5セルハニカム

4単体ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
家族	単純ハニカム
シュレーフリ記号	{3 [5] } = 0 [5]
コクセター図
4面タイプ	{3,3,3} t 1 {3,3,3}
細胞の種類	{3,3} t 1 {3,3}
顔のタイプ	{3}
頂点図形	t 0,3 {3,3,3}
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
プロパティ	頂点推移

四次元ユークリッド幾何学において、4単体ハニカム、5セルハニカム、またはペンタコリック-ディスペンタコリックハニカムは、空間充填モザイクハニカムです。5セルと、それを修正した5セルの面が1:1の比率で配置されています。

構造

頂点図形のセルは10個の四面体と20個の三角柱で、それぞれ各頂点で交わる10個の五面体と20個の直角化五面体に対応している。すべての頂点は平行領域に位置し、その中で交互に立方体のハニカム構造を形成している。四面体は直角化五面体の頂点または底面であり、八面体は直角化五面体の底面である。^{[ 1 ]}

別名

• シクロペンタコリックテトラコーム
• ペンタコリック-ディスペンタコリックテトラコーム

折り畳みによる投影

5セルのハニカムは、同じ頂点配置を共有する 2 組のミラーを互いにマッピングする幾何学的折り畳み操作によって、2 次元の正方形タイリングに投影できます。

${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$

ハニカムの2次元スライスを投影することで、5回対称性を持つ2つの異なる非周期的タイリングが得られます。ペンローズタイリングは菱形で構成され、テュービンゲン三角形タイリングは二等辺三角形で構成されます。^{[ 2 ]}

A4格子

5セルハニカムの頂点配置はA4格子、あるいは4単体格子と呼ばれます。その頂点図形であるランシネーテッド5セルの20個の頂点は、コクセター群の20個の根を表します。^{[ 3 ] [ 4 ]}これは単体ハニカム の4次元例です。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$

A^* ₄格子^{[ 5 ]}_は5つのA4格子の和集合であり、5次元ハニカム格子の双対であり、したがってこの格子のボロノイセルは5次元ハニカム格子の双対である。

∪∪∪∪= の双対

関連する多面体とハニカム

このハニカム構造の5セルの頂点は、隣接するラミナ（層）において、5セルの底部に接し、またその逆も同様である。しかし、交互のラミナは反転させることができ、整流された5セルの頂点が整流された5セルの頂点に接し、5セルの底部が他の5セルの底部に接する。この反転により、非ウィトホフ的均一凸状ハニカム構造が新たに得られる。また、交互のラミナの間に八面体プリズムや四面体プリズムを挿入することで、非ウィトホフ的均一凸状ハニカム構造がさらに2つ得られる。^{[ 6 ]}

このハニカムは、コクセターグループによって構築された7つのユニークな均一ハニカム^{[ 7 ]}のうちの1つである。この対称性は、コクセター・ディンキン図における環の対称性と相乗効果を持つ。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$

A4ハニカム
五角形の対称性	拡張対称性	拡張図	拡張グループ	ハニカム図
a1	[3 [5] ]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$	（なし）
i2	[[3 [5] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2	1、 2、 3、  4、 5、 6
r10	[5[3 [5] ]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×10	7

整流5セルハニカム

整流5セルハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
シュレーフリ記号	t 0,2 {3 [5] } または r{3 [5] }
コクセター図
4面タイプ	t 1 {3 3 } t 0,2 {3 3 } t 0,3 {3 3 }
細胞の種類	四面体八面体立方八面体 三角柱
頂点図形	三角形の細長い反角柱
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
プロパティ	頂点推移

修正4 単体ハニカムまたは修正 5 セル ハニカムは、空間充填タイルハニカムです。

別名

• 小型のサイクロロンバテッドペンタコルティックテトラコーム
• 小型プリズマトディスペンタコリックテトラコーム

サイクロトランケーテッド5セルハニカム

サイクロトランケーテッド5セルハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
家族	切頂単純ハニカム
シュレーフリ記号	t 0,1 {3 [5] }
コクセター図
4面タイプ	{3,3,3} t{3,3,3} 2t{3,3,3}
細胞の種類	{3,3} t{3,3}
顔のタイプ	三角形{3}六角形{6}
頂点図形	正四面体反プリズム[3,4,2 + ]、次数48
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
プロパティ	頂点推移

サイクロトランケーテッド4単体ハニカム、またはサイクロトランケーテッド5セルハニカムは、空間充填モザイクハニカムです。また、双曲化5セルハニカムとも呼ばれます。

5セル面、切頂5セル面、および二切頂5セル面が2:2:1の比率で構成されている。頂点図形は正四面体、正四面体、正三角錐、正二蝶形面からなる正四面体であり、頂点の周囲に 5セル面、切頂5セル面、および二切頂5セル面がそれぞれ2つずつ存在する。

これは、空間を2つの半空間に分割する5組の平行超平面として構成できます。3次元超平面には、1/4立方体ハニカムが面の集合として含まれています。^{[ 8 ]}

別名

• 円錐台五節テトラコーム
• 小型の切頂五角形テトラコーム

切頂5セルハニカム

切頂4単体ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
シュレーフリ記号	t 0,1,2 {3 [5] } または t{3 [5] }
コクセター図
4面タイプ	t 0,1 {3 3 } t 0,1,2 {3 3 } t 0,3 {3 3 }
細胞の種類	四面体切頂四面体切頂八面体三角柱
頂点図形	三角形の細長い逆柱状ピラミッド
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
プロパティ	頂点推移

切頂4単体ハニカム、または切頂5セルハニカムは、空間充填モザイクハニカムです。サイクロカンティ切頂5セルハニカムとも呼ばれます。

別名

• 大円菱形五角形四角錐
• 大切頂五角形四角錐

5セルハニカム

5セルハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
シュレーフリ記号	t 0,1,3 {3 [5] } または rr{3 [5] }
コクセター図
4面タイプ	t 0,2 {3 3 } t 1,2 {3 3 } t 0,1,3 {3 3 }
細胞の種類	切頂四面体八面体立方八面体 三角柱六角柱
頂点図形	二減整流五音
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
プロパティ	頂点推移

カンテレーション4単体ハニカム、またはカンテレーション5セルハニカムは、空間充填モザイクハニカムです。サイクロランシトランケーテッド5セルハニカムとも呼ばれます。

別名

• サイクロプリズム五角形テトラコーム
• 大プリズマトディスペンタコリックテトラコーム

ビットトランケーテッド5セルハニカム

ビットトランケーテッド5セルハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
シュレーフリ記号	t 0,1,2,3 {3 [5] } または 2t{3 [5] }
コクセター図
4面タイプ	t 0,1,3 {3 3 } t 0,1,2 {3 3 } t 0,1,2,3 {3 3 }
細胞の種類	立方八面体 切頂八面体切頂四面体六角柱三角柱
頂点図形	傾斜した長方形の二角錐
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
プロパティ	頂点推移

ビットランケーテッド4単体ハニカム、またはビットランケーテッド5セルハニカムは、空間充填テッセレーションハニカムです。サイクロランシカンティトランケーテッド5セルハニカムとも呼ばれます。

別名

• 大円錐五角形四角錐
• グランド・プリズマト・ディスペンタコリック・テトラコーム

全切頂5セルハニカム

全切頂4単体ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一な4ハニカム
家族	全切形単純ハニカム
シュレーフリ記号	t 0,1,2,3,4 {3 [5] } または tr{3 [5] }
コクセター図
4面タイプ	t 0,1,2,3 {3,3,3}
細胞の種類	t 0,1,2 {3,3} {6}x{}
顔のタイプ	{4} {6}
頂点図形	Irr. 5セル
対称	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×10、[5[3 [5] ]]
プロパティ	頂点推移、セル推移

四面体ハニカム、または五面体ハニカムは、空間充填モザイクハニカムです。また、円錐台形半円錐台形5面体ハニカムとも呼ばれます。

これは完全に、全切断型 5 セル(全切断型 4 単体) ファセット で構成されています。

コクセターは、1906年に著書『第四次元』でこれを説明したCHヒントンにちなんで、これをヒントンのハニカムと呼んでいます。 ^{[ 9 ]}

すべての全切形単純ハニカムの面は パーミュトヘドラと呼ばれ、整数座標、つまり整数の順列 (0,1,...,n) を使用して n+1空間に配置できます。

別名

• 全頭四角形五角形テトラコーム
• 大柱状十角形テトラコーム

4 ^*格子_​

A^* _{4格子は5つのA4}格子の和集合であり、5セルハニカムの双対であるため、この格子のボロノイセルは5セルのオムニトランケーテッド格子となる。^{[ 10 ]}

∪∪∪∪= の双対

代替形式

このハニカム構造は交互に配置することができ、削除された頂点に不規則な5次元セルが配置された、オムニスナブ状の5次元セルを形成します。均一ではありませんが、5次元セルは10次の対称性を持ちます。

参照

4次元空間における規則的かつ均一なハニカム構造:

• テッセラティックハニカム
• 16セルハニカム
• 24セルハニカム
• 切頂24セルハニカム
• スナブ24セルハニカム

注記

1. オルシェフスキー（2006）、モデル134
2. Baake, M.; Kramer, P.; Schlottmann, M.; Zeidler, D. (1990年12月). 「4次元空間における周期構造の断面としての5回対称性を持つ平面パターン」. International Journal of Modern Physics B. 04 ( 15n16): 2217– 2268. doi : 10.1142/S0217979290001054 .
3. 「ラティスA4」。
4. 「A4ルート格子 - Wolfram|Alpha」。
5. 「ラティスA4」。
6. Olshevsky (2006)、Klitzing、elong( x3o3o3o3o3*a ) - ecypit - O141、schmo( x3o3o3o3o3*a ) - zucypit - O142、elongschmo( x3o3o3o3o3*a ) - ezucypit - O143
7. mathworld: Necklace、 OEISシーケンスA000029 8-1ケース、ゼロマークの1つをスキップ
8. オルシェフスキー（2006）モデル135
9. 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8。LCCN  99035678。（ゾノヘデドラの分類、73ページ）
10. ラティスA4*

参考文献

• ノーマン・ジョンソン『均一多面体』、原稿（1991年）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] （1.9 一様空間充填）
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ジョージ・オルシェフスキー『均一な全倍数体テトラコーム』原稿（2006年）（11個の凸状均一タイリング、28個の凸状均一ハニカム、および143個の凸状均一テトラコームの完全なリスト）モデル134
• Klitzing, Richard. 「4Dユークリッドモザイク」, x3o3o3o3o3*a - cypit - O134, x3x3x3x3x3*a - otcypit - 135, x3x3x3o3o3*a - gocyropit - O137, x3x3o3x3o3*a - cypropit - O138, x3x3x3x3o3*a - gocypapit - O139, x3x3x3x3x3*a - otcypit - 140
• アフィン コクセター群 Wa(A4)、四元数、および十角形準結晶、Mehmet Koca、Nazife O. Koca、Ramazan Koc (2013) arXiv : 1209.1878

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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