bigr )}\,I+i{\Bigl (}{\vec {a}}\times {\vec {b}}{\Bigr )}\cdot {\vec {\sigma }}~~}
1
i が 擬似スカラー σ x σ y σ z と同一視される場合 、右辺は となり、 これは幾何代数における 2 つのベクトルの積の定義でもあります。 a ⋅ b + a ∧ b , {\displaystyle \ a\cdot b+a\wedge b\ ,}
スピン演算子を J = と定義すると ħ / 2 σ の場合 、 J は 交換関係を満たします。 または、同等に、パウリベクトルは以下を満たします。 J × J = i ℏ J {\displaystyle \ \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\ \hbar \mathbf {J} \ } σ → 2 × σ → 2 = i σ → 2 . {\displaystyle \ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i\ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}~.}
いくつかの痕跡関係 交換関係と反交換関係を使用して、次のトレースを導くことができます。
tr ( σ j ) = 0 tr ( σ j σ k ) = 2 δ j k tr ( σ j σ k σ ℓ ) = 2 i ε j k ℓ tr ( σ j σ k σ ℓ σ m ) = 2 ( δ j k δ ℓ m − δ j ℓ δ k m + δ j m δ k ℓ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\sigma _{k}\sigma _{\ell }\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\delta _{km}+\delta _{jm}\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}~.} 行列 σ 0 = I も考慮すると、これらの関係は次のようになる。
tr ( σ α ) = 2 δ 0 α tr ( σ α σ β ) = 2 δ α β tr ( σ α σ β σ γ ) = 2 ∑ ( α β γ ) δ α β δ 0 γ − 4 δ 0 α δ 0 β δ 0 γ + 2 i ε 0 α β γ tr ( σ α σ β σ γ σ μ ) = 2 ( δ α β δ γ μ − δ α γ δ β μ + δ α μ δ β γ ) + 4 ( δ α γ δ 0 β δ 0 μ + δ β μ δ 0 α δ 0 γ ) − 8 δ 0 α δ 0 β δ 0 γ δ 0 μ + 2 i ∑ ( α β γ μ ) ε 0 α β γ δ 0 μ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}~.}
ここで、ギリシャ語の添え字 α 、 β 、 γ 、 μ は {0、 x 、 y 、 z } からの値を取り 、表記法は含まれる添え字の 巡回順列 の合計を表すために使用されます 。 ∑ ( α … ) {\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}
パウリベクトルの指数 のために
a → = a n ^ , | n ^ | = 1 , {\displaystyle {\vec {a}}=a\ {\hat {n}},\quad \left|\ {\hat {n}}\ \right|=1\ ,} 偶数乗の場合、 2 p 、 p = 0、1、2、3、...となります。
( n ^ ⋅ σ → ) 2 p = I , {\displaystyle \ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I\ ,} これは反交換関係を用いてp = 1 の場合について最初に示せる 。便宜上、 p = 0 の場合は慣例的に I とする。
奇数乗の場合、 2 q + 1、 q = 0、1、2、3、...
( n ^ ⋅ σ → ) 2 q + 1 = n ^ ⋅ σ → . {\displaystyle \ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~.} 行列のべき乗 、および 正弦と余弦のテイラー 級数を使用して、
e i a ( n ^ ⋅ σ → ) = ∑ k = 0 ∞ i k [ a ( n ^ ⋅ σ → ) ] k k ! = ∑ p = 0 ∞ ( − 1 ) p ( a n ^ ⋅ σ → ) 2 p ( 2 p ) ! + i ∑ q = 0 ∞ ( − 1 ) q ( a n ^ ⋅ σ → ) 2 q + 1 ( 2 q + 1 ) ! = I ∑ p = 0 ∞ ( − 1 ) p a 2 p ( 2 p ) ! + i ( n ^ ⋅ σ → ) ∑ q = 0 ∞ ( − 1 ) q a 2 q + 1 ( 2 q + 1 ) ! . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.} 最後の行では、最初の合計はコサイン、2番目の合計はサインです。つまり、
e i a ( n ^ ⋅ σ → ) = I cos a + i ( n ^ ⋅ σ → ) sin a {\displaystyle ~~e^{i\ a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=I\ \cos {a}+i\ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}~~}
2
これは オイラーの公式を 四元数 に拡張したもの に 類似して いる。特に、
e i a σ 1 = ( cos a i sin a i sin a cos a ) , e i a σ 2 = ( cos a sin a − sin a cos a ) , e i a σ 3 = ( e i a 0 0 e − i a ) . {\displaystyle e^{i\ a\ \sigma _{1}}={\begin{pmatrix}\cos a&i\ \sin a\\i\ \sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{2}}={\begin{pmatrix}\cos a&\sin a\\-\sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{i\ a}&0\\0&e^{-i\ a}\end{pmatrix}}~.}
ご了承ください
det [ i a ( n ^ ⋅ σ → ) ] = a 2 , {\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,} 一方、指数関数自体の行列式は 1であるため、 SU(2) の一般群要素 になります 。
一般的な2×2 行列に対する式 (2) のより抽象的なバージョンは、 行列指数関数 に関する記事で見ることができる。 解析関数（ a および −aにおける）に対する式 (2) の一般的なバージョンは、 シルベスターの公式 [3] を 適用することによって得られる 。
f ( a ( n ^ ⋅ σ → ) ) = I f ( + a ) + f ( − a ) 2 + n ^ ⋅ σ → f ( + a ) − f ( − a ) 2 . {\displaystyle \ f(\ a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\ )\ =\ I\ {\frac {\ f(+a)+f(-a)\ }{2}}\ +\ {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\frac {\ f(+a)-f(-a)\ }{2}}~.}
グループ構成法則 SU(2) 式(2) を直接適用すると、 SU(2) 群の合成法則のパラメータ化が得られる 。 [c] c を直接解くと 、 e i a ( n ^ ⋅ σ → ) e i b ( m ^ ⋅ σ → ) = I ( cos a cos b − n ^ ⋅ m ^ sin a sin b ) + i ( n ^ sin a cos b + m ^ sin b cos a − n ^ × m ^ sin a sin b ) ⋅ σ → = I cos c + i ( k ^ ⋅ σ → ) sin c = e i c ( k ^ ⋅ σ → ) , {\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\ a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}\ e^{i\ b\ \left({\hat {m}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=I\ \left(\ \cos a\ \cos b\ -\ {\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ \right)\ +\ i\ \left(\ {\hat {n}}\ \sin a\ \cos b\ +\ {\hat {m}}\ \sin b\ \cos a\ -\ {\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\ \sin b\ \right)\cdot {\vec {\sigma }}\\&=I\ \cos {c}\ +\ i\ \left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \sin c\\&=e^{i\ c\ \left({\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}\ ,\end{aligned}}}
これは、明らかに球面 余弦定理 が成り立つ、一般的な群乗法を規定する 。cが与えられれ ば 、 cos c = cos a cos b − n ^ ⋅ m ^ sin a sin b , {\displaystyle \ \cos c=\cos a\ \cos b\ -\ {\hat {n}}\cdot {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ ,} k ^ = 1 sin c ( n ^ sin a cos b + m ^ sin b cos a − n ^ × m ^ sin a sin b ) . {\displaystyle \ {\hat {k}}\ =\ {\frac {1}{\sin c}}\ \left(\ {\hat {n}}\ \sin a\ \cos b\ +\ {\hat {m}}\ \sin b\ \cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}\ \sin a\ \sin b\ \right)~.}
その結果、この群要素（この場合、それぞれの BCH展開 の閉じた形）における合成回転パラメータは、単純に [4]
e i c k ^ ⋅ σ → = exp ( i c sin c ( n ^ sin a cos b + m ^ sin b cos a − n ^ × m ^ sin a sin b ) ⋅ σ → ) . {\displaystyle \ e^{ic{\hat {k}}\cdot {\vec {\sigma }}}=\exp \left(i{\frac {c}{\sin c}}\left({\hat {n}}\sin a\cos b+{\hat {m}}\sin b\cos a-{\hat {n}}\times {\hat {m}}~\sin a\sin b\right)\cdot {\vec {\sigma }}\right)~.}
(もちろん、 が に平行なときは で あり 、 c = a + b です。) n ^ {\displaystyle \ {\hat {n}}\ } m ^ , {\displaystyle \ {\hat {m}}\ ,} k ^ {\displaystyle \ {\hat {k}}\ }
随伴作用 同様に、パウリベクトルの随伴作用、つまり任意の軸に沿った 任意の角度の回転も簡単に計算できます 。 a {\displaystyle a} n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} R n ( − a ) σ → R n ( a ) = e i a 2 ( n ^ ⋅ σ → ) σ → e − i a 2 ( n ^ ⋅ σ → ) = σ → cos ( a ) + n ^ × σ → sin ( a ) + n ^ n ^ ⋅ σ → ( 1 − cos ( a ) ) . {\displaystyle R_{n}(-a)~{\vec {\sigma }}~R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}
任意の単位ベクトルと上記の式とのドット積をとることで、任意の回転のもとでの任意の単一量子ビット演算子の式が得られる。例えば、 R y ( − π 2 ) σ x R y ( π 2 ) = x ^ ⋅ ( y ^ × σ → ) = σ z . {\textstyle \ R_{y}{\mathord {\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\,\sigma _{x}\,R_{y}{\mathord {\left({\frac {\pi }{2}}\right)}}={\hat {x}}\cdot \left({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }}\right)=\sigma _{z}~.}
完全性関係 パウリ行列によく使用される別の表記法は、ベクトルのインデックス kを上付き文字で書き、行列のインデックスを下付き文字で書き、 k 番目のパウリ行列 の α 行目と β 列目の要素が σ k αβ となるようにすることです。
この表記法では、パウリ行列の 完全性関係は 次のように書ける。
σ → α β ⋅ σ → γ δ ≡ ∑ k = 1 3 σ α β k σ γ δ k = 2 δ α δ δ β γ − δ α β δ γ δ . {\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\ \delta _{\gamma \delta }~.} 証拠 パウリ行列が単位行列 I とともに、上のすべての 2 × 2 複素 行列 のヒルベルト空間の直交基底を形成するという事実は、任意の 2 × 2 複素行列 M をと 表せることを意味します。 ここで c は複素数、 a は3成分の複素ベクトルです。上記の特性を用いると、 であることが簡単に示せます。ここ で「 tr 」は トレース を表し 、したがって これは行列の添字を用いて次のように書き直すことができます。 ここで、 重複する添字の和は γ と δ を意味します。これは行列 M の任意の選択に対して成り立つため、上記のように完全性関係が成り立ちます 。QED M 2 , 2 ( C ) {\displaystyle \ {\mathcal {M}}_{2,2}(\mathbb {C} )\ } C , {\displaystyle \ \mathbb {C} \ ,} M = c I + ∑ k a k σ k {\displaystyle M=c\ I+\sum _{k}a_{k}\ \sigma ^{k}} tr ( σ j σ k ) = 2 δ j k {\displaystyle \operatorname {tr} \left(\sigma ^{j}\,\sigma ^{k}\right)=2\ \delta _{jk}} c = 1 2 tr M , a k = 1 2 tr σ k M . ∴ 2 M = I tr M + ∑ k σ k tr σ k M , {\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \,M\ ,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \ \sigma ^{k}\ M\end{aligned}}~.\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M\ ,\end{aligned}}} 2 M α β = δ α β M γ γ + ∑ k σ α β k σ γ δ k M δ γ , {\displaystyle 2\ M_{\alpha \beta }=\delta _{\alpha \beta }\ M_{\gamma \gamma }+\sum _{k}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}\ M_{\delta \gamma }\ ,}
上で述べたように、2 × 2 単位行列は σ 0 で表記するのが一般的で、 σ 0 αβ = δ αβ となる 。 完全性関係は次のようにも表される。 ∑ k = 0 3 σ α β k σ γ δ k = 2 δ α δ δ β γ . {\displaystyle \ \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }~.}
任意のエルミート複素 2 × 2 行列が単位行列とパウリ行列で表現できる という事実は、 2 × 2 混合状態 の密度行列の ブロッホ球表現 (単位トレースを持つ 半正定値 2 × 2 行列) にもつながります。これは、まず任意のエルミート行列を上記のように { σ 0 、 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 } の実線形結合として表現し、次に半正定値条件と トレース 1 条件を課すことで確認できます。
純粋状態の場合、極座標では、 べき等 密度行列 は a → = ( sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ ) , {\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},} 1 2 ( 1 + a → ⋅ σ → ) = ( cos 2 ( θ 2 ) e − i ϕ sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) e + i ϕ sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) sin 2 ( θ 2 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}
は固有値+1を持つ 状態固有ベクトルに作用するため、 射影演算子 のように動作します。 ( cos ( θ 2 ) e + i ϕ sin ( θ 2 ) ) {\displaystyle \ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)&e^{+i\phi }\ \sin \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ }
順列演算子との関係 P jk を 、 テンソル 積 空間 に存在する2つのスピン σ j と σ k の 間の転置 （順列とも呼ばれる）とし ます 。 C 2 ⊗ C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}
P j k | σ j σ k ⟩ = | σ k σ j ⟩ . {\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .} この演算子は、ディラックのスピン交換演算子 としてより明示的に書くこともできる 。
P j k = 1 2 ( σ → j ⋅ σ → k + 1 ) . {\displaystyle \ P_{jk}={\frac {1}{2}}\ \left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.} したがって、その固有値は [d] 1または-1となる。したがって、ハミルトニアンにおける相互作用項として利用することができ、対称固有状態と反対称固有状態のエネルギー固有値を分割することができる。
SU(2) SU(2) 群は 単位行列式を持つ ユニタリ 2×2 行列の リー群 である。その リー代数は、トレース0を持つ 2×2 反エルミート行列全体の成す集合である。 上記のように直接計算すると、 リー代数は 集合 { iσ k }によって 張られる 3次元実代数であることが示される 。簡潔な記法では、 s u 2 {\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}}
s u ( 2 ) = span { i σ 1 , i σ 2 , i σ 3 } . {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \{\;i\,\sigma _{1}\,,\;i\,\sigma _{2}\,,\;i\,\sigma _{3}\;\}.} その結果、各 iσ jは SU(2)の無限小生成元 と見なすことができます 。SU(2)の元は、これら3つの生成元の線形結合の指数関数であり、パウリベクトルの議論で前述したように乗算されます。これはSU(2)を生成するには十分ですが、パウリ固有値が非慣例的にスケーリングされているため、 su(2) の適切な表現 ではありません。慣例的な正規化は λ = です。 1 / 2 、 そのため
s u ( 2 ) = span { i σ 1 2 , i σ 2 2 , i σ 3 2 } . {\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{{\frac {\ i\ \sigma _{1}\ }{2}},{\frac {\ i\ \sigma _{2}\ }{2}},{\frac {\ i\ \sigma _{3}\ }{2}}\right\}~.} SU(2)はコンパクト群なので、その カルタン分解 は自明である。
SO(3) リー代数は リー代数と 同型で あり、リー代数は3次元空間における 回転 の 群 であるリー群SO(3)に対応する 。 言い換えれ ば、 i σ j は3次元空間における無限小 回転の実現（実際、最低次元の実現）であると言える。しかし、 とがリー代数として同型であっ ても 、 SU(2) と SO(3) はリー群としては同型ではない。SU (2)は実際には SO(3) の 二重被覆 であり、 SU(2) ↦ SO(3) から2対1の群準同型が存在することを意味する。SO (3) と SU(2)の関係を 参照 。 s u ( 2 ) {\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ } s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} s u ( 2 ) {\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ } s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
四元数 { I , iσ 1 , i σ 2 , i σ 3 } の実線形スパンは 、基底ベクトルのスパンによって表される、 実 四元数代 数,に同型です。このセットから への同型性 は、次のマップによって与えられます (パウリ行列の符号が反転していることに注意)。 H {\displaystyle \mathbb {H} } { 1 , i , j , k } . {\displaystyle \ \left\{\;\mathbf {1} ,\ \mathbf {i} ,\ \mathbf {j} ,\ \mathbf {k} \;\right\}~.} H {\displaystyle \ \mathbb {H} \ } 1 ↦ I , i ↦ − σ 2 σ 3 = − i σ 1 , j ↦ − σ 3 σ 1 = − i σ 2 , k ↦ − σ 1 σ 2 = − i σ 3 . {\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}~.}
あるいは、同型性はパウリ行列を逆順に用いた写像によって達成することができる。 [5]
1 ↦ I , i ↦ i σ 3 , j ↦ i σ 2 , k ↦ i σ 1 . {\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.} ベルソル の集合は SU(2) と同型な群を形成するので 、 Uは SU(2) を記述する別の方法を与える。この定式化では 、SU(2)から SO(3) への 2対1準同型は パウリ行列を用いて表すことができる。 U ⊂ H {\displaystyle U\subset \mathbb {H} }
物理
古典力学 古典力学 では 、パウリ行列はケイリー・クラインパラメータの文脈で有用である。 [6] 空間内の点の位置に対応する 行列 Pは 、上記のパウリベクトル行列によって定義される。 x → {\displaystyle {\vec {x}}}
P = x → ⋅ σ → = x σ x + y σ y + z σ z . {\displaystyle P={\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.} その結果、 x 軸の周りの角度 θ の回転に対する 変換行列 Qθ は、 パウリ行列と単位行列を使って次のように表すことができる [6]。
Q θ = 1 cos θ 2 + i σ x sin θ 2 . {\displaystyle \ Q_{\theta }={\boldsymbol {1}}\,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\ \sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}~.} 一般的なパウリベクトル回転についても、上で詳述したように同様の表現が成り立ちます。
量子力学 量子力学 において 、各パウリ行列は 、3つの空間方向それぞれにおけるスピン1 ⁄ 2粒子のスピンを記述する観測量に対応する角運動量演算子に関連付けられている。上述のカルタン分解の直接的な結果として、iσ j は、 スピン 1 ⁄ 2 を 持つ 非 相対 論 的 粒子 に 作用 する 回転 群 SO ( 3)の 射影表現 （ スピン表現 ） の生成元である 。粒子の 状態は 、2成分 スピノル として表される。同様に、パウリ行列は アイソスピン演算子 に関連付けられている。
スピン1 ⁄ 2 粒子の興味深い性質は、元の配置に戻るためには 4π の角度回転させる必要があることです 。これは、前述のSU(2)とSO(3)の2対1の対応と、スピンアップ/ダウンを 2次元球面 S 2 上のN極-S極として視覚化するものの、 実際には2次元複素 ヒルベルト空間上の 直交 ベクトルで表されるという事実に起因しています 。
スピン 1 ⁄ 2 粒子の場合、スピン演算子は J = ħ / 2 σ 、 SU(2) の 基本 表現 。 この表現と自身との クロネッカー積 j に対して、3次元空間における高次スピン系の スピン演算子は スピン演算子 と ラダー演算子 を使用して計算できる 。それらは 回転群SO(3) § リー代数に関する注記 。パウリ行列に対するオイラーの公式の上記の一般化の類似式、つまりスピン行列に関する群要素は扱いやすいが、それほど単純ではない。 [7]
多粒子系の量子力学 でも有用な 一般 パウリ群 G n は 、パウリ行列の
すべての n 重 テンソル 積で構成されるように定義されます。
相対論的量子力学 相対論的量子力学 では 、4次元のスピノルは 4×1 （または 1×4 ） 行列である。したがって、これらのスピノルに作用するパウリ行列またはシグマ行列は 4×4 行列でなければならない。これらは 2×2 パウリ行列を 用いて次のように定義される。
Σ k = ( σ k 0 0 σ k ) . {\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}~.} この定義から、行列は σ k 行列と同じ代数的特性を持つことがわかります 。 Σ k {\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }
しかし、 相対論的角運動量 は3元ベクトルではなく、2階の 4元テンソル です。したがって、 スピノル上のローレンツ変換 の生成元である Σ μν に置き換える必要があります 。角運動量の反対称性により、 Σ μν も反対称です。したがって、独立行列は6つしかありません。 Σ k {\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }
最初の3つは、 残りの3つで、 ディラック αk 行列は 次 のように定義されます 。 Σ k ℓ ≡ ϵ j k ℓ Σ j . {\displaystyle \ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}~.} − i Σ 0 k ≡ α k , {\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}
α k = ( 0 σ k σ k 0 ) . {\displaystyle \ {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}~.} 相対論的スピン行列 Σμν は 、ガンマ行列 の交換子を用いて次のよう に簡潔に表される。
Σ μ ν = i 2 [ γ μ , γ ν ] . {\displaystyle \ \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}~.}
量子情報 において 、単一 量子ビットの 量子ゲート は2×2の ユニタリ行列 です。パウリ行列は、単一量子ビット演算において最も重要なものの一つです。この文脈において、上記に示したカルタン分解は「 単一量子ビットゲートのZ-Y分解 」と呼ばれます。異なるカルタンペアを選択すると、同様の「 単一量子ビットゲートのX-Y分解 」が得られます。
参照
^ これは数学における 指数 行列 の
慣例 、 i σ ⟼ exp( i σ ) に準拠しています。 物理学における 慣例 、 σ ⟼ exp(− i σ ) に準拠しているため、 SU(2) に収束するためにi を事前に乗算する 必要は ありません。 ^ パウリベクトルは形式的な概念である。テンソル積空間 に 内積 によって誘起される 写像が与えられている とき の要素として考えることができる。 M 2 ( C ) ⊗ R 3 , {\displaystyle \ {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3}\ ,} ⋅ : R 3 × ( M 2 ( C ) ⊗ R 3 ) → M 2 ( C ) {\displaystyle \ \cdot :\mathbb {R} ^{3}\times ({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\otimes \mathbb {R} ^{3})\to {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )\ } R 3 . {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}~.} ^ ここで2 × 2 表現で導出された a, b, c, n, m, k の関係は 、群単位元 である SU(2) の すべての表現 に対して成り立つ 。この群の生成元をパウリ行列の半分 として標準正規化することにより 、パラメータ a , b , c は回転群の回転角の半分 に対応することに注意されたい 。つまり、リンクされたギブスの公式は次のようになる。 k ^ tan c 2 = ( n ^ tan a 2 + m ^ tan b 2 − m ^ × n ^ tan a 2 tan b 2 ) / ( 1 − m ^ ⋅ n ^ tan a 2 tan b 2 ) . {\displaystyle \ {\hat {k}}\tan {\tfrac {c}{2}}=({\hat {n}}\ \tan {\tfrac {a}{2}}+{\hat {m}}\ \tan {\tfrac {b}{2}}-{\hat {m}}\ \times {\hat {n}}\ \tan {\tfrac {a}{2}}~\tan {\tfrac {b}{2}})/(1-{\hat {m}}\cdot {\hat {n}}\ \tan {\tfrac {a}{2}}~\tan {\tfrac {b}{2}})~.} ^ 明示的には、「右空間行列を左空間行列の要素に変換する」という慣例において、 ( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right)~.}
注記 ^ Gull, SF; Lasenby, AN; Doran, CJL (1993年1月). 「虚数は実数ではない ― 時空の幾何学的代数」 (PDF) . Foundations of Physics . 23 (9): 1175– 1201. Bibcode :1993FoPh...23.1175G. doi :10.1007/BF01883676. S2CID 14670523. 2023年10月9日時点の オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2023年 5月5日 閲覧 – geographic.mrao.cam.ac.uk経由。 ^ スピノルマップ を参照 。 ^ ニールセン, マイケル・A. ; チュアン, アイザック・L. (2000). 『量子計算と量子情報 』 ケンブリッジ大学出版局, イギリス. ISBN 978-0-521-63235-5 . OCLC 43641333。 ^ ギブス, JW (1884). 「4. ベクトルの微分積分について」. ベクトル解析の要素 . ニューヘイブン, コネチカット州: タトル, ムーアハウス & テイラー. p. 67. しかし実際には、この公式はOlinde Rodrigues (1840)に遡り 、半角が豊富に含まれています: Rodrigues, Olinde (1840)。 「空間の安定したシステムの配置を決定するための地理的配置、および座標系のバリエーションの確立と、生産性の向上を考慮した独立した原因の決定」 (PDF) 。 Ｊ．Ｍａｔｈ． Pures Appl. 5 ： 380～ 440。 ^ 中原幹雄 (2003).幾何学、トポロジー、および物理学 (第 2 版)。 CRCプレス。 p. xxii。 ISBN 978-0-7503-0606-5 – Google ブックス経由。 ^ ab ゴールドスタイン、ハーバート (1959). 古典力学 . アディソン・ウェスレー. pp. 109– 118. OCLC 3175838. ^ Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014). 「回転のコンパクトな公式をスピン行列多項式として」. SIGMA . 10 : 084. arXiv : 1402.3541 . Bibcode :2014SIGMA..10..084C. doi :10.3842/SIGMA.2014.084. S2CID 18776942.
参考文献
![{\displaystyle [\sigma _{j},\sigma _{k}]=2\ i\ \varepsilon _{jkl}\ \sigma _{l}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c236db2475bf53114ca09b0154d6a1c7f9f0fe)
![{\displaystyle \\sigma_{jk}={\tfrac{1}{4}}[\sigma_{j},\sigma_{k}]\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917a3a966f41234f36b4d7115a4227007b76b430)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}\ \sigma _{1},\sigma _{1}\ {\bigr ]}&=~~~0\\{\bigl [}\ \sigma _{1},\sigma _{2}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{3}\\{\bigl [}\ \sigma _{2},\sigma _{3}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{1}\\{\bigl [}\ \sigma _{3},\sigma _{1}\ {\bigr ]}&=2\ i\ \sigma _{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62adda55065645b8909e866664858a1cbf66c727)
![{\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~。](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6cd738bdd1a5938820d4f1038b104a89587a9e6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610aa4fbda5736e477bd004340dee1c6e95fac5c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a06daedf3002618b3c615e30abbb68523bb63c1)
![{\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314632e3a7d8448b52557be0317b421a56e2a645)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&={}{\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \,M\ ,{\begin{aligned}&&a_{k}&={\tfrac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \ \sigma ^{k}\ M\end{aligned}}~.\\[3pt]\therefore ~~2\,M&=I\,\operatorname {tr} \,M+\sum _{k}\sigma ^{k}\,\operatorname {tr} \,\sigma ^{k}M\ ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e68c6e2d63cae6457d89319adad00cf7d37d4f)
![{\displaystyle \ \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01faaccf1a251fe6cbcc24d46ef37872967385da)
