用語記号

Notation in quantum physics

原子物理学において、記号とは、多電子原子中の電子の全スピンと軌道角運動量の量子数を簡略化した記述です。したがって、 「記号」という言葉は、その意味とは異なるものの、実際には物理量の実際の値を表します。

原子の与えられた電子配置において、その状態は、スピンと軌道成分を含む全角運動量にも依存し、これらは項記号で指定されます。通常の原子項記号は、全電子の軌道角運動量（ L）、スピン角運動量（S ）、および全角運動量（J ）の全量子数が良好な量子数となるLS結合（ラッセル・サンダース結合とも呼ばれる）を仮定しています。

原子分光学の用語では、LとSは一緒に項を指定し、L、S、Jはレベルを指定し、L、S、J、および磁気量子数M _Jは状態を指定します。慣用的な項記号は^{2 S +1} L _Jの形式を持ち、ここでJはレベルを指定するためにオプションで記述されます。Lは分光学的記法を使用して記述されます。たとえば、L = 0、1、2、または3を表すには、それぞれ「S」、「P」、「D」、または「F」と記述されます。一部の重元素に適用されるjj結合など、LS結合以外の結合スキームでは、項を指定するために他の表記法が使用されます。

項記号は、中性原子と荷電原子の両方と、それらの基底状態と励起状態に適用されます。項記号は通常、原子内のすべての電子の合計を指定しますが、特定のサブシェルまたはサブシェルのセット内の電子を記述するために使用されることもあります。たとえば、複数のサブシェルを持つ原子の各オープンサブシェルを記述する場合などです。中性原子の基底状態の項記号は、ほとんどの場合、フントの規則によって記述されます。化学元素の中性原子は、sブロック元素とpブロック元素では各列に同じ項記号を持ちますが、dブロック元素とfブロック元素では異なります。dブロック元素とfブロック元素では、基底状態の電子配置が列内で変化し、フントの規則の例外が発生します。化学元素の基底状態の項記号を以下に示します。

原子核や分子の角運動量量子数を表すためにも、項記号が用いられます。分子の項記号では、ギリシャ文字を用いて分子軸に沿った軌道角運動量の成分を表します。

原子の電子状態を表す用語「項」の使用は、スペクトル線の波数が2つの項の差として表せるという経験的観察であるリュードベリ・リッツの結合原理に基づいています。これは後にボーア模型によって要約され、項を量子化されたエネルギー準位、これらの準位のスペクトル波数を光子エネルギーと同一視しました。

原子エネルギー準位の表は、原子とイオンの基底状態と励起状態について、その項記号で識別され、米国国立標準技術研究所（NIST）から入手可能である。^[1]

用語記号LSカップリング

通常の原子項記号はLS結合（ラッセル・サンダース結合とも呼ばれる）を前提としており、原子の全スピン量子数Sと全軌道角運動量量子数Lは「良好な量子数」である。（ラッセル・サンダース結合は、1925年にこれを記述したヘンリー・ノリス・ラッセルとフレデリック・アルバート・サンダースにちなんで名付けられた^[2]）。スピン軌道相互作用は、全スピンモーメントと全軌道モーメントを結合させ、全電子角運動量量子数Jを与える。原子状態は、以下の形式の項記号で適切に記述される。

${\displaystyle ^{2S+1}L_{J}}$

どこ

• Sは原子の電子の全スピン量子数です。項記号に記された値 2 S + 1 はスピン多重度であり、これは与えられたスピンSに対するスピン磁気量子数M _Sの取り得る値の数です。
• Jは原子の電子の全角運動量量子数です。Jの値は| L − S |からL + Sの範囲にあります。
• Lは分光学的表記法における全軌道量子数であり、 Lの記号は次の通りです。

  L  =	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	...
  	S	P	D	F	G	H	私	K	L	M	北	お	質問	R	T	あなた	V	（アルファベット順で続く）[注 1]

軌道記号S、P、D、Fは、s、p、d、f軌道に対応する分光線の特性、すなわち鋭い、主、拡散、基本に由来する。残りはGからアルファベット順に命名される（J、S、Pは省略）。原子の電子状態を記述する場合、記号は電子配置に従って表記されることが多い。例えば、1s ² 2s ² 2p ^{2 3} P _0は中性炭素原子の基底状態を表す。上付き文字の3は、スピン多重度2 S + 1が3（三重項状態）であることを示し、したがってS = 1である。文字「P」はL = 1の分光学的表記であり、下付き文字の0はJの値（この場合はJ = L − S）である。^[1]

小文字は個々の軌道または 1 つの電子の量子数を表しますが、大文字は多数の電子の状態またはその量子数を表します。

用語：用語、レベル、状態

与えられた電子配置に対して、

• 値と値の組み合わせは項と呼ばれ、統計的な重み（つまり、可能な状態の数）は に等しくなります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$
• 、およびの組み合わせはレベルと呼ばれます。与えられたレベルには という統計的重みがあり、これは対応する項においてこのレベルに関連付けられた可能な状態の数です。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 2J+1}$
• 、、およびの組み合わせにより 、単一の状態が決定されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M_{J}}$

与えられたSとLに対する可能な状態の数としての積⁠ ⁠は ${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$、非結合表現における基底状態の数でもあります。ここで、、、、（およびはそれぞれ全スピン角運動量と全軌道角運動量の Z 軸成分）は、対応する演算子が相互に交換する良好な量子数です。およびが与えられた場合、この表現の固有状態は、およびとして、次元⁠ ⁠の関数空間を張ります。全角運動量（スピン + 軌道）が扱われる結合表現では、関連する状態（または固有状態）はであり、これらの状態は次元の関数空間を張ります。 ${\displaystyle |S,M_{S},L,M_{L}\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M_{S}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle M_{S}}$ ${\displaystyle M_{L}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle |S,M_{S},L,M_{L}\rangle }$ ${\displaystyle (2S+1)(2L+1)}$ ${\displaystyle M_{S}=S,S-1,\dots ,-S+1,-S}$ ${\displaystyle M_{L}=L,L-1,...,-L+1,-L}$ ${\displaystyle |J,M_{J},S,L\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J=J_{\min }=|L-S|}^{J_{\max }=L+S}(2J+1)}$

として表されます。明らかに、両方の表現における関数空間の次元は同じでなければなりません。 ${\displaystyle M_{J}=J,J-1,\dots ,-J+1,-J}$

例えば、 の場合、 ³次元の項に対応する状態（非結合表現の固有状態）は (2×1+1)(2×2+1) = 15 個あり、そのうち( 2×3+1) = 7 個は³次元₃ ( J = 3) レベルに属します。同じ項のすべてのレベルの⁠ ⁠の合計は、前述のように両方の表現の次元が等しくなければならないため、(2 S +1)(2 L +1) に等しくなります。 この場合、J は1、2、または 3 のいずれかであるため、3 + 5 + 7 = 15 となります。 ${\displaystyle S=1,L=2}$ ${\displaystyle (2J+1)}$

用語シンボルパリティ

項記号のパリティは次のように計算される。

${\displaystyle P=(-1)^{\sum _{i}\ell _{i}},}$

ここで、 は各電子の軌道量子数です。は偶数パリティを意味し、は奇数パリティを意味します。実際には、奇数軌道（奇数を持つ）にある電子だけが全体のパリティに寄与します。つまり、奇数軌道（p、f、... のように奇数を持つ軌道）にある電子の数が奇数の場合は奇数項記号に対応し、偶数軌道にある電子の数が偶数の場合は偶数項記号に対応します。偶数の数の合計は偶数であるため、偶数軌道にある電子の数は無関係です。任意の閉じたサブシェルについて、電子の数は偶数であるため、閉じたサブシェルの の合計は常に偶数です。奇数軌道（奇数）の開いた（満たされていない）サブシェルの量子数の合計によって、項記号のパリティが決まります。この簡約された合計の電子数が奇数（偶数）の場合、パリティも奇数（偶数）です。 ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle P=1}$ ${\displaystyle P=-1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2(2\ell +1)}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}\ell _{i}}$ ${\displaystyle \ell }$

奇数の場合、項シンボルのパリティは上付き文字「o」で示され、そうでない場合は省略されます。

²ページ^o
_{1 ⁄ 2}は奇数パリティを持ちますが、³ P ₀は偶数パリティを持ちます。

あるいは、パリティは下付き文字「g」または「u」で示されることもあります。これは、gerade（ドイツ語で「偶数」）またはungerade（「奇数」）を表します。

奇数パリティの場合は² P _{1 ⁄ 2 ,u 、偶数の場合は}³ P _{0,g です}。

基底状態項記号

フントの規則を用いると、原子の基底状態の項記号を予測するのは比較的容易です。これは、SとLが最大となる状態に対応します。

1. 最も安定した電子配置から始めます。完全な殻と部分殻は全体の角運動量に寄与しないため、無視されます。
   • すべてのシェルとサブシェルがいっぱいの場合、項シンボルは¹ S ₀になります。
2. パウリの排他原理に従って、利用可能な軌道に電子を分配します。
   • 慣例的に、最も高いm _ℓを持つ軌道に電子を1個置き、その後、m _{ℓ の}降順で他の軌道に電子を1個ずつ置き続け、電子がなくなるか、サブシェル内のすべての軌道に電子が1個ずつ入るまで続けます。そして、これも慣例的に、これらの電子すべてに量子磁気スピン数m _sの1 ⁄ 2を加算した値を割り当てます。
   • 残っている電子がある場合は、前と同じ順序で軌道に配置しますが、今度はそれらにm _s = − 1 ⁄ 2を割り当てます。
3. 全体のSは、各電子のm _s値を加算することで計算されます。つまり、全体のSは不対電子の数の1⁄2倍になります。
4. 全体のLは、各電子の値を加算して計算されます(つまり、同じ軌道に電子が 2 つある場合は、その軌道の 2 倍を加算します)。 ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle m_{\ell }}$
5. Jを次のように計算する
   • サブシェルの半分未満が占有されている場合は、最小値J = | L − S |を取ります。
   • 半分以上埋まっている場合は最大値J = L + Sを取る。
   • サブシェルが半分埋まっている場合、L は0 となり、 J = Sとなります。

例えばフッ素の場合、電子配置は1s ² 2s ² 2p ⁵です。

1. 完全なサブシェルを破棄し、2p ^{5 の}部分を残します。つまり、サブシェル p ( ) に配置できる電子は5個です。 ${\displaystyle \ell =1}$
2. 電子を収容できる軌道は3つ（ ）あります。最初の3つの電子はm _s = 1 ⁄ 2（↑）を取ることができますが、パウリの排他原理により、次の2つの電子は既に占有されている軌道に移動するため、 m _s = − 1 ⁄ 2（↓）となります。 ${\displaystyle m_{\ell }=1,0,-1}$ ${\displaystyle 2(2\ell +1)=6}$

   	${\displaystyle m_{\ell }}$
   	+1	0	−1
   ${\displaystyle m_{s}}$	↑↓	↑↓	↑

3. S = 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 − 1 ⁄ 2 − 1 ⁄ 2 = 1 ⁄ 2 ;
4. L = 1 + 0 − 1 + 1 + 0 = 1 であり、これは分光学的表記では「P」です。
5. フッ素の2pサブシェルは半分以上埋まっているため、J = L + S = 3 ⁄ 2 となる。したがって、基底状態の項記号は^{2 S +1} L _J = ² P _{3 ⁄ 2}となる。

化学元素の原子用語記号

周期表では、列内の元素の原子は通常同じ外殻電子構造を持ち、「sブロック」元素と「pブロック」元素では常に同じ電子構造を持つため（ブロック（周期表）を参照）、すべての元素は同じ列の基底状態項記号を共有することができます。したがって、水素とアルカリ金属はすべて² S _{1 ⁄ 2}、アルカリ土類金属は ¹ S ₀、ホウ素列元素は² P _{1 ⁄ 2}、炭素列元素は³ P ₀、ニクトゲンは⁴ S _{3 ⁄ 2}、カルコゲンは³ P ₂、ハロゲンは² P _{3 ⁄ 2}、不活性ガスは¹ S ₀となります。これは、上記の完全殻と部分殻の規則によるものです。

ほとんどの化学元素の基底状態の項記号^[3]は、以下の簡略化された表に示されています。^[4] dブロックとfブロックでは、周期表の同じ列にある元素の項記号が必ずしも同じではありません。これは、複数のdまたはf電子の開殻に複数の近接した項があり、そのエネルギー順序は、列の次の元素を形成するために余分な完全な殻が追加されることによってしばしば乱されるためです。

例えば、表は、異なる基底状態の項記号を持つ垂直に隣接する原子の最初のペアがVとNbであることを示しています。Nbの⁶ D _{1 ⁄ 2}基底状態は、Vの⁴ F _{3 ⁄ 2}^{基底状態よりも2112 cm −1}高いV励起状態に対応し、これはNb基底状態よりも1143 cm ⁻¹高いNb励起状態に対応します。^[1]これらのエネルギー差は、 Vの直前のd電子を持たない元素であるCaの基底状態と最初の励起状態との間の15158 cm ^{−1の差と比較すると小さいです。 [1]}

化学元素の用語記号
グループ →	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
↓ 期間
1	H 2 S 1/2																		彼 1 S 0
2	李 2 S 1/2	なれ 1 S 0												B 2 P 1/2	C 3 P 0	北 4 S 3/2	お 3 P 2	F 2ページ3/2	ね 1 S 0
3	ナ 2 S 1/2	マグネシウム 1 S 0												アル 2 P 1/2	シ 3 P 0	P 4 S 3/2	S 3 P 2	塩素 2ページ3/2	アル 1 S 0
4	K 2 S 1/2	カルシウム 1 S 0		Sc 2 D 3/2	ティ 3 F 2	V 4 F 3/2	Cr 7 S 3	マン 6 S 5/2	鉄 5 D 4	共同 4 F 9/2	ニ 3 F 4	銅 2 S 1/2	亜鉛 1 S 0	ガ 2 P 1/2	ゲ 3 P 0	として 4 S 3/2	セ 3 P 2	Br 2ページ3/2	クル 1 S 0
5	Rb 2 S 1/2	シニア 1 S 0		はい 2 D 3/2	Zr 3 F 2	注記 6 D 1/2	モ 7 S 3	TC 6 S 5/2	ル 5 F 5	ロジウム 4 F 9/2	パッド 1 S 0	農業 2 S 1/2	CD 1 S 0	で 2 P 1/2	スン 3 P 0	SB 4 S 3/2	テ 3 P 2	私 2ページ3/2	ゼー 1 S 0
6	Cs 2 S 1/2	バ 1 S 0		ルー 2 D 3/2	HF 3 F 2	タ 4 F 3/2	W 5 D 0	再 6 S 5/2	オス 5 D 4	イル 4 F 9/2	Pt 3D3​​	オー 2 S 1/2	水銀 1 S 0	テル 2 P 1/2	鉛 3 P 0	バイ 4 S 3/2	ポー 3 P 2	で 2ページ3/2	ルン 1 S 0
7	神父 2 S 1/2	ラ 1 S 0		左 2 P 1/2 ?	無線周波数 3 F 2	デシベル 4 F 3/2 ?	SG 5 D 0 ?	Bh 6 S 5/2 ?	Hs 5 D 4 ?	マウント 4 F 9/2 ?	Ds 3 F 4 ?	RG 2D5 / 2 ?	CN 1 S 0 ?	んん 2 P 1/2 ?	フロリダ州 3 P 0 ?	マック 4 S 3/2 ?	レベル 3P2 ?​​	Ts 2 P 3/2 ?	オグ 1 S 0 ?
				ラ 2 D 3/2	セ 1 G 4	広報 4 I 9/2	ンド 5私4	午後 6時間5/2	小 7 F 0	欧州連合 8 S 7/2	神様 9 D 2	結核 6時間15分/2秒	ダイ 5私8	ホー 4 I 15/2	えー 3時間6分	TM 2 F 7/2	Yb 1 S 0
				アク 2 D 3/2	Th 3 F 2	パ 4 K 11/2	あなた 5 L 6	いいえ 6リットル11/2	プ 7 F 0	午前 8 S 7/2	Cm 9 D 2	バック 6時間15分/2秒	参照 5私8	エス 4 I 15/2	FM 3時間6分	メリーランド州 2 F 7/2	いいえ 1 S 0
Sブロック fブロック dブロック pブロック

電子配置を表す用語記号

特定の電子配置に対して可能なすべての用語記号を計算するプロセスは、やや長くなります。

• まず、与えられた電子配置における可能な状態の総数Nを計算します。前述と同様に、満たされた（サブ）殻は破棄され、部分的に満たされた殻のみが残されます。与えられた軌道量子数 に対して、tは最大許容電子数です。与えられたサブシェルにe個の電子がある場合、可能な状態の数は次のようになります。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle t=2(2\ell +1)}$
  ${\displaystyle N={t \choose e}={t! \over {e!\,(t-e)!}}.}$

  例として、炭素の電子構造を考えてみましょう：1s ² 2s ² 2p ²。サブシェルをすべて取り除くと、pレベル（）には2つの電子が存在するので、 ${\displaystyle \ell =1}$

  ${\displaystyle N={6! \over {2!\,4!}}=15}$

  さまざまな状態。

• 次に、すべての可能な状態が描画されます。各状態のM _LとM _Sが計算されます。ここで、 m _iはi番目の電子のまたはのいずれかであり、M はそれぞれ結果として得られるM _LまたはM _Sを表します。 ${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{e}m_{i}}$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle m_{s}}$

  	${\displaystyle m_{\ell }}$
  	+1	0	−1	M L	MS​
  全部	↑	↑		1	1
  	↑		↑	0	1
  		↑	↑	−1	1
  すべてダウン	↓	↓		1	−1
  	↓		↓	0	−1
  		↓	↓	−1	−1
  一つ上、 一つ下	↑↓			2	0
  	↑	↓		1	0
  	↑		↓	0	0
  	↓	↑		1	0
  		↑↓		0	0
  		↑	↓	−1	0
  	↓		↑	0	0
  		↓	↑	−1	0
  			↑↓	−2	0

• 3番目に、（ M _L、M _S ）の各可能な組み合わせの状態の数を数えます。

  		MS​
  		+1	0	−1
  M L	+2		1
  	+1	1	2	1
  	0	1	3	1
  	−1	1	2	1
  	−2		1

• 4番目に、各可能な項を表す小さなテーブルを抽出できます。各テーブルのサイズは(2 L +1)×(2 S +1)で、エントリとして「1」のみが含まれます。最初に抽出されたテーブルは、M _{L が}-2から+2（つまりL = 2 ）の範囲にあり、 M _Sの値が1つ（つまりS = 0）であることに対応しています。これは¹次元の項に対応します。残りの項は、上記の表の中央の3×3部分に収まります。次に、M _LとM _Sが両方とも-1から+1（つまりS = L = 1、3次元の項）の範囲にあるエントリを削除した²番目のテーブルを抽出できます。残りのテーブルは1×1のテーブルで、L = S = 0、つまり¹次元の項です。

  S = 0、L = 2、J = 2 1 D 2   MS​   0 M L +2 1 +1 1 0 1 −1 1 −2 1

  S =1、L =1、J =2、1、0 3 P 2、3 P 1、3 P 0   MS​   +1 0 −1 M L +1 1 1 1 0 1 1 1 −1 1 1 1

  S =0、L =0、J =0 1 S 0   MS​   0 M L 0 1

• 第五に、フントの規則を適用することで、基底状態（または対象となる構成における最低の状態）を特定できます。フントの規則は、特定の構成における最低の状態以外の状態の順序を予測するために使用すべきではありません。（フントの規則 § 励起状態の例を参照してください。）
• 等価な電子が 2 つだけ関係する場合、「偶数ルール」があり、等価な電子が 2 つある場合、合計 (L + S) が偶数になる状態のみが許容されます。

3つの等価な電子の場合

• 3 つの等価な電子（同じ軌道量子数 ）の場合、合計軌道量子数Lと合計スピン量子数Sを持つ任意の許容項の数を数える一般的な公式（以下で示す）も存在します。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle X(L,S,\ell )}$
  ${\displaystyle X(L,S,\ell )={\begin{cases}L-\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=1/2{\text{ and }}0\leq L<\ell \\\ell -\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=1/2{\text{ and }}\ell \leq L\leq 3\ell -1\\\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor -\left\lfloor {\tfrac {L-\ell }{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {L-\ell +1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=3/2{\text{ and }}0\leq L<\ell \\\left\lfloor {\tfrac {L}{3}}\right\rfloor -\left\lfloor {\tfrac {L-\ell }{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}S=3/2{\text{ and }}\ell \leq L\leq 3\ell -3\\0,&{\text{other cases}}\end{cases}}}$

  ここで、床関数は x を超えない最大の整数を表します。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

  詳細な証明はRenjun Xuの原論文に記載されています。^[5]
• の一般的な電子配置、すなわちk個の等価電子が1つのサブシェルを占める場合の一般的な処理とコンピュータコードもこの論文に記載されています。^[5] ${\displaystyle \ell ^{k}}$

群論を用いた代替方法

サブシェルあたり最大2個の電子（または正孔）を持つ構成の場合、群論から同じ結果を得るための代替かつはるかに迅速な方法が得られる。2p ²構成は、完全回転群において以下の直積の対称性を持つ。

Γ ⁽¹⁾ × Γ ⁽¹⁾ = Γ ⁽⁰⁾ + [Γ ⁽¹⁾ ] + Γ ⁽²⁾、

これは、よく知られているラベルΓ ⁽⁰⁾ = S、Γ ⁽¹⁾ = P、およびΓ ⁽²⁾ = Dを使用して、次のように記述できます。

P × P = S + [P] + D です。

角括弧は反対称の正方形を囲みます。したがって、2p ²構成には以下の対称性を持つ成分が含まれます。

S + D (対称正方形から、したがって対称空間波動関数を持つ)。

P (反対称の正方形からなので、反対称の空間波動関数を持ちます)。

パウリの原理と、電子が反対称波動関数によって記述される必要があるという要件は、空間対称性とスピン対称性の次の組み合わせのみが許可されることを意味します。

¹ S + ¹ D （空間対称、スピン反対称）

³ P（空間的に反対称、スピン対称）。

次に、上記の手順のステップ 5 に進み、Hund の規則を適用します。

群論法は、3d ²のような他の構成に対しても、一般式を用いて 実行することができる。

Γ ^(j) × Γ ^(j) = Γ ^(2j) + Γ ^(2j−2) + ⋯ + Γ ⁽⁰⁾ + [Γ ^(2j−1) + ⋯ + Γ ⁽¹⁾ ]。

^{対称の正方形からはシングレット ( 1} S、¹ D、¹ Gなど) が生成されますが、反対称の正方形からはトリプレット ( ³ P と³ F など) が生成されます。

より一般的には、

Γ ^{( j )} × Γ ^{( k )} = Γ ^{( j + k )} + Γ ^{( j + k −1)} + ⋯ + Γ ^{(| j − k |)}

ここで、積は平方根ではないため、対称部分と反対称部分に分割されない。2つの電子が非等価な軌道から来る場合、それぞれの場合においてシングレットとトリプレットの両方が許容される。^[6]

さまざまなカップリングスキームと対応する用語記号のまとめ

すべてのカップリングスキームの基本概念:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$: 電子の個々の軌道角運動量ベクトル、: 電子の個々のスピンベクトル、: 電子の個々の全角運動量ベクトル 。 ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}+\mathbf {s} }$
• ${\displaystyle \mathbf {L} }$: 原子内のすべての電子の全軌道角運動量ベクトル（）。 ${\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}{\boldsymbol {\ell }}_{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {S} }$: すべての電子の全スピンベクトル（）。 ${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {s} _{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {J} }$: 全電子の全角運動量ベクトル。角運動量の組み合わせ方は、結合方式（LS結合の場合、jj結合の場合など）によって異なります。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}}$
• ベクトルの大きさに対応する量子数は、矢印のない文字、または太字でない文字です（例：ℓは、およびの軌道角運動量量子数です）。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle {{\hat {\ell }}^{2}}\left|\ell ,m_{\ell },\ldots \right\rangle ={\hbar ^{2}}\ell \left(\ell +1\right)\left|\ell ,m_{\ell },\ldots \right\rangle }$
• 多重度と呼ばれるパラメータは、特定の条件下での全角運動量量子数Jの可能な値の数を表します。
• 単一電子の場合、項記号はSとして書かれる必要はなく、常に 1/2 であり、Lは軌道タイプから明らかです。
• 2つの電子群AとBがそれぞれ独自の項を持つ場合、各項はS、L、Jを表し、これらは各群の、ベクトルに対応する量子数です。項AとBを「結合」して新しい項Cを形成することは、新しいベクトル、およびの量子数を求めることを意味します。この例はLS結合に関するもので、結合においてどのベクトルが加算されるかは、どの結合方式が採用されるかによって異なります。もちろん、角運動量の加法則は、Xがs、ℓ、j、S 、 L、J、またはその他の角運動量の大きさに関連する量子数であるということです。 ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {S} _{A}+\mathbf {S} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{A}+\mathbf {L} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$ ${\displaystyle X=X_{A}+X_{B},X_{A}+X_{B}-1,\dots ,|X_{A}-X_{B}|}$

LSカップリング（ラッセル・サンダースカップリング）

• 結合スキーム：まずとを計算し、次にを得ます。実用的な観点から言えば、これは結合する電子群の角運動量の加法則を用いてL、S、J を求めることを意味します。 ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$
• 電子配置 + 項記号：。は、グループ内の電子の結合から生じる項です。は主量子数、軌道量子数、サブシェルにN 個（等価）の電子があることを意味します。 の場合、⁠ ⁠は多重度に等しく、与えられたSおよびLからJ（最終全角運動量量子数）に取り得る値の数です。 の場合、多重度は⁠ ⁠ですが、項記号には⁠ ⁠が依然として書き込まれます。厳密に言えば、 はレベルと呼ばれ、は項と呼ばれます。 右上付き文字oが項記号に付加される場合があり、これはグループの偶奇性が奇数（ ）であることを意味します。 ${\displaystyle n{\ell ^{N}}{{(}^{(2S+1)}}{L_{J}})}$ ${\displaystyle {{(}^{(2S+1)}}{{L}_{J}})}$ ${\displaystyle n{\ell ^{N}}}$ ${\displaystyle n,\ell }$ ${\displaystyle n{\ell ^{N}}}$ ${\displaystyle n\ell }$ ${\displaystyle L>S}$ ${\displaystyle (2S+1)}$ ${\displaystyle S>L}$ ${\displaystyle (2L+1)}$ ${\displaystyle (2S+1)}$ ${\displaystyle {{(}^{(2S+1)}}{L_{J}})}$ ${\displaystyle {^{\left(2S+1\right)}{L}}}$ ${\displaystyle P={{\left(-1\right)}^{{\underset {i}{\mathop {\sum } }}\,{\ell _{i}}}}}$ ${\displaystyle P=-1}$
• 例：
  1. 3d ^{7  4} F _7/2 : ⁴ F _7/2は 3d ⁷グループのレベルであり、3d サブシェルに 7 個の電子が相当します。
  2. 3d ⁷ ( ⁴ F)4s4p( ³ P ⁰ )  ⁶ F⁰
     _9/2: ^{[7]項は各グループ（異なる主量子数}nを持つ）に割り当てられ、右端のレベル⁶ F_9月2^日
     はこれらのグループの項の結合からなので⁶ F_9月2^日
     この原子エネルギー準位における最終的な全スピン量子数S、全軌道角運動量量子数L、全角運動量量子数Jを表します。記号⁴ F と³ P ^oはそれぞれ7個と2個の電子を表すため、大文字が使用されています。
  3. 4f ⁷ ( ⁸ S ⁰ )5d ( ⁷ D ^o )6p  ⁸ F _{13/2 : 5dと(} ⁷ D ^o )の間にスペースがあります。これは( ⁸ S ^{0 )と5dが連結して( 7} D ^o )になることを意味します。最終レベル⁸ F^13/2
     _​は（7D o）と6pのカップリングによる^もので^ある。
  4. 4f( ² F ⁰ ) 5d ² ( ¹ G) 6s( ² G)  ¹ P⁰
     ₁:左端の空間の左側に孤立している項は² F ^oのみである。これは、( ² F ^o ) が最後に結合し、( ¹ G) と 6s が結合して ( ² G) となり、さらに ( ² G) と ( ² F ^o ) が結合して最終項¹ Pが得られることを意味する。¹
     _​。

jjカップリング

• カップリング方式: . ${\displaystyle \mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}}$
• 電子配置 + 用語記号: ${\displaystyle {{\left({n_{1}}{\ell _{1}}_{j_{1}}^{N_{1}}{n_{2}}{\ell _{2}}_{j_{2}}^{N_{2}}\ldots \right)}_{J}}}$
• 例：
  1. ${\displaystyle {{\left({\text{6p}}_{\frac {1}{2}}^{2}{\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}\right)}^{o}}_{3/2}}$: 2つのグループがあります。1つはで、もう1つはです。 には、6pサブシェルに を持つ電子が2つありますが、 には、同じサブシェルにを持つ電子が1つあります。これら2つのグループを結合すると、 ⁠ ⁠ （3つの電子jの結合）になります。 ${\displaystyle {\text{6p}}_{1/2}^{2}}$ ${\displaystyle {\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}}$ ${\displaystyle {\text{6p}}_{1/2}^{2}}$ ${\displaystyle j=1/2}$ ${\displaystyle j=3/2}$ ${\displaystyle {\text{6p}}_{\frac {3}{2}}^{}}$ ${\displaystyle {1}}$
  2. ${\displaystyle {\text{4d}}_{5/2}^{3}{\text{4d}}_{3/2}^{2}~\ {{\left({\frac {9}{2}},2\right)}_{11/2}}}$: ⁠ ⁠ ${\displaystyle 9/2}$ ()内は第1グループ、 ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle {\text{4d}}_{5/2}^{3}}$()内の2は第2群のJ ₂です。項記号の下付き文字11/2はの末尾のJです。 ${\displaystyle {\text{4d}}_{3/2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {J} _{2}}$

J₁L₂カップリング

• カップリング方式:および。 ${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {J} _{1}+\mathbf {L} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} +\mathbf {S} _{2}}$
• 電子配置 + 項記号: 。⁠ ⁠の場合、 ⁠は多重度に等しく、与えられたS ₂とKからJ (最終的な全角運動量量子数)に取り得る値の数です。⁠ ⁠ の場合、多重度は⁠ ⁠ですが、項記号には⁠ ⁠ が引き続き表記されます。 ${\displaystyle {n_{1}}{\ell _{1}}^{N_{1}}\left(\mathrm {term} _{1}\right){n_{2}}{\ell _{2}}^{N_{2}}\left(\mathrm {term} _{2}\right)~\ {^{\left(2{S_{2}}+1\right)}{{\left[K\right]}_{J}}}}$ ${\displaystyle K>S_{2},(2S_{2}+1)}$ ${\displaystyle S_{2}>K}$ ${\displaystyle (2K+1)}$ ${\displaystyle (2S_{2}+1)}$
• 例：
  1. 3p ⁵ ( ² P^o
     _1/2)5g  ² [9/2]⁵
     _​: . ⁠ ⁠はKであり、これはJ ₁とℓ ₂の結合から生じます。項記号の添え字 5 はJであり、これはKとs ₂の結合から生じます。 ${\displaystyle {J_{1}}={\frac {1}{2}},{l_{2}}=4,~{s_{2}}=1/2}$ ${\displaystyle 9/2}$
  2. 4階¹³階( ²階^7/2
     _​)5d ² ( ¹ D) [7/2]^7/2
     _​: . ⁠ ⁠はKで、 J ₁とL ₂の結合から生じます。項記号の下付き文字⁠ ⁠はJで、 KとS ₂の結合から生じます。 ${\displaystyle {J_{1}}={\frac {7}{2}},{L_{2}}=2,~{S_{2}}=0}$ ${\displaystyle 7/2}$ ${\displaystyle 7/2}$

LS₁カップリング

• カップリング方式: 、。 ${\displaystyle \mathbf {K} \ell =\mathbf {L} +\mathbf {S_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} +\mathbf {S_{2}} }$
• 電子配置 + 項記号: 。⁠ ⁠の場合、 ⁠は多重度に等しく、与えられたS ₂とKからJ (最終的な全角運動量量子数)に取り得る値の数です。⁠ ⁠ の場合、多重度は⁠ ⁠ですが、項記号には⁠ ⁠ が引き続き表記されます。 ${\displaystyle {n_{1}}{\ell _{1}}^{N_{1}}\left(\mathrm {term} _{1}\right){n_{2}}{\ell _{2}}^{N_{2}}\left(\mathrm {term} _{2}\right)\ ~L~\ {^{\left(2{S_{2}}+1\right)}{{\left[K\right]}_{J}}}}$ ${\displaystyle K>S_{2},(2S_{2}+1)}$ ${\displaystyle S_{2}>K}$ ${\displaystyle (2K+1)}$ ${\displaystyle (2S_{2}+1)}$
• 例：
  1. 3d ⁷ ( ⁴ P)4s4p( ³ P ^o ) Do ^{o  3} [5/2]^7/2
     _​：. . . ${\displaystyle {L_{1}}=1,~{L_{2}}=1,~{S_{1}}={\frac {3}{2}},~{S_{2}}=1}$ ${\displaystyle L=2,K=5/2,J=7/2}$

ここでは最もよく知られているカップリングスキームを紹介しますが、これらのスキームを組み合わせることで原子のエネルギー状態を表現することができます。この要約は[1]に基づいています。

ラカ記法とパッシェン記法

これらは、特に希ガス原子などの単一励起原子の状態を記述するための表記法です。ラカー表記法は、基本的にLSまたはラッセル・サンダース結合とJ ₁ L ₂結合を組み合わせたものです。LS結合は親イオン結合であり、J ₁ L ₂結合は親イオンと励起電子の結合です。親イオンとは、原子の励起されていない部分です。例えば、Ar原子が基底状態...3p ⁶から励起状態...3p ⁵ 4pに電子配置で励起された場合、3p ⁵は親イオン、4pは励起電子を表します。^[8]

ラカー表記法では、励起原子の状態は と表記されます。下付き文字 1 の付いた量は親イオンのものであり、nとℓ は励起電子の主量子数と軌道量子数、KとJ はとの量子数で、それぞれ励起電子の軌道角運動量とスピンです。「o」は励起原子のパリティを表します。不活性（希）ガス原子の場合、通常の励起状態はN p ⁵ nℓで、Ne、Ar、Kr、Xe、Rn の場合、 N は順に 2、3、4、5、6 となります。親イオンは² P _1/2または² P _3/2のいずれかであるため、表記法はまたはに短縮できます。ここで、 nℓ は親イオンが² P _3/2状態にあることを意味し、nℓ′は親イオンが² P _1/2状態にあることを意味します。 ${\displaystyle \left(^{\left(2{{S}_{1}}+1\right)}{{L}_{1}}_{{J}_{1}}\right)n\ell \left[K\right]_{J}^{o}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} =\mathbf {J} _{1}+{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {K} +\mathbf {s} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle \mathbf {s} }$ ${\displaystyle n\ell \left[K\right]_{J}^{o}}$ ${\displaystyle n\ell '\left[K\right]_{J}^{o}}$

パッシェン記法はやや奇妙な記法です。ネオンの発光スペクトルを水素のような理論に当てはめるために作られた古い記法です。励起原子のエネルギー準位を示すための、かなりシンプルな構造を持っています。エネルギー準位はn′ℓ#と表されます。ℓは励起電子の軌道量子数です。n′ℓは、（n = N + 1, ℓ = 0）の場合は 1s 、 （n = N + 1, ℓ = 1）の場合は 2p 、（n = N + 2, ℓ = 0）の場合は2s 、（n = N + 2, ℓ = 1）の場合は 3p 、（n = N + 3, ℓ = 0）の場合は 3s のように表記されます。 n′ℓ を励起電子の最低の電子配置から表記するルールは、（1） ℓ を最初に表記する、（2）n′ を1 から順に表記し、ℓ = n′ − 1, n′ − 2, ..., 0の関係（ nとℓの関係のように）を保つ、というものです。n′ℓ は、水素原子の電子配置を記述する方法で励起電子の電子配置を記述する試みです。#は、与えられたn′ℓの各エネルギー準位に付加される番号です（与えられた電子配置には複数のエネルギー準位が存在する可能性があり、それらは記号で示されます）。#は各準位を順番に表します。例えば、# = 10 は# = 9 の準位よりも低いエネルギー準位、# = 1 は与えられたn′ℓにおける最高エネルギー準位を表します。パッシェン記法の例を以下に示します。

ネオンの電子配置	n′ℓ	アルゴンの電子配置	n′ℓ
1秒2秒2秒 2p 6	基底状態	[Ne]3s 2 3p 6	基底状態
1秒2 2秒2 2p 5 3秒1	1秒	[Ne]3s 2 3p 5 4s 1	1秒
1秒2 2秒2 2ポイント5 3ポイント1	2ページ	[Ne]3s 2 3p 5 4p 1	2ページ
1秒2 2秒2 2p 5 4秒1	2秒	[Ne]3s 2 3p 5 5s 1	2秒
1秒2 2秒2 2p 5 4p 1	3p	[Ne]3s 2 3p 5 5p 1	3p
1秒2 2秒2 2p 5 5秒1	3秒	[Ne]3s 2 3p 5 6s 1	3秒

参照

• 量子数
  • 主量子数
  • 方位角量子数
  • スピン量子数
  • 磁気量子数
• 角度量子数
• 角運動量結合
• 分子用語記号

注記

1. 軌道角運動量が20を超える値（記号Z ）を命名する公式の慣例はありませんが、そのような命名が必要になることは稀です。一部の著者はZの後にギリシャ文字（α、β、γ、…）を使用します。

参考文献

1. NIST 原子スペクトルデータベース たとえば、中性炭素原子のレベルを表示するには、「スペクトル」ボックスに「C I」または「C 0」と入力し、「データの取得」をクリックします。
2. Russell, HN; Saunders, FA (1925) [1925年1月]. 「アルカリ土類元素のスペクトルにおける新たな規則性」. SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS). Astrophysical Journal . 61. adsabs.harvard.edu/: 38. Bibcode :1925ApJ....61...38R. doi :10.1086/142872 . 2020年12月13日閲覧– harvard.edu経由.
3. 「NIST原子スペクトルデータベース イオン化エネルギーフォーム」。NIST物理計測研究所。米国国立標準技術研究所（NIST）。2018年10月。 2019年1月28日閲覧。このフォームは、原子および原子イオンの基底状態とイオン化エネルギーに関するNISTの厳密に評価されたデータへのアクセスを提供します。
4. 最も重い元素の場合のこれらの項記号の出典については、テンプレート:Infobox element/symbol-to-electron-configuration/term-symbol を参照してください。
5. Xu, Renjun; Zhenwen, Dai (2006). 「LSスペクトル項を決定するための代替数学的手法」. Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics . 39 (16): 3221– 3239. arXiv : physics/0510267 . Bibcode :2006JPhB...39.3221X. doi :10.1088/0953-4075/39/16/007. S2CID  2422425.
6. McDaniel, Darl H. (1977). 「分光学用語の決定におけるスピン因数分解の補助」. Journal of Chemical Education . 54 (3): 147. Bibcode :1977JChEd..54..147M. doi :10.1021/ed054p147.
7. 「原子分光法 - 異なる結合方式 9. 異なる結合方式の表記法」. NIST . 米国国立標準技術研究所 (NIST). 2017年11月1日. 2019年1月31日閲覧。
8. 「付録1 - カップリングスキームと表記法」（PDF） . トロント大学：高度物理学研究所 - コースホームページ. 2017年11月5日閲覧。

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