p進ガンマ関数

数学において、p進ガンマ関数Γ _pは、ガンマ関数に類似したp進変数の関数である。この関数は、森田 (1975) によって初めて明示的に定義されたが、Boyarsky (1980) は、Dwork (1964) が暗黙的に同じ関数を使用していたことを指摘した。Diamond (1977) は、 log Γ のp進類似関数G _pを定義した。Overholtzer (1952) は、ガンマ関数の異なるp進類似関数の定義を以前に与えていたが、彼の関数は満足のいく特性を持たず、あまり用いられていない。

意味

p進ガンマ関数は、 p進整数x（範囲内の値を持つ）の唯一の連続関数であり、 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<i<x,\ p\,\nmid \,i}i}$

正の整数 xに対して、積はpで割り切れない整数iに制限されます。 のp進位相に関して正の整数が稠密であるため、全体に一意に拡張できます。 これがp進整数の環です。 定義から、 の値はにおいて可逆であることが分かります。これは、これらの値がpで割り切れない整数の積であり、この性質は への連続拡張後も成り立つためです。したがって、 です。 これが可逆なp進整数の集合です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$

p進ガンマ関数の基本的性質

古典的なガンマ関数は、任意の に対して関数方程式を満たす。これは、森田ガンマ関数に関しても同様である。 ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{if }}x\in p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}}$

オイラーの反射公式は、 p進の場合、次のような単純な公式を持ちます。 ${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)\Gamma _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},}$

ここで、 はxのp進展開の最初の数字です。ただし、 の場合は0 ではなく になります。 ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x\in p\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle x_{0}=p}$

特別な値

${\displaystyle \Gamma _{p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(3)=-2,}$

そして、一般的には、

${\displaystyle \Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).}$

森田ガンマ関数はルジャンドル記号と関連している。 ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

また、したがって、とも言える。^{[1] : 369} ${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

他の興味深い特殊値はグロス・コブリッツの公式から来ており、これは最初はコホモロジーのツールによって証明され、後にもっと基本的な方法を用いて証明された。^[2]例えば、

${\displaystyle \Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},}$

ここで、 は最初の数字が 3 の平方根を表し、 は最初の数字が 2 の平方根を表します。 (根について話す場合は、このような指定を常に行う必要があります。) ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$

もう一つの例は

${\displaystyle \Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),}$

ここで、1を法として3を除いた平方根は1と合同である。 ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

p-adic Raabe式

古典的なガンマ関数のラーベ式は、

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.}$

これは、森田ガンマ関数の岩澤対数に類似している： ^[4]

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

天井関数は、有理数整数を通るp進極限として理解されます。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil }$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$

マーラーの拡張

マーラー展開は、古典解析におけるテイラー展開と同様に、 p進関数においても重要である。p進ガンマ関数のマーラー展開は以下の通りである：^{[1] : 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\binom {x}{k}},}$

ここで、シーケンス は次の恒等式によって定義されます。 ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).}$

参照

• グロス・コブリッツ式

参考文献

• ボヤルスキー、マウリツィオ (1980)、「p進ガンマ関数とドワークコホモロジー」、アメリカ数学会誌、257 (2): 359– 369、doi :10.2307/1998301、ISSN  0002-9947、JSTOR  1998301、MR  0552263
• ダイアモンド、ジャック (1977)、「p進対数ガンマ関数とp進オイラー定数」、アメリカ数学会誌、233 : 321–337、doi :10.2307/1997840、ISSN  0002-9947、JSTOR  1997840、MR  0498503
• ダイアモンド、ジャック (1984)、「p進ガンマ関数とその応用」、チュドノフスキー、デイビッド・V.、チュドノフスキー、グレゴリー・V.、コーン、ヘンリー、他編『数論』（ニューヨーク、1982年）、数学講義ノート、第1052巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  168– 175、doi :10.1007/BFb0071542、ISBN 978-3-540-12909-7、MR  0750664
• ドワーク、バーナード（1964）「超曲面のゼータ関数について II」、Annals of Mathematics、第2集、80（2）：227–299、doi：10.2307/1970392、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970392、MR  0188215
• 森田康夫 (1975)、「Γ関数のp進類似体」、東京大学理学部紀要、第1部、数学、22 (2): 255– 266、hdl :2261/6494、ISSN  0040-8980、MR  0424762
• オーバーホルツァー、ゴードン（1952）、「初等p進解析における和関数」、アメリカ数学誌、74（2）：332–346、doi：10.2307/2371998、ISSN  0002-9327、JSTOR  2371998、MR  0048493

1. Robert, Alain M. (2000). p進解析コース. ニューヨーク: Springer-Verlag .
2. ロバート、アラン M. (2001)。 「グロス・コブリッツの公式を再考する」。パドヴァのレンディコンティ デル セミナリオ マテマティコ大学。パドバ大学の数学ジャーナル。105 : 157–170 .土井:10.1016/j.jnt.2009.08.005。hdl : 2437/90539。ISSN  0041-8994。MR1834987  。
3. Cohen, H. (2007).数論. 第2巻. ニューヨーク: Springer Science+Business Media . p. 406.
4. コーエン、ヘンリ;エドゥアルド、フリードマン (2008)。 「p 進のガンマ関数とゼータ関数のラーベの公式」。フーリエ研究所の分析。88 (1): 363–376 .土井:10.5802/aif.2353。hdl : 10533/139530。MR  2401225。

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