デカルト積

Mathematical set formed from two given sets

集合 { x , y , z } と {1,2,3}の直積

数学、特に集合論において、2つの集合AとBの直積（ A × Bと表記）は、aがAの要素でありbがBの要素であるすべての順序付きペア（a、b）の集合である。^[1]集合構築記法では、これは^{[2] [3]となる。} $${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ and }}\ b\in B\}.}$$

行の集合と列の集合の直積をとることで表を作成できます。行×列の直積をとると、表のセルには（行の値、列の値）という形式の順序付きペアが含まれます。^[4]

同様に、 n個の集合の直積（ n重直積とも呼ばれる）を定義することもできます。これはn次元配列で表すことができ、各要素はn個の組です。順序付きペアは2個の組、つまり2組の組で​​す。より一般的には、インデックス付き集合族の直積を定義することもできます。

デカルト積はルネ・デカルトにちなんで名付けられました。^[5]デカルトの解析幾何学の定式化によってこの概念が生まれ、さらに直積として一般化されました。

集合論的定義

直積の厳密な定義には、集合構築記法で定義域を指定する必要があります。この場合、定義域には直積自体が含まれていなければなりません。集合 と の直積を定義するために、典型的なクラトフスキーのペアの定義をとすると、適切な定義域は が冪集合 を表す集合 です。すると、集合 と の直積は次のように定義されます^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\times B=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\mid \exists a\in A\ \exists b\in B:x=(a,b)\}.}$$

例

トランプ一組

標準的な52枚のカードデッキ

例として、標準的な52枚のカードデッキを挙げます。標準的なトランプのランク{A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2}は13要素の集合を形成します。カードのスート{♠、♥、♦、♣ }は4要素の集合を形成します。これらの集合の直積は、52個の順序付きペアからなる52要素の集合を返します。これは、52種類のトランプカードすべてに対応します。

Ranks × Suitsは、{(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦  ) , (2, ♣ )} という形式のセットを返します。

Suits × Ranksは、{(♠, A)、(♠, K)、(♠, Q)、(♠, J)、(♠, 10)、...、(♣, 6)、(♣, 5)、(♣, 4)、(♣, 3)、(♣, 2)} という形式のセットを返します。

これら 2 つの集合は異なっており、互いに素ですが、それらの間には自然な一対一関係があり、その関係では (3, ♣) は (♣, 3) に対応し、以下同様に続きます。

2次元座標系

例の点の直交座標

歴史的な例としては、解析幾何学におけるデカルト平面が挙げられます。幾何学的図形を数値的に表現し、その数値表現から数値情報を抽出するため、ルネ・デカルトは平面上の各点に実数のペアを割り当て、これを座標と呼びました。通常、このようなペアの第1成分と第2成分は、それぞれx座標とy座標と呼ばれます（図を参照）。このように、このようなペアの集合（つまり、実数を表すデカルト積）は、平面上のすべての点の集合に割り当てられます。^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

最も一般的な実装（集合論）

集合論的原理による直積の正式な定義は、順序付きペアの定義から得られます。順序付きペアの最も一般的な定義である、クラトフスキーの定義は です。この定義では、は の要素であり、はその集合のサブセットです。ここで、 はべき集合演算子を表します。したがって、 ZFCにおける任意の 2 つの集合の直積の存在は、ペアリング、和集合、べき集合、および指定 の公理から得られます。関数は通常、関係の特殊なケースとして定義され、関係は通常、直積 のサブセットとして定義されるため、2 集合の直積の定義は必然的に他のほとんどの定義に先行します。 ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

非可換性と非結合性

A、B、Cを集合とします。

直積A × Bは可換ではない。[ ^4]なぜなら、以下の条件の少なくとも1つが満たされない限り、順序付けられたペアは逆になるからである。 ^[8] $${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$

• AはBと等しい、または
• AまたはBは空集合です。

例えば：

A = {1,2} ; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

厳密に言えば、直積は結合的ではありません（関係する集合の1つが空でない限り）。例えばA = {1}の場合、( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A )となります。 $${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$

積集合、和集合、部分集合

デカルト積は、交差に関して次の特性を満たします(中央の図を参照)。 $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

ほとんどの場合、交差を結合に置き換えると、上記の記述は正しくありません(右端の図を参照)。 $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

実際、次のようになります。 $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

集合の差については、次の恒等式も成り立ちます。 $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

他の演算子との分配法則を示すいくつかの規則を以下に示します（左端の図を参照）。^[8]ここで、はAの絶対補数を表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$ ${\displaystyle A^{\complement }}$

サブセットに関連するその他のプロパティは次のとおりです。

$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

$${\displaystyle {\text{if both }}A,B\neq \emptyset {\text{, then }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq D.}$$^[9]

基数

集合の濃度とは、その集合を構成する要素の数です。例えば、2つの集合A = {a, b}とB = {5, 6}を定義するとします。集合Aと集合Bはどちらも2つの要素から構成されます。これらの直積A × Bは、以下の要素を持つ新しい集合となります。

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)} .

ここで、 Aの各要素はBの各要素とペアになっており、各ペアは出力集合の1つの要素を構成します。結果集合の各要素に含まれる値の数は、直積を求める集合の数に等しく、この場合は2です。出力集合の基数は、すべての入力集合の基数の積に等しくなります。つまり、

| A × B | = | A | · | B | . ^[4]

この場合、| A × B | = 4

同様に、

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

等々。

集合A × Bが無限集合であるとは、 AかBのどちらかが無限集合であり、もう一方の集合が空集合ではないことを意味する。^[10]

複数の集合の直積

n直交積

直積は、n個の集合X ₁ , ..., X _n上のn項直積に一般化することができ、集合 $${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

n組の組。組が入れ子になった順序付きペアとして定義されている場合、 ( X ₁ × ... × X _{n −1} ) × X _nと同一視できる。組が{1, 2, ..., n }上の関数として定義され、i番目の要素の値が組のi番目の要素となる場合、直積X ₁ × ... × X _nは関数の集合である。 $${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

デカルト座標n乗

集合Xの直交座標は、直交積X ² = X × Xである。例として、2次元平面R ² = R × Rが挙げられる。ここで、Rは実数集合である。^[1] R ²は、 xとyが実数であるすべての点( x , y )の集合である（直交座標系を参照）。

集合Xの直交座標のn乗は次のように定義される。 ${\displaystyle X^{n}}$ $${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

この例としては、 R ³ = R × R × Rがあり、ここでもRは実数の集合であり、^[1]より一般的にはR ^{n です}。

集合Xのn乗は、Xのn組の要素をXに写す関数の集合と同一視される。特別なケースとして、 Xの 0 乗は、 X を唯一の元とする空関数を持つ単集合である。

積集合、和集合、補集合、部分集合

直交積が与えられ、そして、 ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$ ${\displaystyle B=B_{1}\times \dots \times B_{n}}$

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$、すべての に対してが成り立つ場合のみ; ^[11] ${\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$
2. ${\displaystyle A\cap B=(A_{1}\cap B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cap B_{n})}$, 同時に、となるようなものが少なくとも一つ存在するならば、 となる。^[11] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A_{i}\cap B_{i}=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$
3. ${\displaystyle A\cup B\subseteq (A_{1}\cup B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cup B_{n})}$さらに、平等は次の場合にのみ可能である：^[12]
   1. ${\displaystyle A\subseteq B}$または; ${\displaystyle B\subseteq A}$
   2. から 1 つを除くすべて。 ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\quad A_{i}=B_{i}\quad }$ ${\displaystyle i}$
4. 直交積の補集合は、宇宙が定義されていれば計算できる^[12]。表現を簡略化するために、以下の記法を導入する。直交積を角括弧で囲まれた組として表す。この組には、直交積を形成する集合が含まれる。例えば、 ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$ ${\displaystyle U=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$

${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=[A_{1}\quad A_{2}\quad \dots \quad A_{n}]}$。

n組代数(NTA) ^[12]では、このような直積の行列のような表現はCn組と呼ばれます。

これを念頭に置くと、同じユニバースで与えられたいくつかの直積の和集合は、角括弧で囲まれた行列として表現することができ、行は和集合に含まれる直積を表します。

${\displaystyle A\cup B=(A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n})\cup (B_{1}\times B_{2}\times \dots \times B_{n})=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$。

このような構造は、NTA ではC システムと呼ばれます。

すると、直交積の補集合は、次元の行列として表現される次のCシステムのようになります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle A^{\complement }=\left[{\begin{array}{ccccc}A_{1}^{\complement }&X_{2}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\X_{1}&A_{2}^{\complement }&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{1}&X_{2}&\dots &A_{n-1}^{\complement }&X_{n}\\X_{1}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&A_{n}^{\complement }\end{array}}\right]}$。

この行列の対角成分はと等しくなります。 ${\displaystyle A_{i}^{\complement }}$ ${\displaystyle X_{i}\setminus A_{i}}$

NTA では、 Cn組の補集合を表す対角Cシステムは、逆角括弧で囲まれた対角成分の組として簡潔に記述できます。 ${\displaystyle A^{\complement }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\complement }=]A_{1}^{\complement }\quad A_{2}^{\complement }\quad \dots \quad A_{n}^{\complement }[}$。

この構造はDn組と呼ばれます。そして、 Cシステムの補集合は、同じ次元の行列で表され、逆角括弧で囲まれた構造です。この構造では、すべての成分が元の行列の成分の補集合と等しくなります。このような構造はDシステムと呼ばれ、必要に応じて、それに含まれるDn組の積として計算されます。例えば、次のCシステムが与えられたとします。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\complement }}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$、

その補集合はDシステムとなる

${\displaystyle R_{1}^{\complement }=\left]{\begin{array}{cccc}A_{1}^{\complement }&A_{2}^{\complement }&\dots &A_{n}^{\complement }\\B_{1}^{\complement }&B_{2}^{\complement }&\dots &B_{n}^{\complement }\end{array}}\right[}$。

NTAの性質を研究する過程で得られた、直積を持つ構造に関するいくつかの新しい関係を考えてみましょう。^[12]同じ宇宙で定義された構造は、同型構造と呼ばれます。

1. C システム の積集合。同型Cシステムが およびと与えられていると仮定する。これらの積集合は、 の各Cn組と の各Cn組との空でない積集合すべてを含むCシステムを生成する。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$
2. Cn タプルが Dn タプルに含まれるかどうかを確認します。CnタプルとDnタプル が である場合、少なくとも 1 つがである場合に限ります。 ${\displaystyle P=[P_{1}\quad P_{2}\quad \cdots \quad P_{N}]}$ ${\displaystyle Q=]Q_{1}\quad Q_{2}\quad \cdots \quad Q_{N}[}$ ${\displaystyle P\subseteq Q}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{i}\subseteq Q_{i}}$
3. Cn タプルが D システムに含まれているかどうかを確認します。CnタプルとDシステムの場合、 が真となるのは、からのすべてのDnタプルに対して が成り立つ場合のみです。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\subseteq Q}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\subseteq Q_{i}}$

無限直積

任意の（おそらく無限の）インデックス付き集合族の直積を定義することが可能である。Iが任意のインデックス集合であり、 がIによってインデックス付けされた集合族である場合、 の集合の直積は と定義される。 つまり、インデックス集合I上で定義され、特定のインデックスiにおける関数の値がX _iの要素となるようなすべての関数の集合である。X _iのそれぞれが空でなくても、そのような積はすべて空でないという命題と同等の選択公理 が仮定されない限り、直積は空になる可能性がある。 は と表記されることもある。^[13] ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathsf {X}}}$ ${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$

Iの各jに対して、 によって定義される関数はj番目の投影マップと呼ばれます。 $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$ ${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$

デカルト積は、すべての因数X _iが同じ集合Xである直積です。この場合、 はIからXまでのすべての関数の集合であり、しばしばX ^Iと表記されます。この場合は基数累乗の研究では重要です。重要な特別なケースとして、添え字集合が自然数 のときがあります。この直積は、i番目の項が対応する集合X _iに含まれるすべての無限列の集合です。たとえば、 の各要素は、可算無限の実数成分を持つベクトルとして視覚化できます。この集合は、しばしば、または と表記されます。 $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

その他の形態

省略形

複数の集合を掛け合わせる場合（例えば、X1、X2、X3、…）、一部の著者^[14]_は、直積を単に×Xiと略記すること_を選択し_ます。

関数の直積

fがXからAへの関数でgがYからBへの関数である場合、それらの直積f × gはX × YからA × Bへの関数で あり、 $${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

これはタプルや関数の無限集合に拡張できます。これは、関数を集合として扱う標準的な直積とは異なります。

シリンダー

を集合 、 とします。の円筒形をについてみると、は との直積になります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\times A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

通常、は文脈のユニバースとみなされ、省略されます。例えば、 が自然数 の部分集合である場合、 の円筒形は です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$

集合論以外の定義

カテゴリー理論

直積は伝統的に集合に適用されてきたが、圏論は数学的構造の積をより一般的に解釈する。積は、添え字圏が離散的である場合の圏極限の最も単純な例である。集合の圏は離散的圏と同一視され、このように図の完全なサブカテゴリーとして埋め込まれるため、添え字積は集合論的定義に一致する添え字集合へと還元される。 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$

グラフ理論

グラフ理論において、2つのグラフ GとHの直積は、頂点集合が（通常の）直積V ( G ) × V ( H )であるグラフG × Hであり、2つの頂点( u、v )と( u ′、v ′)がG × Hで隣接している場合と、u = u ′かつvがHでv ′に隣接している場合、またはv = v ′かつuがGでu ′に隣接している場合に限ります。グラフの直積は、カテゴリ理論の意味での積ではありません。代わりに、カテゴリ積はグラフのテンソル積として知られています。

参照

• べき乗集合の公理（直積の存在を証明する）
• 直接製品
• 空の商品
• 有限関係
• 結合（SQL）§ クロス結合
• 全順序集合の直積上の順序
• 外積
• 積（圏論）
• 製品トポロジー
• 製品タイプ

参考文献

1. Weisstein, Eric W.「Cartesian Product」. MathWorld . 2020年9月5日閲覧。
2. ワーナー、S. (1990).現代代数学.ドーバー出版. p. 6.
3. Nykamp, Duane. 「Cartesian product definition」. Math Insight . 2020年9月5日閲覧。
4. 「Cartesian Product」. web.mnstate.edu . 2020年7月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年9月5日閲覧。
5. 「Cartesian」. Merriam-Webster.com . 2009年. 2009年12月1日閲覧。
6. Corry, S. 「集合論の基礎のスケッチ」（PDF） . 2023年5月5日閲覧。
7. ゴールドバーグ、サミュエル（1986年）『確率論入門』ドーバー数学書籍、クーリエ社、p.41、ISBN 9780486652528。
8. Singh, S. (2009年8月27日).デカルト積. Connexionsウェブサイトから取得: http://cnx.org/content/m15207/1.5/
9. 部分集合の直積 (2011年2月15日). ProofWiki . 2011年8月1日 5時06分取得, https://proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868
10. Peter S. (1998). 『無限集合の数学速習講座』St. John's Review, 44 (2), 35–59. 2011年8月1日閲覧, http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm
11. ブルバキ、N. (2006)。テオリ・デ・アンサンブル。スプリンガー。 pp. E II.34 – E II.38。
12. Kulik, B.; Fridman, A. (2022). 単純な数学に基づく複雑な論理分析法. Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-5275-8014-5。
13. FRドレイク「集合論：大規模基数入門」 p.24。論理学と数学の基礎研究第76巻（1978年）。ISBN 0-7204-2200-0。
14. Osborne, M., Rubinstein, A., 1994.『ゲーム理論講座』MIT出版。

外部リンク

• ProvenMathの直積
• 「直積」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• デカルト積を求める方法、教育ポータルアカデミー

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