Integral of the magnetic field
古典電磁気学 において 、 磁気ベクトルポテンシャル （しばしば A と表記される）は、 その 回転角が 磁場 B : と等しくなるように定義される ベクトル量である。 電気ポテンシャル φ と共に、磁気ベクトルポテンシャルは 電場 E を指定するためにも用いられる。したがって、多くの電磁気学方程式は 、 場 E と B 、あるいはそれと等価なポテンシャル φ と Aのいずれかを用いて記述することができる。 量子力学 などのより高度な理論では 、ほとんどの方程式が場ではなくポテンシャルを用いる。 ∇ × A = B {\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
磁気ベクトルポテンシャルは、 フランツ・エルンスト・ノイマン [1] と ヴィルヘルム・エドゥアルト・ウェーバー [2] によってそれぞれ1845年と1846年に アンペールの回路法則 を議論するために独立に導入されました。 [3] ウィリアム・トムソン も1847年にベクトルポテンシャルの現代版と、それを磁場に関連付ける公式を導入しました。 [4]
単位規則 この記事では SI 単位系を使用しています。
SI 単位系 では、 A の単位は V · s · m −1 または Wb · m −1 であり、 単位 電荷あたりの 運動量 、または 単位 電流あたりの 力 の単位と同じです 。
意味 磁気ベクトルポテンシャル は ベクトル場 であり 、 電位 は スカラー場 で、次式で 表される : [5] 。 ここで は 磁場 、 は 電場 で ある 。時間とともに変化する電流や 電荷分布 がない 静磁気学では、最初の式だけが必要である。( 電気力学 の文脈では、 ベクトルポテンシャル と スカラーポテンシャル という用語は、それぞれ 磁気ベクトルポテンシャル と 電位を表す ために使用される 。数学では、 ベクトルポテンシャル と スカラーポテンシャル は、より高次元に一般化することができる。) A {\displaystyle \mathbf {A} } ϕ {\displaystyle \phi } B = ∇ × A , E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t , {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},} B {\displaystyle \mathbf {B} } E {\displaystyle \mathbf {E} }
電場と磁場をポテンシャルから上記のように定義すると、それらは マクスウェル方程式の うち2つ、 すなわち磁気に関するガウスの法則 と ファラデーの法則 を自動的に満たします。例えば、 が連続かつどこでも明確に定義されている場合、 磁気単極子 が生じないことが保証されます。（磁気単極子の数学的理論では、 は 定義されない場合や、場合によっては多値となることが許容されます 。詳細は 磁気単極子の項を参照してください。） A {\displaystyle \mathbf {A} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
上記の定義から始めて、回転の発散はゼロであり、勾配の回転はゼロベクトルであることを覚えておいてください。 ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 , ∇ × E = ∇ × ( − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × A ) = − ∂ B ∂ t . {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}}
あるいは、ヘルムホルツの定理 を用いて、これら2つの法則から と の 存在が保証されます 。例えば、磁場は 発散 なし（磁気に関するガウスの法則、すなわち ）であるため、 上記の定義を満たす が常に存在します。 A {\displaystyle \mathbf {A} } ϕ {\displaystyle \phi } ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} A {\displaystyle \mathbf {A} }
ベクトルポテンシャルは、 古典力学 および 量子力学 における ラグランジアン 研究に使用されます（ 荷電粒子のシュレーディンガー方程式 、 ディラック方程式 、 アハラノフ・ボーム効果を 参照 ）。 A {\displaystyle \mathbf {A} }
最小結合 では 、 は潜在的運動量と呼ばれ、 標準運動量 の一部になります。 q A {\displaystyle q\mathbf {A} }
閉ループ 上 の の 線 積分 は、それが囲む 表面 を通る 磁束 に 等しいです。 A {\displaystyle \mathbf {A} } Γ {\displaystyle \Gamma } Φ B {\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }} S {\displaystyle S} ∮ Γ A ⋅ d Γ = ∬ S ∇ × A ⋅ d S = Φ B . {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.}
したがって、 の単位は ウェーバー 毎 メートル とも等価です 。上記の式は、 超伝導ループ の 磁束量子化 に役立ちます。 A {\displaystyle \mathbf {A} }
クーロンゲージにおいては 、ベクトルポテンシャルと磁場の関係は アンペールの法則 と形式的に類似している。したがって、与えられた磁場のベクトルポテンシャルを求める際には、電流分布が与えられた場合に磁場を求めるのと同じ方法を用いることができる。 ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0} ∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
磁場 は 擬ベクトル （ 軸ベクトル とも呼ばれる）であるが 、ベクトルポテンシャルは 極ベクトル である 。 [6] これは、 外積 の 右手の法則 を左手の法則に置き換えた場合、他の方程式や定義を変更しないと、 の 符号は反転するが、 A は 変化しないことを意味する。これは、極ベクトルの回転は擬ベクトルであり、その逆もまた同様であるという一般的な定理の例である。 [6] B {\displaystyle \mathbf {B} } A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
クーロンゲージにおける静磁気 磁気静力学 において クーロンゲージを課すと、 静電気学 における と の間には類似性がある 。 [7] 静電方程式と同様に ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0} A , J {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {J} } V , ρ {\displaystyle V,\rho } ∇ 2 A = − μ 0 J {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} } ∇ 2 V = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
同様に積分して電位を求めることもできます。 電位 の式と同じです 。 A ( r ) = μ 0 4 π ∫ R J ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{R}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'} V ( r ) = 1 4 π ε 0 ∫ R ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'}
潜在的な勢いとしての解釈 ニュートンの第 2 法則を ローレンツ力の法則 と 等しくすると、 [7] が得られます 。これに速度を点として加えると、次の式が得られます。 外積 の点 積が 0 の場合、 上記の式に と の 対流微分を 代入する
と、次の式が得られます。これは 、速度依存ポテンシャル の観点から 見た「一般化エネルギー」の時間微分を示し 、
これは 、同じ速度依存ポテンシャルの (マイナス) 勾配の観点から見た 一般化運動量 の時間微分を示します。 m d v d t = q ( E + v × B ) . {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).} d d t ( 1 2 m v 2 ) = q v ⋅ ( E + v × B ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)=q\mathbf {v} \cdot \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).} E = − ∇ ϕ − ∂ A ∂ t , {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},} ϕ {\displaystyle \phi } d d t ( 1 2 m v 2 + q ϕ ) = ∂ ∂ t q ( ϕ − v ⋅ A ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}+q\phi \right)={\frac {\partial }{\partial t}}q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)} 1 2 m v 2 + q ϕ {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+q\phi } q ( ϕ − v ⋅ A ) {\displaystyle q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)} d d t ( m v + q A ) = − ∇ q ( ϕ − v ⋅ A ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mv+q\mathbf {A} \right)=-\nabla q\left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)} m v + q A {\displaystyle m\mathbf {v} +q\mathbf {A} }
したがって、速度依存ポテンシャルの（偏）時間微分 がゼロのとき、一般化エネルギーは保存され、同様に勾配がゼロのとき、一般化運動量は保存される。特別な場合として、ポテンシャルが時間対称または空間対称である場合、それぞれ一般化エネルギーまたは運動量は保存される。同様に、電場は 一般化角運動量に寄与し、回転対称性は各成分の保存則を与える。 q ( ϕ − v ⋅ A ) {\displaystyle q(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )} q r × A {\displaystyle q\mathbf {r} \times \mathbf {A} }
相対論的には、次の単一の方程式が成り立ちます 。 d d τ ( p μ + q A μ ) = ∂ ν ( U μ ⋅ A μ ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(p^{\mu }+qA^{\mu }\right)=\partial _{\nu }\left(U^{\mu }\cdot A^{\mu }\right)}
τ {\displaystyle \tau } 適切な時期 です 、 p μ {\displaystyle p^{\mu }} 4つの運動 量 ( E / c , γ m v ) {\displaystyle (E/c,\gamma m\mathbf {v} )} U μ {\displaystyle U^{\mu }} 4つの 速度 γ ( c , v ) {\displaystyle \gamma (c,\mathbf {v} )} A μ {\displaystyle A^{\mu }} 4つの可能 性 ( ϕ / c , A ) {\displaystyle (\phi /c,\mathbf {A} )} ∂ ν {\displaystyle \partial _{\nu }} 4つの 勾配 ( ∂ ∂ ( c t ) , − ∇ ) {\displaystyle ({\frac {\partial }{\partial \left(ct\right)}},-\nabla )}
荷電粒子の解析力学 電位と磁気ポテンシャルを 持つ場において 、質量 と電荷を 持つ粒子の ラグランジアン （ ）と ハミルトニアン （ ） は、 ϕ {\displaystyle \ \phi \ } A {\displaystyle \ \mathbf {A} } L {\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ } H {\displaystyle \ {\mathcal {H}}\ } m {\displaystyle \ m\ } q {\displaystyle \ q\ } L = 1 2 m v 2 + q v ⋅ A − q ϕ , H = 1 2 m ( p − q A ) 2 + q ϕ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}m\ \mathbf {v} ^{2}+q\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} -q\ \phi \ ,\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\ \phi ~.\end{aligned}}}
一般化された運動量 は です 。一般化された力は です 。これらは前のセクションで示した量と全く同じです。この枠組みでは、保存則は ノイマンの定理 から導かれます。 p {\displaystyle \mathbf {p} } ∂ L ∂ v = m v + q A {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v}}=m\mathbf {v} +q\mathbf {A} } ∇ L = − q ∇ ( ϕ − v ⋅ A ) {\displaystyle \nabla {\mathcal {L}}=-q\nabla \left(\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)}
例: ソレノイド 電荷の荷電粒子が、 の方向に向いたソレノイドの外側に 距離 離れており 、突然電源が切られたとします。 ファラデーの電磁誘導の法則 により、粒子に に等しいインパルスを与える電界が誘導されます。 ここでは ソレノイドの断面積を通る 初期の 磁束です。 [8] q {\displaystyle q} r {\displaystyle r} z {\displaystyle z} q Φ 0 / 2 π r ϕ ^ {\displaystyle q\Phi _{0}/2\pi r{\hat {\phi }}} Φ 0 {\displaystyle \Phi _{0}}
この問題は、一般化された運動量保存の観点から分析することができる。 [7] アンペールの法則との類似性を用いると、磁気ベクトルポテンシャルは となる 。 が保存されるため、ソレノイドをオフにした後、粒子の運動量は A ( r ) = Φ 0 / 2 π r ϕ ^ {\displaystyle \mathbf {A} (r)=\Phi _{0}/2\pi r{\hat {\phi }}} p + q A {\displaystyle \mathbf {p} +q\mathbf {A} } q A = q Φ 0 / 2 π r ϕ ^ {\displaystyle q\mathbf {A} =q\Phi _{0}/2\pi r{\hat {\phi }}}
さらに、対称性により、一般化角運動量の成分は保存されます。この配置の ポインティングベクトル を見ると 、磁場はソレノイドに沿う非ゼロの全角運動量を持っていることがわかります。これが磁場に伝達される角運動量です。 z {\displaystyle z}
ゲージの選択 上記の定義は、磁気ベクトルポテンシャルを一意に定義するものではありません。なぜなら、定義により、 観測される磁場を変化させることなく、磁気ポテンシャルに 回転 のない成分を任意に追加できるからです。したがって、を選択する際には 自由度があります。この条件は ゲージ不変性 として知られています 。 A {\displaystyle \mathbf {A} }
一般的なゲージの選択肢は2つあります
ローレンツ ゲージ ： ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0} クーロン ゲージ ： ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
ローレンツゲージ 他のゲージでは、と の 式は 異なります。たとえば、別の可能性については クーロン ゲージを 参照してください。 A {\displaystyle \mathbf {A} } ϕ {\displaystyle \phi }
時間領域 上記のポテンシャルの定義を他の2つのマクスウェル方程式（自動的に満たされないもの）に適用すると、複雑な微分方程式が得られるが、これは ローレンツゲージ を使用して簡略化することができ、ここで次 を満たすように選択される： [5] A {\displaystyle \mathbf {A} } ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}
ローレンツゲージを用いると、 電磁波方程式は ポテンシャルを用いて簡潔に記述することができる。 [5]
スカラーポテンシャルの波動方程式 ∇ 2 ϕ − 1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 = − ρ ϵ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\ \partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\end{aligned}}} ベクトルポテンシャルの波動方程式 ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 J {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\ \partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\ \mathbf {J} \end{aligned}}} 両方のポテンシャルが無限大に近づくにつれて十分速くゼロになるという境界条件を持つ ローレンツゲージにおけるマクスウェル方程式の解（ファインマン [5] およびジャクソン [9]を参照）は 遅延ポテンシャルと呼ばれ、 電流密度 、 電荷密度 、 体積の 電流分布による 磁気ベクトルポテンシャル と電気スカラーポテンシャルであり 、その中で 、およびは 少なくとも時々、そしていくつかの場所ではゼロでなくなります。 A ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)} ϕ ( r , t ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)} J ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)} ρ ( r , t ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)} Ω {\displaystyle \Omega } ρ {\displaystyle \rho } J {\displaystyle \mathbf {J} }
ソリューション A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ Ω J ( r ′ , t ′ ) R d 3 r ′ ϕ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ Ω ρ ( r ′ , t ′ ) R d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}} ここで、位置ベクトル と時間 における電場は、 より前の時刻における 離れた位置の源から計算される。 位置とは、 電荷分布または電流分布（体積 内の積分変数でもある ）における源点である。より前の時刻は 遅延時間 と呼ばれ 、以下のように計算される
。 r {\displaystyle \mathbf {r} } t {\displaystyle t} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} t ′ . {\displaystyle t'.} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} Ω {\displaystyle \Omega } t ′ {\displaystyle t'} R = ‖ r − r ′ ‖ . {\displaystyle R={\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.} t ′ = t − R c . {\displaystyle t'=t-{\frac {\ R\ }{c}}~.}
これらの方程式では、
∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t = 0 . {\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.} と の値が求められる点 の位置は、 から へ のスカラー距離の一部としてのみ方程式に含まれます。 から への方向は 方程式には含まれません。ソースポイントに関して重要なのは、それがどれだけ離れているかだけです。 r {\displaystyle \mathbf {r} } ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r . {\displaystyle \mathbf {r} .} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r {\displaystyle \mathbf {r} } 積分関数は 遅延時間 を用いている。 これは、光源の変化が光速で伝播するという事実を反映している。したがって、 遠隔地から およびにおける電位および磁気ポテンシャルに影響を与える電荷密度および電流密度 も、それ以前のある時点に存在する必要がある。 t ′ . {\displaystyle t'.} r {\displaystyle \mathbf {r} } t {\displaystyle t} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} t ′ . {\displaystyle t'.} の式は ベクトル方程式です。直交座標系では、この式は3つのスカラー方程式に分解されます。 [10] この形式では、与えられた方向の の成分は、同じ方向 の の成分のみに依存することが明らかです 。電流が直線の導線に流れる場合、 は 導線と同じ方向を向きます。 A {\displaystyle \mathbf {A} } A x ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ Ω J x ( r ′ , t ′ ) R d 3 r ′ , A y ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ Ω J y ( r ′ , t ′ ) R d 3 r ′ , A z ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ Ω J z ( r ′ , t ′ ) R d 3 r ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}} A {\displaystyle \mathbf {A} } J {\displaystyle \mathbf {J} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
周波数領域 前述の時間領域方程式は周波数領域で表現することができる。 [11] : 139
ローレンツゲージ または ∇ ⋅ A + j ω c 2 ϕ = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {j\omega }{c^{2}}}\phi =0\qquad } ϕ = j ω k 2 ∇ ⋅ A {\displaystyle \qquad \phi ={\frac {j\omega }{k^{2}}}\nabla \cdot \mathbf {A} } ソリューション A ( r , ω ) = μ 0 4 π ∫ Ω J ( r ′ , ω ) R e − j k R d 3 r ′ ϕ ( r , ω ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ Ω ρ ( r ′ , ω ) R e − j k R d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\qquad \phi \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '} 波動方程式 ∇ 2 ϕ + k 2 ϕ = − ρ ϵ 0 ∇ 2 A + k 2 A = − μ 0 J . {\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\ \mathbf {J} .} 電磁場方程式 B = ∇ × A E = − ∇ ϕ − j ω A = − j ω A − j ω k 2 ∇ ( ∇ ⋅ A ) {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -j\omega \mathbf {A} =-j\omega \mathbf {A} -j{\frac {\omega }{k^{2}}}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )} どこ
ϕ {\displaystyle \phi } および はスカラー 位相器 です。 ρ {\displaystyle \rho } A , B , E , {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {E} ,} および はベクトル 位相器 です。 J {\displaystyle \mathbf {J} } k = ω c {\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}} この方法
に関して、 また計算 に関して注目すべき点がいくつかあります。 A {\displaystyle \mathbf {A} } ϕ {\displaystyle \phi }
ローレンツ ゲージ条件は 満たされます。 これは、周波数領域の電位、が 電流密度分布、から完全に計算できることを意味します 。 ϕ = − c 2 j ω ∇ ⋅ A . {\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {c^{2}}{j\omega }}\nabla \cdot \mathbf {A} .} ϕ {\displaystyle \phi } J {\displaystyle \mathbf {J} } と の値が見つかる点 の位置は、 から へ の スカラー距離の一部としてのみ方程式に含まれます。 から への方向は 方程式には含まれません。ソースポイントに関して重要なのは、それがどれだけ離れているかだけです。 r , {\displaystyle \mathbf {r} ,} ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r . {\displaystyle \ \mathbf {r} .} r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r {\displaystyle \mathbf {r} } 積分関数は、 遅延時間 に相当する役割を果たす 位相シフト 項を用いています 。これは、光源の変化が光速で伝播するという事実を反映しており、時間領域における伝播遅延は周波数領域における位相シフトに相当します。 e − j k R {\displaystyle e^{-jkR}} の式は ベクトル方程式です。直交座標系では、この式は3つのスカラー方程式に分解されます。 [10] この形式では、与えられた方向の の成分は、同じ方向 の の成分のみに依存することが明らかです 。電流が直線の導線に流れる場合、 は 導線と同じ方向を向きます。 A {\displaystyle \mathbf {A} } A x ( r , ω ) = μ 0 4 π ∫ Ω J x ( r ′ , ω ) R e − j k R d 3 r ′ , A y ( r , ω ) = μ 0 4 π ∫ Ω J y ( r ′ , ω ) R e − j k R d 3 r ′ , A z ( r , ω ) = μ 0 4 π ∫ Ω J z ( r ′ , ω ) R e − j k R d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{x}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{y}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{y}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{z}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{z}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}} A {\displaystyle \mathbf {A} } J {\displaystyle \ \mathbf {J} \ } A {\displaystyle \mathbf {A} }
Aフィールドの描写 円形断面のトロイダル インダクタの周囲の クーロン ゲージ 磁気ベクトルポテンシャル 、磁束密度 、電流密度 場 を表しています 。太い線は平均強度の高い磁力線を示します。コア断面内の円は 図から出ていく磁力線を表し、プラス記号は 図に入ってくる磁力線を表します。 が仮定されています。 A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } J {\displaystyle \mathbf {J} } B {\displaystyle \ \mathbf {B} } B {\displaystyle \mathbf {B} } ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0} 細長い ソレノイドの 周囲の磁場の描写については ファインマン [12] を参照。 A {\displaystyle \mathbf {A} }
準静的条件を仮定する と
、すなわち ∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J} }
∂ E ∂ t → 0 {\displaystyle {\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\ } そして 、 ∇ × A = B {\displaystyle \ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} } の線と輪郭は と関連しており、 の線と輪郭は と関連しています。したがって、磁束 のループの周囲のフィールド の描写( トロイダルインダクタ で生成されるもの) は 、電流のループの周囲のフィールドの描写 と質的に同じです。 A {\displaystyle \ \mathbf {A} \ } B {\displaystyle \ \mathbf {B} \ } B {\displaystyle \mathbf {B} } J . {\displaystyle \ \mathbf {J} .} A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
右の図は、この 場を描いたものです。太い線は平均強度が高い経路を示しています（経路が短いほど強度が高くなるため、経路積分は同じになります）。これらの線は、場の全体的な外観を（美的に）伝えるために描かれています 。 A {\displaystyle \mathbf {A} } A {\displaystyle \mathbf {A} }
この図は 、以下のいずれかの仮定のもとで が真であることを暗黙的に想定しています。 ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
クーロン ゲージ が仮定される ローレンツ ゲージ が仮定され、電荷の分布は存在しない。 ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} ローレンツ ゲージ が仮定され、周波数はゼロであると仮定される ローレンツ ゲージ と非ゼロ周波数が仮定されているが、項を無視できるほど十分に低いと仮定されている。 1 c ∂ ϕ ∂ t {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}
電磁四電位 特殊相対性理論 の文脈では 、磁気ベクトルポテンシャルを（スカラー） 電位と一緒に電磁 ポテンシャル（ 4元ポテンシャル とも呼ばれる） に結合するのが自然です 。
そうする理由の一つは、四元ポテンシャルが数学的な 四元ベクトル であるということです。したがって、標準的な四元ベクトル変換規則を用いると、ある慣性座標系における電位と磁気ポテンシャルが既知であれば、他の慣性座標系においても簡単に計算できます。
関連するもう一つの動機は、特にローレンツゲージ を用いる 場合、電磁四元ポテンシャルを用いて古典電磁気学の内容を簡潔かつ簡便な形で記述できるという点である。特に、 抽象指数記法において、（ローレンツゲージにおける） マクスウェル方程式 の集合は（ ガウス単位 で）以下のように 記述できる。 ここで 、 は ダランベルシアン 、は 四元カレント である 。最初の方程式は ローレンツゲージ条件 であり、2番目の方程式にはマクスウェル方程式が含まれる。四元ポテンシャルは 量子電磁力学 においても非常に重要な役割を果たしている。 ∂ ν A ν = 0 ◻ 2 A ν = 4 π c J ν {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}} ◻ 2 {\displaystyle \ \Box ^{2}\ } J {\displaystyle \ J\ }
参照
注記 ^ ノイマン、フランツ・エルンスト (1846 年 1 月 1 日)。 「Allgemeine Gesetze der induzirten elektrischen Ströme (誘導電流の一般法則)」。 アンナレン・デア・フィジーク 。 143 (11): 31–34 . 土井 :10.1002/andp.18461430103。 ^ WE ウェーバー、Elektrodymische Maassbestimungen、uber ein allgemeines Grundgesetz der elektrischen Wirkung、Abhandlungen bei Begrund der Koniglichen Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften (ライプツィヒ、1846)、211–378 ページ [WE ウェーバー、ヴィルヘルム ウェーバーのウェルクス、Vols. 1–6 (ベルリン、1892–1894); Vol. 3、25–214ページ]。 ^ Wu, ACT; Yang, Chen Ning (2006-06-30). 「基本相互作用の記述におけるベクトルポテンシャル概念の進化」 . International Journal of Modern Physics A. 21 ( 16): 3235– 3277. Bibcode :2006IJMPA..21.3235W. doi :10.1142/S0217751X06033143. ISSN 0217-751X. ^ Yang, ChenNing (2014). 「マクスウェル方程式とゲージ理論の概念的起源」. Physics Today . 67 (11): 45– 51. Bibcode :2014PhT....67k..45Y. doi :10.1063/PT.3.2585. ^ abcd ファインマン (1964)、第15章 ^ ab リチャード・フィッツパトリック. 「テンソルと擬テンソル」（講義ノート）. テキサス州オースティン： テキサス大学 . ^ abc Mark D. SemonとJohn R. Taylor (1996). 「磁気ベクトルポテンシャルに関する考察」 . American Journal of Physics . 64 (11): 1361– 1369. Bibcode :1996AmJPh..64.1361S. doi :10.1119/1.18400. ^ ファインマン, リチャード・P. ; レイトン, ロバート・B. ; サンズ, マシュー (1964). "17". ファインマン物理学講義 第2巻. アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-201-02115-8 。 ^ ジャクソン（1999）、246ページ ^ アブ ・クラウス（1984）、189ページ ^ Balanis, Constantine A. (2005)、 アンテナ理論 （第3版）、John Wiley、 ISBN 047166782X ^ ファインマン（1964年）、11ページ、15節
参考文献
外部リンク ウィキメディア・コモンズの磁気ベクトルポテンシャルに関連するメディア 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\ \partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57681351d90e4903479c0b394063dd3498cb94e8)
