4段階

Four-vector analogue of the gradient operation

微分幾何学において、4 次元勾配(または4 次元勾配)は、ベクトル解析の勾配の4 ベクトル版です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\vec {\boldsymbol {\nabla }}}}$

特殊相対性理論と量子力学では、4 次元勾配はさまざまな物理的な 4 次元ベクトルとテンソル間の特性と関係を定義するために使用されます。

表記

この記事では(+ − − −) メトリック署名を使用します。

SR と GR はそれぞれ特殊相対性理論と一般相対性理論の略語です。

${\displaystyle c}$真空中の光の速度を示します。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$はSR の平坦な時空 計量です。

物理学では 4 つのベクトル式を記述する別の方法があります。

• 4ベクトル形式は、 のように使うことができます。これは通常、より簡潔で、ベクトル表記、（内積の「ドット」など）を使用できます。4ベクトルを表すときは常に太字の大文字を使用し、3空間ベクトルを表すときは太字の小文字を使用します（例： ）。3空間ベクトルの規則のほとんどには、4ベクトル数学における類似点があります。 ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$
• リッチ計算スタイルを使用できます：はテンソルのインデックス表記を使用し、 などの複数のインデックスを持つテンソルを含むような、特により複雑な式に役立ちます。 ${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$ ${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

ラテンテンソルのインデックスは{1, 2, 3} の範囲にあり、 3 空間ベクトルを表します (例: )。 ${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$

ギリシャテンソルの指数は{0, 1, 2, 3} の範囲にあり、 4 次元ベクトルを表します (例: ) 。 ${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$

SR 物理学では、通常、 などの簡潔なブレンドが使用されます。ここで、 は時間コンポーネントを表し、 は空間 3 コンポーネントを表します。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle a^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

SR のテンソルは通常、上位インデックスと下位インデックスを持つ 4D テンソルであり、4D は 4 つの次元 (つまり各インデックスが取ることができる値の数) を示します。 ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

ミンコフスキー計量で使用されるテンソル収縮はどちらの側にも進むことができる（アインシュタイン記法を参照）: ^{[1] : 56, 151–152, 158–161} $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

意味

4次元勾配共変成分を4ベクトルとリッチ計算記法で簡潔に記述すると次のようになる: ^{[2] [3] : 16} $${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

上記の最後の部分にあるコンマは、4 位に関する偏微分を意味します。 ${\displaystyle {}_{,\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

反変成分は以下の通りである: ^{[2] [3] : 16} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

の代替記号はおよびD です(ただし、ダランベール演算子を表すこともできます)。 ${\displaystyle \partial _{\alpha }}$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

一般相対性理論では、より一般的な計量テンソル とテンソル共変微分を使用する必要があります（ベクトル 3 勾配と混同しないでください）。 ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

共変微分は、クリストッフェル記号を介して4次元勾配と時空曲率効果を組み込んでいる。 ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

強い等価原理は次のように述べることができる: ^{[4] : 184}

「超対称性理論においてテンソル表記で表現できる物理法則は、曲がった時空の局所慣性系においても全く同じ形をとる。」超対称性理論における4次元のコンマ（,）は、一般相対性理論では共変微分セミコロン（;）に置き換えられ、両者の関係はクリストッフェル記号を用いて表される。これは相対性物理学において「コンマからセミコロンへの規則」として知られている。

つまり、たとえばSR の場合はGR になります。 ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

(1,0)-テンソルまたは4-ベクトルでは次のようになる: ^{[4] : 136–139} $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\[0.1ex]V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

(2,0)-テンソルでは次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

使用法

4 次元勾配は特殊相対論(SR)においてさまざまな方法で使用されます。

この記事全体を通して、SR の平坦な時空ミンコフスキー座標に対してはすべて正しい式ですが、一般相対性理論(GR)のより一般的な曲がった空間座標に対しては修正する必要があります。

4発散と保存則の源として

発散はベクトル演算子であり、ベクトル場の各点における発散源の量を表す符号付きスカラー場を生成します。この計量シグネチャ[+,−,−,−]において、4次元勾配は負の空間成分を持つことに注意してください。ミンコフスキー計量は対角[+1,−1,−1,−1]であるため、4次元ドット積をとるとこの成分は打ち消されます。

4次元位置 の4次元発散は時空の次元を与える。 ${\displaystyle X^{\mu }=\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$$

4次元電流密度 の4次元発散は保存則、すなわち電荷保存則を与える：^{[1] ：103–107} $${\displaystyle J^{\mu }=\left(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }}\right)=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$$

これは、電荷密度の時間変化率が電流密度の負の空間発散に等しくなければならないことを意味します。 ${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

言い換えれば、箱の中の電荷は勝手に変化することはできず、電流を介して箱に出入りする必要がある。これは連続の方程式である。

4次元フラックス（4次元ダスト）の4次元発散は粒子保存則に用いられる：^{[4] : 90–110} ${\displaystyle N^{\mu }=\left(nc,{\vec {\mathbf {n} }}\right)=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)=\left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$$

これは粒子数密度の保存則であり、典型的には重粒子数密度のようなものです。

電磁4次元ポテンシャル の4次元発散はローレンツゲージ条件で使用される：^{[1] ：105–107} ${\textstyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$$

これはEM 4 ポテンシャルの保存則に相当します。

弱場限界（つまり、発生源から遠くまで自由に伝播する）における重力放射を表す横方向のトレースレス 4D (2,0) テンソルの 4 次元発散。 ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

横方向条件は、自由に伝播する重力波の保存方程式と同等です。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

時空変換に伴う保存されたノイマンカレントとしての応力エネルギーテンソル の4次元発散は、SRにおける4つの保存則を与える：^{[4] ：101–106} ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

エネルギー保存則（時間方向）と線形運動量保存則（3 つの別々の空間方向）。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$$

これは次のように記述されることが多く、ここで単一のゼロは実際には 4 ベクトルのゼロであることが理解されています。 $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$$ ${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

完全流体の応力エネルギーテンソル（） ${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$の保存則と粒子数密度（ ）の保存則（どちらも 4 次元勾配を利用する）を組み合わせると、相対論的オイラー方程式を導くことができます。これは、流体力学と天体物理学において、特殊相対性理論の効果を考慮したオイラー方程式の一般化です。これらの方程式は、流体の 3 次元空間速度が光速よりもはるかに遅く、圧力がエネルギー密度よりもはるかに小さく、エネルギー密度が静止質量密度によって支配されている場合、古典的なオイラー方程式に簡約されます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {N} =0}$

平坦な時空と直交座標系を使用して、これを応力エネルギーテンソルの対称性と組み合わせると、角運動量（相対論的角運動量）も保存されることがわかります。ここで、このゼロは実際には (2,0) テンソルのゼロです。 $${\displaystyle \partial _{\nu }\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)=\left(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu }\right)_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$$

SRミンコフスキー計量テンソルのヤコビ行列として

ヤコビ行列は、ベクトル値関数のすべての 1 次偏微分からなる行列です。

4次元勾配が4次元位置に作用するとSRミンコフスキー空間計量が得られる: ^{[3] : 16} ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\left[\left(ct,{\vec {x}}\right)\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],\\[3pt]&={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]=\eta ^{\mu \nu }.\end{aligned}}}$$

ミンコフスキー計量の場合、成分 （合計されません）は、非対角成分がすべてゼロになります。 ${\displaystyle \left[\eta ^{\mu \mu }\right]=1/\left[\eta _{\mu \mu }\right]}$ ${\displaystyle \mu }$

デカルトミンコフスキー計量の場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

一般に、、ここで4Dクロネッカー デルタです。 ${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$ ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

ローレンツ変換を定義する方法として

ローレンツ変換はテンソル形式で次のように表される^{[4] ：69}と定数なので、 $${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{~\mu '}X^{\nu }}$$ ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$ $${\displaystyle {\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

したがって、4勾配の定義により $${\displaystyle \partial _{\nu }\left[X^{\mu '}\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial X^{\nu }}}\right)\left[X^{\mu '}\right]={\dfrac {\partial X^{\mu '}}{\partial X^{\nu }}}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$$

この恒等式は基礎的です。4次元勾配の成分は、4次元ベクトルの成分の逆変換に従って変換されます。したがって、4次元勾配は「典型的な」一次元形式です。

全固有時間微分の一部として

4次元速度 と4次元勾配のスカラー積は固有時間に関する全微分を与える：^{[1] ：58–59} ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}&=U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}\\{\frac {d}{d\tau }}&={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}\end{aligned}}}$$

がローレンツスカラー不変量であるという事実は、固有時間に関する全微分も同様にローレンツスカラー不変量であることを示しています。 ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

例えば、4次元速度は 4次元位置の固有時間に関する微分である。または ${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$$ $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\mathbf {U} }$$

別の例として、4次元加速度は 4次元速度の固有時間微分です。 ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} &=(\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot {\boldsymbol {\partial }}[\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }\left[U^{\nu }\right]\\&=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}\left[\gamma {\vec {u}}\right]\right)=\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)=\mathbf {A} \end{aligned}}}$$

または $${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$$

ファラデー電磁テンソルを定義し、マクスウェル方程式を導出する方法として

ファラデー電磁テンソルは 、物理系の時空における電磁場を記述する数学的対象である。 ^{[1] : 101–128  [5] : 314  [3] : 17–18  [6] : 29–30  [7] : 4} ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

4 次元勾配を適用して反対称テンソルを作成すると、次の式が得られます。ここで、 $${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$$

• 電磁4ポテンシャル、 4加速度と混同しないように ${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma \left(c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}}\right)}$
• 電気スカラー ポテンシャルは ${\displaystyle \phi }$
• 磁気3 次元ベクトルポテンシャルは ${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

4 次元勾配を再度適用し、4 次元電流密度を と定義すると、マクスウェル方程式のテンソル形式を導くことができます。 ここで、2 行目はビアンキ恒等式(ヤコビ恒等式) のバージョンです。 ${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =\left(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }}\right)}$ $${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$$ $${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$$

4波ベクトルを定義する方法として

波動ベクトルは波を表すベクトルです。他のベクトルと同様に、波動ベクトルは大きさと方向を持ち、どちらも重要です。大きさは波の波数または角波数（波長に反比例）のいずれかであり、方向は通常、波の伝播方向です。

4次元波動ベクトル はミンコフスキー空間における波の負位相の4次元勾配（または位相の負の4次元勾配）である：^{[6] ：387} ${\displaystyle K^{\mu }}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)={\boldsymbol {\partial }}[-\Phi ]=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$$

これは数学的には波（より具体的には平面波）の位相の定義と同等です。 $${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$$

ここで、4 位置は時間角周波数、は空間 3 空間波数ベクトル、はローレンツ スカラー不変位相です。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right],-\nabla \left[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla \left[-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}\right]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$$平面波とがまたはの明示的な関数ではないという仮定のもとに。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

SR平面波の明示的な形式は次のように書ける: ^{[7] : 9} ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

$${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$$ここでは（おそらく複素数の）振幅です。 ${\displaystyle A_{n}}$

一般的な波は複数の平面波の重ね合わせになります。 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$ $${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}\right]=\sum _{n}\left[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}\right]}$$

再び4勾配法、つまり複素数値平面波の4勾配版を使用する。 $${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} \left[Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}\right]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$$

ダランベルシアン演算子として

特殊相対論、電磁気学、波動論において、ダランベール作用素（ダランベールこうそく）は、ミンコフスキー空間のラプラス作用素である。ダランベール作用素は、ダランベール作用素、あるいは波動作用素とも呼ばれる。この作用素は、フランスの数学者であり物理学者でもあるジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられている。

の平方は4-ラプラシアンであり、ダランベール演算子と呼ばれる：^{[5] ：300  [3] ：17‒18  [6] ：41  [7] ：4} ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}=\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}.}$$

ダランベルシアンは 2 つの 4 ベクトルのドット積であるため、ローレンツ不変スカラーです。

3次元表記法に倣って、記号と がそれぞれ4次元勾配とダランベルシアンを表すために使用されることもあります。しかし、より一般的には、記号 はダランベルシアンにのみ使用されます 。 ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

ダランベルティアンで使用される 4 勾配の例をいくつか示します。

スピン0粒子（例：ヒッグス粒子） に対するクライン・ゴルドン相対論的量子波動方程式では、 $${\displaystyle \left[({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =\left[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

電磁場の波動方程式（ローレンツゲージを使用）では、 ${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)=0}$

• 真空中： $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mathbf {0} =0^{\alpha }}$$
• スピンの影響を除いた4つの電流源の場合： $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=\mu _{0}\mathbf {J} =\mu _{0}J^{\alpha }}$$
• スピンの影響を含む量子電気力学ソースの場合: $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})A^{\alpha }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\alpha }\psi }$$

どこ：

• 電磁4ポテンシャル は電磁ベクトルポテンシャルである ${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$
• 4-電流密度 は電磁電流密度である ${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=\left(\rho c,\mathbf {\vec {j}} \right)}$
• ディラックガンマ行列は スピンの効果を与える ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

重力波の波動方程式（同様のローレンツゲージを使用）^{[6] ：274–322}では、横方向のトレースレス2次元テンソルは弱場極限（つまり、発生源から自由に遠くまで伝播する）での重力放射を表しています。 ${\displaystyle \left(\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }\right)=0}$ $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$ ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

さらに条件は次のとおりです: ${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

• 純粋に空間的: $${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$$
• 痕跡なし: $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$$
• 横方向: $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$$

グリーン関数の 4 次元バージョンでは、 4Dデルタ関数は次のようになります。 $${\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})G\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]=\delta ^{(4)}\left[\mathbf {X} -\mathbf {X'} \right]}$$ $${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$$

4次元ガウスの定理/ストークスの定理/発散定理の構成要素として

ベクトル解析において、発散定理はガウスの定理やオストログラツキーの定理とも呼ばれ、面を通るベクトル場のフロー（つまり、フラックス）と面内のベクトル場の挙動を関連付ける結果です。より正確には、発散定理は、閉じた面を通るベクトル場の外向きのフラックスが、面内の領域での発散の体積積分に等しいと述べています。直感的には、すべてのソースの合計からすべてのシンクの合計を引いたものが、領域からの正味のフローを与えると述べています。ベクトル解析、およびより一般的には微分幾何学において、ストークスの定理（一般化ストークスの定理とも呼ばれる）は、多様体上の微分形式の積分に関する記述であり、ベクトル解析のいくつかの定理を簡略化および一般化します。

$${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left(\partial _{\mu }V^{\mu }\right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(V^{\mu }N_{\mu }\right)}$$またはどこで $${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X\left({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} \right)=\oint _{\partial \Omega }dS\left(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} \right)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$は、 ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$は、 ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$は、方向に沿った成分である ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N}$
• ${\displaystyle \Omega }$ミンコフスキー時空の4次元単連結領域である
• ${\displaystyle \partial \Omega =S}$独自の3Dボリューム要素を持つ3D境界である ${\displaystyle dS}$
• ${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$外向きの法線である
• ${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)\left(d^{3}x\right)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$4D微分体積要素である

相対論的解析力学におけるSRハミルトン・ヤコビ方程式の要素として

ハミルトン・ヤコビ方程式（HJE）は古典力学の定式化であり、ニュートンの運動法則、ラグランジアン力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同等である。ハミルトン・ヤコビ方程式は、力学問題自体が完全には解けない場合でも可能な場合がある、機械システムの保存量を特定するのに特に有用である。また、HJEは粒子の運動を波として表すことができる唯一の力学定式化でもある。この意味で、HJEは光の伝播と粒子の運動の類似性を見つけるという、理論物理学の長年の目標（少なくとも18世紀のヨハン・ベルヌーイにまで遡る）を達成した。

粒子の一般相対論的運動量は次のように表される^{[1] :93–96。}ここで、 ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$ $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$$ ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

これは本質的に、システムの全運動量4である。これは、最小結合則を用いた場におけるテスト粒子である。粒子の固有運動量に加え、粒子電荷を介して電磁4ベクトルポテンシャルとの相互作用によって生じる運動量が存在する。 ${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle q}$

相対論的なハミルトン・ヤコビ方程式は、全運動量を作用 の負の4次元勾配に等しく設定することによって得られます。 ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-{\boldsymbol {\partial }}[S]=\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)[S]}$$

時間的要素は次のようになります。 ${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

空間コンポーネントは次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\boldsymbol {\nabla }}}[S]}$

ハミルトニアンはどこにありますか。 ${\displaystyle H}$

これは実際には、4 波ベクトルが上記の位相の負の 4 勾配に等しいことに関係しています。 ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-{\boldsymbol {\partial }}[\Phi ]}$

HJEを得るには、まず4次元運動量に対するローレンツスカラー不変則を用いる。 $${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$$

しかし、最小結合規則から： $${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$$

それで： $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)\cdot \left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)=\left(\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\\\Rightarrow \left(-{\boldsymbol {\partial }}[S]-q\mathbf {A} \right)^{2}&=\left(m_{0}c\right)^{2}\end{aligned}}}$$

時間的要素と空間的要素に分解する: $${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-{\frac {\partial _{t}[S]}{c}}-{\frac {q\phi }{c}}\right)^{2}-({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}&=(m_{0}c)^{2}\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\\&\Rightarrow &({\boldsymbol {\nabla }}[S]-q\mathbf {a} )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}&=0\end{aligned}}}$$

ここで最後は相対論的なハミルトン・ヤコビ方程式です。

量子力学におけるシュレーディンガー関係の構成要素として

4 次元勾配は量子力学と関連しています。

4次元運動量 と4次元勾配の関係はシュレーディンガー量子力学関係を与える。^{[7] : 3–5} ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}}$ $${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar {\boldsymbol {\partial }}=i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

時間的要素は次のようになります。 ${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

空間コンポーネントは次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

これは実際には 2 つの別々のステップで構成できます。

第一に: ^{[1] : 82–84}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$$これは次の完全な 4 ベクトル バージョンです。

プランク・アインシュタイン関係（時間成分） ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

（空間成分）ド・ブロイ 物質波関係 ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

2位: ^{[5] : 300}

$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i{\boldsymbol {\partial }}=i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$これは複素数値平面波の波動方程式の4勾配版である。

時間的要素は次のようになります。 ${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

空間コンポーネントは次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

量子交換関係の共変形式の要素として

量子力学（物理学）において、正準交換関係は、正準共役量（定義により一方が他方のフーリエ変換であるような関連がある量）間の基本的な関係です。

• によると：^{[7] : 4} $${\displaystyle \left[P^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \left[\partial ^{\mu },X^{\nu }\right]=i\hbar \partial ^{\mu }\left[X^{\nu }\right]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$$
• 空間的な要素を考慮すると、 $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=i\hbar \eta ^{jk}}$$
• 以来、 ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$ $${\displaystyle \left[p^{j},x^{k}\right]=-i\hbar \delta ^{jk}}$$
• 以来、 ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$ $${\displaystyle \left[x^{k},p^{j}\right]=i\hbar \delta ^{kj}}$$
• そして、インデックスを再ラベルすると、通常の量子交換規則が得られます。 $${\displaystyle \left[x^{j},p^{k}\right]=i\hbar \delta ^{jk}}$$

相対論的量子力学における波動方程式と確率流の構成要素として

4次元勾配は、いくつかの相対論的波動方程式の要素である: ^{[5] : 300–309  [3] : 25, 30–31, 55–69}

スピン0粒子（例：ヒッグス粒子）に対するクライン・ゴルドン相対論的量子波動方程式では：^{[7] : 5} $${\displaystyle \left[\left(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

スピン1/2粒子（例えば電子）に対するディラックの相対論的量子波動方程式では：^{[7] : 130} $${\displaystyle \left[i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right]\psi =0}$$

ここで、はディラックのガンマ行列であり、は相対論的な波動関数です。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$クライン・ゴルドン方程式ではローレンツスカラー、ディラック方程式ではスピノルです。

ガンマ行列自体がSRの基本的な側面であるミンコフスキー計量を参照しているのは良いことだ：^{[7] : 130} $${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$$

4確率電流密度の保存は連続方程式から導かれる: ^{[7] : 6} $${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$$

4確率電流密度は相対論的に共変な表現を持つ: ^{[7] : 6} $${\displaystyle J_{\text{prob}}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

4価電流密度は電荷（q）と4価確率電流密度の積である：^{[7] : 8} $${\displaystyle J_{\text{charge}}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}\left(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*}\right)}$$

特殊相対論から量子力学と相対論的量子波動方程式を導くための重要な要素として

相対論的波動方程式は共変であるために4次元ベクトルを使用する。^{[3] [7]}

標準的なSR4ベクトルから始める: ^[1]

• 4ポジション ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(ct,{\vec {\mathbf {x} }}\right)}$
• 4速 ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {\mathbf {u} }}\right)}$
• 4-モメンタム ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4波ベクトル ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4勾配 ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\boldsymbol {\nabla }}}\right)}$

前のセクションの次の単純な関係に注意してください。各 4 ベクトルはローレンツ スカラーによって互いに関連しています。

• 4速度、固有時間はどこにあるか ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$ ${\displaystyle \tau }$
• 4-運動量、静止質量は ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$ ${\displaystyle m_{0}}$
• 4波ベクトル、これはプランク・アインシュタインの関係式とド・ブロイ物質波の関係式の4ベクトル版であ​​る。 ${\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {1}{\hbar }}\mathbf {P} }$
• 4勾配、これは複素数値平面波の4勾配バージョンである。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\partial }}=-i\mathbf {K} }$

ここで、それぞれに標準的なローレンツのスカラー積の規則を適用します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} &=c^{2}\\\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} &=(m_{0}c)^{2}\\\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} &=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\\{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

最後の方程式 (4 勾配スカラー積を含む) は基本的な量子関係です。

これをローレンツスカラー場に適用すると、量子相対論的波動方程式の中で最も基本的なクライン・ゴルドン方程式が得られる：^{[7] : 5–8} ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$$

シュレーディンガー方程式はクライン・ゴルドン方程式の低速度極限ケース（| v | ≪ c）である。^{[7] : 7–8}

量子関係をローレンツスカラー場の代わりに4次元ベクトル場に適用すると、プロカ方程式が得られる：^{[7] ：361} ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left[{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

静止質量項をゼロ（光のような粒子）に設定すると、自由マクスウェル方程式が得られます。 $${\displaystyle [{\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }}]A^{\mu }=0^{\mu }}$$

最小結合規則を使用すると、より複雑な形式や相互作用を導き出すことができます。

RQM共変微分（内部粒子空間）の構成要素として

現代の素粒子物理学では、 現在存在が知られている追加の RQM フィールド (内部粒子空間) を利用するゲージ共変微分を定義することができます。

古典的な電磁場計算から知られているバージョン（自然単位）は次の通りである: ^{[3] : 39} $${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}$$

現在知られている標準模型の基本的な相互作用の完全な共変微分（自然単位）は^{[3] ：35–53 である。}

$${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}{\frac {1}{2}}YB^{\mu }-ig_{2}{\frac {1}{2}}\tau _{i}\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}{\frac {1}{2}}\lambda _{a}\cdot G_{a}^{\mu }}$$または $${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldsymbol {\partial }}-ig_{1}{\frac {1}{2}}Y\mathbf {B} -ig_{2}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\tau }}_{i}\cdot \mathbf {W} _{i}-ig_{3}{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\lambda }}_{a}\cdot \mathbf {G} _{a}}$$

ここで、スカラー積の合計（）は、テンソルのインデックスではなく、内部空間を参照します。 ${\displaystyle \cdot }$

• ${\displaystyle B^{\mu }}$U(1)不変性= (1)電磁力 ゲージボソン
• ${\displaystyle W_{i}^{\mu }}$SU(2)不変性 = (3)弱い力ゲージボソン ( i = 1, …, 3)に対応する
• ${\displaystyle G_{a}^{\mu }}$SU(3)不変性 = (8)カラー力ゲージボソン ( a = 1, …, 8)に対応する

結合定数は 任意の数値であり、実験から発見する必要がある。非アーベル変換の場合、ある表現に対して結合定数が固定されれば、すべての表現に対して既知となることは強調しておく価値がある。 ${\displaystyle (g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle g_{i}}$

これらの内部粒子空間は経験的に発見された。^{[3] : 47}

導出

3次元において、勾配演算子はスカラー場をベクトル場に写像し、ベクトル場内の任意の2点間の線積分は、これら2点におけるスカラー場の差に等しくなります。これに基づくと、勾配を4次元に自然に拡張すると次のように表されるという 誤った解釈が生まれる かもしれません。これは誤りです。 $${\displaystyle \partial ^{\alpha }{\overset {?}{=}}\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right),}$$

しかし、線積分にはベクトル内積の適用が含まれ、これを4次元時空に拡張すると、使用される規約に応じて空間座標または時間座標の符号が変わります。これは時空の非ユークリッド的性質によるものです。本稿では、空間座標に負の符号を置きます（時間正計量規約）。係数（1/ c）は、4次元ベクトルのすべての要素に対して正しい単位次元（[長さ] ⁻¹ ）を維持するためであり、係数（−1）は4次元勾配ローレンツ共変量を維持するためです。上記の式にこれらの2つの補正を加えると、4次元勾配の正しい​​定義が得られます。 ^{[1] ：55–56  [3] ：16} ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)}$$

参照

• 4ベクトル
• 4ポジション
• 4速
• 4加速
• 4つの運動量
• 4つの力
• 4つの電流
• 4つの潜在性
• 4周波数
• 4波ベクトル
• 4スピン
• リッチ計算
• インデックス表記
• テンソル
• 反対称テンソル
• アインシュタイン記法
• インデックスの上げ下げ
• 抽象インデックス表記
• ベクトルの共変性と反変性

参考文献

参考文献に関する注意

物理学におけるスカラー、4 次元ベクトル、テンソルの使用に関して、著者によって同じ方程式に対してわずかに異なる表記法が使用されています。たとえば、不変静止質量には を使用する著者もいれば、不変静止質量には を使用し、相対論的質量には を使用しています。多くの著者は、およびの係数を無次元単位に設定しています。また、一部またはすべての定数を示している著者もいます。速度には を使用する著者もいれば、 を使用する著者もいます。4次元波動ベクトルとして を使用する著者もいます (任意の例を挙げると)。または 、、、などを使用する著者もいます。4次元波動ベクトルを と書く著者もいれば、、、、と書く著者もいます。4 次元ベクトル全体で次元の単位が一致するようにする著者もいれば、一致しない著者もいます。4 次元ベクトルの名前で時間要素を参照する著者もいれば、4 次元ベクトルの名前で空間要素を参照する著者もいます。本の中でこの 2 つを混在させ、最初は一方を使い、後でもう一方を使う場合もあります。(+ − − −)計量を用いるものもあれば、 (− + + +)計量を用いるものもあります。4次元ベクトルを使わず、すべて従来のEと3次元ベクトルpとして扱うものもあります。重要なのは、これらはすべて表記法のスタイルに過ぎず、中にはより明確で簡潔なものもあるということです。導出全体を通して一貫したスタイルを用いる限り、物理的な意味は同じです。^{[7] : 2–4} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle k_{\mu }}$ ${\displaystyle K^{\nu }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {k} ,{\frac {\omega }{c}}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},\mathbf {k} \right)}$ ${\displaystyle \left(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},k^{4}\right)}$ ${\displaystyle \left(k_{t},k_{x},k_{y},k_{z}\right)}$ ${\displaystyle \left(k^{1},k^{2},k^{3},ik^{4}\right)}$

1. リンドラー、ヴォルフガング (1991). 特殊相対論入門（第2版）. オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ. ISBN 0-19-853952-5。
2. ケンブリッジ物理学公式ハンドブック、G. ウォーン、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-57507-2
3. ケイン、ゴードン (1994). 『現代素粒子物理学：基本粒子と力』（改訂版）. アディソン・ウェズリー出版. ISBN 0-201-62460-5。
4. シュルツ、バーナード・F. (1985).一般相対論入門（第1版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-27703-5。
5. サドベリー、アンソニー (1986). 『量子力学と自然界の粒子：数学者のためのアウトライン』（第1版）ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-27765-5。
6. Carroll, Sean M. (2004).一般相対性理論入門：時空と幾何学（第1版）. Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-8053-8732-3。
7. グライナー、ウォルター (2000).相対論的量子力学：波動方程式（第3版）. シュプリンガー. ISBN 3-540-67457-8。

さらに読む

• S. ヒルデブラント著「解析学 II」（微積分学 II）、ISBN 3-540-43970-6、2003年
• LC Evans、「偏微分方程式」、AMSociety、Grad.Studies Vol.19、1988年
• JDジャクソン、「古典電気力学」第11章、Wiley ISBN 0-471-30932-X

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