整流5セル

整流5セル
5 つの四面体セルが示されたシュレーゲル図。
タイプ	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	t ₁ {3,3,3} または r{3,3,3} {3 ^2,1 } = $\left\{{\begin{array}{l}3\\3,3\end{array}}\right\}$
コクセター・ディンキン図
細胞	10	5 {3,3} 5 3.3.3.3
顔	30 {3}
エッジ	30
頂点	10
頂点図形	三角柱
対称群	A ₄、[3,3,3]、順序120
ペトリー多角形	五角形
プロパティ	凸状、等角状、等軸状
均一インデックス	1 2 3

四次元幾何学において、正五面体（せいごうさんめんたい）は、5つの正四面体と5つの正八面体からなる均一な四次元多面体である。各辺には1つの正四面体と2つの正八面体が含まれる。各頂点には2つの正四面体と3つの正八面体が含まれる。合計で30の三角形の面、30の辺、10の頂点が存在する。各頂点は3つの正八面体と2つの正四面体に囲まれており、頂点図形は三角柱である。

位相幾何学的には、最も高い対称性[3,3,3]のもとで、5つの正四面体と5つの直角四面体（幾何学的には正八面体と同じ）を含む幾何学的形状は1つしか存在しない。また、位相幾何学的には四面体-八面体セグメントコロンと同一である。

修正5セルの頂点図形は均一な三角柱で、側面に3つの八面体、反対側の端に2つの四面体がある。 ^[¹^]

頂点の数がセルの数 (10) と同じで、辺の数が面の数 (30) と同じであるにもかかわらず、修正された 5 セルは、頂点図形 (均一な三角柱) がポリコロンのセルの双対ではないため、自己双対ではありません。

ウィトフ建設

配置行列では、要素間のすべての入射回数が表示されます。対角fベクトルの数は、ウィトフ構成によって導出されます。ウィトフ構成とは、部分群順序の全体順序を、一度に1つの鏡像を除去することで分割するものです。^{[ 2 ]}

A4	k面	f _k	f ₀	f ₁	f ₂		f ₃		k桁	注記
A ₁ A ₂	（）	f ₀	10	6	3	6	3	2	{3}x{ }	A ₄ / A ₁ A ₂ = 5!/3!/2 = 10
A ₁ A ₁	{ }	f ₁	2	30	1	2	2	1	{ }v()	A ₄ /A ₁ A ₁ = 5!/2/2 = 30
A ₂ A ₁	{3}	f ₂	3	3	10	*	2	0	{ }	A ₄ /A ₂ A ₁ = 5!/3!/2 = 10
A ₂	{3}	f ₂	3	3	*	20	1	1	{ }	A ₄ / A ₂ = 5!/3! = 20
A3	r{3,3}	f ₃	6	12	4	4	5	*	（）	A ₄ / A ₃ = 5!/4! = 5
A3	{3,3}	f ₃	4	6	0	4	*	5	（）	A ₄ / A ₃ = 5!/4! = 5

構造

この図形とその双対（10個の頂点と10個の三角形両錐面を持つ多面体）は、単体と24セルと共に、 2単体多面体と双対多面体（2次元面と双対多面体のすべての2次元面が三角形である）として初めて知られた。これは、この図形の2次元面と双対多面体の2次元面がすべて三角形であることを意味する。1997年、トム・ブレイデンは、2つの平行化された5セルを貼り合わせることで、別の双対の例を発見した。それ以来、無限に多くの2単体多面体が構築されてきた。^[³^]^[⁴^]

半正多面体

これは、プラトン立体である2つ以上のセルで構成される3つの半正四面体のうちの1つであり、ソロルド・ゴセットが1900年の論文で発見しました。彼はこれを正四面体と正八面体のセルで構成されていることから、正八面体（tetrooctahedric）と呼びました。 ^[⁵^]

EL エルテは1912 年にこれを半正多面体として特定し、 tC ₅と名付けました。

別名

正八面体（ソロルド・ゴセット）
ディスペンタコロン
整流式5セル（ノーマン・W・ジョンソン）
整流4単信
完全に切り捨てられた4単体
整流ペンタクロロン（略称：ラップ）（ジョナサン・バウワーズ）^{[ 2 ]}
アンボペンタコロン（ニール・スローン＆ジョン・ホートン・コンウェイ）
(5,2)-超単体（ちょうど2つの1を持つ5次元(0,1)-ベクトルの凸包）

画像

正投影図
A _kコクセター平面	A4	A3	A ₂
グラフ
二面対称性	[5]	[4]	[3]

立体投影（八面体を中心とした）	ネット（多面体）
	正四面体を中心とした3次元空間への透視投影。4次元視点に最も近い正四面体は赤で、周囲の4つの正八面体は緑で表示されている。多面体の反対側にあるセルは、分かりやすくするために省略されている（ただし、端の輪郭からは識別できる）。回転は3次元投影画像の構造を示すためであり、4次元空間での回転ではない。

座標

原点中心で辺の長さが 2 である 5 セルの頂点の直交座標は次のとおりです。

座標
$\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\sqrt {\frac {2}{5}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$	$\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\left({\frac {-3}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)$

より単純に言えば、平行化5セルの頂点は、5次元空間の超平面上に(0,0,0,1,1)または(0,0,1,1,1)の順列として配置することができます。これらの構成は、それぞれ平行化ペンタクロスまたは双平行化ペンタラクトにおける正直交面と見ることができます。

関連する4次元多面体

修正された5セルは、 5デミキューブの頂点図形であり、均一な2 ₂₁ 多面体の辺図形です。

整流された5セルとそのデュアルの複合

凸包、すなわち5セル修正体とその双対（長半径が同じ）は、30個のセル（10個の四面体、20個の八面体（三角形の反プリズムとして）、および20個の頂点）からなる非一様多角形である。その頂点図形は三角形の二面体錐台である。

ペンタコロン多面体

修正5セルは、[3,3,3]コクセター群から構成される9つの均一4次元多面体の1つです。

名前	5セル	切り詰められた5セル	整流5セル	カンテレーション5セル	ビットランケーテッド5セル	片側切断5細胞	ランシネーテッド5セル	ランシトランケーテッド5セル	全切断型5細胞
シュレーフリ記号	{3,3,3} 3r{3,3,3}	t{3,3,3} 3t{3,3,3}	r{3,3,3} 2r{3,3,3}	rr{3,3,3} r2r{3,3,3}	2t{3,3,3}	tr{3,3,3} t2r{3,3,3}	t _0,3 {3,3,3}	t _0,1,3 {3,3,3} t _0,2,3 {3,3,3}	t _0,1,2,3 {3,3,3}
コクセター図
シュレーゲル図
4コクセター_平面グラフ
3コクセター_平面グラフ
2コクセター_平面グラフ

半正多面体

5次元正方格子多面体は、半正多面体の次元系列における2番目の多面体です。各漸進的一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構成されます。 1900年にソロルド・ゴセットは、この系列がすべての正多面体の面、つまりすべての単体と正複素（5次元正方格子の場合は正四面体と正八面体）を含むと同定しました。5次元正方格子のコクセター記号は0 ₂₁です。

n次元のk _21個の図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
エン	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセターグループ	E ₃ =A ₂ A ₁	E ₄ =A ₄	E ₅ =D ₅	E ₆	E ₇	E8	E ₉ = = E ₈⁺ ${\チルダ {E}}_{8}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\bar {T}}_{8}$
コクセター図
対称	[3 ^−1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	−1 ₂₁	0 ₂₁	1 ₂₁	2 ₂₁	3_月21日	4 ₂₁	5_月21日	6 ₂₁

同位体多面体

同位体均一切断単体
薄暗い。	2	3	4	5	6	7	8
名前コクセター	六角形＝t{3} = {6}	八面体＝r{3,3} = {3 ^1,1 } = {3,4} $\left\{{\begin{array}{l}3\\3\end{array}}\right\}$	デカコロン2t{3 ³ }	ドデカテロン2r{3 ⁴ } = {3 ^2,2 } $\left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}$	テトラデカペトン3t{3 ⁵ }	ヘキサデカエクソン3r{3 ⁶ } = {3 ^3,3 } $\left\{{\begin{array}{l}3,3,3\\3,3,3\end{array}}\right\}$	オクタデカゼットン4t{3 ⁷ }
画像
頂点図形	（）∨（）	{ }×{ }	{ }∨{ }	{3}×{3}	{3}∨{3}	{3,3}×{3,3}	{3,3}∨{3,3}
ファセット		{3}	t{3,3}	r{3,3,3}	2t{3,3,3,3}	2r{3,3,3,3,3}	3t{3,3,3,3,3,3,3}
交差する双対単体として	∩	∩	∩	∩	∩	∩	∩

注記

^コンウェイ、2008年
^ ^a ^bリチャード・クリッツィング「o3x4o3o - ラップ」。
^ Eppstein, David ; Kuperberg, Greg ; Ziegler, Günter M. (2003)、「Fat 4-polytopes and fatter 3-spheres」、Bezdek, Andras (ed.)、『Discrete Geometry: In honor of W. Kuperberg's 60th birthday』、Pure and Applied Mathematics、vol. 253、pp. 239– 265、arXiv : math.CO/0204007 。
^ Paffenholz, Andreas; Ziegler, Günter M. (2004), 「格子、球、多面体のためのE _t構築」, Discrete & Computational Geometry , 32 (4): 601– 621, arXiv : math.MG/0304492 , doi : 10.1007/s00454-004-1140-4 , MR 2096750 , S2CID 7603863 。
^ゴセット、1900年

参考文献

T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
JH ConwayとMJT Guy：「4 次元アルキメデス多面体」、コペンハーゲン凸性コロキウムの議事録、38 および 39 ページ、1965 年
HSMコクセター：
- HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  - （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  - （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
ノーマン・ジョンソン『均一多面体』、原稿（1991年）
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.（1966）
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章）

外部リンク

整流された5セル- データと画像
- 1. ペンタコロンに基づく凸均一ポリコーラ - モデル 2、George Olshevsky。
Klitzing、リチャード。「4D 均一多面体 (ポリコラ) x3o3o3o - ラップ」。

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[1] コンウェイ、2008年

[Klitzing-2] リチャード・クリッツィング「o3x4o3o - ラップ」。

[3] Eppstein, David ; Kuperberg, Greg ; Ziegler, Günter M. (2003)、「Fat 4-polytopes and fatter 3-spheres」、Bezdek, Andras (ed.)、『Discrete Geometry: In honor of W. Kuperberg's 60th birthday』、Pure and Applied Mathematics、vol. 253、pp. 239– 265、arXiv : math.CO/0204007 。

[4] Paffenholz, Andreas; Ziegler, Günter M. (2004), 「格子、球、多面体のためのE _t構築」, Discrete & Computational Geometry , 32 (4): 601– 621, arXiv : math.MG/0304492 , doi : 10.1007/s00454-004-1140-4 , MR 2096750 , S2CID 7603863 。

[5] ゴセット、1900年

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