階乗

選択された階乗。科学的記数法の値は四捨五入されます。
01
11
22
36
424
5120
6720
75040​
840 320
9362 880
103 628 800
1139 916 800
12479 001 600
136 227 020 800
1487 178 291 200
151 307 674 368 000
1620 922 789 888 000
17355 687 428 096 000
186 402 373 705 728 000
19121 645 100 408 832 000
202 432 902 008 176 640 000
251.551 121 004 × 10 25
503.041 409 320 × 10 64
528.065 817 517 × 10 67
701.197 857 167 × 10 100
1009.332 621 544 × 10 157
4501.733 368 733 × 10 1 000
1000​4.023 872 601 × 10 2 567
3 2496.412 337 688 × 10 10 000
1万2.846 259 681 × 10 35 659
25 2061.205 703 438 × 10 100 000
10万2.824 229 408 × 10 456 573
205 0232.503 898 932 × 10 1 000 004
1 000 000
10 6		8.263 931 688 × 10 5 565 708
105.565 708 9172 × 10 6
10 10109.565 705 5186 × 10 10
10 201019.565 705 5181 × 10 20
10 501049.565 705 5181 × 10 50
10 1001099.565 705 5181 × 10 100
10 100010999.565 705 5181 × 10 1000

数学において、負でない整数の階乗（と表記）は、より小さいか等しいすべての正の整数の積です。の階乗は、と次に小さい階乗との積にも等しくなります。例えば、 の値は、空の積の慣例に従って 1 です。[1]

階乗は古代文化の多くで発見されており、特にインド数学ではジャイナ教の正典、ユダヤ教の神秘家によるタルムードの書『セフェル・イェツィラー』で発見されています。階乗演算は数学の多くの分野で見られますが、特に組合せ論では、異なるオブジェクトの可能な異なるシーケンス（順列）を数えるのが最も基本的な用途で、次のようなものがあります。数学的解析では、階乗は指数関数やその他の関数のべき級数で使用され、代数、数論、確率論、およびコンピューターサイエンスにも応用されています。

階乗関数の数学の多くは、18世紀後半から19世紀初頭にかけて発展しました。スターリング近似は、大きな数の階乗の正確な近似値を提供し、指数関数的増加よりも速く増加することを示しています。ルジャンドルの公式は、階乗の素因数分解における素数の指数を記述し、階乗の末尾のゼロを数えるために使用できます。ダニエル・ベルヌーイとレオンハルト・オイラーは、階乗関数を、負の整数を除いて 複素数の連続関数である（オフセット）ガンマ関数に補間しました。

階乗と密接に関連した重要な関数や数列は数多く存在し、二項係数、二重階乗、下降階乗、素数、部分階乗などがあります。階乗関数の実装は、様々なコンピュータプログラミングスタイルの例として広く用いられており、科学計算用電卓や科学計算ソフトウェアライブラリにも含まれています。積の公式や漸化式を用いて大きな階乗を直接計算するのは効率的ではありませんが、より高速なアルゴリズムが知られており、同じ桁数の数値に対する 高速乗算アルゴリズムの計算時間と定数倍以内に匹敵します。

歴史

階乗の概念は多くの文化で独立して発生しました。

15世紀後半以降、階乗は西洋の数学者の研究対象となった。1494年の論文で、イタリアの数学者ルカ・パチョーリは食卓の配置問題に関連して、11!までの階乗を計算した。[12] クリストファー・クラビウスは1603年にヨハネス・デ・サクロボスコの著作に関する注釈の中で階乗について論じ、1640年代にはフランスの博学者マラン・メルセンヌがクラビウスの研究に基づき、64!までの大規模な（ただし完全に正確ではない）階乗表を出版した。[13]階乗の逆数を係数とする指数関数のべき級数は、1676年にアイザック・ニュートンがゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツに宛てた手紙の中で初めて定式化された。[14]階乗に関する初期ヨーロッパ数学のその他の重要な研究には、1685 年にジョン・ウォリスが発表した論文での広範な記述、1721 年にアブラハム・ド・モアブルが発表した の大きな値に対する階乗の近似値の研究、1729 年にジェームズ・スターリングがド・モアブルに送った手紙で後にスターリングの近似として知られるようになったことを述べたもの、およびダニエル・ベルヌーイとレオンハルト・オイラーが同時期に発表した階乗関数のガンマ関数への連続拡張を定式化したものなどがある。[15]アドリアン・マリー・ルジャンドルは、階乗を素因数分解する際の指数を記述するルジャンドルの公式 を、1808 年の数論のテキストに含めた。[16]

階乗の表記法は、1808年にフランスの数学者クリスチャン・クランプによって導入されました。[17]他にも多くの表記法が用いられてきました。階乗の引数をボックスの左辺と下辺で半分囲む、後世の別の表記法は、イギリスとアメリカで一時期流行しましたが、おそらくは植字が難しいため、使われなくなりました。[17] 「階乗」（フランス語： factorielle ）という言葉は、1800年にルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガスト[18]によって、ファア・ディ・ブルーノの公式に関する最初の著作[ 19]の中で初めて使用されましたが、等差数列の積というより一般的な概念を指していました。この名称が指す「因数」は、階乗の積の公式の項です。[20]

意味

正の整数の階乗関数は、 [1]以下のすべての正の整数の積で定義されます。これは、より簡潔に積表記法で書くと[1]になります。

この積の公式を最後の項以外すべてを残すように変更すると、より小さな階乗に対して、同じ形式の積が定義されます。これは漸化式につながり、それによれば、階乗関数の各値は前の値にを掛けることによって得られます。[21]例えば、。

ゼロの階乗

の 階乗は、あるいは記号で表すと である。この定義にはいくつかの理由がある。

  • の積としての定義は、数を全く含まない積を含み、したがって、空の積、つまり因数を全く含まない積は乗法単位元に等しいという、より広い慣習の例である。[22]
  • ゼロ個のオブジェクトの順列は正確に1つ存在する。つまり、順列させるものがなければ、並べ替える唯一の方法は何もしないことである。[21]
  • この慣例により、組合せ論における多くの恒等式は、そのパラメータのあらゆる有効な選択に対して有効となる。例えば、集合からすべての要素を選ぶ方法の数は、二項係数恒等式であり、の場合にのみ有効となる。[23]
  • を用いると、階乗の漸化式はにおいて有効のままである。したがって、この規則を用いると、階乗の再帰計算では、基本ケースとしてゼロの値のみを持てばよく、計算が簡素化され、追加の特殊ケースの必要性が回避される。[24]
  • を設定することで、指数関数などの多くの式をべき級数として簡潔に表現することができる。[14]
  • この選択はガンマ関数と一致しており 、ガンマ関数が連続関数であるためにはこの値を持たなければならない。[25]

アプリケーション

階乗関数の最も初期の用途は順列を数えることです。異なるオブジェクトをある列に並べるには、さまざまな方法があります。 [26]階乗は、オブジェクトのさまざまな順序を説明するために、組合せ論の多くの式でより広く使われます。たとえば、二項係数は、要素を持つセットから要素の組み合わせ（要素の部分集合）を数え、式[27]を使用して階乗から計算できます。第一種スターリング数は階乗の和になり、同じ数の循環を持つ部分集合にグループ化されたの順列を数えます。 [28]もう1つの組合せ論的応用は、元の位置が変わらない順列、つまりアイテムの順序が狂う順列を数えることです。アイテムの順序が狂う数は に最も近い整数です。[29]

代数学では、階乗は二項定理から生じます。二項定理では、二項係数を使用して和のべき乗を展開します。[30]また、特定の多項式族を互いに関連付けるために使用される係数にも現れ、たとえば、対称多項式に対するニュートンの恒等式に見られます。[31]順列を数える際の階乗の使用は、代数的に言い換えることもできます。つまり、階乗は有限対称群の順序です。[32]微積分では、階乗はファア・ディ・ブルーノのより高次の導関数の連鎖公式に現れます。[19]数学的解析では、階乗はべき級数の分母に頻繁に現れ、最も顕著なのは指数関数の級数、[14]やその他のテイラー級数（特に三角関数と双曲関数の級数）の係数で、階乗は の階微分から来るの因数をキャンセルします。[33]階乗のこの冪級数での使用は、指数生成関数を介して解析的組合せ論に結びついており、これは、大きさの要素を持つ組合せクラスに対して冪級数として定義される[34]

数論において、階乗の最も顕著な性質はまでのすべての正の整数で が割り切れることであり、素因数についてはルジャンドルの公式によってより正確に記述される。したがって、任意の大きな素数は数 の素因数として見つけることができ 、素数の数は無限であるというユークリッドの定理の証明につながる。 [35] がそれ自身素数であるとき、それは階乗素数と呼ばれる。[36]関連して、やはりシュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって提起されたブロカールの問題 は、形式 の平方数の存在に関する。[37]対照的に、数はすべて合成数でなければならないため、任意に大きな素数ギャップの存在が証明される。[38]ポール・エルデシュの最初の結果の 1 つである、形式の任意の区間に素数が存在するというベルトランの公理の初等的証明は、階乗の割り切れる性質に基づいていた。[39] [40]階乗数法は、各桁の位の値が階乗である数の混合基数表記法である。 [41]

階乗は確率論で広く使われており、例えばポアソン分布[42]やランダム順列の確率[43]などで使われている。コンピュータサイエンスでは、順列の総当たり検索の解析に現れるほかに、[44]階乗は、アイテムのセットを比較ソートするために必要な比較回数の下限値や、 [45]連鎖ハッシュテーブルの解析にも現れ、セルあたりのキーの分布をポアソン分布で正確に近似することができる。[46]さらに、階乗は量子物理学や統計物理学の式にも自然に現れ、そこでは粒子のセットの可能な順列をすべて考えることが多い。統計力学では、ボルツマンのエントロピー式やザッカー・テトロード方程式などのエントロピーの計算で、ギブスのパラドックスを避けるために、ミクロ状態の数を各タイプの区別できない粒子の数の階乗で割って補正しなければならない。量子物理学は、これらの補正がなぜ必要なのかという根本的な理由を示しています。[47]

プロパティ

階乗、スターリング近似、およびより単純な近似の、二重対数スケールでの比較
切り捨てスターリング級数の相対誤差と項数

成長と近似

の関数として、階乗は指数関数的増加よりも速く増加しますが、二重指数関数よりも遅く増加します。[48]その増加率はと似ていますが、指数係数だけ遅くなります。この結果に近づく方法の 1 つは、階乗の自然対数を取ってその積の式を合計に変換し、次に積分によって合計を推定することです。結果を累乗すると（無視できる項は無視して）、は と近似します。[49]台形則を使用し、積分によって合計の上と下の両方をより慎重に制限すると、この推定にはに比例する補正係数が必要であることがわかります。この補正の比例定数は、階乗と 2 の累乗の極限比として表されるWallis 積から求めることができます。これらの補正の結果がスターリングの近似である：[50]ここで、記号は、が無限大に近づくにつれて、左辺と右辺の比が極限で に近づくことを意味します。スターリングの公式は漸近級数の最初の項を提供し、これは項数が増えるほど精度が上がります：[51]別のバージョン（オイラー・マクローリンの公式から直接導かれる近似）は、補正項に奇数指数のみを必要とするため、収束が速くなります：[51]これらの公式の他にも、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン、ビル・ゴスパーら によって多くのバリエーションが開発されています。[51]

比較ソートの解析に用いられる階乗の2進対数は、スターリング近似を用いて非常に正確に推定できる。以下の式では、項はビッグオー記法を用いている。[45]

割り切れる数と数字

階乗の積公式は、が最大でも であるすべての素数で割り切れ、それより大きい素数では割り切れないことを意味します。[ 52]割り切れることに関するより正確な情報は、の素因数分解における各素数の指数が と与えられるルジャンドルの公式によって与えられます。 [53] [54]ここで はの底-桁の合計を表し、この公式によって与えられる指数は、高度な数学では階乗の p 進値として解釈することもできます。[54] ルジャンドルの公式を二項係数の積公式に適用すると、クンマーの定理 が得られます。これは、二項係数の因数分解における各素数の指数に関する同様の結果です。[55]階乗の素因数をさまざまな方法で素数累乗にグループ化すると、階乗の乗法分割が得られます。[56]

に対するルジャンドルの公式の特殊なケースは、階乗の十進表現における末尾のゼロの数を与える。 [57]この公式によれば、ゼロの数は の基数 5 の桁を から引き、その結果を 4 で割ることで得られる。[58]ルジャンドルの公式は、 の指数が の指数よりも常に大きいことを意味しており、したがって 5 の因数と 2 の因数をそれぞれ組み合わせると、これらの末尾のゼロの 1 つを生成できる。[57]階乗の先頭の桁は、ベンフォードの法則に従って分布する。[59]どの基数でも、数字の並びはその基数の階乗数の最初の桁の並びである。[60]

階乗の割り切れる可能性に関する別の結果であるウィルソンの定理は、が で割り切れるのはが素数である場合に限ると述べている。[52]任意の整数に対して、のケンプナー関数はを割り切れる最小の によって与えられる。[61]ほとんどすべての数（漸近密度がゼロである例外のサブセットを除くすべて）に対して、これはの最大の素因数と一致する。[62]

2つの階乗の積 は、常に を割り切れる。[63]他の階乗の積に等しい階乗は無限に存在する。が階乗の積のいずれかである場合、 は同じ積にさらに1つの階乗 を掛けたものに等しい。他の階乗の積でありながらこの「自明な」形式ではない階乗の例としては、、 、が知られている。[64] abc予想から、自明でない例は有限個しか存在しないことがわかる。 [65]

整数 の次数の原始多項式の値の最大公約数はを割り切れる。[63]

連続補間と非整数一般化

ガンマ関数（階乗に一致するように1単位左にシフト）は、階乗を非整数値に連続的に補間します。
複素ガンマ関数の絶対値。非正整数に極がある。

階乗を連続関数に拡張する方法は無数に存在する。[66]最も広く用いられている方法[67]はガンマ関数を用いるもので、これは正の実数に対して積分として定義できる。結果として得られる関数は、非負整数の階乗と次の式 で関連しており、この式は非整数引数に対する階乗の定義として用いることができる。とが定義されているすべての値において、ガンマ関数は階乗の漸化式を一般化する関数方程式に従う。 [66]

同じ積分は、実部が正である任意の複素数に対して、より一般的に収束します。これは、オイラーの 鏡映公式を解くことによって、複素平面の残りの非整数点に拡張できます。ただし、この公式は整数では使用できません。整数の場合、項によってゼロ除算が発生するためです。この拡張プロセスの結果は解析関数、つまりガン​​マ関数の積分公式の解析接続です。これは、単純な極 を持つ非正の整数を除き、すべての複素数で非ゼロの値を持ちます。同様に、これは負の整数以外のすべての複素数での階乗の定義を提供します。[67]ガンマ関数を他の階乗の連続補間と区別する一つの性質は、ボーア・モレルプ定理によって与えられ、ガンマ関数（オフセット1）は、階乗を補間し、同じ関数方程式に従う、正の実数上の唯一の対数凸関数であると述べている。ヘルムート・ヴィーラントの関連する一意性定理は、複素ガンマ関数とそのスカラー倍は、関数方程式に従い、実部が1から2までの複素数に対して有界性を保つ、正の複素半平面上の唯一の正則関数であると述べている。[68]

階乗値を補間する他の複素関数には、非正の整数を含むすべての複素数にわたる整関数であるアダマールのガンマ関数があります。 [69] [70] p進数では、階乗関数を直接連続的に補間することはできません。これは、大きな整数（p進数の稠密な部分集合）の階乗がルジャンドルの公式に従ってゼロに収束し、その値に近い連続関数はどこでもゼロになるためです。代わりに、p進ガンマ関数は、階乗の修正された形式を連続的に補間し、階乗のうちpで割り切れる因数を省略します。[71]

ディガンマ関数はガンマ関数の対数微分です。ガンマ関数が階乗を1ずつずらして連続的に補間するのと同様に、ディガンマ関数は調和数をオイラー・マスケローニ定数でずらして連続的に補間します。[72]

計算

TI SR-50A、1975年製の階乗キー付き電卓（3段目、中央右）

階乗関数は科学計算用電卓によく使われる機能です。[73]また、Pythonの数学関数モジュール[74]やBoost C++ライブラリ[75]などの科学計算用プログラミングライブラリにも含まれています。効率を気にしないのであれば、階乗の計算は簡単です。に初期化された変数にまでの整数を順に掛けるだけです。この計算の単純さから、さまざまなコンピュータプログラミングスタイルや手法を用いる際によく使われる例となっています。[76]

の計算は反復法[77]を用いた擬似コードで次のように表現できる。

階乗( n )を定義する: f  := 1i  := 1, 2, 3, ..., n の場合: f  := f * iでf を返す

あるいは、再帰関係に基づく再帰法[78]を用いると、

階乗( n )を定義します。n = 0の 場合、1を返すn * 階乗( n − 1) を返す

その計算に適した他の方法としては、メモ化[79] 、動的計画法[80]、関数型プログラミング[81]などがある。これらのアルゴリズムの計算量は、各算術演算に一定時間がかかり、各数値が一定量の記憶スペースを使用する単位コストランダムアクセスマシン計算モデルを使用して分析できる。このモデルでは、これらの方法は時間で計算でき、反復バージョンはスペースを使用する。末尾再帰用に最適化されていない限り、再帰バージョンは呼び出しスタックを格納するために線形スペースを必要とする。[82]しかし、この計算モデルは、がマシンワードに収まるほど小さい場合にのみ適している。[83]値 12! と 20! は、それぞれ32 ビット[84]と64 ビットの整数[85]に格納できる最大の階乗である。浮動小数点はより大きな階乗を表現できるが、正確ではなく近似値であり、 より大きい階乗では依然としてオーバーフローが発生する。[84]

大きな階乗の正確な計算には、急速な増加と整数オーバーフローのため、任意精度演算が含まれます。計算時間は、結果の桁数またはビット数の関数として分析できます。[85]スターリングの公式により、は ビットになります。[86]シェーンハーゲ・シュトラッセンアルゴリズムは、時間 でビットの積を生成でき、かかるより高速な乗算アルゴリズムが知られています。[87]しかし、階乗の計算には、1 回の乗算ではなく積の繰り返しが含まれるため、これらの時間制限は直接適用されません。この設定では、 1 からまでの数を順番に乗算する計算は、乗算が含まれており、それぞれに時間がかかるため、合計時間になるため、非効率的です。より良い方法は、一連の数を 2 つの部分数に分割して乗算し、各部分数列を乗算して、結果を最後の 1 回の乗算と組み合わせる分割統治アルゴリズムとして乗算を実行することです。この階乗へのアプローチは合計時間がかかります。1つの対数は階乗のビット数から得られ、2つ目は乗算アルゴリズムから得られ、3つ目は分割統治から得られます。[88]

指数を積に展開するよりも、平方乗によるべき乗の方が高速であるという原理に基づき、n ! を素因数分解から計算することで、さらに効率が向上する。 [86] [89]アーノルド・シェーンハーゲによるこのアルゴリズムは、まず までの素数のリストを求める（例えばエラトステネスの篩を用いる）ことから始め、ルジャンドルの公式を用いて各素数の指数を計算する。次に、これらの指数を用いて素数のべき乗の積を、再帰アルゴリズムを用いて以下のように計算する。

  • 分割統治法を使って指数が奇数である素数の積を計算する
  • すべての指数を2で割り（整数に切り捨て）、これらの小さい指数を持つ素数の累乗を再帰的に計算し、結果を2乗します。
  • 前の2つのステップの結果を掛け合わせる

までのすべての素数の積は、素数定理より、ビット数なので、最初のステップの時間は です。ここで、1 つの対数は分割統治法から、もう 1 つの対数は乗算アルゴリズムから得られます。アルゴリズムの再帰呼び出しでは、素数定理を再び呼び出して、対応する積のビット数が再帰の各レベルで定数倍減少することを証明できます。そのため、すべての再帰レベルでのこれらのステップの合計時間は、等比級数でに加算されます。2番目のステップの 2 乗と 3 番目のステップの乗算にかかる時間も です。これは、それぞれが数と ビットの 1 回の乗算であるためです。また、再帰の各レベルで、関係する数はビット数の定数分数になります (そうでない場合、繰り返し 2 乗すると最終結果が大きくなりすぎるため)。そのため、再帰呼び出しにおけるこれらのステップにかかる時間は、等比級数で に加算されます。結果的に、アルゴリズム全体は、結果のビット数が同じである単一の乗算に比例した時間がかかります。 [89]

他にも階乗に類似または関連した整数列がいくつかあります。

交代階乗
交代階乗は、最初の階乗の交代和の絶対値である。これらは主に素数性に関連して研究されてきた。素数となり得るものは有限個しかないが、この形式の素数の完全なリストは知られていない。[90]
バーガヴァ階乗
バーガヴァ階乗はマンジュル・バーガヴァによって定義された整数列の族であり、階乗と同様の数論的性質を持ち、階乗自体も特別なケースとして含まれる。[63]
二重階乗
ある奇数の正の整数までの全ての奇数の積は の二重階 乗と呼ばれ、と表記される。[91]すなわち、例えば9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945 である。二重階乗は三角関数の積分、[92]半整数におけるガンマ関数の式や超球面の体積、[93]二分木や完全マッチングの数え上げ で用いられる。[91] [94]
指数階乗
三角数がからまでの数を足し合わせ、階乗がそれらの積をとるのと同様に、指数階乗は指数関数的に増加します。指数階乗は再帰的に と定義されます。例えば、4 の指数階乗は です。これらの数は、通常の階乗よりもはるかに速く増加します。[95]
下降階乗
またはという表記は、までの数の最大の整数の積を表すために使われることがあります。これは下降階乗または後退階乗とも呼ばれ、表記はポッホハマー記号です。[96]下降階乗は、一連の項目から取り出せる異なる項目のシーケンスの数を数えます。[97]これらは、多項式の高次導関数の係数として、[98]および確率変数の階乗モーメントに現れます。[99]
超因子
の超階乗は積である。これらの数はエルミート多項式の判別式を形成する。[100]これらはK関数によって連続的に補間することができ、[101]スターリングの公式[102]やウィルソンの定理[103]と同様の式に従う。
ジョルダン・ポリア数
ジョーダン・ポリア数は階乗の積であり、繰り返しを許容する。すべての木には対称群があり、その対称群の数はジョーダン・ポリア数であり、すべてのジョーダン・ポリア数は、ある木の対称性を数える。[104]
原始的な
素数は より小さいか等しい素数の積である。この構成により、素数は階乗と似た割り切れる性質を持つが、[36]階乗とは異なり平方根を持たない。[105]階乗素数と同様に、研究者は原始素数を研究してきた。[36]
サブファクター
素因数分解は、物体の集合の乱れの数を表す。これは と表記されることもあり、 に最も近い整数に等しい。[29]
超因子
の超階乗は、最初の階乗の積である。超階乗は、バーンズG関数によって連続的に補間される。[106]

参考文献

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