120セル

Four-dimensional analog of the dodecahedron

120セル
シュレーゲル図 （頂点と辺）
タイプ	凸正4次元多面体
シュレーフリ記号	{5,3,3}
コクセター図
細胞	120 {5,3}
顔	720 {5}
エッジ	1200
頂点	600
頂点図形	四面体
ペトリー多角形	30角形
コクセターグループ	H 4 , [3,3,5]
デュアル	600セル
プロパティ	凸面、等角面、等等面体、等面体
均一インデックス	32

ネット

幾何学において、120胞体は、シュレーフリ記号{5,3,3}を持つ凸正4次元多面体（プラトン立体の4次元相似体）である_{。C 120}、ドデカ プレックス（「十二面体複合体」の略）、ハイパー十二面体、ポリ十二面体、ヘカトニコサコロロン、ドデカコンタコロロン^[1]、ヘカトニコサヘドロイド^[2]とも呼ばれる。

120セルの境界は、各頂点で4つのセルが交わる120個の正十二面体セルで構成されています。これらは合わせて720個の五角形面、1200個の辺、そして600個の頂点を形成します。これは正十二面体の4次元版です。正十二面体が各頂点の周りに3つずつ、計12個の五角形面を持つのと同様に、正十二面体も各辺の周りに3つずつ、計120個の正十二面体面を持つからです。^[a]その双対多面体は600セルです。

幾何学

120セルは、最初の4次元におけるすべての凸正多面体の幾何学的形状を包含する（多角形{7}以上を除く）。^[b] 6番目で最大の正凸4次元多面体であるため、^[c] 4次元多面体のうち、先行する4つの正凸多面体の内接インスタンスを（再帰的に）包含する。また、最初の5セルの内接インスタンスを120個包含する。^[d]これは他のいずれにも見られない。^[4] 120セルは4次元のスイスアーミーナイフである。あらゆるものが1本ずつ含まれる。

120セルの研究は困難ではあるものの、有益です。なぜなら、そこには最初の4次元に見られるすべての凸正多面体間のあらゆる関係性の例が含まれているからです。逆に言えば、120セルを理解するには、まずその先駆者たちを一つ一つ理解し、それらが示す複雑な対称性の連鎖を理解することが不可欠です。 ^[5]そのため、スティルウェルは4次元多面体と3次元を超える数学の歴史^{[6]に関する論文に}「120セルの物語」というタイトルを付けました。^[7]

正凸4次元多面体
対称群	A4​	B4​		F4​	H4​
名前	5セル 超四面体 5点	16セル 超八面体 8点	8セル ハイパーキューブ 16ポイント	24セル 24ポイント	600セル 超二十面体 120点	120セル 超十二面体 600ポイント
シュレーフリ記号	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
コクセターミラー
鏡面二面角	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
グラフ
頂点	5つの四面体	8面体	16 四面体	24立方体	120面体	600四面体
エッジ	10個の三角形	24平方	32 三角形	96三角形	720五角形	1200 三角形
顔	10個の三角形	32個の三角形	24個の正方形	96個の三角形	1200個の三角形	720個の五角形
細胞	5つの四面体	16個の四面体	8個のキューブ	24個の八面体	600個の四面体	120面体
トリ	1 5面体	2 8面体	2 4キューブ	4 6面体	20 30四面体	12 10面体
内接	120セルで120個	120セルで675	2 16セル	3 8セル	25 24セル	10 600セル
素晴らしいポリゴン		2つの正方形×3	長方形4つ×4	4つの六角形×4	12角形×6	不規則な六角形 100 個 x 4
ペトリー多角形	五角形1個×2	八角形1個×3	八角形2個×4	十二角形2個×4	30角形4個×6	20 30角形x 4
長半径	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
エッジの長さ	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
短い半径	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
エリア	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
音量	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-コンテンツ	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

直交座標

4 次元空間の原点を中心とする 4 次元多面体の自然な直交座標は、選択された長半径 (中心から頂点まで) に応じて、異なる参照フレームで発生します。

√8半径座標

長半径√8 = 2√2 ≈ 2.828の120セルの辺の長さは4−2φ = 3− √5 ≈ 0.764です。

この参照フレームでは、600の頂点座標は次の{順列}と[偶数順列]である: ^[8]

24	({0, 0, ±2, ±2})	24セル	600ポイント120セル
64	（{±φ, ±φ, ±φ, ±φ −2 }）
64	（{±1, ±1, ±1, ± √ 5 }）
64	（{±φ −1 , ±φ −1 , ±φ −1 , ±φ 2 }）
96	([0, ±φ −1 , ±φ, ± √ 5 ])	スナブ 24セル
96	([0, ±φ −2 , ±1, ±φ 2 ])	スナブ 24セル
192	（[±φ −1 , ±1, ±φ, ±2]）

ここでφ（�とも呼ばれる）^[f]は黄金比であり、⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1.618。

単位半径座標

単位半径120セルの辺の長さは⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0.270。

この参照フレームでは、120セルは標準方向で頂点を上にして位置し、その座標^[9]は、以下の左の列の{順列}と[偶数順列]です。

120	8	({±1, 0, 0, 0})	16セル	24セル	600セル	120セル
	16	({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2	テッセラクト
	96	([0, ±φ −1 , ±1, ±φ]) / 2	スナブ 24セル
480	120セルの減少		5点5セル	24セル	600セル
	32	([±φ, ±φ, ±φ, ±φ −2 ]) / √ 8	（1、0、0、0） (−1, √ 5 , √ 5 , √ 5 ) / 4 (−1,− √ 5 ,− √ 5 , √ 5 ) / 4 (−1,− √ 5 , √ 5 ,− √ 5 ) / 4 (−1, √ 5 ,− √ 5 ,− √ 5 ) / 4	({± √1 /2 , ± √1 /2 , 0, 0})	({±1, 0, 0, 0}) ({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2 ([0, ±φ −1 , ±1, ±φ]) / 2
	32	([±1, ±1, ±1, ± √ 5 ]) / √ 8
	32	([±φ −1 , ±φ −1 , ±φ −1 , ±φ 2 ]) / √ 8
	96	([0, ±φ −1 , ±φ, ± √ 5 ]) / √ 8
	96	([0, ±φ −2 , ±1, ±φ 2 ]) / √ 8
	192	([±φ −1 , ±1, ±φ, ±2]) / √ 8
一様凸4次元多面体の単位半径座標は、四元数乗法によって関連付けられる。正則4次元多面体は互いに合成物であるため、それらの直交座標系4次元座標（四元数）の集合は互いに積となる。120セル（上図左列）の600頂点の単位半径座標は、5セルの5頂点、24セルの24頂点、そして600セル（上図他の3列）の120頂点の可能な四元数積[10 ]である。 [g]

表には各4次元多面体の少なくとも1つのインスタンスの座標が示されていますが、120セルには、その前身となる各4次元多面体の5の倍数の内接インスタンスが含まれており、それぞれ頂点の異なる部分集合を占めています。120セル（600点）は、5つの互いに素な（120点）600セルの凸包です。各120点600セルは、5つの互いに素な（24点）24セルの凸包であるため、120セルは25の互いに素な24セルの凸包です。各24セルは3つの互いに素な（8点）16セルの凸包であるため、120セルは75の互いに素な16セルの凸包です。ユニークなことに、（600点）120セルは、120個の互いに素な（5点）5セルの凸包である。^[k]

コード

120セルの大円多角形は、その等斜線^{[o]回転の不変中心面にあります。長さ}𝜁 ≈ 0.270の120セルの辺は、長さ√ 2.5の5セルの辺を持つ赤い不規則な大六角形にのみ存在します。120セルの1200の辺は、それ自体では大円多角形を形成せず、内接する正5セル^[d]の√ 2.5辺と交互に配置することで、 400の不規則な大六角形を形成します。^[p] 120セルには、以下に示すように、同じ中心面にあるこれらの大円多角形がいくつか複合した不規則な大十二角形も含まれています。

600 点 120 セルは、120 点 600 セルの 8 つの異なる弦の長さすべてに加えて、2 つの重要な弦を持ちます。それは、セル自身の短い辺と、セルに内接する 120 個の正 5 セルの辺です。^[d]これらの 2 つの弦により、120 セルは、継承する他の正 4 次元多面体のすべての回転に加えて、特徴的な等斜回転, ^{[z] を持ちます。 [14]}これらはまた、120 セルに特徴的な大円多角形、つまり 3 つの 120 セルの辺と 3 つの 5 セルの辺が交互に並ぶ不規則な大六角形も与えます。 ^[p]

120セルの辺は、600セル、24セル、16セルの辺のように、単一の中心平面において正円多角形を形成しません。5セルおよび8セルのテッセラクトの辺と同様に、ジグザグのペトリー多角形を形成します。^[y] 120セルのペトリー多角形は、三十角形{30}のジグザグな斜め多角形です。^[aa]

120セルの円周は30辺なので、辺の長さから直径まで15種類の異なる弦の長さがあります。^[af]すべての正凸4次元多面体は120セルに内接し、次の表の行に列挙されている15種類の弦はすべて、正凸4次元多面体とその大円多角形を構成する異なる弦です。^[ai]

この表でまず注目すべき点は、列が 6 つではなく 8 つあることです。6 つの通常の凸型 4 次元多面体に加えて、入れ子になった 4 次元多面体のシーケンスには、2 つの不規則な 4 次元多面体、つまり 96 ポイントのスナブ 24 セルと 480 ポイントの縮小 120 セルが自然に出現します。^[c]

2つ目に注目すべき点は、番号の付いた各行（各弦）に三角形△、正方形☐、ファイ記号𝜙、または五芒星✩が付けられていることです。15の弦は4種類の多角形を形成します。16セルの特徴である大正方形☐、 24セルの特徴である大六角形と大三角形△ 、 600セルの特徴である大十角形と大五角形𝜙 、そして5セルの特徴である斜め五芒星✩です。これらはペトリ多角形で、一組の中心平面を巡り、面多角形は形成しますが大多角形は形成しません。^[aj]

120セルの弦とそれに内接する4次元多面体[15]
刻印あり[ak]						5セル	16セル	8セル	24セル	冷遇	600セル	ディミン	120セル
頂点						5	8	16	24	96	120	480	600 [j]
エッジ						10 [ページ]	24	32	96	432	720	1200	1200 [ページ]
エッジコード						#8 [d]	＃7	＃5	＃5	＃3	#3 [質問]	＃1	#1 [aa]
等傾斜弦[n]						＃8	＃15	＃10	＃10	＃5	＃5	＃4	#4 [動詞]
クリフォード多角形[ae]						{5/2}	{8/3}		{6/2}		{15/2}		{15/4} [z]
コード			アーク	角
1位 △		30		120セルエッジ[aa]									1 1200[z]	4 {3,3}
			15.5°	√ 𝜀 [ar]	0.270～
#2 ☐		15		斜めの顔[au]									3600	12 2{3,4}
			25.2°	√0.19 ~	0.437～
#3 𝜙		10	5/5	十角形 ${\displaystyle \phi ^{-1}}$							10 [k] 720		7200	24 2{3,5}
			36°	√ 0.𝚫	0.618～
#4 △		⁠15/2⁠		細胞直径[as]									1200	4 {3,3}
			44.5°	√0.57 ~	0.757～
#5 △		6	𝝅/3	大六角形[av]				32	225 [k] 96	225	5 [k] 1200		2400	32 4{4,3}
			60°	√1​	1
#6 𝜙		5	2/5	五角形​							720		7200	24 2{3,5}
			72°	√ 1.𝚫	1.175~
＃7 ☐		⁠30/7⁠	�/2	大広場[j]			675 [j] 24	675 48	72		1800		9000	54 9{3,4}
			90°	√2​	1.414~
＃8 ✩		⁠15/4⁠		5セルエッジ[d]		120 [d] 10						720	1200 [z]	4 {3,3}
			104.5°	√2.5​	1.581~
#9 𝜙		⁠10/3⁠	3/5	黄金比 ${\displaystyle \phi }$							720		7200	24 2{3,5}
			108°	√ 2.𝚽	1.618~
#10 △		3	2𝝅/3	大三角形				32	25 [k] 96		1200		2400	32 4{4,3}
			120°	√3​	1.732~
＃11 ✩		⁠30/11⁠		{30/11}グラム[al]									1200	4 {3,3}
			135.5°	√3.43 ~	1.851~
#12 𝜙		⁠5/2⁠	4𝝅/5	素晴らしいペント診断[aw]							720		7200	24 2{3,5}
			144° [a]	√ 3.𝚽	1.902~
＃13 ✩		⁠30/13⁠		{30/13}グラム									3600	12 2{3,4}
			154.8°	√3.81 ~	1.952~
#14 △		⁠15/7⁠		{30/14}=2{15/7}									1200	4 {3,3}
			164.5°	√3.93 ~	1.982~
#15 △☐𝜙		2	𝝅	直径			75 [k] 4	8	12	48	60	240	300 [j]	1
			180°	√4​	2
長さの平方の合計[ax]						25	64	256	576		14400		360000 [ai]	300

メジャー^[ai]コード #1 - #15 は、ペトリ多角形上で 1 - 15 辺離れた頂点ペアを結合します。

注釈付きの弦表は、120セルを構成するための完全な材料表です。120セル内の2次元多面体、3次元多面体、4次元多面体はすべて、表にある15個の1次元多面体から構成されます。

表のセル内の黒い整数は、その行の弦が列の4次元多面体にどのように出現するかを表します。例えば、#3弦の行では、600セルの72個の大十角形に合計 720個の#3弦が含まれています。

赤い整数は、上（列ラベル）の互いに素な4次元多面体の数で、これらが120セルを形成しています。例えば、120セルは25個の互いに素な24セル（25 * 24頂点 = 600頂点）から構成されています。

緑色の整数は、120セルから取り出せる、上図（列ラベル）の4次元多面体の個数です。例えば、120セルには、成分を共有する24次元多面体が225個含まれています。

右列の青い整数は、各120セル頂点における各行の弦の発生回数です。例えば、#3弦の行では、24本の #3弦が120セルの600個の頂点それぞれに収束し、二重二十面体頂点図2{3,5}を形成します。合計で300本の長弦^[ai]が120セルの各頂点で15種類の長さで交差します。

内部多面体間の関係

120セルは、他の5つの正則凸4次元多面体すべてを組み合わせたものである。^[20] 1次元、2次元、3次元、4次元の正則多面体間の関係はすべて、120セルに現れる。^[b]これは、これらすべての多面体がパーツとなっている4次元ジグソーパズルである。 ^[21]これらのパーツを組み合わせて120セルを構築する手順は数多くあるが、最終的には1つの方法でしか組み合わさらない。120セルは、これらすべての多面体の組み合わせに対する唯一の解である。^[7]

正 1 次元多面体は、120 セルのどの構成多面体でも、15 種類の異なる長さにのみ存在します。^[ai]アレクサンドロフの一意性定理によれば、互いに異なる形状を持つ凸多面体には、表面距離の異なる距離空間も存在するため、各正 4 次元多面体には、これら 15 種類の弦の独自のサブセットが存在します。

15個の弦のうち、 16セル、8セル、24セルに現れるのは4個だけです。4つの超三次弦 √1、√2、√3、√4は、 24セルとその構成要素すべてを構成するのに十分です。24セルは、これら4つの弦と、それらから構成できるすべての正多面体の組み合わせに対する唯一の解です。

600セルを構築するには、15個の弦のうちさらに4個が必要です。4つの黄金弦は、 √5の関数である無理分数の平方根です。600セルは、これら8個の弦と、それらから構築できるすべての正多面体の組み合わせに対する唯一の解です。24セルにはない、600セルに見られる新しいパーツの中で注目すべきは、五角形と二十面体です。

15種類の弦と、以下に列挙する15種類の他の異なる弦距離はすべて、120セルに存在します。120セルに見られる新しい要素の中で、600セルには見られないものとして注目すべきは、正則5セルと√5 /2弦です。^[ay]正則5セル（単体正則4次元多面体）と他の正則4次元多面体 との関係は、120セルにおいてのみ直接的に現れます。^[i] 600点120セルは、互いに素な5点5セル120個の複合体であり、また、互いに素な120点600セル5個（2つの異なる方法で）の複合体でもあります。各5セルには、互いに素な5つの600セルそれぞれに1つの頂点があり、したがって、互いに素な5つの24セル、互いに素な5つの8セル、互いに素な5つの16セルのそれぞれにも頂点があります。^[bc]各5セルは、他の正則4次元多面体のそれぞれについて、互いに素な5つのインスタンスを（2つの異なる方法で）結合するリングです。^[t]

5つの600個のセルの複合体

120セルの中心平面は200個あり、それぞれが12個の頂点と交差することで、長さの異なる2辺が交互に並ぶ不規則な12角形を形成します。この12角形には、2つの正大六角形（黒）、^[av]、 2つの不規則な大六角形（赤）、^[p]、そして4つの正大三角形（緑色で1つだけ示されています）が内接しています。

120セルには10個の600セルが含まれており、これらは2つの異なる方法で5つの完全に互いに素な600セルに分割できます。^[h] 5つの互いに素な600セルの複合体であるため、120セルには200個の不規則な大十二角形（{12}）の中心平面があります。これは、図示されているように、同じ中心平面を共有する大円多角形のいくつかが複合体を形成しています。200個の{12}の中心平面は、25個の互いに素な内接する24セルの六角形の中心平面と、120個の互いに素な内接する正5セルの二角形の中心平面が複合体を形成したものであり、24セルと5セルのすべての辺、そして120セルの辺も含んでいます。したがって、通常の5セル、8セルのハイパーキューブ、24セル、120セルのエッジと特徴的な回転^{[x]はすべて、同じ200回転平面内にあります。 [aj]} 10個の600セルのそれぞれが、200平面のセット全体を占めます。

120 セルの不規則な 12 角形 {12} の大円多角形には、6 つの短い辺 ( #1 弦、𝜁とマークされている) と、それより長い 6 つの 12 面体セル直径 ( #4弦) が交互に並んでいます。^[as]不規則な大 12 角形には、2 つの不規則な大六角形 (赤)が交互に内接しています。 ^[p] 3 分の 1 のサイズ ( √ 1、 #5 弦)の辺を持つ2 つの正大六角形も、12 角形に内接しています。 ^[av] 120 セルの不規則な大 12 角形平面、不規則な大六角形平面、正大六角形平面、正三角形平面は、すべて同じ 200 個の 12 角形平面のセットです。これらは 100 個の完全に直交するペアとして発生し、それぞれが六角形を含む 200 個の中心平面と同じで、10 個の内接する 600 個のセルのそれぞれに存在します。

120セルには正六角形が正確に400個（正十二角形の中心平面それぞれに2個ずつ）あり、10個の600セルそれぞれに、正六角形のうち200個（正十二角形の中心平面それぞれから1個ずつ）の異なるサブセットが含まれます。各600セルには、正十二角形の中心平面に内接する2つの正六角形のうち1つだけが含まれます。これは、正十二面体セルに内接する2つの正四面体のうち1つだけが含まれるのと同じです。各600セルは、他の4つの600セルとは隣接しておらず、他の5つの600セルと正六角形を共有しています。^[bf]隣接していない600セルのペアは、すべての正十二角形の中心平面において、対向する隣接していない正六角形のペアを占めます。互いに隣接していない600セルのペアは、16個の六角形で交差し、24セルを構成します。120セルには、互いに隣接していない24セル（25個）の9倍の、異なる24セル（225個）が含まれます。^[j]各24セルは9個の600セルに存在し、1個の600セルには存在せず、2個の600セルで共有されます。

測地長方形

120セルに見られる30の異なる弦^{[ai]は、180°の補角を持つ15組の弦として現れます。これらは、様々な種類の中心平面に位置する15種類の大円多角形を形成します。} △面は、不規則な大十二角形の{12}頂点と交差し、B面は正十角形の{10}頂点と交差し、☐面は、正方形を含む様々な種類の長方形の{4}頂点と交差します。

各大円多角形は、互いに180°の補角を持つ弦のペアによって特徴付けられます。これらの弦のペアは、互いに平行な対辺を持つ大円多角形を形成します。したがって、各大円多角形は長方形、または長方形の合成形のいずれかとなり、2本の弦が長方形の辺となります。

15組の相補弦はそれぞれ、120セルの互いに向き合う多面体断面の異なるペアに対応し、頂点は0 ₀断面です。この対応関係は、各120セルの頂点が、各多面体断面の頂点に均一な距離（弦の長さ）で囲まれているというものです。これは、多面体の頂点が長半径の距離で中心を囲むのと同じです。^[bg] #1弦は、120セルの四面体頂点図形である1 _{0断面の「半径」です。} ^[au] #14弦は、その合同な向き合う29 ₀断面の「半径」です。#7弦は、120セルの中心断面の「半径」で、2つの向き合う15 ₀断面が一致しています。

30本の弦（15組の180°のペア）で15種類の大円多角形と多面体断面が作られる[24]
ショートコード				大円多角形		ロングコード
1 0 #1	[広告]	${\displaystyle 1/\phi ^{2}{\sqrt {2}}}$			400個の不規則な大六角形 （600個の大長方形） 200個の△平面				29 0 #14
	15.5°	√ 0.𝜀 [ar]	0.270～			164.5°	√3.93 ~	1.982~
2 0 #2	[au]	${\displaystyle 1/\phi {\sqrt {2}}}$			☐平面 上の長方形				28 0 #13
	25.2°	√0.19 ~	0.437～			154.8°	√3.81 ~	1.952~
3 0 #3	${\displaystyle \pi /5}$	${\displaystyle 1/\phi }$			720個の大十角形 （3600個の大長方形）が720個の𝜙平面 に	${\displaystyle 4\pi /5}$	${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$		27 0 #12
	36°	√ 0.𝚫	0.618～			144° [a]	√ 3.𝚽	1.902~
4 0 #3~4		${\displaystyle {\sqrt {1}}/{\sqrt {2}}}$			☐平面 上の長方形		${\displaystyle {\sqrt {7}}/{\sqrt {2}}}$		26 0 #11~12
	41.4°	√0.5​	0.707～			138.6°	√3.5​	1.871~
5 0 #4		${\displaystyle {\sqrt {3}}/\phi {\sqrt {2}}}$			200個の不規則な大十二角形[bi] （600個の大長方形） を200個の△平面に		${\displaystyle \phi ^{2}/{\sqrt {2}}}$		25 0 #11
	44.5°	√0.57 ~	0.757～			135.5°	√3.43 ~	1.851~
6 0 #4~5					☐平面 上の長方形				24 0 #10~11~11
	49.1°	√0.69 ~	0.831～			130.9°	√3.31 ~	1.819~
7 0 #4~5~5					☐平面 上の長方形				23 0 #10~11
	56°	√0.88 ~	0.939～			124°	√3.12 ~	1.766~
8 0 #5	${\displaystyle \pi /3}$				200個の△平面に400個の正大六角形（1200個の大長方形）	${\displaystyle 2\pi /3}$			22 0 #10
	60°	√1​	1			120°	√3​	1.732~
9 0 #5~6					☐平面 上の長方形				21 0 #9~10~10
	66.1°	√1.19 ~	1.091~			113.9°	√2.81 ~	1.676~
10 0 #5~6~6					☐平面 上の長方形				20 0 #9~10
	69.8°	√1.31 ~	1.144~			110.2°	√2.69 ~	1.640~
11 0 #6	${\displaystyle 2\pi /5}$	${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$			1440 個の大五角形[s] (3600 個の大長方形) 720 𝜙飛行機	${\displaystyle 3\pi /5}$	${\displaystyle \phi }$		19 0 #9
	72°	√ 1.𝚫	1.175~			108°	√ 2.𝚽	1.618~
12 0 #6~6~7		${\displaystyle {\sqrt {3}}/{\sqrt {2}}}$			1200個の大二角形5セル辺[bj] (600個の大長方形) 200機の△機で		${\displaystyle {\sqrt {5}}/{\sqrt {2}}}$		18 0 #8
	75.5°	√1.5​	1.224~			104.5°	√2.5​	1.581~
13 0 #6~7					☐平面 上の長方形				17 0 #7~8~8
	81.1°	√1.69 ~	1.300〜			98.9°	√2.31 ~	1.520~
14 0 #6~7~7					☐平面 上の長方形				16 0 #7~8
	84.5°	√0.81 ~	1.345~			95.5°	√2.19 ~	1.480~
15 0 #7	${\displaystyle \pi /2}$				4050の大きな正方形[j] 4050 ☐飛行機	${\displaystyle \pi /2}$			15 0 #7
	90°	√2​	1.414~			90°	√2​	1.414~

同心円状の船体

これらの直交座標次元の 3 つを使用して 120 セルを直交投影すると、ノルム = √ 8の面取りされた12 面体である全体ハルが形成されます。ハル 1、2、7 はそれぞれ12面体のペアです。ハル 3 は20 面体のペアです。ハル 4 と 5 はそれぞれ切頂 20面体のペアです。ハル 6 は半正三角形の菱形 20 面体のペアです。ハル 8 は中央部分である単一の不均一な菱形 20 面体です。

これらの包は、120セルのセクション1～8を、セル（包1）から始まる形で示しています。^[25]セクションとは、 3次元球面（2次元球面（通常の球面））を平坦な3次元超平面で切断したものです。これは、2次元球面（1次元球面（通常の円））を平坦な2次元平面で切断したものと次元的に類似しています。

殻はすべて同じ大きさであるかのように描かれていますが、実際には番号が付けられるにつれて半径が大きくなります。つまり、殻は互いに入れ子になった同心円状の2次元球体です。120個のセルの各セルは、8つの同心円状の殻の集合の中で最小の殻です。8つの殻が120組の入れ子構造になっています。

120 セルは実際には 15 のセクションから構成され、各セクションは 1 から 15 まで番号が付けられ、中央の 8 がセルです。1 から 8 までサイズが大きくなると、殻は再び小さくなります。セクション 1 と 15 はどちらも殻 1 で、120 セルの正十二面体セルで、最小の殻です。セクション 8 は中央セクションで、最大の殻であり、120 セルと同じ半径を持ちます。中央セクション 8 を除き、セクションは中央セクションの両側に平行に 2 つ存在します。殻 8 は寸法的に赤道に相似であり、殻 1 から 7 は寸法的に緯線に相似です。120 セルには殻 1 から 7 の各種類が 120 個ありますが、中央の殻 8 は 60 個しかありません。

多面体グラフ

単位半径 120 セルの多面体グラフを表す頂点の隣接行列を考慮すると、グラフの直径は 15 で、各頂点はユークリッド距離2 (その円周直径) 離れた座標否定に接続され、多面体のエッジに沿ってそれらを接続するパスは 24 種類あります。各頂点から、距離1に4つの頂点、距離2に12の頂点、距離3に24の頂点、距離4に36の頂点、距離5に52の頂点、距離6に68の頂点、距離7に76の頂点、距離8に78の頂点、距離9に72の頂点、距離10に64の頂点、距離11に56の頂点、距離12に40の頂点、距離13に12の頂点、距離14に4の頂点、距離15に1の頂点があります。隣接行列には、⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0.270（多重度 4）から 2（多重度 1）まで。固有値 0 の多重度は 18 で、隣接行列の階数は 582 です。

120 セルの多面体グラフの頂点は3 色可能です。

このグラフはオイラーグラフであり、すべての頂点は次数4である。その辺集合は2つのハミルトン閉路に分解できる。^[26]

建設

120 セルは、6 つの凸正 4 次元多面体のシーケンスの中で (サイズと複雑さの順で) 6 番目です。^{[c]これは、その前身 (かつ双対) である}600 セルの 10 個の異なるインスタンス (または 5 個の分離したインスタンス) に分解できます。 ^[h] 600 セルがその前身である24 セルの 25 個の異なるインスタンス (または 5 個の分離したインスタンス) に分解できるのと同様に、^[be] 24 セルはその前身である 4 次元立方体(8 セル) の 3 個の異なるインスタンスに分解でき、8 セルはその前身 (かつ双対) である16 セルの 2 個の分離したインスタンスに分解できます。^[29] 120 セルには、16 セルの 675 個の異なるインスタンス (75 個の分離したインスタンス) が含まれます。^[j]

それぞれのインスタンスを前のインスタンスから逆順に構築すると、前のインスタンスの半径は維持されますが、一般的には辺の長さが短い後続のインスタンスが生成されます。600セルの辺の長さは半径の約0.618倍（逆黄金比）ですが、120セルの辺の長さは半径の約0.270倍です。

120セルは、120個の互いに素な正5セルの正則合成の凸包でもあります。これは、次のように、5個の互いに素な600セルの合成と等価であることがわかります。まず、120点の600セルを1つ選び、各頂点を正5セルに拡張します。120個の頂点それぞれに、等間隔に4つの頂点を追加します。こうすることで、5つの頂点が3次元球面に内接する正5セルを形成します。120個の5セルは互いに素であり、600個の頂点は5個の互いに素な120点の600セル、すなわち120セルを形成します。

デュアル600セル

正十二面体に内接する5つの四面体。図示されていないが、互いに対向する5つの四面体も内接する。

120セルは600セルの双対であるため、600セルの600個の頂点を600個の四面体セルの体積中心に配置することで、600セルから120セルを構築できます。単位長半径の600セルから、わずかに長半径の小さい120セルが得られます（⁠φ ²/√8​⁠ ≈ 0.926）と辺の長さがちょうど1/4である。したがって、単位辺長120セル（長半径φ ² √ 2 ≈ 3.702）は、長半径4の600セルのちょうど内側にこのように構築できる。単位半径120セル（辺長⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0.270)は、このようにして長半径600セルの内側に構築できる。⁠√8​/φ ²⁠ ≈ 1.080。

正十二面体（破線）に内接する5つの立方体のうちの1つ。各立方体には2つの正四面体（図示なし）が内接しており、正十二面体には120セルの正四面体のうち600セルごとに1つずつ、計10個の正四面体が内接している^。

逆に、単位半径120セルは、わずかに小さい長半径600セルのすぐ外側に構築することができます。φ ²/√8​⁠ ≈ 0.926。これは、各正十二面体セルの中心を120個の600セル頂点の1つに配置することによって得られる。上記の座標が与えられた120セルの長半径は√8 = 2√2 ≈ 2.828、辺の長さは⁠2/φ ²⁠ = 3− √ 5 ^{≈ 0.764 は、長半径 φ 2}の 600 セルのすぐ外側でこのように構築できます。これは、 ≈ 0.926 と同じ比率で√ 8より小さく、600 セルの辺の長さと黄金比になっているため、 φ である必要があります。Coxeter ^{[3]によって与えられた、辺の長さが 2 で長半径が φ 2} √ 8 ≈ 7.405の 120 セルは、長半径 φ ⁴で辺の長さが φ ³の 600 セルのすぐ外側でこのように構築できます。

したがって、単位半径 120 セルは、その前身である単位半径 600 セルから 3 回の往復ステップで構築できます。

内接双対セルの回転

120セルには内接する600セルが含まれるため、同じ半径を持つ双対が120セル自身に存在します。120セルには5つの互いに素な600セル（重なり合う10個の内接する600セルのうち、互いに素な5つの600セルを2通りの方法で取り出すことができる）が含まれるため、120セルは5つの双対が（2通りの方法で）組み合わさったものと見なすことができます。内接する600セルの頂点は120セルの頂点であり、（双対的に）各正十二面体セル中心は、内接する600セルのそれぞれにおける正四面体セル中心です。

120セルの正十二面体セルには、600セルの正四面体セルが内接している。^[31] 120セルが5つの600セルの複合体であるのと同様に（2通りの方法）、正十二面体は5つの正四面体の複合体である（2通りの方法）。2つの対向する四面体が立方体に内接し、5つの立方体が正十二面体に内接するように、5つの立方体の10個の四面体が正十二面体に内接することができる。つまり、5つの対向するセットが2つあり、各セットは20頂点すべてをカバーし、各頂点は2つの四面体（各セットから1つ、ただし立方体の対向するペアは除く）に含まれる。^[32]これは、120セルには、その多くの内部特徴の中に、10個の四面体からなる120個の化合物が含まれており、それぞれの四面体は、10個の600セルからなる化合物である120セル全体と寸法的に相似であることを示しています。^[h]

10個の正四面体はすべて、任意の正四面体を2回、キラルな5クリック回転させることによって生成できます。各正十二面体セルにおいて、120セルに内接する10個の600セルそれぞれから1個の正四面体セルが生まれます。^[bk]したがって、10個の600セルすべてが内接する120セル全体は、1個の600セルを回転させることによって生成できます。

増強

120セルに600セルが内接していることのもう一つの帰結は、 600セルのセルに何らかの4面体ピラミッドを置くことで、このピラミッドを構成できるということである。この場合、これらの四面体ピラミッドは極めて不規則な形状（頂点が4つの「頂点」に鈍化している）となるが、正四面体が正十二面体に内接している様子から、その形状を判別することができる。^[bl]

120セルの正十二面体には、600セルの正四面体のうち120セルのみが内接し、残りの480セルの正四面体は正十二面体セルを囲んでいる。正十二面体に内接する正四面体は、 5つの正四面体からなるクラスターの中心セルであり、その周囲に面結合した他の4つの正四面体は、正十二面体の内部に部分的にのみ存在する。中心の正四面体は、さらに12個の正四面体セルと辺結合しており、これらも正十二面体の内部に部分的にのみ存在する。^[bm]中心セルは、正十二面体の外部に完全に存在する他の40個の正四面体セルと頂点結合している。

ワイル軌道

もう1つの構築方法は、四元数と120次のワイル群軌道の正20面体対称性を使用する^。[34]以下は、ワイル群W(D4)の下でのD4の四元数軌道重みとして24セルを記述する: O ( 0100): T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000): V1 O(0010): V2 O(0001): V3 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};}$$

が、およびの共役である四元数の場合、コクセター群は、位数 14400 の600 セルと 120 セルの対称群です。 ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

およびを内でのの交換として与えると、次を構築できます。 ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• スナブ24セル ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 600セル ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• 120セル ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• 代替スナブ24セル ${\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}$
• デュアルスナブ 24 セル= 。 ${\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}$

構成として

この配置行列は120個のセルを表します。行と列は頂点、辺、面、そしてセルに対応します。対角の数字は、各要素が120個のセル全体にいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ出現するかを示します。^{[35] [36]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

これはk面要素とk図形で展開された配置です。対角要素の数は、コクセター群の完全位数14400を、鏡像を除去した部分群の位数で割った比です。

H4​		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	k -fig	注記
A3​		（）	f 0	600	4	6	4	{3,3}	H 4 / A 3 = 14400/24 = 600
A 1 A 2		{ }	f 1	2	1200	3	3	{3}	H 4 /A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
H 2 A 1		{5}	f 2	5	5	720	2	{ }	H 4 /H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
H3​		{5,3}	f 3	20	30	12	120	（）	H 4 /H 3 = 14400/120 = 120

視覚化

120セルは120個の正十二面体セルから構成される。視覚化の観点から、正十二面体は互いに向かい合う平行な面を持つ（これはテッセラクトや24セルのセルと共通する特徴である）のが有利である。正十二面体を4番目の方向に直線状に折り曲げて積み重ねると、円周が10セルの大円となる。この最初の10セル構造から、2つの一般的な視覚化手法が利用可能である。それは、層状の立体投影と、絡み合ったリング構造（離散ホップファイブレーション）である。^[37]

階層化された立体投影

セルの位置は超球面的な記述に適している。^[38] 任意の正十二面体を1つ選び、「北極」と呼ぶ。12本の大円子午線（4セル分の長さ）が3次元的に放射状に広がり、5番目の「南極」セルに収束する。この骨格は120個のセルのうち50個（2 + 4 × 12）を占める。

北極から始めて、120セルを9つの緯度層に分け、下表の地球の2球面地形を暗示しています。極を除き、各層のセルの重心はそれぞれ別の2球面上にあり、赤道の重心は大2球面上にあります。30個の赤道セルの重心はイコシドデカヘドロン（二十面体）の頂点を形成し、子午線（前述の通り）は各五角形面の中心を通ります。下表で「間隙」とラベル付けされたセルは、子午線大円上にはありません。

レイヤー番号	セルの数	説明	緯度	地域
1	1セル	北極	0°	北半球
2	12セル	子午線セルの第1層 / 「北極圏」	36°
3	20セル	非経線/間質	60°
4	12セル	子午線細胞の第2層 / 「北回帰線」	72°
5	30セル	非経線/間質	90°	赤道
6	12セル	子午線セルの第3層 / 「南回帰線」	108°	南半球
7	20セル	非経線/間質	120°
8	12セル	子午線セルの第4層 / 「南極圏」	144°
9	1セル	南極	180°
合計	120個のセル

第2層、第4層、第6層、第8層の細胞は極細胞の面上に位置しています。第3層と第7層の細胞は極細胞の頂点の真上に位置しています。第5層の細胞は極細胞の辺上に位置しています。

絡み合う輪

120 セルの 2 つの絡み合ったリング。

セル中心投影における2つの直交リング

120 セルは 12 個の互いに素な 10 セルの大円リングに分割でき、離散的/量子化されたホップファイブレーションを形成できる。^{[39] [40] [41] [検証失敗] [42] [37]} 1 つの 10 セルリングから始めて、10 セルで元のリングの周りを 1 周する別のリングをその横に置くことができる。このような 5 つの 10 セルリングを、元の 10 セルリングの隣に配置できる。外側のリングは内側のリングの周りを (そして互いの周りを) 「螺旋状」に回るが、実際には螺旋状のねじれはない。それらはすべて等価である。螺旋は 3 次元球面の曲率の結果である。内側のリングと 5 つの外側のリングは、6 つのリングと 60 セルのソリッドトーラスを形成する。前のトーラスに隣接して 10 セルのリングを追加し続けることもできますが、残りの 60 セルから、最初のトーラスとは分離した 2 番目のトーラスを構築し、最初のトーラスと連動させる方が有益です。120 セルは、3 次元球面と同様に、これら 2 つの (クリフォード) トーラスの和です。最初のトーラスの中心リングが上で定義した子午線大円である場合、2 番目のトーラスの中心リングは子午線円を中心とする赤道大円です。^[43]また、中心リングの周りの 50 セルの螺旋シェルは、左手または右手のどちらにもなり得ることにも注意してください。シェル内のセルを異なる方法で分割する、つまり別の分離した (クリフォード平行) 大円のセットを選択するだけです。

その他の大円構造

もう一つの興味深い大円パスは、交互に反対側のセルの頂点を通り、次にエッジに沿うものです。このパスは、6 つのエッジと 6 つのセル直径の弦が交互に並び、中心平面に不規則な 12 角形を形成します。これらの大円パスは両方とも、600 セルに二重の大円パスを持ちます。上記の 10 セルの対面パスは、600 セルのエッジに沿ってのみ横断する 10 頂点パスにマップされ、10角形を形成します。^[q]交互セル/エッジ パスは、600 セルで 12 個の四面体が交互に対面し、次に頂点と頂点が対面するパス (6 つの三角両錐) にマップされます。後者のパスは、スナブ 24 セル(または600 セルの20 面体ピラミッド)で対面する6 個の 20 面体のリングに対応し、六角形を形成します。

120 セルに固有の別の大円多角形パスが存在し、600 セルには対応するものが二重にありません。このパスは、3 つの 120 セルの辺と 3 つの内接する 5 セルの辺 (#8 弦) で構成され、上に示したように短辺と長辺が交互になる不規則な大六角形を形成します。^[p]各 5 セルの辺は、3 つの正十二面体セルの体積 (10 個の面結合正十二面体セルのリング内) を通り、3 番目の正十二面体の反対側の五角形の面まで伸びています。この不規則な大六角形は、上で説明した不規則な大十二角形と同じ中心平面 (同じ大円上) にありますが、{12} 個の正十二角形の頂点のうち {6} 個とのみ交差します。各不規則な大十二角形には、交互の位置に 2 つの不規則な大六角形が内接しています。

2D直交投影

120角形の直交投影は、特定の視線方向に対して2つの直交基底ベクトルを定義することで2次元で行うことができます。30角形投影は1963年にB.L.チルトンによって作成されました。 ^[44]

H3十角形図法は、ファン・オス多角形の平面を示します。

コクセター平面による正投影図^[45]

H4​	-	F4​
[30] （赤=1）	[20] （赤=1）	[12] （赤=1）
H3​	A 2 / B 3 / D 4	A 3 / B 2
[10] （赤＝5、オレンジ＝10）	[6] （赤＝1、オレンジ＝3、黄色＝6、ライム＝9、緑＝12）	[4] （赤＝1、オレンジ＝2、黄色＝4、ライム＝6、緑＝8）

3Dパースペクティブ投影

これらの投影法は、4次元の特定の視点からモデルを3次元の影として投影する透視投影法を採用しています。したがって、大きく見える面やセルは、4次元の視点に近いだけなのです。

3D 正十二面体から 2D への透視投影 (左上) と 4D 120 セルから 3D への投影 (右下) の比較は、次元の類推により 2 つの関連する透視投影法を示しています。シュレーゲル図は、平面化された次元の奥行きを示すために透視投影法を使用しています。特定のセルの上にある視点を選択することで、そのセルをモデルのエンベロープにし、その内部にある他のセルを小さく表示しています。立体投影は同じアプローチを使用していますが、曲線のエッジで表示され、球面多面体を3 次元球のタイリングとして表しています。これらの方法は両方とも、セルが実際には互いに入れ子になっておらず (面と面が接している)、すべて同じサイズであるため、オブジェクトを歪ませます。他の透視投影法、たとえば以下の回転アニメーションなどは、この特定の種類の歪みではなく、他の種類の歪み (すべての投影で必ず見られる) を示しています。

正十二面体との比較

投影	十二面体	120セル
シュレーゲル図	平面上の12個の五角形の面	3次元空間に120個の正十二面体セル
立体投影		透明な顔で

強化された透視投影
	中心から頂点までの距離の 5 倍でのセルファースト透視投影。次の拡張機能が適用されます。 4D視点に最も近い十二面体は黄色で表示されます これに隣接する 12 個の十二面体はシアン色で表示されます。 残りの十二面体は緑色で表示されます。 最終画像の乱雑さを最小限に抑えるために、4D の視点から離れたセル (120 セルの「反対側」にあるセル) が除去されました。
	中心から頂点までの距離の 5 倍での頂点優先透視投影。次の機能強化が行われています。 最も近い頂点を囲む4つのセルが4色で表示されます 最も近い頂点は白で表示されます（4つのセルが交わる画像の中心） 残りのセルは透明な緑色で表示されます 4D の視点から離れた方向を向いたセルは、わかりやすくするために削除されています

アニメーション

単純な回転を実行する4D 120セルの3Dへの投影
4次元空間の3次元球面の外側から。	3 次元球の3D 表面の内側。

上記の120セルの投影図では、120セルの縁のみが描かれており、その他の弦は描かれていません。120セルの複雑な内部構造、すなわち内接する600セル、24セル、8セル、16セル、そして5セルは、どの図でも完全に見えません。鑑賞者はそれらを想像しなければなりません。

次のアニメーションは例外であり、内接する 4 次元多面体は示されませんが、内部弦がいくつか表示されます。

コクセター断面図
4D 600/120セル、97フレーム（=48x2 L/R+1 Center）の全断面を、4Dから3DのFlatlanderビューで表示しています。中央部分は、凸包の組み合わせとして強調表示されています。

関連する多面体とハニカム

H₄多面体

120セルは、同じH4対称性を持つ15個の正則かつ均一な多面体のうちの1つである_[ 3,3,5]: ^[46]

H 4族多面体
120セル	整流 120セル	切り捨てられた 120細胞	120セルのカンテレーション	ランシネート 120セル	120細胞切断型	ランシトランケート 120セル	全切断型 120細胞
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t 0,3 {5,3,3}	tr{5,3,3}	t 0,1,3 {5,3,3}	t 0,1,2,3 {5,3,3}
600セル	整流 600セル	切り捨てられた 600細胞	600セルのカンテレーション	ビットランケート 600セル	600セルの切断	ランシトランケート 600セル	全切断型 600細胞
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t 0,1,3 {3,3,5}	t 0,1,2,3 {3,3,5}

{p,3,3}多面体

120セルは、3つの正則4次元多面体、すなわちユークリッド4次元空間の5セル{3,3,3}とテッセラクト{4,3,3}、そして双曲空間の六角形タイル張りハニカム{6,3,3}に相似である。これらはすべて、正四面体 頂点図形{3,3}を持つ。

{p,3,3}多面体
空間		S 3			H3​
形状		有限			パラコンパクト	非コンパクト
名前		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	... {∞,3,3}
画像
セル {p,3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

{5,3,p}多面体

120 セルは、4 次元多面体と正十二面体セルを持つハニカムのシーケンスの一部です。

{5,3,p}多面体
空間	S 3	H3​
形状	有限	コンパクト		パラコンパクト	非コンパクト
名前	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
画像
頂点 図形	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

四面体状に縮小した120セル

600点の120セルには5つの互いに交わらない内接する600セルがあるため、これらの120点の600セルの1つを除去することで縮小でき、不規則な480点の4次元多面体を作成できます。^[bn]

正四面体縮小十二面体では、4つの頂点が正三角形に切り取られます。12個の五角形の面は1つの頂点を失い、台形になります。

120セルの正十二面体の各セルは、20個の頂点のうち4つを削除することで縮小され、不規則な16頂点の多面体が作成されます。これは、削除された4つの頂点が正十二面体に内接する正四面体を形成するため、正四面体縮小正十二面体と呼ばれます。正十二面体の頂点図は三角形であるため、切り取られた各頂点は三角形に置き換えられます。12個の五角形面は12個の台形に置き換えられます。これは、各五角形から1つの頂点を削除し、2つの辺を五角形の対角線に置き換えるためです。^[at]正四面体縮小正十二面体には、16個の頂点と16個の面があります。12個の台形面と4個の正三角形面です。

120セルの頂点図形は正四面体であるため、^[bl]切断された各頂点は正四面体に置き換えられ、正四面体縮小十二面体セルが120個と正正十二面体セルが120個残る。正正十二面体と正正正十二面体縮小十二面体はどちらも30辺を持ち、正正120セルと正正正正十二面体縮小十二面体はどちらも1200辺を持つ。

480点の縮小 120 セルは、セルが四面体的に縮小されているため、四面体的に縮小 120セルと呼ばれることもあります。また、削除された頂点によって 120 セルに内接する 600 セルが形成されるため、600 セルの縮小 120 セルと呼ばれることもあります。さらに、120 個の頂点を削除すると、120 個の内接する正 5 セルのそれぞれから 1 つの頂点が削除され、120 個の正四面体が残るため、正 5 セルの縮小 120 セルと呼ばれることもあります。^[d]

デイビス120セルマニホールド

デイビス(1985)によって導入されたデイビス120細胞多様体は、120細胞の反対面を識別することによって得られるコンパクトな4次元双曲型多様体であり、その普遍被覆は4次元双曲型空間の正則ハニカム {5,3,3,5}を与える。

参照

• 57 セル– 57 個の半十二面体から構成される抽象的な正4 次元多面体。
• 600細胞- 120細胞に対する双対4多面体
• [5,3,3]対称性を持つ一様4次元多面体族

注記

1. 120セルでは、3つの正十二面体と3つの五角形がすべての辺で接しています。4つの正十二面体、6つの五角形、4つの辺がすべての頂点で接しています。正十二面体超平面間の二面角は144°です。^[3]
2. 120セルには、正多面体{7}以上を除くすべての正凸多面体、2多面体、3多面体、4多面体が存在する。ただし、正多面体{7}以上は例外であり、そのほとんどは存在しない。{10}は注目すべき例外であるが、実際に存在する。120セルには、正多面体{7}以上を含む様々な正斜多面体、特に{11}、 ^[al]、 {15} ^[z]、{30}が存在する。^[q]
3. 凸正4次元多面体は、同じ半径における4次元コンテンツ（超体積）の大きさの尺度として、大きさで順序付けることができる。この順序における大きな多面体はそれぞれ、前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くの4次元コンテンツを含む。4単体（5セル）が極限最小の場合であり、120セルが最大である。複雑度（配置行列の比較、または単に頂点数で測定）も同じ順序に従う。これは、正多面体に対する代替の数値命名体系を提供し、120セルは600点の4次元多面体である。これは、5点の4次元多面体から始まる昇順の順序において、6番目で最後である。

4. 

   三角錐{30/12}=6{5/2}において、
   120個のセルに内接する辺長√2.5の120個の互いに交わらない正5セルのうち6個は、 5セルのクリフォード多角形である6つの五角形として現れる。30個の頂点は120セルのペトリー多角形^[q]を構成し、 30個のジグザグ辺（図示せず）と、投影面に対してクリフォード平行となる3つの内接大十角形（辺は図示せず）から構成される。^[s]

   単位半径 120 セルには、120 個の互いに素な正則 5 セルが内接しており^[12] 、その辺の長さは√ 2.5 である。5 セルと 120 セルを除き、正則 4 多面体には√ 2.5弦 (#8 弦) は含まれない。^[e] 120 セルには、10 個の互いに素な 600 セルが内接しており、これらは 2 つの異なる方法で 5 つの互いに素な 600 セルとして捉えることができる。各√ 2.5弦は互いに素な 600 セル内の 2 つの頂点を接続しており、したがって互いに素な 24 セル、8 セル、16 セル内の頂点も接続している。^[i] 5 セルの辺と 120 セルの辺はどちらも互いに素な 600 セル内の頂点を接続している。互いに素な600セル内の対応する同種の多面体はクリフォード平行で、√2.5離れている。各5セルには、互いに素な5つの600セルからそれぞれ1つの頂点が含まれる。^[t]
5. 正凸 4 次元多面体の複数のインスタンスは、それより大きい後続の 4 次元多面体のいずれかに内接することができます。ただし、最小の正凸 5 次元多面体は、最大の正凸 120 次元多面体にのみ内接します。^[i] 4 次元多面体が互いに入れ子になっている仕組みを理解するには、内接する 4 次元多面体の互いに素な複数のインスタンスと、単に異なる複数のインスタンスを注意深く区別する必要があります。たとえば、600 点の 120 セルは、完全に分離した 75 個の 8 点 16 セルの複合体の凸包です。これらのセルは頂点を共有せず、75 * 8 = 600 です。ただし、120 セル内から 675 個の個別の 16 セルを取り出すことも可能で、そのほとんどのペアはいくつかの頂点を共有しています。これは、2 つの同心円状の等半径 16 セルを、2 つの頂点 (軸) または 4 つの頂点 (大きな正方形の平面) を共有するように互いに回転させることができる一方で、残りの頂点は一致しないためです。^[j] 4 次元空間では、任意の 2 つの合同な正 4 次元多面体は同心円であっても、頂点の共通サブセットのみを共有するように互いに対して回転することができます。 4 単体 (5 点の正 5 セル) の場合のみ、その共通頂点サブセットは、5 つの頂点すべてが空でない限り、常に空でなければなりません。2 つの同心 4 単体を、頂点の一部が一致するように互いに回転させることなど不可能です。2 つの 4 単体は完全に一致するか、完全に互いに素であるかのどちらかです。この特性を持つのは 4 単体のみです。16 セル、さらにはより大きな正 4 多面体も、そのペアが頂点の一部を共有し、すべてを共有しないように、自身に対して回転させることができます。直感的には、4 単体のみが、回転後に不変となる可能性のある反対頂点 (2 頂点の中心軸) を持たないという事実から、これがどのように導かれるかがわかります。 120 セルには、完全に分離した 120 個の正 5 セルが含まれます。これらは、唯一の異なる内接する正 5 セルですが、正 4 多面体のその他の入れ子構造には、いくつかの分離した内接する 4 多面体と、より多数の異なる内接する 4 多面体が含まれます。
6. (Coxeter 1973)では、正多面体の3つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表すためにギリシャ文字 𝝓 (ファイ) が用いられています。𝝓 は黄金比定数 ≈ 1.618 を表すのに一般的に用いられますが、Coxeter はこの定数に � (タウ) を用いています。そこで、ここでは Coxeter の慣例を逆にし、特性角を表すのに � を用います。
7. これらの3つの4次元多面体の座標を四元数乗算して冗長性を抑えながら600個の座標すべてを得るには、24セルの1つの頂点（√1 /2、√1 / 2、0、0）だけを含めるだけで十分である。^[9]
8. 120セルの600頂点は、2つの異なる方法で、5つの互いに隣接しない内接する120頂点600セルに分割できます。^[33]この4次元分割の形状は、正十二面体の20頂点を5つの互いに隣接しない内接四面体に分割する3次元分割と次元的に類似しており、これも2つの異なる方法で行うことができます。これは、各正十二面体セルに、互いに隣接しない5つの内接四面体セルの2つの反対のセットが含まれているためです。120セルは、正十二面体と類似した方法で分割できます。これは、各正十二面体セルに、10個の内接する600セルのそれぞれから1つの四面体セルが含まれているためです。
9. 正5細胞（4単体）と正16細胞（4正複合体）の間には幾何学的な関係があるが、それは3単体と5正複合体を通して間接的にのみ現れる。-単体は頂点と（-1）単体ファセットで囲まれ、長径（その辺）の長さは半径である。 -正複合体は頂点と（ -1）単体ファセットで囲まれ、長径（その直交軸）の長さは半径である。-立方体は頂点と（-1）立方ファセットで囲まれ、長径の長さは半径である。^[az] 3立方体の長径は3正複合体の軸よりも短い。4次元正方体（4-orthoplex）の座標はの順列であり、その16面（3次元単体）の1つの4次元座標は の順列である。^[ba] 4次元立方体の長径は、4次元正方体（ 4-orthoplex）の軸と同じ長さである。5次元正方体（ 5-orthoplex）の座標はの順列であり、その32面（4次元単体）の1つの5次元座標は の順列である。^[bb] 5次元立方体の長径は、5次元正方体（5-orthoplex）の軸よりも長い。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$
10. 120 セルには、4 次元ユークリッド空間の 3 次元球面の表面に対称的に分布する 600 個の頂点があります。頂点は対心ペアになっており、対心ペアの頂点を通る線が120 セルの300 本の放射線[または軸] を定義します。4 つの相互に直交する放射線 (または方向) の任意のセットを基底と呼びます。300 本の放射線は 675 の基底を形成し、各放射線は 9 の基底に存在し、これらの基底内の 27 の異なる同伴者と直交し、他のどの放射線とも直交しません。放射線と基底は幾何学的構成を構成します。これは構成の言語では 300 ₉ 675 ₄と書かれ、各放射線が 9 の基底に属し、各基底に 4 本の放射線が含まれることを示します。^[30]各基底は、4つの直交軸と6つの直交する大きな正方形を含む個別の16セルに対応します。120セルの600頂点すべてを含む75個の完全に互いに素な16セルは、675個の個別の16セルから選択できます。^[e]
11. 120セルは、 5つの互いに素な600セル^[h]、25つの互いに素な24セル、75つの互いに素な16セル、または120の互いに素な5セルの複合体として構成できます。120個の5セルの場合を除いて^[e] 、これらは120セルに内接するすべての異なる正則4次元多面体の数ではなく、複合すると120セルの凸包を形成する、完全に互いに素な内接4次元多面体の数のみです。120セルには、 10個の互いに素な600セル、225個の互いに素な24セル、および675個の互いに素な16セルが含まれます。^[j]
12. 同じ円周を持つ3次元球面の等傾斜線はすべて合同な円です。通常の大円は円周の等傾斜線です。単位半径多面体の単純な回転は2πの等傾斜線上で行われます。二重回転は円周以外の等傾斜線を持つ場合があります。正4次元多面体の特性回転は、その辺を含む中心面が回転の不変面となる等傾斜回転です。16セルと24セルは4πの円周の等傾斜線上で辺回転します。600セルは5πの円周の等傾斜線上で辺回転します。 ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$
13. 等傾斜線は、4次元全体にわたって閉じた、湾曲した、螺旋状の大円です。通常の大円とは異なり、単一の中心平面上にはありませんが、他の大円と同様に、4次元多面体の境界面の湾曲した3次元空間内で見ると直線、つまり測地線になります。通常の大円と等傾斜線大円はどちらも、大円の平行な束が互いに螺旋状に絡み合っているという意味で螺旋状ですが、どちらも実際にはねじれてはいません（固有のねじれはありません）。その曲率はそれ自体の曲率ではなく、3次元球面の自然曲率の特性であり、その曲面空間内では有限の（閉じた）直線セグメントになります。^[l]混乱を避けるために、私たちは常に等傾斜線そのものを指し、大円という用語は平面上の通常の大円に対して使用します。
14. 等斜^[o]回転は、完全に直交する不変中心平面での、同時に等回転角の二重回転です。すべての離散等斜回転には、2 つの特徴的な円弧角 (弦の長さ)、つまり回転角と等傾斜角があります。^[x]頂点から隣接する頂点への増分回転ステップごとに、各不変回転面は回転角で回転し、横にも等しい回転角で傾きます (コインを投げたときのように)。^[am]したがって、各頂点は大円上で 1 回転角増分だけ回転し、同時に大円全体が完全に直交する大円とともに等しい回転角増分だけ回転します。^[ap]これら 2 つの同時かつ等しい大円回転増分の積は、各頂点の等傾斜角増分 (等傾斜弦の長さ) による全体的な変位です。したがって、回転角は、移動する大円の座標系における頂点の変位を測定するだけでなく、静止座標系における移動する大円の横方向の変位（回転によって大円が移動する隣接するクリフォード平行大円多角形との距離）も測定します。等傾斜弦長は、静止座標系における頂点の総変位、つまり2つの大円多角形間の斜弦（回転における対応する頂点間の距離）です。
15. 4次元空間における2つの平面間の距離を指定するには、2つの角度が必要である。^[11] 2つの角度が等しい場合、2つの平面は等傾斜面（クリフォード平行面とも呼ばれる）と呼ばれ、1点で交差する。二重回転では、点は不変中心回転面内である角度で回転し、不変中心回転面全体も（直交不変中心回転面内で）横にある角度で傾く。したがって、各頂点は、異なる中心平面上の2点間で等傾斜面^[m]と呼ばれる螺旋状の滑らかな曲線を横断するとともに、2つの直交中心平面のそれぞれで通常の大円を横断する（平面が元の平面に対して傾くため）。2つの直交角度が等しい場合、各大円に沿って移動する距離は同じであり、二重回転は等傾斜面（クリフォード変位とも呼ばれる）と呼ばれる。等斜面を互いに向かう回転を等斜回転という。^[n]
16. 120 セルの特性等斜回転^[z]の不変中心平面には、長さの異なる 2 種類の辺が交互に並ぶ不規則大六角形 {6} が含まれます。長さ 𝜁 = √ 𝜀 (#1 弦) の 120 セルの辺が 3 つと、長さ√ 2.5 (#8 弦)の 5 セルの内接する正六角形が 3 つあります。これらは、それぞれ、任意の正 4 次元多面体の最短辺と最長辺です。^[ab]不規則大六角形はそれぞれ、別の不規則大六角形と完全に直交しています。^[ac] 120 セルには 400 個の異なる不規則大六角形 (完全に直交する 200 組) が含まれており、これらは 4 つの異なる方法で 100 個の互いに素な不規則大六角形 (120 セルの離散ファイバ) に分割できます。それぞれのファイブレーションは、50組の完全に直交する不変中心平面において、それぞれ異なる左（および右）等斜回転を持つ。2つの不規則な大六角形は、2つの大五角形が大十角形平面を占めるのと同様に、同じ中心平面を交互に占める。2つの不規則な大六角形は、120セルの複合大円多角形である不規則な大十二角形を形成する。

17. 

    三角形{30/9}=3{10/3}では、120セルのペトリー多角形（30角形の円周上にあり、120セルの辺は図示されていない）は、互いに螺旋状に回転する3つのクリフォード平行600セル大十角形（3つの互いに素な{10/3}十角形として見える）の複合体として描かれている。600セルの辺（#3弦）は、大円上では3つの600セルの辺、ペトリー多角形では9つの120セルの辺が離れている頂点を繋いでいる。600セルの辺からなる3つの互いに素な{10/3}大十角形は、内接する600セルの単一のBoerdijk-Coxeter螺旋30四面体環を描き出す。

    120 セルと 600 セルはどちらも 30 角形のペトリー多角形を持ちます。^[ag]これらは 2 つの異なる斜めの 30 角形ヘリックスで、それぞれ 30 個の 120 セルの辺 (#1 弦) と 30 個の 600 セルの辺 (#3 弦) で構成されますが、同じ 0 角形の大円軸を螺旋状に回る完全に直交するペアになっています。120 セルのペトリーヘリックスは、600 セルのペトリーヘリックスよりも軸に近く巻きます。これは、120 セルの 30 辺が 600 セルの 30 辺よりも短いためです (また、ジグザグの角度もそれほど鋭くありません)。軸を共有する、半径が異なるこれらのペトリーヘリックスの双対^[ag]には、共通の頂点がなく、完全に互いに素です。^[ak] 120細胞のペトリーヘリックス（600細胞のペトリーヘリックスと比較して）は、1周する間に0角形軸の周りを9回（11回に対して）ねじれ、歪んだ{30/9}=3{10/3}ポリグラム（歪んだ{30/11}ポリグラムと比較して）を形成します。^[al]
18. 600セルの§ 10角形と1514角形については、三角錐{30/6}=6{5}の図を参照してください。
19. 120セル^[d]の各螺旋ペトリー多角形の3つのクリフォード平行大十角形には、6つの五角形^[r]が内接しており、その中に6つの五芒星（通常の5セル）が内接しているように見えますが、五芒星は歪んでいます（投影面と平行ではありません）。各5セルは、実際には5つの完全に互いに分離した600セルの5つの異なる十角形-五角形の中心平面に頂点を持っています。
20. 120個の正5セルは完全に互いに素である。各5セルには、その8辺からなる2つの異なるペトリー五角形が含まれる。これらの五角形回路は、それぞれが5つの互いに素な600セルを、5セルに特有の等傾斜回転で結び付けている。しかし、2つの互いに素な5セルの頂点は5セルの辺で結ばれていないため、8弦の各回路は1つの5セルに限定され、120セルには5セルの辺（8弦）の他の回路は存在しない。
21. 黒または白の五十四角形の等傾斜線はそれぞれ、別個の右等傾斜回転における右等傾斜線としても、別個の左等傾斜回転における左等傾斜線としても機能しますが、等傾斜線には固有のキラリティーはありません。^[m]同じ離散的な左右回転（同じファイブレーション）の右等傾斜線と左等傾斜線の両方である等傾斜線はありません。
22. 120セルの特徴的な等傾斜回転は、その辺（#1弦）が存在する不変面において、それらの辺をクリフォード平行中心面の相似辺へと移動させる。等傾斜回転^[n]は二重回転（2つの完全に直交する不変中心面における同時回転）であるため、頂点から隣接する頂点への回転増分ステップごとに、頂点は通常の大円ではなく螺旋状の大円等傾斜上を中心面間を移動する。^[m]この回転では、等傾斜弦は弧長44.5°の#4弦となる。^[aq]
23. 特性等傾斜線^[m]は、15 本の #4 弦からなる斜めの 15 角形です。各 15 角形の各弦は、互いに 12° 等傾斜した異なる △ 中心平面にあります。この 12° は大円の 1/30 ですが、120 セルのエッジである #1 弦の円弧ではありません。^[ad]つまり、2 つの平面は 2 つの等しい 12° の角度で分けられており、^[o]それらの平面には隣接するクリフォード平行大多角形 (不規則な大六角形) が配置され、それらの対応する頂点は斜めの #4 弦で結ばれています。各 15 角形の各連続する頂点は、完全に互いに素な 5 セルの頂点です。各ペンタデカグラムは、3つの異なる5セルに属する15個の頂点を訪れる#4弦パス^{[y]です。{30/8}=2{15/4}射影[z]}に示される2つのペンタデカグラムは、{30/12}=6{5/2}射影において6つの互いに重ならないペンタグラムとして現れる6つの5セルを訪れます。^[d]
24. 離散等斜回転のすべてのクラス^[n]は、回転角と等斜角、および不変回転面であるクリフォード平行中心平面の集合によって特徴付けられます。4 次元多面体の固有等斜回転は、不変回転平面の集合が 4 次元多面体の辺を含む離散等斜回転のクラスです。クリフォード平行中心平面のこのような集合 (辺平面の各ホップファイバ) ごとに、異なる左 (および右) 回転が存在します。 4 次元多面体の辺が正大円を形成する場合、固有回転の回転角は、単に辺の弧角です (辺の弦は、単に回転弦です)。 しかし、正四面体頂点図形^[y]を持つ正 4 次元多面体では、辺は正大円を形成せず、別の弦と組み合わさって不規則な大円を形成します。例えば、120セルの#1弦辺は、#4弦辺も持つ不規則な大十二角形の辺です。このような4次元多面体では、回転角は辺の弧角ではなく、必ずしも頂点弦の弧角とは限りません。^[広告]
25. 5セル、8セル、120セルはすべて正四面体の頂点図形を持つ。正四面体の頂点図形を持つ4次元多面体では、辺に沿った経路は単一の中心平面にある通常の大円上には存在しない。つまり、各辺は前の辺とは異なる中心平面上に位置している。120セルでは、30辺の辺に沿った円周経路はジグザグの歪んだペトリー多角形を辿り、これは大円ではない。しかし、15の頂点を通る真の測地線大円である15弦の円周経路が存在する。しかし、これは円周2𝝅𝑟の通常の「平坦な」大円ではなく、2つの完全に直交する中心平面で同時に円を描く螺旋状の等傾斜線^[m]であり、2次元平面に限定されるのではなく4次元を周回する。^[w]等傾斜線の歪んだ弦集合はクリフォード多角形と呼ばれる。^[ae]

26. 

    三角形{30/8}=2{15/4}には、
    2つの互いに交わらない五十四角形の等傾斜線が見える。黒と白の等傾斜線（ここではオレンジと淡い黄色で示されている）は、120セルの特徴的な等傾斜回転である。^[u]五十四角形の辺は#4弦である^[v]。この投影の30頂点の円周（ジグザグのペトリー多角形）上で、8頂点ずつ離れた頂点を結んでいる。^[w]

    120セルの特徴的な等傾斜回転^{[x]は、その1200辺[y]}と、その内接する正5セルの対向する1200辺の不変平面で起こる。^[p] 4つの異なる特徴的な右（および左）等傾斜回転があり、それぞれの左右のペアは離散ホップファイバリングに対応する。^[13]各回転では、600頂点すべてが15頂点の螺旋状等傾斜上を循環し、15弦の測地円^[m]に沿って{15/4}五芒星を形成する。^[w]

27. 

    120 セルのペトリー多角形は、斜めの正三十角形{30} です。^[af] 30 個の #1 弦のエッジはすべて同じ {30} 大円多角形上にあるわけではありませんが、5 つのクリフォード平行 {12} 大円多角形に 6 個ずつ (円周に沿って等間隔に) 配置されています。

    120 セルには、1200 辺からなる 80 個の異なる30 角形ペトリー多角形が含まれ、20 個の互いに素な 30 角形ペトリー多角形に分割できます。^[ag]ペトリーの 30 角形は、1 周の間に 0 角形大円軸の周りを 9 回ねじれ、ペトリー多角形で 9 頂点ずつ離れた頂点のペアを結ぶ 600 セル辺 (#3 弦) の複合三角錐{30/9}=3{10/3}として考えることができます。 ^[q] {30/9} グラム (#3 弦辺を持つ) は、ペトリーの 30 角形 (#1 弦辺を持つ) と同じ 30 頂点の交互シーケンスです。
28. 各√2.5弦はペトリー30角形の8つのジグザグ辺で張られるが、^[aa]いずれも不規則大六角形の大円内には入らない。あるいは、√2.5弦は9つのジグザグ辺で張られ、そのうち1つ（その中点を挟んで）は同じ大円内に収まる。^[p]
29. 完全に直交する大多角形は、垂直で連結されていますが（繋がれた鎖の隣接する連結部分のように）、平行でもあり、4 次元多面体において、連結された 2 つの円の共通の中心点を除いて交差しない平面内で、互いに正確に反対側に位置します。
30. 120セルの等傾斜回転における回転弧角は12°（円の1/30）であり、#1辺弦の15.5°の弧ではありません。どの中心平面が不変回転平面であるかに関わらず、120セルの等傾斜回転を12°回転させると、どの中心平面上の大多角形も、12°離れたクリフォード平行中心平面上の合同な大多角形に到達します。隣接するクリフォード平行大多角形（あらゆる種類）は完全に互いに素であり、それらの最も近い頂点は2つの120セル辺（弧長15.5°の#1弦）で接続されます。12°の回転角は、120セル内のどの頂点間の弦の弧でもありません。これは、隣接するクリフォード平行中心面間の 2 つの等しい角度としてのみ発生し、^[o] 、 120 セルのさまざまな等斜回転すべて(その特性回転だけでなく)における隣接する回転面間の分離です。
31. ^[m]の弦経路は、4次元多面体の頂点がその特徴的なクリフォード変位で横断する回転円の歪んだ多角形の形状であるため、4次元多面体のクリフォード多角形と呼ばれることがあります。^[o]
32. 120セルの30辺の円周は、大円多角形ではなく、歪んだペトリー多角形に従います。任意の4次元多面体のペトリー多角形は、4次元多面体の表面の湾曲した3次元空間を螺旋状に走るジグザグの螺旋です。^[ah] 120セルの15の番号付き弦は、30頂点の螺旋リングの2つの頂点間の距離として発生します。^[ai] 4次元空間を通る15の異なるピタゴラス距離は、リング内の任意の2つの最も近い頂点を結ぶ120セルの辺の長さ（#1弦）から、リング内の任意の2つの反対側（最も遠い）頂点を結ぶ120セルの軸の長さ（直径）（#15弦）までの範囲です。
33. 正歪30角形は600セルのペトリー多角形であり、その双対である120セルのペトリー多角形である。120セルのペトリー多角形は、600セルにおいて30セルのBoerdijk-Coxeterヘリックスリング（600セルのペトリー多角形）の双対として現れる。^[al] 30個の四面体セルの中心を繋ぐと、双対の120セルのペトリー多角形が生成され、これはRolfdieter Frank（2001年頃）によって指摘された。こうして彼は、120セルの頂点集合が20個の交差しないペトリー多角形に分割されることを発見した。この20個の互いに素なクリフォード平行斜め多角形は、120セルの離散ホップファイバ化である（その20個の双対30セルリングが600セルの離散ファイバ化であるのと同じように）。^[q]
34. 三角形の面を持つ 3 次元多面体 (多面体) (たとえば、二十面体) のペトリー多角形は、縁が結合した面の線状ストリップをリング状に曲げたものと見ることができます。縁が結合した三角形の円形ストリップ (二十面体の場合は 10 個) 内では、ペトリー多角形は、多面体の表面の 2 次元空間をジグザグに (円を描いているのではなく) 進む斜めの多角形として取り出すことができます。つまり、左右に交互に曲がり、三角形を通るがどの頂点とも交わらない大円軸の周りをスラローム状に回ります。四面体セル (たとえば、600 セル) を持つ 4 次元多面体 (ポリクロロン) のペトリー多角形は、面が結合したセルの線状らせんをリング状に曲げたもの、つまりBoerdijk–Coxeter らせんリングとして見ることができます。面結合した四面体 (600 セルの場合は 30) の円形らせん内部では、斜めペトリー多角形は、ポリクロロンの表面の 3 次元空間をジグザグに (円を描いているのではなく) 進むエッジのらせんとして取り出すことができます。つまり、左右に交互に曲がり、四面体を通過するもののどの頂点とも交差しない大円軸の周りを螺旋状に進みながら進みます。
35. 120 セル自体には、#1 - #15 の番号が付けられた 15 本の弦よりも多くの弦が含まれますが、追加の弦は 120 セルの内部にのみ存在し、6 つの正凸 4 次元多面体またはその特徴的な大円環のいずれの辺としても存在しません。15 本の主要な弦にこのように番号が付けられているのは、# n弦が 120 セルのペトリ多角形でn辺の長さだけ離れた 2 つの頂点を接続するためです。15 本の主要な弦は、{4}、{10}、または {12} 頂点の正多角形と不規則多角形を含む中心平面の大円上にあります。120 セルの頂点間には 30 個の異なる 4 空間弦距離 (180° 補弦の 15 組) があり、その中には 180° 直径の #15 (およびその補弦である 0° 弦) が含まれます。 15のマイナーコードは長方形の大円{4}上にあり、120セルの内側以外には存在しません。この記事では、番号が付けられていない15のマイナーコードを、その弧角で命名します。例えば、長さ√0.5で#3と#4のコードの間に位置する41.4°などです。
36. 16セルの√2辺と4𝝅特性回転^[l]は、大正方形☐の中心平面にあります。このタイプの回転は、対称群の表現です。24セルの√1辺、√3弦、4𝝅特性回転は、大三角形（大六角形）△の中心平面にあります。このタイプの回転は、対称群の表現です。600セルの辺と5𝝅特性回転は、大五角形（大十角形）𝜙中心平面にあります。これらの弦は√5の関数であり、このタイプの回転は対称群の表現です。正5セルの多角形と特性回転は、単一の中心平面には存在しません。これらは、歪んだ五角形✩ またはより大きな歪んだ多角形を記述し、中心多角形ではなく面多角形のみを形成します。このタイプの回転は、対称グループの表現です。 ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{4}}$ ${\displaystyle A_{4}}$
37. 「接点において、[正多面体の要素と、何らかの方法で内接するその双対の要素]は、[相互の]球面に対する接超平面の完全に直交する部分空間に存在するため、それらの唯一の共通点は接点自体である。…実際、[様々な]半径_0𝑹、_1𝑹、_{2𝑹 、…は、頂点が元の多面体の要素𝐈𝐈0}、𝐈𝐈1 _、 𝐈𝐈2 _、 …の中心である多面体を決定する。」^[16]

38. 

    600個のセルからなる内接ペトリー多角形は、この図では30個のセルからなる三角錐{30/11}（11番目の弦からなる30個のグラム）の平面への投影図で見ることができます。600個のセルからなるペトリー多角形は、自身の軸を11回巻き付ける螺旋状のリングです。リングシリンダーの軸に沿ったこの投影図は、シリンダーの円形断面の周囲に12°間隔で配置された30個の頂点を示しており、円周上の11番目の頂点ごとに11番目の弦が接続されています。ペトリー多角形の辺である600個のセルからなる辺（3番目の弦）はこの図には示されていませんが、円周に沿って3番目の頂点ごとに接続して描くことができます。

    600セルのペトリー多角形は、0角形を大円軸として1周する螺旋状の環である。0角形平面に完全に直交する平面に投影すると、600セルのペトリー多角形は、投影の円周上で11頂点ずつ離れた頂点のペアを結ぶ30本の#11弦からなる三角錐{30/11}として見ることができる。 ^[17] {30/11}グラム（#11弦の辺を持つ）は、ペトリー30角形（#3弦の辺を持つ）と同じ30頂点の交互配列である。
39. 等斜回転では、各不変面は移動先の平面とクリフォード平行であり、中心点を除いていかなる時点でも交差しません。単純回転では、不変面は移動先の平面と直線で交差し、その直線の周りを回転することで移動します。
40. 不変平面全体が回転する（横に傾く）平面は、完全に直交する不変平面の両方に（不完全）直交し、また両方にクリフォード平行でもある。^[ac]
41. 2つの完全に直交する平面を90度等傾斜回転させる場合、それらの平面は互いに接近する。剛体4次元多面体をこのように回転させる場合、6つの直交平面すべてが90度回転し、それらの完全に直交する（クリフォード平行）平面に対して横に90度傾く。^[18] 2つの完全に直交する大多角形の対応する頂点は√4 （ 180 °）離れている。大多角形（クリフォード平行多面体）は√4（180°）離れている。しかし、2つの完全に直交する平面は、それらを隔てる2つの直交角において90°離れている。 ^[o]等傾斜回転をさらに90°続けると、各頂点は360°回転し、各大多角形は元の平面に戻りますが、向きが異なります（軸が入れ替わります）。つまり、4次元多面体の表面上で「上下逆さま」に回転します（つまり、裏返しになります）。さらに360°等傾斜回転（90°×90°の等傾斜回転を4回繰り返す、720°回転）を続けると、すべてが元の位置と向きに戻ります。
42. 間違って視覚化するのは最も簡単です。なぜなら、完全に直交する大円はクリフォード平行であり、交差しないからです (中心点を除く)。不変平面とそれが移動した平面も同様です。不変平面は、その完全に直交する平面ではなく、それとクリフォード平行である直交中心平面内で横に傾きます。不変平面は、その完全に直交する平面とともに回転しますが、その平面内では回転しません。不変平面は、その完全に直交する平面および移動先の平面とクリフォード平行であり、これらと交差しません。不変平面が回転する平面は、これらすべての平面に直交し、これらすべてと交差します。^[an] 120 セルの特性回転では、^[z]各不変回転平面は、その完全に直交する平面とクリフォード平行ですが、隣接していません。まず、別の (最も近い) 平行平面に到達します。しかし、連続するクリフォード平行面を通る等斜回転を90°まで続けると、頂点は180°移動し、傾斜回転面は（元の）完全に直交する面に到達します。^[ao]
43. 120 セルの特性回転の等傾斜弦^[z]は、44.5° の弧角 (不規則な大十二角形の大きい方の辺) の #4 弦です。これは、2 つの等しい 12° 回転角^[ad]による等傾斜回転では、各頂点がペトリ多角形で 4 辺の長さ離れた別の頂点に移動し、その回転する円形の測地線パス (その等傾斜) ^[m]が、より近い頂点と交差しないためです。
44. 分数平方根弦の長さは小数で表されます。ここで、
           𝚽 ≈ 0.618 は逆黄金比です。1/φ⁠
           𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² = ⁠1/φ ²⁠ ≈ 0.382
           𝜀 = 𝚫 ² /2 = ⁠1/2φ ⁴⁠ ≈ 0.073
    であり、120セルの辺の長さは:
           𝛇 = √ 𝜀 = ⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0.270
    例:
           𝛇 = √ 𝜀 = √ 0.073~ ≈ 0.270
45. 単位半径120セルの正十二面体セルにおいて、辺の長さ（120セルの#1弦）は⁠1/φ ² √ 2⁠ ≈ 0.270。オレンジ色の8つの頂点は、セル中心の原点を基準とした直交座標（±φ ³ √ 8、±φ ³ √ 8、±φ ³ √ 8）に位置し、辺の長さが ⁠ の立方体（破線）を形成します。1/φ√2​​⁠ ≈ 0.437（五角形の対角線と120セルの2弦）。辺の長さが⁠の立方体（図示せず）の面対角線は1/φ⁠ ≈ 0.618は、立方体に内接する正四面体の辺（600個のセルの辺と120個のセルの3番目の弦）である。正十二面体の直径は⁠√3​/φ√2​​⁠ ≈ 0.757 (立方体の対角線と120セルの#4 弦)。
46. 面五角形の対角線（第2弦）は、面五角形の辺（120セルの辺、第1弦）に対して黄金比φ ≈ 1.618 である。 ^[as]
47. #2弦は、2辺の長さだけ離れた頂点同士を結びます。120セルの正四面体頂点図形の頂点、つまり1 ₀で示される頂点から始まる120セルの2番目のセクションです。#2弦はこの正四面体の辺であり、#1弦はその長半径です。#2弦は、120セルの五角形面の対角弦でもあります。^[at]

48. 

    三角錐 {30/5}=5{6}、120 セルの斜めペトリー 30 角形は、5 つの大きな六角形の組み合わせです。

    各大六角形の辺は、5つの120セル辺からなるジグザグの軸です。120セルのペトリー多角形は、30の120セル辺からなる螺旋状のジグザグで、どの頂点とも交差しない0角形の大円軸を中心に螺旋状に伸びています。 ^[q]各ペトリー多角形には、5つの異なる中心平面に5つの大六角形が内接しています。
49. 5セルのペトリー多角形は五角形{5/2}である。120セルのペトリー多角形は三十角形{30}であり、その平面への多くの射影の一つは三十角形{30/12}=6{5/2}である。^[aa] 120セルのペトリー6{5/2}-グラムはそれぞれ、120セルに内接する120個の互いに素な正5セルのうち6個に属する6個の5セルのペトリー{5/2}-グラムと完全に直交する。^[d]
50. 単位半径の正凸n多面体のすべての異なる弦の長さの二乗の和は、頂点の数の二乗である。^[19]
51. 十二面体は120細胞では目に見える特徴として現れますが、600細胞では内部多面体としても現れます。^[22]
52. 単体の面は -直交複合体の面よりも大きい。 の場合、5セル、16セル、8セルの辺の長さはからまでと の比になる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
53. 4-オルソプレックスの各 3 面、つまり を並べ替える四面体と、 を並べ替えるその完全に直交する 3面は、4-オルソプレックスの 8 つの頂点すべてから構成されます。4-オルソプレックスは、4 次元立方体の頂点の半分である 4半立方体 でもあるというユニークな特徴があります。4 単体、4 オルソプレックス、4 次元立方体の間のこの関係は、 に特有のものです。4-オルソプレックスの完全に直交する 3 単体面は、同じ 4 次元立方体内の完全に直交する 3 次元立方体の交互の頂点を占める 3 半立方体のペアです。同じ 3 次元超平面に直交投影すると、2 つの 3 面は同じ 3 次元立方体に内接する 2 つの四面体になります。 (より一般的には、完全に直交する多面体は互いの鏡映しです。) ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,-1)}$ ${\displaystyle n=4}$
54. 5-オルソプレックスの各 4 面、4 単体 (5 セル) の並べ替え、およびその完全に直交する 4 面の並べ替え は、5-オルソプレックスの 10 個の頂点すべてから構成されます。 ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,-1)}$
55. 120個の5セルの頂点ペア（5セルの大二角形中心平面は存在しない）は、675個の16セル（6つの直交中心平面の675個の直交座標基底セット）のいずれにも出現しない。^[j]
56. 24セルには16個の六角形が含まれる。600セルには25個の24セルがあり、各24セルは8個の24セルと分離しており、他の16個の24セルのそれぞれと6つの頂点で交差して六角形を形成する。^[23] 600セルには、このような六角形が25・16/2 = 200個含まれる。
57. 120セルでは、各24セルは2つの異なる600セルに属します。^[27] 120セルには225個の異なる24セルが含まれており、25個の互いに素な24セルに分割できるため、25個の24セルの複合体の凸包となります。^[28]
58. 各正六角形は、同じ 600 セル内の 24 セル 2 つによって共有されます。^[bd]また、各 24 セルは 2 つの 600 セルによって共有されます。^[be]各正六角形は 4 つの 600 セルによって共有されます。
59. 120セルの表面の湾曲した3次元空間において、600個の頂点のそれぞれは15対の多面体断面に囲まれており、各断面は30の異なる弦のいずれかの「放射状」距離にある。頂点は実際には多面体の中心ではない。なぜなら、頂点は断面の超平面から4次元方向にずれているためである。そのため、頂点とそれを囲む基底多面体は多面体ピラミッドを形成する。特性弦は、ピラミッドの側面と同様に、頂点の周囲を放射状に伸びている。
60. 等斜回転は、コインが弾かれるように回転面が横に傾くため、クリフォード平行面を互いに向き合わせます。^[n] 4 弦のブリッジ^[v]は、正大六角形 ( 24 セルの特性回転) における等斜回転で重要です。この等斜回転では、不変回転面は、120 セルの特性回転 (不規則な大六角形)と同じ 200 個の十二角形中心面のサブセットです。^[z] 120 セルの 24 セルの特性回転の各 12° 弧^{[aq]において、すべての}正大六角形の頂点は、4 弦離れたクリフォード平行正大六角形の別の頂点に置き換えられます。隣接するクリフォード平行正大六角形には、4 弦で結ばれた対応する頂点が 6 組あります。 6 本の #4 弦は、互いにクリフォード平行である 6 つの互いに交わらない 12 角形の中心平面にある 6 つの異なる大きな長方形の辺です。
61. この図は、3つの異なる△中心平面に位置する3つの関連する不規則大十二角形のうちの1つを示しています。そのうち2つ（図示なし）はクリフォード平行（互いに素な）十二角形平面に位置し、頂点を共有していません。青い中央の長方形（#4と#11の辺）は、3つ目の十二角形平面に位置しており、2つの素な十二角形平面のどちらにもクリフォード平行ではなく、両方と交差しています。この長方形は、それぞれの平面と2つの頂点（長方形の√4軸）を共有しています。各十二角形平面には、交互の位置に2つの不規則大六角形が含まれています（図示なし）。したがって、図示されている大長方形の各#4の弦は、図示されていない2つの十二角形平面に位置する2つのクリフォード平行不規則大六角形を繋ぐ橋となっています。^[bh]
62. 正5 セルには、 2 つの頂点と交差する二角形の中心平面のみがあります。120 個の正 5 セルが内接する 120 セルには、これらの二角形 (長さ√ 2.5の内接 5 セルの辺) を長辺とする大きな長方形が含まれます。1 つの {12} 中心平面には 3 つの互いに交わらない長方形があり、6 つの #8 √ 2.5弦は 6 つの互いに交わらない 5 セルに属します。12 ₀セクションと 18 ₀セクションは、辺の長さ√ 2.5の正四面体で、正 5 セルのセルです。正 5 セルの 10 個の三角形面はこれらのセクションにあり、面の 3 つの√ 2.5辺はそれぞれ異なる {12} 中心平面にあります。
63. 各正十二面体内の 10 個の四面体は重なり合っていますが、各 600 セル内の 600 個の四面体は重なり合っていないため、10 個の四面体はそれぞれ異なる 600 セルに属している必要があります。
64. 120 セルの頂点図形はそれぞれ、低四面体ピラミッド、つまり、正四面体の底面を持つ不規則な5 セルです。
65. 600 セルの場合と同じように、これら 12 個の四面体は (ペアで) 5 個の四面体セルの各クラスターを囲む 20 個の四面体セルの6 つの 20面体クラスターに属します。
66. 600点の120セルから600セルを1つ取り除くことで480点の4次元多面体になる縮小は、 120点の600セルから5つの互いに交わらない内接24セルのうち1つを取り除き、96点のスナブ24セルを作成することと類似している。同様に、8セルのテッセラクトは、16点に縮小された24セルから8点の16セルを1つ取り除いたものと見ることができる。

引用

1. NWジョンソン：幾何学と変換、（2018） ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.5球面コクセター群、p.249
2. マティラ・ギカ『芸術と人生の幾何学』（1977年）、68ページ
3. Coxeter 1973、pp. 292-293、表I(ii);「120セル」。
4. Dechant 2021、p. 18、注釈5.7で、その理由が説明されている。^[e]
5. Dechant 2021, 抄録; 「あらゆる3次元ルート系は、『帰納定理』を介して対応する4次元ルート系の構築を可能にする。本論文では、H3 → H4のイコサヘドロンの場合を詳細に検討し、計算を明示的に実行する。クリフォード代数は、ベルサー定理とカルタン＝ディウドネ定理に基づく群論的計算を実行するために使用される。…H4ルート系（600セル）の幾何学的側面、およびその他の関連する多面体とその対称性に光を当てる。…不変多面体の相補対を視覚化するために使用されるコクセター平面の構築を含む。…したがって、このアプローチは、クリフォード代数の枠組みにおいて、群、特に反射群とルート系に関する計算を実行するための、より体系的かつ一般的な方法を構成する。」
6. 数学とその歴史、ジョン・スティルウェル、1989年、第3版2010年、 ISBN 0-387-95336-1
7. スティルウェル 2001より。
8. Coxeter 1973、pp. 156–157、§8.7 デカルト座標。
9. Mamone、Pileio、Levitt 2010、p. 1442、表3。
10. Mamone, Pileio & Levitt 2010, p. 1433, §4.1; 直交座標4次元点(w,x,y,z)は、4次元空間における(0,0,0,0)からのベクトルである。4次元実空間はベクトル空間である。任意の2つのベクトルは、スカラー値で加算または乗算することで別のベクトルを得ることができる。四元数は、2つの4次元ベクトルの乗算を可能にすることで4次元実空間のベクトル構造を拡張し、 ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{1}}$ ${\displaystyle \left(w,x,y,z\right)_{2}}$
    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
11. Kim & Rote 2016、p. 7、§6 4次元空間における2つの平面間の角度。「4次元（およびそれ以上）では、2つの平面間の相対位置を固定するために2つの角度が必要です。（より一般的には、k次元の部分空間間でk角度が定義されます。）」
12. Coxeter 1973, p. 304、表VI (iv): 𝐈𝐈 = {5,3,3}。
13. Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes、表2、対称操作。対称グループ 𝛢 ₄では、操作 [15]𝑹 _q3,q3は、個々の 5 セルの pentadecagram 等傾斜回転のクラスを構成する 15 の異なる回転変位です。対称グループ 𝛨 ₄では、操作 [1200]𝑹 _q3,q13は、 120 セルの pentadecagram 等傾斜回転のクラス、つまり 120 セルの特性回転を構成する 1200 の異なる回転変位です。
14. Mamone、Pileio、Levitt 2010、pp. 1438–1439、§4.5 Regular Convex 4-Polytopes、表2、対称群 𝛨 _{4 ; 120 セルには 7200 の異なる回転変位（および 7200 の反射）があり、25 の異なる}等斜回転としてグループ化できます。
15. Coxeter 1973, pp. 300–301、表 V:(v)頂点から始まる{5,3,3} (辺 2φ ^{−2 √2 [半径 4]) の簡略化された切断。Coxeter の表には、 1} ₀ − 16 ₀とラベル付けされた 16 個の非点切断、つまり 3 次元球面 (列 2 la ) 上の連続的に増加する「半径」が、私たちの表記法で次の弦となる多面体が記載されています: ^[ai] #1、#2、#3、41.4°、#4、49.1°、56.0°、#5、66.1°、69.8°、#6、75.5°、81.1°、84.5°、#7、95.5°、...、#15。残りの異なるコードは、16 個の対向多面体セクションの 2 番目のセット ( (30− i ) _0の列a内) の長い方の「半径」として発生します。これには、#15、#14、#13、#12、138.6°、#11、130.1°、124°、#10、113.9°、110.2°、#9、#8、98.9°、95.5°、#7、84.5°、... がリストされています。または少なくとも、Coxeter がリストしたすべてのコードの 180° 補数の中に発生します。 30 個の異なるコードの完全な順序セットは、0°、#1、#2、#3、41.4°、#4、49.1°、56°、#5、66.1°、69.8°、#6、75.5°、81.1°、84.5°、#7、95.5°、#8、#9、110.2°、113.9°、#10、124°、130.1°、#11、138.6°、#12、#13、#14、#15 です。弦は、多面体セクションのエッジの長さの間にも発生します (列 2 lbでは、#2、..、#3、..、69.8°、..、..、#3、..、..、#5、#8、..、..、..、#7、... のみがリストされています。これは、不規則な多面体セクションの複数のエッジの長さが指定されていないためです)。
16. Coxeter 1973、p. 147、§8.1 一般正多面体の単純な切断。
17. Sadoc 2001、pp. 577–578、§2.5 30/11対称性：他の種類の対称性の例。
18. Kim & Rote 2016、pp. 8–10、クリフォード平行主義との関係。
19. Copher 2019、p.6、§3.2定理3.4。
20. Coxeter 1973、p. 269、Compounds。「{5, 3, 3} の頂点には、4 次元内の他の 15 個の正多面体の頂点がすべて含まれていることは注目に値します。」
21. シュライマー＆セガーマン 2013.
22. Coxeter 1973, p. 298、表V：（iii）頂点から始まる{3,3,5}の切断。
23. デニー他2020年438頁。
24. Coxeter 1973, pp. 300–301、表V：（v）頂点から始まる{5,3,3}（辺 2φ ^{−2 √2 [半径 4]）の簡略化された切断。Coxeterの表には、 1} ₀ − 16 ₀とラベル付けされた16個の非点切断が記載されているが、 14 ₀と 16 ₀は合同な反対切断であり、 15 _{0はそれ自身に反対である。 1 0} − 29 ₀で示される29個の非点切断が、15組の反対対に存在する。
25. Coxeter 1973、p. 299、表V（iv）セルで始まる{5,3,3}のセクション（表の右半分）。
26. Carlo H. Séquin (2005年7月). 正則3次元および4次元多面体上の対称ハミルトン多様体. Mathartfun.com. pp.  463– 472. ISBN 9780966520163. 2023年3月13日閲覧。
27. van Ittersum 2020、p. 435、§4.3.5 24セルを囲む2つの600セル。
28. Denney et al. 2020, p. 5, §2 H4のラベル付け。
29. Coxeter 1973、p. 305、表 VII: 4次元の正規化合物。
30. Waegell & Aravind 2014、pp. 3-4、§2 120セルの幾何学：光線と基底。
31. サリバン 1991、pp.4-5、十二面体。
32. Coxeter et al. 1938, p.4;正四面体が立方体に内接するように、立方体は正十二面体に内接することができます。この逆説により、正二十面体に外接する正八面体が得られます。実際、正二十面体の12の頂点はそれぞれ、「黄金分割」に従って正八面体の辺を分割します。正二十面体から、外接する正八面体は5通りの方法で選ぶことができ、5つの正八面体からなる複合体が得られます。これは星型正二十面体の定義に該当します。（正十二面体に属する頂点を持つ5つの立方体の逆複合体は、星型三十面体です。）それぞれの正八面体を星型に分割することで、別の星型正二十面体をすぐに導き出すことができます。正八面体から 1 つの正四面体を選び、 5 つの正四面体の複合体を導き出すことができます。この複合体は、鏡映は失われていますが、 イコサヘドロン (つまり、 イコサヘドロン群) のすべての回転対称性を保持しています。 この図形をイコサヘドロンのいずれかの対称面で鏡映すると、 5 つの正四面体の補集合が得られます。 これら 2 組の 5 つの正四面体は鏡像同形、つまり直接合同ではありませんが、靴のように関連しています。 [このような] 対称面を持たない図形 (そのため、鏡像と鏡像が一致する) は、キラル であると言われています。
33. Waegell & Aravind 2014、5～6ページ。
34. Koca, Al-Ajmi & Ozdes Koca 2011, pp. 986–988, 6. スナブ24セルのデュアル。
35. Coxeter 1973、§1.8 構成。
36. コクセター 1991、117ページ。
37. Sullivan 1991、p. 15、120セルのその他の特性。
38. Schleimer & Segerman 2013、p. 16、§6.1。十二面体の層。
39. Coxeter 1970, pp. 19–23, §9. 120セルと600セル。
40. Schleimer & Segerman 2013、16–18 ページ、§6.2。十二面体のリング。
41. バンチョフ 2013.
42. Zamboj 2021、pp. 6–12、§2 数学的背景。
43. Zamboj 2021, pp. 23–29, §5 B ²上の円に対応するホップトーラス。
44. チルトン 1964年。
45. Dechant 2021、pp. 18–20、6. コクセター飛行機。
46. デニーら 2020年。

参考文献

• コクセター, HSM (1973) [1948].正多面体（第3版）. ニューヨーク: ドーバー.
• Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge: Cambridge University Press.
• コクセター, HSM (1995). シャーク, F. アーサー; マクマレン, ピーター; トンプソン, アンソニー C.; ワイス, アジア・アイビック (編). 『万華鏡：HSMコクセター選集』（第2版）. ワイリー・インターサイエンス出版. ISBN 978-0-471-01003-6。
  • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• コクセター, HSM ;デュ・ヴァル, パトリック; フラザー, HT ;ペトリー, JF (1938). 『59の20面体』 第6巻. トロント大学研究（数学シリーズ）.
• Coxeter, HSM (1970)、「Twisted Honeycombs」、Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics、4、プロビデンス、ロードアイランド：アメリカ数学会
• スティルウェル、ジョン（2001年1月）「120セルの物語」（PDF） AMSの通知48 （ 1）：17-25。
• JH ConwayとMJT Guy : 4 次元アルキメデス多面体、コペンハーゲン凸性コロキウムの議事録、38 および 39 ページ、1965 年
• NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
• 4次元アルキメデス多面体（ドイツ語）、マルコ・メラー、2004年博士論文[1] 2005年3月22日アーカイブ、Wayback Machine
• デイビス、マイケル・W. (1985)、「双曲的4次元多様体」、アメリカ数学会誌、93 (2): 325– 328、doi :10.2307/2044771、ISSN  0002-9939、JSTOR  2044771、MR  0770546
• Denney, Tomme; Hooker, Da'Shay; Johnson, De'Janeke; Robinson, Tianna; Butler, Majid; Claiborne, Sandernishe (2020). 「H4多面体の幾何学」. Advances in Geometry . 20 (3): 433– 444. arXiv : 1912.06156v1 . doi :10.1515/advgeom-2020-0005. S2CID  220367622.
• スタインバッハ, ピーター (1997). 「黄金のフィールド：ヘプタゴンの事例」.数学マガジン. 70 (1997年2月): 22–31 . doi :10.1080/0025570X.1997.11996494. JSTOR  2691048.
• Copher, Jessica (2019). 「正多面体の弦長の2乗の和と積」arXiv : 1903.06971 [math.MG].
• 宮崎 幸治 (1990). 「一次超測地線多面体」.国際宇宙構造誌. 5 ( 3–4 ): 309– 323. doi :10.1177/026635119000500312. S2CID  113846838.
• クララ・ファン・イッテルスム (2020). 「3次元および4次元における正多面体の対称群」デルフト工科大学.
• マモーネ, サルヴァトーレ; ピレイオ, ジュゼッペ; レヴィット, マルコム H. (2010). 「4次元多面体に基づく方向サンプリング法」. Symmetry . 2 (3): 1423– 1449. Bibcode :2010Symm....2.1423M. doi : 10.3390/sym2031423 .
• サリバン, ジョン・M. (1991). 「4次元多面体の生成とレンダリング」. Mathematica Journal . 1 (3): 76– 85.
• Waegell, Mordecai; Aravind, PK (2014年9月10日). 「120セルに基づくKochen–Specker定理のパリティ証明」. Foundations of Physics . 44 (10): 1085–1095 . arXiv : 1309.7530v3 . Bibcode : 2014FoPh ...44.1085W. doi :10.1007/s10701-014-9830-0. S2CID  254504443.
• ザンボイ, ミハル (2021年1月8日). 「4次元空間の二重直交射影におけるホップファイブレーションの合成構築」.計算設計工学ジャーナル. 8 (3): 836– 854. arXiv : 2003.09236v2 . doi :10.1093/jcde/qwab018.
• サドック、ジャン＝フランソワ (2001). 「{3,3,5}多面体から導かれるヘリックスとヘリックスパッキング」.ヨーロッパ物理学ジャーナル E. 5 : 575–582 . doi : 10.1007/s101890170040. S2CID  121229939.
• チルトン, BL (1964年9月). 「正多面体{5,3,3}の正三十角形への射影について」.カナダ数学速報. 7 (3): 385– 398. doi : 10.4153/CMB-1964-037-9 .
• シュライマー、ソール；セガーマン、ヘンリー (2013). 「120セルの謎解き」. Notices Amer. Math. Soc . 62 (11): 1309– 1316. arXiv : 1310.3549 . doi :10.1090/noti1297. S2CID  117636740.
• バンチョフ, トーマス・F. (2013). 「4次元空間における正多面体のトーラス分解」. セネシャル, マージョリー (編). Shaping Space . Springer New York. pp. 257–266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8。
• Koca, Mehmet; Ozdes Koca, Nazife; Al-Barwani, Muataz (2012). 「コクセター・ワイル群W(D4)由来のスナブ24セル」. Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . doi :10.1142/S0219887812500685. S2CID  119288632.
• Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Ozdes Koca, Nazife (2011). 「スナブ24セルの四元数表現とE8ルートシステムから導かれるその双対多面体」.線形代数とその応用. 434 (4): 977– 989. arXiv : 0906.2109 . doi : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN  0024-3795. S2CID  18278359.
• デシャント、ピエール＝フィリップ (2021). 「クリフォード・スピノルとルート系帰納法：H4と大反プリズム」.応用クリフォード代数の進歩. 31 (3). シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア. arXiv : 2103.07817 . doi : 10.1007/s00006-021-01139-2 .
• Kim, Heuna; Rote, Günter (2016). 「4次元における点集合の合同性検定」arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• Perez-Gracia, Alba; Thomas, Federico (2017). 「4次元回転のCayley因数分解とその応用について」(PDF) . Adv. Appl. Clifford Algebras . 27 : 523– 538. doi :10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID  12350382.

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「120セル」。MathWorld。
• オルシェフスキー、ジョージ. 「ヘカトニコサコロン」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  • ヘカトニコサコロン (120 細胞) とヘキサコシコロン (600 細胞) に基づく凸型均一多孔体 - モデル 32、George Olshevsky。
• Klitzing, Richard. 「4D 均一多面体 (ポリコラ) o3o3o5x - hi」。
• Der 120-Zeller (120 セル) R ⁴のマルコ メラーの正多面体(ドイツ語)
• 120セルエクスプローラー – 120セル対称性について学ぶことができる無料のインタラクティブプログラムです。120セルは3次元に投影され、OpenGLを使用してレンダリングされます。
• 超十二面体の構築
• 120 セルの Gian Marco Todesco の構築に関する YouTube アニメーション。

H 4族多面体
120セル	整流 120セル	切り捨てられた 120細胞	120セルのカンテレーション	ランシネート 120セル	120細胞切断型	ランシトランケート 120セル	全切断型 120細胞
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t 0,3 {5,3,3}	tr{5,3,3}	t 0,1,3 {5,3,3}	t 0,1,2,3 {5,3,3}
600セル	整流 600セル	切り捨てられた 600細胞	600セルのカンテレーション	ビットランケート 600セル	600セルの切断	ランシトランケート 600セル	全切断型 600細胞
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t 0,1,3 {3,3,5}	t 0,1,2,3 {3,3,5}

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル • 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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