密集合

Subset whose closure is the whole space

位相幾何学および関連数学分野において、位相空間Xの部分集合 AがXにおいて稠密であるとは、 Xのすべての点がAに属するか、 Aの要素に任意に「近い」場合を言う。例えば、有理数は実数の稠密部分集合である。なぜなら、すべての実数は有理数であるか、または任意にそれに近い有理数を持つからである（ディオファントス近似を参照）。正式には、 Xを含む最小の閉部分集合がX自身である場合、 XはXにおいて稠密である。^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

その位相空間の密度は、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

意味

位相空間の部分集合は、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$以下の同等の条件のいずれかが満たされる場合、の稠密部分集合となります。

1. を含む最小の閉部分集合はそれ自身です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$
2. の閉包は次式に等しい。すなわち、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. の補集合の内部は空である。つまり、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. のいずれかの点は、のいずれかに属するか、またはのいずれかの極限点である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$
5. つまり、交差点のあらゆる近傍において、 ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A;}$ ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$のすべての空でない開集合と交差する ${\displaystyle X.}$

そしてが上の位相の開集合の基底である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

7. 交差点の基本近傍ごとに ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$空でないすべてのものと交差する ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

計量空間における密度

距離空間における稠密集合の別の定義は以下の通りである。の位相が距離によって与えられるとき、におけるの閉包はの和集合とにおける元の列のすべての極限（その極限点）の集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}}$$

すると、if は密になります ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

が完全な計量空間内の稠密な開集合の列である場合、もにおいて稠密です。この事実は、ベールのカテゴリ定理 の同値形式の 1 つです。 ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ ${\displaystyle X.}$

例

通常の位相を持つ実数では、有理数は可算な稠密部分集合であり、位相空間の稠密部分集合の濃度はその空間自体の濃度よりも厳密に小さい場合があることを示しています。無理数は別の稠密部分集合であり、位相空間には複数の互いに素な稠密部分集合（特に、2 つの稠密部分集合が互いの補集合になる場合がある）がある場合があり、それらの濃度が同じである必要すらないことを示しています。おそらくさらに驚くべきことに、有理数と無理数はどちらも空の内部構造を持つため、稠密集合には空でない開集合が含まれる必要がないことがわかります。位相空間の 2 つの稠密開部分集合の交差も、稠密かつ開集合です。^{[証明 1]} 空集合はそれ自身の稠密部分集合です。しかし、空でない空間のすべての稠密部分集合も空でなければなりません。

ワイエルシュトラスの近似定理によれば、閉区間上で定義された任意の複素数値 連続関数は、多項式関数によって望みどおりに一様に近似できる。言い換えれば、多項式関数は、上限ノルムを備えた区間上の連続複素数値関数の空間において稠密である。 ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle C[a,b]}$ ${\displaystyle [a,b],}$

すべての距離空間はその完備化において稠密である。

プロパティ

任意の位相空間は、それ自身の稠密部分集合である。離散位相を備えた集合の場合、空間全体が唯一の稠密部分集合となる。自明位相を備えた集合の空でない部分集合はすべて稠密であり、空でない部分集合がすべて稠密となる位相はすべて自明でなければならない。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

稠密性は推移的である。位相空間の３つの部分集合とが与えられ、その中でがで稠密であり、 が（それぞれの部分空間位相において）で稠密である場合、 も で稠密である。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C.}$

射影連続関数による稠密部分集合の像もまた稠密である。位相空間の稠密さ（その稠密部分集合の基数の最小値）は位相不変量である。

連結な稠密部分集合を持つ位相空間は、必然的にそれ自体も連結である。

ハウスドルフ空間への連続関数は、その稠密部分集合上の値によって決定される。ハウスドルフ空間への2つの連続関数が、その稠密部分集合上で一致する場合、そのすべての部分集合上で一致する。 ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

距離空間には普遍空間があり、与えられた密度のすべての空間を埋め込むことができる。密度の距離空間は、単位区間のコピーの積上の実連続関数の空間の部分空間に等長である。^[2] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$ ${\displaystyle \alpha }$

関連する概念

位相空間の部分集合の点は、 のすべての近傍にそれ自身以外の の点が含まれ、そうでない場合はの孤立点が含まれるとき、の極限点( において)と呼ばれる。孤立点を含まない部分集合は、自体稠密であるという。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

位相空間の部分集合は、における近傍で稠密なものが存在しないとき、どこにも稠密ではない( において)と呼ばれます。同様に、位相空間の部分集合がどこにも稠密ではない場合、かつその閉包の内部が空である場合に限ります。どこにも稠密ではない集合の補集合の内部は常に稠密です。閉じたどこにも稠密ではない集合の補集合は稠密な開集合です。位相空間が与えられたとき、 の可算個数のどこにも稠密ではない部分集合の和集合として表される の部分集合は、貧弱と呼ばれます。有理数は、実数の中では稠密ですが、実数の部分集合としては貧弱です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

可算な稠密部分集合を持つ位相空間は、分離可能と呼ばれます。位相空間がベール空間となるための必要十分条件は、可算な数の稠密開集合の交わりが常に稠密である場合です。位相空間は、 2つの互いに素な稠密部分集合の和である場合、可解と呼ばれます。より一般的には、位相空間がκ個の互いに素な稠密集合を2つ含む場合、κ-可解と呼ばれます。

位相空間をコンパクト空間の稠密部分集合として埋め込むことをコンパクト化と呼ぶ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間と間の線型演算子は、その定義域が の稠密部分集合であり、その値域が に含まれる場合、稠密に定義されていると言われます。連続線型拡張も参照してください。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

位相空間が超連結である場合、かつその場合、すべての空でない開集合は において稠密である。位相空間が準最大である場合、かつその場合、すべての稠密部分集合は開集合である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

が距離空間である場合、空でない部分集合が -稠密であるとは次の条件を満たすとき言う。 ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

が稠密であることは、任意のに対してε稠密であることと同値であることを示すことができる。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

参照

• ブルームバーグ定理 – R 上の任意の実関数は、R の稠密部分集合に対して連続制約を許容する
• 稠密順序 – 比較可能な2つの異なる要素の間に別の要素が存在する半順序
• 稠密（格子理論）

参考文献

1. Steen, LA; Seebach, JA (1995), Counterexamples in Topology , Dover, ISBN 0-486-68735-X
2. Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). 「一般化されたバナッハ＝マズール定理」. Bull. Austral. Math. Soc . 1 (2): 169– 173. doi : 10.1017/S0004972700041411 .

証明

1. とが位相空間 の稠密開集合であると仮定する。ならば、開集合がにおいて稠密であるという結論は直ちに得られるので、そうでないと仮定する。が の空でない開集合であるとすると、 も空でないことを示す必要がある。が において稠密であり、が の空でない開集合であるため、それらの交差は空ではない。同様に、が の空でない開集合であり、が において稠密であるため、それらの交差は空ではない。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap (A\cap B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle U\cap A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U\cap A\cap B}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

一般的な参考文献

• ニコラ・ブルバキ(1989) [1971].一般位相幾何学 第1章～第4章. 数学の原論.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-64241-2。
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ディクスミア、ジャック（1984年）『一般位相幾何学』数学学部テキスト、ベルベリアン（SK）訳、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303。
• マンクレス, ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）.アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260。 （印刷障害のある利用者もアクセス可能）
• スティーン、リン・アーサー；シーバッハ、J.アーサー・ジュニア（1995）[1978]、「位相幾何学における反例」（ 1978年版のドーバー再版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-486-68735-3、MR  0507446
• ウィラード、スティーブン (2004) [1970]. 一般位相幾何学.ミネオラ、ニューヨーク州:ドーバー出版. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240。

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