シグマリング

Family of sets closed under countable unions

数学において、空でない集合の集まりは、可算和と相対相補の下で閉じている場合、 σ 環(シグマ環と発音)と呼ばれます。

正式な定義

を集合の空でない集合とします。そして、次の条件を満たすとき、 は𝜎環となります。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

1. 可算和集合の下で閉じている：すべての場合 ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. 相対補完の下で閉じている：もし ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

プロパティ

これら2つの性質は次のことを意味します。 $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

これは $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).}$$

すべての 𝜎 環はδ 環ですが、 𝜎 環ではない δ 環も存在します。

類似の概念

最初の性質が有限和（つまり、の場合）で閉包に弱められるが可算和では弱められない場合、 は環だが 𝜎環ではない。 ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

用途

測度論および積分理論の発展において、普遍集合が可測であることを要求しない場合、𝜎体（𝜎代数）の代わりに𝜎環を用いることができる。任意の𝜎体は𝜎環でもあるが、𝜎環は必ずしも𝜎体である必要はない。

の部分集合である𝜎環は、𝜎体を誘導します。定義すると、𝜎体は集合- 上の𝜎体になります。可算和集合の閉包性を確認するには、𝜎体環が可算交差集合の閉包性を持つことを思い出してください。実際、 𝜎体を含むすべての𝜎体に𝜎体が含まれる必要があるため、𝜎体を含む最小の𝜎体です。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{E\subseteq X:E\in {\mathcal {R}}\ {\text{or}}\ E^{c}\in {\mathcal {R}}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

参照

• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• 結合（シグマ代数）  – 集合代数の代数構造Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 𝜆システム（ディンキンシステム）  – 補集合と可算な離散和集合に関して閉じた族
• 測定可能な関数 – 数学関数の一種
• 単調な授業 – 測度論と確率定理Pages displaying short descriptions of redirect targets
• π系 – 交差に関して閉じた集合の族
• 集合環 – 和集合と相対補集合の下で閉じた集合族
• 標本空間 – 統計的試行または実験のすべての可能な結果の集合
• 𝜎 加法性 – マッピング関数
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• 𝜎-イデアル – 部分集合と可算和集合に関して閉じた族

参考文献

• ウォルター・ルーディン（1976年）『数学解析の原理』第3版、マグロウヒル社。最終章では、ルベーグ理論の発展において𝜎環を用いている。

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上の集合の族 ${\displaystyle \Omega }$ v t e
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督 ​ ${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数 （半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム （ディンキンシステム）				場合にのみ ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数 （𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター （フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても） ${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても） ${\displaystyle \cap }$				一度もない
必ず真である ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き ​	有限 交差	有限 結合	相対的な 補語	補完 する ${\displaystyle \Omega }$	可算 交差点	可算和 集合	含む ${\displaystyle \Omega }$	含む ${\displaystyle \varnothing }$	有限 交差 特性
さらに、半環とはπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半代数はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、 ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Sigma-ring&oldid=1232555588"