対称差

数学において、 2つの集合の対称差（きょうしょうさく、英: symmetric difference）は、どちらかの集合に含まれるが、それらの共通集合には含まれない要素の集合です。例えば、集合との対称差はです。 $\{1,2,3\}$ $\{3,4\}$ $\{1,2,4\}$

集合AとBの対称差は、一般的に（または）、、などで表される。これは2 を法とする加算の一種とみなすことができる。 $A\operatorname {\Delta } B$ $A\operatorname {\vartriangle } B$ $A\oplus B$ $A\ominus B$

任意の集合の冪集合は対称差の作用によりアーベル群となり、空集合は群の中立元となり、群の各元は自身の逆元となる。任意の集合の冪集合はブール環となり、対称差は環の加算、交差は環の乗算となる。

プロパティ

対称差は、両方の相対補集合の和集合と等しく、すなわち^[1]

A\,\Delta \,B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right),

対称差は、集合構築記法で2つの集合を記述する述語に対する XOR演算⊕を使って表現することもできます。

A\mathbin {\Delta } B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.

同じ事実は、対称差の指示関数（ここではと表記）が、その 2 つの引数の指示関数のXOR（または2 を法とする加算）であることとして述べることもできます。または、アイバーソン括弧表記を使用します。 $\chi$ $\chi _{(A\,\Delta \,B)}=\chi _{A}\oplus \chi _{B}$ $[x\in A\,\Delta \,B]=[x\in A]\oplus [x\in B]$

対称差は、2つの集合の和集合から積集合を引いたものとして表現することもできます。

A\,\Delta \,B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),

^[1]

特に、この非厳密な包含における等式は、とが互いに素な集合である場合にのみ成立する。さらに、とと表記すると、とは常に互いに素なので、とはを分割する。したがって、交差と対称差を基本演算と仮定すると、2つの集合の和集合は、等式の右辺によって対称差によって適切に定義できる。 $A\mathbin {\Delta } B\subseteq A\cup B$ $A$ $B$ $D=A\mathbin {\Delta } B$ $I=A\cap B$ $D$ $I$ $D$ $I$ $A\cup B$

A\,\cup \,B=(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,(A\cap B)

。

対称差は交換可能かつ結合的である。

{\begin{aligned}A\,\Delta \,B&=B\,\Delta \,A,\\(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,C&=A\,\Delta \,(B\,\Delta \,C).\end{aligned}}

空集合は中立であり、すべての集合はそれ自身の逆集合である。

{\begin{aligned}A\,\Delta \,\varnothing &=A,\\A\,\Delta \,A&=\varnothing .\end{aligned}}

したがって、任意の集合Xの冪集合は対称差演算の下でアーベル群となる。（より一般的には、任意の集合体は対称差を演算とする群を形成する。）すべての元が自身の逆元である群（または、同値に、すべての元が位数2である群）は、ブール群と呼ばれることがある。^[2]^[3]対称差は、そのような群の典型的な例を提供する。ブール群は、実際には集合上の対称差演算として定義されることもある。^[4]Xが2つの元しか持たない場合、このようにして得られる群はクラインの4元群である。

同様に、ブール群は基本アーベル2-群である。したがって、対称差によって誘導される群は、実際には2つの元を持つ体上のベクトル空間Z ₂である。X が有限ならば、シングルトンはこのベクトル空間の基底を形成し、したがってその次元はXの元数に等しい。この構成はグラフ理論において、グラフのサイクル空間を定義するために使用される。

ブール群における逆集合の性質から、2つの対称差の繰り返しの対称差は、 2つの多重集合の結合の対称差の繰り返しと等価であることが分かる。ここで、各多重集合は両方とも削除可能である。具体的には、

(A\,\Delta \,B)\,\Delta \,(B\,\Delta \,C)=A\,\Delta \,C.

これは三角不等式を意味します: ^[5]AとCの対称差は、AとBの対称差とBとCの対称差の和集合に含まれます。

交差は対称差に対して分配される：

A\cap (B\,\Delta \,C)=(A\cap B)\,\Delta \,(A\cap C),

これは、 Xの冪集合が環となり、対称差が加算、共通部分が乗算となることを示しています。これはブール環の典型的な例です。

対称差のその他の特性は次のとおりです。

$A\mathbin {\Delta } B=\emptyset$ の場合に限ります。 $A=B$
$A\mathbin {\Delta } B=A^{c}\mathbin {\Delta } B^{c}$ ここで、は、の補数、の補数であり、両方を含む任意の（固定された）集合を基準とします。 $A^{c}$ $B^{c}$ $A$ $B$
$\left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\Delta \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\mathbin {\Delta } B_{\alpha }\right)$ ここで、は任意の空でないインデックスセットです。 ${\mathcal {I}}$
が任意の関数で、がの共域内の任意の集合である場合、 $f:S\rightarrow T$ $A,B\subseteq T$ $f$ $f^{-1}\left(A\mathbin {\Delta } B\right)=f^{-1}\left(A\right)\mathbin {\Delta } f^{-1}\left(B\right).$

対称差は任意のブール代数で次のように定義できる。

x\,\Delta \,y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)=(x\land \lnot y)\lor (y\land \lnot x)=x\oplus y.

この演算は、集合の対称差と同じ特性を持ちます。

n-項対称差

反復対称差は、ある意味では、多数の集合（同じ集合が複数回出現する場合もある）に対する演算で、奇数の集合に含まれる要素の集合を生成することと同等です。

集合の集合の対称差には、集合内の奇数個の集合に含まれる要素だけが含まれます。 $\Delta M=\left\{a\in \bigcup M:\left|\{A\in M:a\in A\}\right|{\text{ is odd}}\right\}.$

明らかに、これは、和集合の各要素がの有限個の要素によって構成される場合にのみ明確に定義されます。 ${\textstyle \bigcup M}$ $M$

が多重集合でであると仮定します。このとき、の要素の個数はの要素の交差のみで表されます。 $M=\left\{M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\right\}$ $n\geq 2$ $|\Delta M|$ $\Delta M$ $M$ $|\Delta M|=\sum _{l=1}^{n}(-2)^{l-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{l}\leq n}\left|M_{i_{1}}\cap M_{i_{2}}\cap \ldots \cap M_{i_{l}}\right|.$

測度空間上の対称差

集合が「どれくらい大きいか」という概念がある限り、2 つの集合間の対称差は、それらの集合が「どれくらい離れているか」の尺度と見なすことができます。

まず、有限集合Sと、その大きさによって与えられる部分集合上の計数測度を考えます。次に、Sの2つの部分集合を考え、それらの距離を対称差の大きさとします。この距離は実際には計量であり、S上の冪集合は計量空間となります。Sがn個の要素を持つ場合、空集合からSまでの距離はnであり、これは任意の部分集合のペアにおける最大距離です。^[6]

測度論の考え方を用いると、測定可能な集合の分離はそれらの対称差の測度として定義できる。σ-有限測度μ が σ-代数Σ上で定義されるとすると、関数

d_{\mu }(X,Y)=\mu (X\,\Delta \,Y)

はΣ上の擬計量である。d μ_が計量となるのは、Σが同値関係 X ~ Yを法として考えられる場合と、が成り立つ場合とが同値であるときである。これはフレシェ・ニコディム計量と呼ばれることもある。結果として得られる計量空間が可分となるのは、 L ² (μ)が可分となる場合とが同値である。 $\mu (X\,\Delta \,Y)=0$

ならば、次の式が成り立ちます。実際、 $\mu (X),\mu (Y)<\infty$ $|\mu (X)-\mu (Y)|\leq \mu (X\,\Delta \,Y)$

{\begin{aligned}|\mu (X)-\mu (Y)|&=\left|\left(\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(X\cap Y\right)\right)-\left(\mu \left(X\cap Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\right)\right|\\&=\left|\mu \left(X\setminus Y\right)-\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&\leq \left|\mu \left(X\setminus Y\right)\right|+\left|\mu \left(Y\setminus X\right)\right|\\&=\mu \left(X\setminus Y\right)+\mu \left(Y\setminus X\right)\\&=\mu \left(\left(X\setminus Y\right)\cup \left(Y\setminus X\right)\right)\\&=\mu \left(X\,\Delta \,Y\right)\end{aligned}}

が測度空間であり、が可測集合である場合、それらの対称差も可測である：。とがのとき関係にあるとすることで、可測集合上の同値関係を定義できる。この関係はと表記される。 $S=\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu \right)$ $F,G\in {\mathcal {A}}$ $F\Delta G\in {\mathcal {A}}$ $F$ $G$ $\mu \left(F\Delta G\right)=0$ $F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$

が与えられたとき、それぞれに対してとなるようなが存在する場合、と書きます。関係「」はの部分集合族上の半順序です。 ${\mathcal {D}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ $D\in {\mathcal {D}}$ $E\in {\mathcal {E}}$ $D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ $\subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ ${\mathcal {A}}$

およびの場合、と書きます。関係 " " はの部分集合間の同値関係です。 ${\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ ${\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ $=\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ ${\mathcal {A}}$

の対称閉包とは、あるに対してであるすべての -可測集合の集合の集まりです。の対称閉包にはが含まれます。がの部分 -代数である場合、の対称閉包もの部分 -代数です。 ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {A}}$ $=\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ $D\in {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ ${\mathcal {D}}$ $\sigma$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {D}}$

$F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$ ほとんどどこでもそうです。 $\left|\mathbf {1} _{F}-\mathbf {1} _{G}\right|=0$ $\left[{\mathcal {A}},\mu \right]$

ハウスドルフ距離と対称差

ハウスドルフ距離と対称差（の面積）はどちらも、測定可能な幾何学的形状の集合における擬似計量です。しかし、その振る舞いは全く異なります。右の図は、「赤」と「赤∪緑」という2つの形状のシーケンスを示しています。これらの形状間のハウスドルフ距離が小さくなると、それらの対称差の面積は大きくなり、逆もまた同様です。これらのシーケンスを両方向に続けると、ハウスドルフ距離が0に収束し、対称距離が発散する、あるいはその逆の2つのシーケンスが得られます。

参照

参考文献

^ ab Taylor, Courtney (2019年3月31日). 「数学における対称差とは何か？」ThoughtCo . 2020年9月5日閲覧。
^ ギヴァント, スティーブン;ハルモス, ポール(2009).ブール代数入門. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 6. ISBN 978-0-387-40293-2。
^ ハンバーストーン、ロイド (2011). 『The Connectives』 MIT Press. p. 782. ISBN 978-0-262-01654-4。
^ ロットマン、ジョセフ・J. (2010). 『現代代数学の高度化』アメリカ数学会 p. 19. ISBN 978-0-8218-4741-1。
^ ルディン、ウォルター（1976年1月1日）『数学解析の原理』（第3版）マグロウヒル・エデュケーション、306ページ。ISBN 978-0070542358。
^ クロード・フラマン（1963）「グラフ理論のグループ構造への応用」 16ページ、Prentice-Hall MR 0157785

参考文献

ハルモス、ポール・R. (1960).素朴集合論. 大学数学シリーズ. ヴァン・ノストランド社. Zbl 0087.04403.
集合の対称差。数学百科事典より

[:0-1] Taylor, Courtney (2019年3月31日). 「数学における対称差とは何か？」ThoughtCo . 2020年9月5日閲覧。

[GivantHalmos2009-2] ギヴァント, スティーブン;ハルモス, ポール(2009).ブール代数入門. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 6. ISBN 978-0-387-40293-2。

[Humberstone2011-3] ハンバーストーン、ロイド (2011). 『The Connectives』 MIT Press. p. 782. ISBN 978-0-262-01654-4。

[Rotman2010-4] ロットマン、ジョセフ・J. (2010). 『現代代数学の高度化』アメリカ数学会 p. 19. ISBN 978-0-8218-4741-1。

[5] ルディン、ウォルター（1976年1月1日）『数学解析の原理』（第3版）マグロウヒル・エデュケーション、306ページ。ISBN 978-0070542358。

[6] クロード・フラマン（1963）「グラフ理論のグループ構造への応用」 16ページ、Prentice-Hall MR 0157785

v t e 集合論
概要	集合（数学）
公理	補助選択可算な依存グローバル構築可能性（V=L）決定性射影的拡張性無限サイズの制限ペアリングパワーセット規則性連合マーティンの公理公理スキーマ交換仕様
オペレーション	デカルト積補集合（すなわち差集合）ド・モルガンの法則分離和集合アイデンティティ交差点パワーセット対称差連合
概念方法	ほとんど基数基数（大きい）クラス構築可能な宇宙連続体仮説対角線上の議論要素順序付きペアタプル家族強制一対一対応序数集合構築記法超限帰納法ベン図
セットタイプ	アモルファス可算空の有限（遺伝的）フィルターベース路盤ウルトラフィルターファジー無限(デデキント無限) 再帰的シングルトンサブセット ·スーパーセット推移的数えられないユニバーサル
理論	代替公理的ナイーブカントールの定理ツェルメロ一般的なプリンキピア・マテマティカ新しい基盤ツェルメロ・フランケルフォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデルモース・ケリークリプキ・プラテックタルスキ・グロタンディーク
パラドックス問題	ラッセルのパラドックスサスリンの問題ブラリ・フォルティのパラドックス
集合論者	ポール・バーネイズゲオルク・カントルポール・コーエンリヒャルト・デデキントアブラハム・フランケルクルト・ゲーデルトーマス・ジェックジョン・フォン・ノイマンウィラード・クワインバートランド・ラッセルトラルフ・スコーレムエルンスト・ツェルメロ