小グループのリスト

数学における次のリストには、群同型までの小さい位数の有限群が含まれています。

カウント

n = 1, 2, …のとき、位数nの非同型群の数は

1、1、1、2、1、2、1、5、2、2、1、5、1、2、1、14、1、5、1、5、...（OEISのシーケンスA000001）

ラベル付けされたグループについては、( OEISのシーケンスA034383 ) を参照してください。

用語集

各グループは Small Groups ライブラリによって G _o ⁱと命名されます。ここで、oはグループの順序、i はその順序内でグループにラベルを付けるために使用されるインデックスです。

一般的なグループ名:

• Z _n : n次の巡回群（C _nという表記も用いられる。これはZ / n Zの加法群と同型である）
• Dih _n :位数 2 nの二面体群（D _nまたは D _{2 n}という表記がよく使用される）
  • K ₄ :位数4のクラインの4元群。Z 2 × Z ₂、Dih ₂と同じ_。
• D _{2 n} : 位数 2 nの二面体群。Dih _nと同じ（「小さな非可換群の一覧」の項で使用されている表記）
• S _n : n次の対称群。n個の要素のn !通りの順列を含む。
• A _n : n次交代群。n個の要素の偶順列を含み、 n = 0, 1のときは 1 位、それ以外のときはn !/2 位。
• Dic _nまたは Q _{4 n} :位数 4 nの二環式群
  • Q ₈ :位数8の四元数群、Dic _{2とも呼ばれる}

_{Z n}と Dih _nという表記法の利点は、3次元の点群C _nと D _{n が}同じ表記法を持たないことです。同じ抽象群型を持つ等長群は、これら2つ以外にも数多く存在します。

G × Hという表記は2つの群の直積を表します。G ^{n は}群とそれ自身とのn回の直積を表します。G ⋊ HはH がGに作用する半直積を表します。これはHのGへの作用の選択にも依存します。

アーベル群と単純群について述べる。(位数n < 60の群については、単純群は n が素数である巡回群 Z n とまったく同じである。)_等号( "=") は同型性を表す。

サイクルグラフの単位元は黒い円で表されます。サイクルグラフがグループを一意に表せない最低位数は16です。

部分群の一覧には、自明群と群自体は記載されていない。同型部分群が複数存在する場合、括弧内にその部分群の数が示されている。

山括弧<関係> はグループのプレゼンテーションを示します。

小さなアーベル群の一覧

有限アーベル群は巡回群かその直積のいずれかである。アーベル群を参照のこと。位数n = 1, 2, ...の非同型アーベル群の数は

1、1、1、2、1、1、1、3、2、1、1、2、1、1、1、5、1、2、1、2、...（OEISのシーケンスA000688）

ラベル付きアーベル群については、( OEISのシーケンスA034382 ) を参照してください。

31 次までのすべてのアーベル群のリスト

注文	同上[a]	ゴイ​​	グループ	非自明な真部分群[1]	サイクル グラフ	プロパティ
1	1	G 1 1	Z 1 = S 1 = A 2	–		自明。循環的。交互。対称的。初歩的。
2	2	G 2 1	Z 2 = S 2 = D 2	–		単純。対称。巡回。基本。（最小の非自明な群。）
3	3	G 3 1	Z 3 = A 3	–		シンプル。交互。循環的。初歩的。
4	4	G 4 1	Z 4 = Q 4	Z 2		循環的。
	5	G 4 2	Z 2 2 = K 4 = D 4	Z 2 (3)		基本。積。(クラインの4元群。最小の非巡回群。)
5	6	G 5 1	Z 5	–		シンプル。循環的。初歩的。
6	8	G 6 2	Z 6 = Z 3 × Z 2 [2]	Z 3、Z 2		循環的。製品。
7	9	G 7 1	Z 7	–		シンプル。循環的。初歩的。
8	10	G 8 1	Z8​	Z 4、Z 2		循環的。
	11	G 8 2	Z 4 × Z 2	Z 2 2、Z 4 (2)、Z 2 (3)		製品。
	14	G 8 5	Z 2 3	Z 2 2 (7)、Z 2 (7)		積。基本。(非単位元はファノ平面上の点に対応し、Z 2 × Z 2部分群は直線に対応します。)
9	15	G 9 1	Z 9	Z 3		循環的。
	16	G 9 2	Z 3 2	Z 3 (4)		初歩的。製品。
10	18	G 10 2	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 5、Z 2		循環的。製品。
11	19	G 11 1	Z 11	–		シンプル。循環的。初歩的。
12	21	G 12 2	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 6、Z 4、Z 3、Z 2		循環的。製品。
	24	G 12 5	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2	Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 2 2		製品。
13	25	G 13 1	Z 13	–		シンプル。循環的。初歩的。
14	27	G 14 2	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 7、Z 2		循環的。製品。
15	28	G 15 1	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 5、Z 3		循環的。製品。
16	29	G 16 1	Z 16	Z 8、Z 4、Z 2		循環的。
	30	G 16 2	Z 4 2	Z2 ( 3 )、Z4 ( 6)、Z22、Z4 × Z2 ( 3 )		製品。
	33	G 16 5	Z 8 × Z 2	Z2 ( 3 )、Z4 ( 2)、Z22、Z8 ( 2 )、Z4 × Z2		製品。
	38	G 16 10	Z 4 × Z 2 2	Z2 ( 7 )、Z4 ( 4 )、Z22 ( 7)、Z23、Z4 × Z2 ( 6 )		製品。
	42	G 16 14	Z 2 4 = K 4 2	Z2 ( 15)、Z22 ( 35 )、Z23 ( 15 )		製品。基本。
17	43	G 17 1	Z 17	–		シンプル。循環的。初歩的。
18	45	G 18 2	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 9、Z 6、Z 3、Z 2		循環的。製品。
	48	G 18 5	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2	Z 2、Z 3（4）、Z 6（4）、Z 3 2		製品。
19	49	G 19 1	Z 19	–		シンプル。循環的。初歩的。
20	51	G 20 2	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 10、Z 5、Z 4、Z 2		循環的。製品。
	54	G 20 5	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	Z 2 (3)、K 4、Z 5、Z 10 (3)		製品。
21	56	G 21 2	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 7、Z 3		循環的。製品。
22	58	G 22 2	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 11、Z 2		循環的。製品。
23	59	G 23 1	Z 23	–		シンプル。循環的。初歩的。
24	61	G 24 2	Z 24 = Z 8 × Z 3	Z12 、Z8、Z6、Z4、Z3、Z2​		循環的。製品。
	68	G 24 9	Z12 × Z2＝Z6 × Z4＝Z4 × Z3 × Z2​​	Z 12、Z 6、Z 4、Z 3、Z 2		製品。
	74	G 24 15	Z 6 × Z 2 2 = Z 3 × Z 2 3	Z 6、Z 3、Z 2		製品。
25	75	G 25 1	Z 25	Z 5		循環的。
	76	G 25 2	Z 5 2	Z 5 (6)		製品。基本。
26	78	G 26 2	Z 26 = Z 13 × Z 2	Z 13、Z 2		循環的。製品。
27	79	G 27 1	Z 27	Z 9、Z 3		循環的。
	80	G 27 2	Z 9 × Z 3	Z 9、Z 3		製品。
	83	G 27 5	Z 3 3	Z 3		製品。基本。
28	85	G 28 2	Z 28 = Z 7 × Z 4	Z 14、Z 7、Z 4、Z 2		循環的。製品。
	87	G 28 4	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Z 14、Z 7、Z 4、Z 2		製品。
29	88	G 29 1	Z 29	–		シンプル。循環的。初歩的。
30	92	G 30 4	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Z15 、Z10、Z6、Z5、Z3、Z2​		循環的。製品。
31	93	G 31 1	Z 31	–		シンプル。循環的。初歩的。

小さな非可換群の一覧

非アーベル群の数は、順序ごとに（OEISのA060689の順序で）数えられる。しかし、多くの順序には非アーベル群が存在しない。非アーベル群が存在する順序は以下の通りである。

6、8、10、12、14、16、18、20、21、22、24、26、27、28、30、32、34、36、38、39、40、42、44、46、48、50、...（OEISのシーケンスA060652）

31 位までの非可換群の一覧

注文	同上[a]	ゴイ​​	グループ	非自明な真部分群[1]	サイクル グラフ	プロパティ
6	7	G 6 1	D 6 = S 3 = Z 3 ⋊ Z 2	Z 3、Z 2 (3)		二面体群、Dih 3、最小の非可換群、対称群、最小のフロベニウス群。
8	12	G 8 3	D8​	Z 4、Z 2 2 (2)、Z 2 (5)		二面体群、Dih 4。特殊群。べき零群。
	13	G 8 4	質問8	Z 4 (3)、Z 2		四元数群、ハミルトン群（群がアーベル群でない限り、すべての部分群は正規群である）。最小の群Gは、正規部分群Hに対して商群 G / HがGの部分群と同型である必要はないことを証明する。 特殊群。Dic 2、[3]二元二面体群<2,2,2>。[4]冪零群。
10	17	G 10 1	D 10	Z 5、Z 2 (5)		二面体群、Dih 5、フロベニウス群。
12	20	G 12 1	問12 = Z 3 ⋊ Z 4	Z 2、Z 3、Z 4 (3)、Z 6		二環式群Dic 3、二元二面体群、<3,2,2>。[4]
	22	G 12 3	A 4 = K 4 ⋊ Z 3 = (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3	Z 2 2、Z 3 (4)、Z 2 (3)		交代群。位数6の部分群は存在しないが、位数は6で割り切れる。二面体群ではない最小のフロベニウス群。 カイラル四面体対称性(T)。
	23	G 12 4	D 12 = D 6 × Z 2	Z 6、D 6 (2)、Z 2 2 (3)、Z 3、Z 2 (7)		二面体群、Dih 6、積。
14	26	G 14 1	D 14	Z 7、Z 2 (7)		二面体群、Dih 7、フロベニウス群。
16 [5]	31	G 16 3	K 4 ⋊ Z 4	Z23 、 Z4 ×Z2 ( 2 )、Z4 (4)、Z22 ( 7 )、Z2 ( 7)		パウリ群と同じ数の元をあらゆる順序で持ちます。冪零です。
	32	G 16 4	Z 4 ⋊ Z 4	Z4 × Z2 ( 3 )、Z4 (6)、Z22、Z2 ( 3 )		元の平方は部分群を形成しません。Q 8 × Z 2と同じ数の元をあらゆる順序で持ちます。冪零です。
	34	G 16 6	Z 8 ⋊ Z 2	Z8 ( 2 )、Z4 × Z2 、 Z4 ( 2)、Z22、Z2 ( 3 )		16次のモジュラー群と呼ばれることもあるが、アーベル群やQ 8 × Z 2もモジュラー群であるため、これは誤解を招く。冪零である。
	35	G 16 7	D 16	Z 8、D 8 (2)、Z 2 2 (4)、Z 4、Z 2 (9)		二面体群、Dih 8。無力。
	36	G 16 8	QD 16	Z 8、 Q 8、 D 8、 Z 4 (3)、 Z 2 2 (2)、 Z 2 (5)		位数 16 の準二面体群。べき零。
	37	G 16 9	問16	Z 8、Q 8（2）、Z 4（5）、Z 2		一般化四元数群、二環式群Dic 4、二元二面体群、<4,2,2>。[4]べき零点。
	39	G 16 11	D 8 × Z 2	D8 ( 4 )、Z4 ×Z2 、 Z23 ( 2)、Z22 ( 13 )、Z4 (2)、Z2 ( 11 )		製品。無力。
	40	G 16 12	Q 8 × Z 2	Q8 ( 4 )、Z4 × Z2 ( 3)、Z4 (6)、Z22 、 Z2 ( 3 )		ハミルトン群、積。べき零。
	41	G 16 13	（Z 4 × Z 2）⋊ Z 2	Q 8、 D 8 (3)、 Z 4 × Z 2 (3)、 Z 4 (4)、 Z 2 2 (3)、 Z 2 (7)		パウリ行列によって生成されたパウリ群。べき零。
18	44	G 18 1	D 18	Z 9、D 6（3）、Z 3、Z 2（9）		二面体群、Dih 9、フロベニウス群。
	46	G 18 3	Z 3 ⋊ Z 6 = D 6 × Z 3 = S 3 × Z 3	Z 3 2、D 6、Z 6（3）、Z 3（4）、Z 2（3）		製品。
	47	G 18 4	（Z 3 × Z 3）⋊ Z 2	Z 3 2、D 6（12）、Z 3（4）、Z 2（9）		フロベニウス群。
20	50	G 20 1	質問20	Z 10、Z 5、Z 4（5）、Z 2		二環式群Dic 5、二元二面体群、<5,2,2>。[4]
	52	G 20 3	Z 5 ⋊ Z 4	D 10、Z 5、Z 4（5）、Z 2（5）		フロベニウス群。
	53	G 20 4	D 20 = D 10 × Z 2	Z 10、D 10（2）、Z 5、Z 2 2（5）、Z 2（11）		二面体群、Dih 10、積。
21	55	G 21 1	Z 7 ⋊ Z 3	Z 7、Z 3 (7)		奇数位数の最小の非可換群。フロベニウス群。
22	57	G 22 1	D 22	Z 11、Z 2 (11)		二面体群 Dih 11、フロベニウス群。
24	60	G 24 1	Z 3 ⋊ Z 8	Z12 、 Z8 (3) 、Z6、Z4、Z3、Z2		S 3の中央延長。
	62	G 24 3	SL (2,3) = Q 8 ⋊ Z 3	Q8 、 Z6 ( 4 )、Z4 ( 3)、Z3 (4)、Z2		二元四面体群、2T = <3,3,2>。[4]
	63	G 24 4	問24 = Z 3 ⋊ 問8	Z12 、 Q12 ( 2 )、Q8 ( 3)、Z6、Z4 (7)、Z3、Z2		二環式群Dic 6、二元二面体、<6,2,2>。[4]
	64	G 24 5	D 6 × Z 4 = S 3 × Z 4	Z 12、 D 12、 Q 12、 Z 4 × Z 2 (3)、 Z 6、 D 6 (2)、 Z 4 (4)、 Z 2 2 (3)、 Z 3、 Z 2 (7)		製品。
	65	G 24 6	D 24	Z 12、 D 12 (2)、 D 8 (3)、 Z 6、 D 6 (4)、 Z 4、 Z 2 2 (6)、 Z 3、 Z 2 (13)		二面体群、Dih 12。
	66	G 24 7	Q 12 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 ⋊ Z 4 )	Z6 ×Z2 、 Q12 ( 2)、Z4 × Z2 ( 3)、Z6 (3)、Z4 (6)、Z22、Z3、Z2 ( 3 )		製品。
	67	G 24 8	(Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ D 8	Z 6 × Z 2、 D 12、 Q 12、 D 8 (3)、 Z 6 (3)、 D 6 (2)、 Z 4 (3)、 Z 2 2 (4)、 Z 3、 Z 2 (9)		二面体群の二重被覆。
	69	G 24 10	D 8 × Z 3	Z 12、Z 6 × Z 2 (2)、D 8、Z 6 (5)、Z 4、Z 2 2 (2)、Z 3、Z 2 (5)		製品。無力。
	70	G 24 11	Q 8 × Z 3	Z12 ( 3 )、Q8 、 Z6 、 Z4 ( 3)、Z3、Z2		製品。無力。
	71	G 24 12	S4​	A 4、D 8（3）、D 6（4）、Z 4（3）、Z 2 2（4）、Z 3（4）、Z 2（9）[6]		対称群。正規シロー部分群を持たない。キラル八面体対称性（O）、アキラル四面体対称性（T d）。
	72	G 24 13	A 4 × Z 2	A4 、 Z23 、Z6 ( 4)、Z22 (7)、Z3 ( 4 )、Z2 ( 7 )		製品。ピリトヘドロン対称性（T h）。
	73	G 24 14	D 12 × Z 2	Z 6 × Z 2、 D 12 (6)、 Z 2 3 (3)、 Z 6 (3)、 D 6 (4)、 Z 2 2 (19)、 Z 3、 Z 2 (15)		製品。
26	77	G 26 1	D 26	Z 13、Z 2（13）		二面体群、Dih 13、フロベニウス群。
27	81	G 27 3	Z 3 2 ⋊ Z 3	Z 3 2 (4), Z 3 (13)		すべての非自明な要素の位数は 3 です。特殊群。べき零。
	82	G 27 4	Z 9 ⋊ Z 3	Z 9 (3), Z 3 2 , Z 3 (4)		超特殊グループ。べき乗。
28	84	G 28 1	Z 7 ⋊ Z 4	Z 14、Z 7、Z 4（7）、Z 2		二環式群Dic 7、二元二面体群、<7,2,2>。[4]
	86	G 28 3	D 28 = D 14 × Z 2	Z 14、D 14（2）、Z 7、Z 2 2（7）、Z 2（9）		二面体群、Dih 14、積。
30	89	G 30 1	D 6 × Z 5	Z 15、Z 10 (3)、D 6、Z 5、Z 3、Z 2 (3)		製品。
	90	G 30 2	D 10 × Z 3	Z15 、 D10 、Z6 ( 5 )、Z5、Z3、Z2 ( 5)		製品。
	91	G 30 3	D 30	Z 15、D 10（3）、D 6（5）、Z 5、Z 3、Z 2（15）		二面体群、Dih 15、フロベニウス群。

小さな順序のグループの分類

素数べき順序p ⁿの小群は次のように与えられます。

• 順序p : 唯一のグループは巡回的です。
• 順序p ² : グループは 2 つだけあり、どちらもアーベルです。
• 位数p ³ : アーベル群は3つ、非アーベル群は2つあります。非アーベル群の1つは、位数p ^{2の正規巡回部分群と位数}pの巡回群との半直積です。もう1つは、p = 2 のときの四元数群と、p > 2のときのpを法とするハイゼンベルク群です。
• 順序p ^{4 : 分類は複雑であり、} pの指数が大きくなるにつれて難しくなります。

小さな位数の群のほとんどは、位数を割り切る素数pに対して正規p補集合Nを持つシローp部分群Pを持つため、可能な素数p、p群P、群N 、そしてPのNへの作用によって分類できる。ある意味では、これはこれらの群の分類をp群の分類へと還元する。正規p補集合を持たない小さな群には、以下のものがある。

• 順序24: 対称群S ₄
• 順序48: 二元八面体群と積S ₄ × Z ₂
• 順序60: 交代群A ₅。

非同型群がいくつあるか分からない最小の順序は2048 = 2 ¹¹である。^[7]

小グループ図書館

GAP数式処理システムには、 「小群ライブラリ」と呼ばれる パッケージが含まれており、小位群の記述にアクセスできます。群は同型までリストされています。現在、このライブラリには以下の群が含まれています。^[8]

• 1024次を除く最大2000次のもの^{[9] （ライブラリには}423,164,062個のグループがあるが、1024次のものはスキップする必要があり、1024次の非同型2群がさらに49,487,367,289個^ある[10]）。
• キューブフリー順序が最大50000のもの（395,703グループ）
• スクエアフリーオーダーのもの。
• nが最大 6 でp が素数であるp ⁿ位のもの。
• p = 3、5、7、11の場合のp ⁷の順序のもの（907 489グループ）
• pq ⁿの位数で、q nが^{2、8、3、6、5、5、}または7、4^{を割り切り}、pが^qと異なる任意の素数であるもの。
• 順序が最大 3 つの素数 (必ずしも異なる必要はない) に因数分解されるもの。

利用可能なグループの明示的な説明がコンピュータ読み取り可能な形式で含まれています。

Small Groups ライブラリに情報がない最小の順序は 1024 です。

参照

• 有限単純群の分類
• 作曲シリーズ
• 有限単純群の一覧
• 特定の順序のグループの数
• 小さなラテン方陣と準群
• シローの定理

注記

1. 小グループライブラリから 1 から始まる順序o、次にインデックスiで番号付けされる場合の識別子。

1. Dockchitser, Tim. 「グループ名」 . 2023年5月23日閲覧。
2. 同型Z ₆ = Z ₃ × Z ₂を示す実例を参照してください。
3. Chen, Jing; Tang, Lang (2020). 「二環群上の可換グラフ」.代数コロキウム. 27 (4): 799– 806. doi :10.1142/S1005386720000668. ISSN  1005-3867. S2CID  228827501.
4. Coxeter, HSM (1957).離散群の生成元と関係. ベルリン: Springer. doi :10.1007/978-3-662-25739-5. ISBN 978-3-662-23654-3. <l,m,n>: R ^l =S ^m =T ⁿ =RST {{cite book}}:ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）:
5. Wild, Marcel (2005). 「The Groups of Order Sixteen Made Easy」(PDF) . Am. Math. Mon. 112 ( 1): 20– 31. doi :10.1080/00029890.2005.11920164. JSTOR  30037381. S2CID  15362871. 2006年9月23日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
6. 「対称群の部分群構造:S4 - Groupprops」。
7. Eick, Bettina; Horn, Max; Hulpke, Alexander (2018). 小規模順序群の構築：最近の成果と未解決問題(PDF) . Springer. pp.  199– 211. doi :10.1007/978-3-319-70566-8_8. ISBN 978-3-319-70566-8。
8. ハンス・ウルリッヒ・ベッシェ「小グループ図書館」2012年3月5日アーカイブ、Wayback Machineより
9. 「与えられた順序の有限群の同型型の数」www.icm.tu-bs.de . 2019年7月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2017年4月5日閲覧。
10. Burrell, David (2021-12-08). 「位数1024の群の数について」 . Communications in Algebra . 50 (6): 2408– 2410. doi :10.1080/00927872.2021.2006680.

参考文献

• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980).離散群の生成元と関係. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9。表1、非アーベル群の位数<32。
• ホール・ジュニア、マーシャル；シニア、ジェームズ・K. (1964). 「位数2 ⁿ ( n ≤ 6)の群」. MathSciNet . Macmillan. MR  0168631.64 を分割する順序の 340 グループのカタログ。各グループの定義関係、定数、サブグループ格子の表が含まれています。

外部リンク

• グループプロパティWikiの特定のグループ
• Besche, HU; Eick, B.; O'Brien, E.「Small Group Library」。2012年3月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• GroupNamesデータベース
• ホール・ジュニア、マーシャル、シニア、ジェームズ・クーン (1964). 『2n 次数群 (n ≤ 6)』 ニューヨーク: マクミラン / ロンドン: コリアー・マクミラン社LCCN 64016861

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