シーケンス空間

Vector space of infinite sequences

関数解析や数学の関連分野において、数列空間（すうれいかんげんそく、英: sequence space）は、実数または複素数の無限数列を要素とするベクトル空間である。同様に、数列空間は、自然数から実数または複素数の体⁠ ⁠への関数を要素とする関数空間でもある。このような関数全体の集合は、 ⁠ ⁠を要素とするすべての可能な無限数列の集合と自然に同一視され、関数の点ごとの加算や点ごとのスカラー乗算の演算によってベクトル空間に変換できる。すべての数列空間はこの空間の線型部分空間である。数列空間は通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

解析学において最も重要な列空間は、 ⁠ ⁠ のべき乗の加法列から成り、 ⁠ ⁠ノルムを持つ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$空間です。これらは、自然数集合上の計数測度の⁠ ⁠空間の特殊なケースです。収束列やヌル列などの他の重要な列のクラスは、それぞれ⁠ ⁠および⁠ ⁠と表記され、⁠ ⁠ ノルムを持つ列空間を形成します。任意の列空間は点収束の位相を備えることができ、その位相の下ではFK 空間と呼ばれる特別な種類のフレシェ空間になります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{0}}$

意味

セット⁠ ⁠内のシーケンスは、 ⁠ ⁠における値が通常の括弧表記⁠ ⁠ではなく⁠ ⁠で表される⁠ ⁠値マップです。 ${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x(n)}$

すべてのシーケンスの空間

⁠ ⁠ を ${\displaystyle \mathbb {K} }$実数体または複素数体とします。⁠​​ ⁠の元からなるすべての列の集合⁠ ⁠は、 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$成分ごとの加算と成分ごとのスカラー乗算のためのベクトル空間です。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$$ $${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$$

シーケンス空間は、 ⁠ ⁠の任意の線形部分空間です。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

位相空間⁠ ⁠は、自然に ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$積位相を備える。この位相の下では、⁠ ⁠は ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$フレシェ であり、完備、計量化可能、局所凸位相 ベクトル空間(TVS)であることを意味する。しかし、この位相はかなり病的である。 ⁠ ⁠には連続ノルムが存在しない（したがって、積位相はいかなるノルムによっても定義できない）。^[1] フレシェ空間の中で、⁠ ⁠ が連続ノルムを持たないという点は極めて小さい。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

定理^[1] — ⁠ ⁠を ${\displaystyle X}$⁠ ⁠上のフレシェ空間とする。このとき、以下は同値である。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$

1. ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$は連続ノルムを許容しません（つまり、⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$上の任意の連続半ノルムは非自明な零空間を持ちます）。
2. ⁠ ⁠には ${\displaystyle X}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$と TVS 同型のベクトル部分空間が含まれます。
3. ⁠ ⁠には ${\displaystyle X}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$と TVS 同型の補ベクトル部分空間が含まれます。

しかし、積位相も避けられません。⁠ ⁠は ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$厳密に粗いハウスドルフ局所凸位相を許容しません。 ^[1] そのため、シーケンスの研究は、興味のある厳密な線形部分空間を見つけ、それに部分空間位相とは異なる位相を与えることから始まります。

ℓ ^pスペース

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0<p<\infty }$の場合、⁠ ⁠は ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$の部分空間であり、次の式を満たすすべてのシーケンスから構成される。 ${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

⁠ ⁠ ${\displaystyle p\geq 1}$ならば、 ⁠ ⁠によって定義される⁠ ⁠上の実数値関数は⁠ ⁠上のノルムを定義します。実際、⁠ ⁠はこのノルムに関して完備な距離空間であるため、バナッハ空間となります。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}~=~{\Bigl (}\sum _{n}|x_{n}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}}$$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle p=2}$ならば⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$は、その標準内積と呼ばれるものを与えられたときにもヒルベルト空間となる。ユークリッド内積 は、すべての⁠⁠ ${\displaystyle \textstyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$に対して 。この内積によって誘導される標準ノルムは通常の⁠⁠ノルムであり、すべての⁠⁠。 $${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}\!}}\,y_{n}.}$$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle p=\infty }$の場合、⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$はノルムが備わった すべての有界シーケンスの空間として定義され、⁠ ⁠もバナッハ空間です。 $${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0<p<1}$の場合、⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$はノルムではなく、次のように定義される測定基準を持ちます。 $${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.}$$

c、c ₀そしてc ₀₀

収束列とは、存在する列のことである。 ${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$すべての収束するシーケンスの ⁠ ⁠ は⁠⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }<}$のベクトル部分空間と呼ばれ収束列の空間。すべての収束列は有界なので、⁠⁠ ${\displaystyle c}$⁠⁠ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$の線型部分空間である。さらに、この列空間は上限ノルムに関して⁠⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$ため、このノルムに関してバナッハ空間となる。

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$に収束するシーケンスは空シーケンスと呼ばれ、は消える。⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$に収束するすべてのシーケンスの集合は⁠⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$の閉ベクトル部分空間であり最大ノルムが与えられると、次のように表されるバナッハ空間になる。⁠ ⁠ ${\displaystyle c_{0}}$と呼ばれ、ヌルシーケンスの空間または消失系列の空間。

その最終的にゼロとなるシーケンスの空間、⁠ ⁠ ${\displaystyle c_{00}}$は⁠⁠ ${\displaystyle c_{0}}$の部分空間であり、有限個の非零元のみを持つすべての列からなる。これは閉部分空間ではないため、無限大ノルムに関してバナッハ空間ではない。例えば、最初の要素（ に対してに対してが、それ以外のすべての要素（つまり）コーシー列でが、 において 列に収束しない。 ${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{nk}=1/k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }={}\!}$ ${\displaystyle {\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}},\ldots ,{}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}},{\tfrac {1}{n}},{}}$ ${\displaystyle 0,0,\ldots {\bigr )}}$ ${\displaystyle c_{00}.}$

すべての有限列の空間

させて $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$$

⁠ ⁠上の有限列の空間 を表します。ベクトル空間としては⁠ ⁠と等しいですが、⁠ ⁠ は異なる位相を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$

あらゆる自然数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$に対して、⁠ ⁠は ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$ユークリッド位相を備えた通常のユークリッド空間を表し、 は標準的な包含を表すもの とする。各包含の像は、したがって、 ${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right).}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$ $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$$

この包含族は最終的な位相⁠ ⁠を与えます ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$。これは、すべての包含が連続するような⁠ ⁠上の最も微細な位相として定義されます（整合位相の例）。この位相により、⁠ ⁠は、フレシェ–ウリゾーン ではない、完備、ハウスドルフ、局所凸、逐次、位相ベクトル空間になります。この位相⁠ ⁠は、 ⁠ ⁠によって⁠ ⁠上に誘導される部分空間位相よりも厳密に微細です。 ${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$における収束は自然な記述が可能です。つまり、⁠ ⁠が⁠ ⁠内のシーケンスである場合、 ⁠ ⁠が⁠ ⁠内のシーケンスである場合、かつ⁠ ⁠が最終的に単一のイメージに含まれ、そのイメージの自然なトポロジー下に ある場合にのみ、 ⁠ ⁠ が⁠ ⁠に収束します。 ${\displaystyle \textstyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$

多くの場合、各像は対応する⁠ ⁠と同一視されます。具体的には、元と が同一視されます。これは、 上の部分空間位相、写像 からの商位相、および⁠ ⁠上のユークリッド位相がすべて一致するという事実によって容易になります。この同一視により、 は、すべての包含が末尾にゼロを追加する 有向系の直接極限となります。 これは、がLB空間であることを示しています。 ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ $${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right).}$$ ${\displaystyle \textstyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$

その他のシーケンス空間

有界級数の空間（bsで表す）は、次の数列の空間である。 ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert }<\infty .}$$

このスペースは、標準装備されている場合 $${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert },}$$

は線型写像を介してバナッハ空間に等長同型である。 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty },}$ $${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr )}_{n\in \mathbb {N} }.}$$

すべての収束級数から構成される部分空間は、この同型性のもとで空間⁠ ⁠に移行する部分空間です。 ${\displaystyle cs}$ ${\displaystyle c}$

空間⁠ ⁠ ${\displaystyle \Phi }$またはは、有限個の非零項（有限台を持つ数列）のみを含む無限数列全体の成す空間として定義されます。この集合は多くの数列空間において稠密です。 ${\displaystyle c_{00}}$

の特性ℓ ^p空間と空間c ₀

空間⁠ ⁠は、 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$内積によって誘導される任意のノルムが平行四辺形法則を満たすため、ヒルベルト空間である唯一の⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$空間である。

$${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$$

⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$に2つの異なる単位ベクトルを代入すると、⁠ ⁠ ${\displaystyle p=2}$でない限り恒等式が真ではないことが直接示されます。

各⁠ ⁠は、 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$のときはいつでも⁠ ⁠の厳密な部分集合であるという点で異なります。さらに、⁠ ⁠のときは⁠ ⁠ は⁠ ⁠と線型同型ではありません。実際、ピットの定理 (Pitt 1936) によれば、⁠ ⁠から⁠ ⁠へのすべての有界線型演算子は⁠ ⁠のときにコンパクトです。そのような演算子は同型にはなれません。さらに、 ⁠ ⁠の任意の無限次元部分空間上で同型にはなれないため、厳密に特異であると言われます。 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{s}}$ ${\displaystyle p<s}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{s}}$ ${\displaystyle p\neq s}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{s}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p<s}$ ${\displaystyle \ell ^{s}}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 1<p<\infty }$の場合、⁠ ⁠の（連続）双対空間は⁠ ⁠と等長的に同型です。ここで⁠ ⁠は⁠ ⁠のホルダー共役です。特定の同型は、⁠ ⁠における ⁠ ⁠に対する汎関数の⁠ ⁠の元に関連付けられます。 ホルダーの不等式は、 ⁠ ⁠が⁠ ⁠上の有界線型汎関数であることを意味し、実際には演算子ノルムがを満たします。実際には、⁠ ⁠を⁠ ⁠の元とするととなり、実際には となります。逆に、 ⁠ ⁠上の有界線型汎関数が与えられた場合、 ⁠ ⁠によって定義されるシーケンスは⁠ ⁠にあります。したがって、マッピング⁠ ⁠は等長変換を与えます。 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$ $${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$$ $${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}\mathrel {\stackrel {\rm {def}}{=}} \sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle L_{x}(y)=\|x\|_{q}}$ $${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle x_{n}=L(e_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$ $${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$$

⁠ ⁠ をその転置の逆写像と合成することで得られる写像は、 ⁠ ⁠をその二重双対に標準的に注入することと一致する。結果として、⁠ ⁠ ⁠は反射空間となる。表記法の乱用により、 ⁠ ⁠ を⁠ ⁠ : ⁠ ⁠の双対と同一視するのが典型的である。そして、反射性は同一視の順序によって理解される。 $${\displaystyle \ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}}$$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \textstyle (\ell ^{p})^{*}=\ell ^{q}}$ ${\displaystyle \textstyle (\ell ^{p})^{**}=(\ell ^{q})^{*}=\ell ^{p}}$

空間⁠ ⁠ ${\displaystyle c_{0}}$は、ノルムが と同一である、ゼロに収束するすべての列の成す空間として定義されます。これは⁠ ⁠の閉部分空間であるため、バナッハ空間です。⁠ ⁠の双対は⁠ ⁠であり、 ⁠ ⁠の双対は⁠ ⁠です。自然数添字集合の場合、⁠ ⁠と⁠ ⁠ は、 ⁠ ⁠を除いて分離可能です。 ⁠ ⁠の双対はba 空間です。 ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$

空間⁠ ⁠ ${\displaystyle c_{0}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ (について⁠ ⁠ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ) には、標準的な無条件Schauder 基底 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{e_{i}:i=1,2,\ldots \}}$があります。ここで⁠ ⁠は、 ${\displaystyle e_{i}}$⁠ ⁠番目の要素に⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$がある場合を除き 0 となるシーケンスです。 ${\displaystyle i}$

空間 ℓ ^1はシュアー性質を持つ： ℓ ^{1において}弱収束する任意の列は強収束もする（Schur 1921）。しかし、無限次元空間上の弱位相は強位相よりも厳密に弱いため、 ℓ ¹には弱収束するが強収束しないネットが存在する。

⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$空間は、多くのバナッハ空間に埋め込むことができます。すべての無限次元バナッハ空間が何らかの⁠ ⁠または⁠ ⁠の同型を含むかどうかという問いは、 1974 年にB.S. ツィレルソンによるツィレルソン空間の構築によって否定的に答えられました。すべての可分バナッハ空間が⁠ ⁠の商空間に線型等長であるという双対な命題に対しては、バナッハ & マズール (1933) によって肯定的に答えられました。つまり、すべての可分バナッハ空間⁠ ⁠に対して商写像⁠ ⁠が存在するので、⁠ ⁠は⁠ ⁠と同型です。一般に、⁠ ⁠ は⁠ ⁠において補写像ではありません。つまり、 ⁠ ⁠となるような⁠ ⁠の部分空間⁠ ⁠は存在しません。実際、⁠ ⁠ には互いに同型ではない非補部分空間が無数に存在します (たとえば⁠ ⁠を例にとると、このような⁠ ⁠は無数に存在し、⁠ ⁠は他のどの ⁠ ⁠ とも同型ではないため、 ker Qも無数に存在します)。 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle Q:\ell ^{1}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}/\ker Q}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} Q}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle X=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$

自明な有限次元の場合を除いて、⁠ ⁠の珍しい特徴は、 ${\displaystyle \textstyle \ell ^{q}}$多項式的に反射的ではないことです。

ℓ ^pスペースが増えているp

⁠ ⁠ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$に対して、空間⁠ ⁠は ${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$において増加しており、包含演算子は連続です。つまり、⁠ ⁠ ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$に対して、 が成り立ちます。実際、この不等式は⁠ ⁠において同次であるため、 という仮定の下でそれを証明すれば十分です。この場合、⁠ ⁠に対して であることを示すだけで十分です。しかし の場合、すべての⁠ ⁠に対してであり、 となります。 ${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq {}\!}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$

ℓ ²はすべての可分な無限次元ヒルベルト空間と同型である

⁠ ⁠を ${\displaystyle H}$可分ヒルベルト空間とする。⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$内の任意の直交集合は高々可算である（すなわち有限次元または⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \aleph _{0}}$を持つ）。^[2] 次の2つの項目は関連している。

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$が無限次元の場合、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$と同型であり、
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {dim} (H)=N}$の場合、⁠ ⁠は ${\displaystyle H}$⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{N}}$と同型です。

の特性ℓ ¹スペース

⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$の要素の列が複素列の空間⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \ell ^{1}}$に収束する場合と、この空間に弱収束する場合に限ります。^[3] ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$がこの空間の部分集合である 場合、以下は同値です。^[3]

1. ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$はコンパクトです。
2. ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$は弱コンパクトである。
3. ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$は有界で閉じており、無限大でも等小です。

ここで、 ⁠ ⁠が ${\displaystyle K}$無限大で等小であるということは、あらゆる⁠ ⁠ ${\displaystyle \varepsilon >0}$に対して、すべての⁠ ⁠に対してとなる自然数が存在することを意味します。 ${\displaystyle n_{\varepsilon }\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \textstyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

参照

• L ^pスペース
• ツィレルソン空間
• ベータ双対空間
• オルリッツシーケンス空間
• ヒルベルト空間

参考文献

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