ユニバーサル横メルカトル座標系

Map projection system

正距円筒図法の世界地図上の UTM ゾーン。不規則なゾーンは赤で表示され、ニューヨーク市のゾーンは強調表示されている。

ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）は、地球を球体とする横メルカトル図法に基づく投影座標系です。そのパラメータは国や地域、あるいは地図作成システムによって異なります。

地球表面上の位置に平面座標を割り当てます。地理座標系（緯度と経度）と同様に、これは水平位置表現であり、高度を無視し、地球表面を扁平楕円体として扱います。ただし、緯度経度とは異なり、地球を60のゾーンに分割し、各ゾーンを平面に投影して座標の基準とします。位置を指定するということは、ゾーンとその平面における x、y座標を指定することを意味します。

UTMのほとんどのゾーンは経度6度の範囲に及び、それぞれに指定された中心子午線があります。使用されているほとんどのUTMシステムでは、中心子午線における縮尺係数は、実尺度の0.9996に指定されています。^{[1] [2]}

歴史

アメリカ海洋大気庁（NOAA）のウェブサイトによると、このシステムは1940年代初頭からアメリカ陸軍工兵隊によって開発されてきた。 ^{[3]しかし、}ドイツ連邦公文書館の軍事部門であるBundesarchiv-Militärarchivで見つかった1943年から1944年にかけてのものと思われる一連の航空写真には、UTMREFという表記に続いてグリッド文字と数字が記されており、横メルカトル図法で投影されていることから、^[4]この発見は、UTM参照システムと呼ばれるものが1942年から1943年の間にドイツ国防軍によって開発されたことを示している。それはおそらく航空写真部（Abteilung für Luftbildwesen）によって実施された。1947年以降、アメリカ陸軍は非常によく似たシステムを採用したが、中央子午線での縮尺係数はドイツの1.0ではなく、現在では標準となっている0.9996であった。^[4]アメリカ合衆国本土内の地域では、1866年のクラーク楕円 体^[5]が使用されました。ハワイを含む地球の残りの地域では、国際楕円体^{[6]が使用されました。現在、UTM座標系で地球をモデル化する際には、}世界測地系WGS84楕円体が一般的に使用されています。つまり、ある地点における現在のUTM北座標は、以前のUTM北座標と最大200メートルの差が生じる可能性があります。地理的に異なる地域では、他の測地系が使用される場合があります。

ユニバーサル横メルカトル座標系が開発される以前、いくつかのヨーロッパ諸国は戦間期に自国の領土を地図化することで、グリッドベースの正角地図の有用性を実証しました。これらの地図上の2点間の距離の計算は、経緯度線ベースのシステムで必要な三角法の公式を使用するよりも、現場で（ピタゴラスの定理を使用して）より簡単に行うことができました。戦後、これらの概念は、グリッドベースの地図の世界的（または普遍的）システムであるユニバーサル横メルカトル/ユニバーサル極平射（UTM/UPS）座標系に拡張されました。

横メルカトル図法は、 1570年にフランドルの地理学者・地図製作者ゲラルドゥス・メルカトルによって開発されたメルカトル図法の派生形です。この図法は正角図法であり、小さな地域でも角度と形状が保たれます。しかし、距離と面積は歪んでしまいます。

定義

UTMゾーン

ランバート正角円錐図法で投影された、連続する米国UTM ゾーンの簡略化されたビュー。

UTMシステムは地球を60のゾーンに分割し、各ゾーンの幅は経度6度です。ゾーン1は西経180度から西経174度までをカバーし、ゾーン番号は東に向かって増加し、ゾーン60は東経174度から西経180度までをカバーします。南緯80度以南および北緯84度以北の極地域は除外され、代わりにユニバーサル・ポーラ・ステレオグラフィック（UPS）座標系が適用されます。

60のゾーンそれぞれで、南北に広い範囲を歪みの少ない地図にできる横メルカトル図法が採用されています。経度6度（最大668km）の幅の狭いゾーンを使用し、中央子午線に沿った縮尺係数を0.9996（1:2500の縮小）に低減することで、各ゾーン内の歪み量は1,000分の1以下に抑えられています。赤道に沿ったゾーン境界では、縮尺の歪みは1.0010まで増加します。

各ゾーンにおいて、中心子午線の縮尺係数によって横円筒の直径が縮小され、中心子午線の両側に約180km、中心子午線とほぼ平行な2本の標準線（真の縮尺線）を持つ正割図法が生成されます（赤道ではArc cos 0.9996 = 1.62°）。縮尺は標準線の内側では1未満、外側では1を超えますが、全体的な歪みは最小限に抑えられます。

例外

UTMゾーンは、2つの地域を除いて地球全体で均一です。ノルウェー南西海岸では、ゾーン32が西に3度拡張され、ゾーン31はそれに応じて縮小され、開水面のみをカバーします。また、スヴァールバル諸島周辺地域では、ゾーン32、34、36は使用されず、代わりにゾーン31（9度幅）、33（12度幅）、35（12度幅）、37（9度幅）が拡張され、空白部分を埋めています。

重なり合うグリッド

ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）グリッドゾーン31Nから37Nは、北半球の標準的な6°幅×84°のゾーンとは異なり、ノルウェー王国西部を包含するようになっています。UTMの歴史については、1999年10月号のPE&RSに掲載されたClifford J. Mugnierによる「ノルウェー王国のグリッドとデータム」（http://www.asprs.org/a/resources/grids/10-99-norway.pdf）をご覧ください。

UTMゾーン間の境界に近づくにつれて、各UTMゾーンにおける縮尺の歪みは大きくなります。しかし、隣接する2つのゾーンにまたがる複数の地点を単一のグリッド上で計測することが、多くの場合、便利であったり、必要であったりします。大縮尺地図（1:100,000以上）の境界付近では、隣接する両方のUTMゾーンの座標が、通常、ゾーン境界の両側40km以内の範囲に印刷されています。理想的には、各位置の座標は、その位置が位置するゾーンのグリッド上で計測されるべきですが、ゾーン境界付近では縮尺係数が比較的小さいため、必要に応じて、隣接するゾーンにある程度の距離をオーバーラップして計測することも可能です。

緯度帯

^{緯度帯はUTM [7]}の一部ではなく、軍事グリッド参照システム（MGRS）^[8]の一部です。しかし、UTM表記に緯度帯が含まれる場合もあります。UTM表記に緯度帯を含めると、座標が曖昧になる場合があります。「S」という文字は南半球を表すか、北半球の緯度帯を表すかのどちらかになるためです。したがって、UTM表記に緯度帯を含めることは避けるべきです。

UTM座標を使用して位置を特定する

地球上の位置は、UTM ゾーン番号と半球指定子、およびそのゾーンの東と北の平面座標のペアによって指定されます。

各UTMゾーンの原点は、赤道とそのゾーンの中央子午線の交点です。負の数を扱うのを避けるため、誤った東経は中央子午線に-500,000メートルが加算されます。つまり、東経が40万メートルは、中心子午線から西に約100キロメートルです。このような地点のほとんどでは、投影の歪みにより、地球表面で測定した場合の実際の距離は100キロメートルをわずかに上回ることになります。UTMの東経は約166,000メートルまで赤道では834,000メートル。

北半球では、位置は赤道から北に向かって測定されます。「北」の最大値は約北緯84度、UTMゾーンの北端に位置する930万メートル。南半球の赤道における北緯は1000万メートル。北緯はここから南に下がる。1000万メートルから約南緯80度、UTMゾーンの南端に位置する110万メートル。したがって、負の北緯値を持つポイントはありません。

たとえば、CNタワーは43°38′33.24″N 79°23′13.7″W / 43.6425667°N 79.387139°W / 43.6425667; -79.387139 (CNタワー)にあり、UTMゾーン17にあり、グリッド位置は630 084 メートル東、北緯4,833,438メートル。ゾーン17には、北半球と南半球の2つの地点がこの座標を持っています。明確な形式では、ゾーン全体と半球の指定子、つまり「17N 630084 4833438」と指定し ます。

簡略化された式

これらの公式は、横メルカトル図法の切り詰められたバージョンである。横メルカトル図法は、もともと1912年にヨハン・ハインリッヒ・ルイス・クルーガーによって導かれたものである^{。[9]これらの公式は、1}ミリメートル以内の精度で表すことができる。中央子午線から3000km 。 ^[10]導出に関する簡潔な解説も与えられている。^{[11] [12]}

WGS 84 空間参照系は、地球を南北軸に沿った扁平回転楕円体として表し、赤道半径はkm、逆扁平率はです。緯度 の点と経度 の点を取り、そのUTM座標、点の縮尺係数、および経線収束を経度 の基準子午線を使用して計算します。慣例により、北半球では km、南半球ではkm です。慣例により、 kmとkm も使用されます。 ${\displaystyle a=6378.137}$ ${\displaystyle 1/f=298.257\,223\,563}$ ${\displaystyle \,\varphi }$ ${\displaystyle \,\lambda }$ ${\displaystyle k\,\!}$ ${\displaystyle \gamma \,\!}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N_{0}=0}$ ${\displaystyle N_{0}=10000}$ ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$ ${\displaystyle E_{0}=500}$

以下の式では、距離はキロメートル、角度はラジアンで表されます。まず、いくつかの予備的な値を示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {f}{2-f}},&A&={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}+\cdots \right),\\{}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},&\alpha _{2}&={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},&\alpha _{3}&={\frac {61}{240}}n^{3},\\[12pt]\beta _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},&\beta _{2}&={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},&\beta _{3}&={\frac {17}{480}}n^{3},\\[12pt]\delta _{1}&=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},&\delta _{2}&={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},&\delta _{3}&={\frac {56}{15}}n^{3}.\end{aligned}}}$

緯度、経度（φ、λ）をUTM座標（E、N）に変換

まず、いくつかの中間値を計算します。

${\displaystyle t=\sinh \left(\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)-{\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\tanh ^{-1}\left({\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\sin \varphi \right)\right),}$

${\displaystyle \xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ').}$

最終的な式は次のようになります。

${\displaystyle E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{t^{2}+\cos ^{2}(\lambda -\lambda _{0})}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\tan ^{-1}\left({\frac {\tau {\sqrt {1+t^{2}}}+\sigma t\tan(\lambda -\lambda _{0})}{\sigma {\sqrt {1+t^{2}}}-\tau t\tan(\lambda -\lambda _{0})}}\right).}$

ここで、 は東、は北、はスケール係数、 はグリッド収束です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

UTM座標（東、北、ゾーン、ヘミ）から緯度、経度（φ、λ）

注: 北半球の場合はHemi = +1、南半球の場合はHemi = −1

まず、いくつかの中間値を計算してみましょう。

${\displaystyle \xi ={\frac {N-N_{0}}{k_{0}A}},\,\,\,\eta ={\frac {E-E_{0}}{k_{0}A}},}$

${\displaystyle \xi '=\xi -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\eta '=\eta -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \sigma '=1-\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\tau '=\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \chi =\sin ^{-1}\left({\frac {\sin \xi '}{\cosh \eta '}}\right).}$

最終的な式は次のようになります。

${\displaystyle \varphi =\chi +\sum _{j=1}^{3}\delta _{j}\sin \left(2j\chi \right),}$

${\displaystyle \lambda _{0}=\mathrm {Z} \mathrm {o} \mathrm {n} \mathrm {e} \times 6^{\circ }-183^{\circ }\,}$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {\sinh \eta '}{\cos \xi '}}\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\cos ^{2}\xi '+\sinh ^{2}\eta '}{\sigma '^{2}+\tau '^{2}}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\mathrm {H} \mathrm {e} \mathrm {m} \mathrm {i} \times \tan ^{-1}\left({\frac {\tau '+\sigma '\tan \xi '\tanh \eta '}{\sigma '-\tau '\tan \xi '\tanh \eta '}}\right).}$

参照

• 欧州地球基準座標系 1989 (ETRS89)
• 軍事グリッド参照システム。座標の転送を簡素化するために設計された UTM の派生形です。
• 修正横メルカトル図法は、カナダで使用されている UTM のバリエーションで、UTM の 6° 経度間隔に対して、ゾーンが 3° 経度間隔で配置されています。
• 横メルカトル図法、UTM で使用される地図投影法。
• 北極と南極で使用されるユニバーサル極平射座標系。
• オープンロケーションコード、階層型ゾーンシステム
• 階層的なゾーンシステムであるMapCode

参考文献

1. 「ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）」。PROJ座標変換ソフトウェアライブラリ。^{[永久リンク切れ]}
2. Snyder, John P. (1987).地図投影法：実用マニュアル. 米国政府印刷局.
3. Dracup, Josef F. 「NOAAの歴史 - 測量と地図作成 - 測地測量 1940 - 1990」www.history.noaa.gov。2019年12月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。
4. Buchroithner, Manfred F. ; Pfahlbusch, René. 権威ある地図における測地グリッド ― UTMグリッドの起源に関する新たな知見. Cartography and Geographic Information Science, 2016, doi:10.1080/15230406.2015.1128851.
5. 赤道半径6,378,206.4メートル、極半径6,356,583.8メートル
6. 赤道半径6,378,388メートル、ちょうど297の逆数である
7. 「ユニバーサルグリッド：ユニバーサル横メルカトル図法（UTM）とユニバーサル極平射図法（UPS）」（PDF） . National_Geospatial-Intelligence_Agency . 1989年9月18日 . 2024年2月13日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2024年2月13日閲覧。
8. 「Military Map Reading 201」（PDF） .国家地理空間情報局. 2002年5月29日. 2009年6月19日閲覧。
9. ルイ・クルーガー (1912)。 「Ebene における Erdellipsoids の要求」。 Deutsches GeoForschungsZentrum GFZ。土井：10.2312/GFZ.b103-krueger28。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=（ヘルプ）が必要です
10. Karney, Charles FF (2011). 「数ナノメートルの精度を持つ横メルカトル図法」. Journal of Geodesy . 85 (8): 475– 485. arXiv : 1002.1417 . Bibcode :2011JGeod..85..475K. doi :10.1007/s00190-011-0445-3. S2CID  118619524.
11. 川瀬 功（2012）：ガウス・クリューゲル図法における拡張座標変換式の簡潔な導出、国土地理院紀要、60、pp 1-6
12. 川瀬 功（2011）：ガウス・クリューゲル図法における子午線弧長の一般的な計算式と座標変換への応用、国土地理院紀要、59、1-13

外部リンク

• GoogleマップのUTM座標。2023年8月10日にWayback Machineにアーカイブされました。
• UTM投影法を理解する。2023年8月10日、Wayback Machineにアーカイブ

さらに読む

• スナイダー、ジョン・P. (1987). 地図投影法 - 実用マニュアル. 米国地質調査所専門論文1395. 米国政府印刷局、ワシントンD.C.

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