3 21 多面体

Uniform 7-dimensional polytope

3月21日		2 31		1 32
修正 3 21			3 21を2等分した
修正 2 31			修正1 32
E 7 コクセター平面における直交投影

7次元幾何学において、3 ₂₁多面体は、 E ₇群の対称性の範囲内で構築される一様7次元多面体です。これはソロルド・ゴセットによって発見され、1900年の論文で発表されました。彼はこれを7次元半正則図形と呼びました。^[1]

コクセター記号は3 ₂₁で、 3 ノード シーケンスの 1 つの端に 1 つのリングを持つ、分岐コクセター-ディンキン図を表します。

平行化された 3 _{21 は}、 3 ₂₁の中辺上の点によって構成されます。2平行化された 3 ₂₁は、 3 ₂₁の三角形の面心上の点によって構成されます。3平行化された 3 ₂₁は、 3 ₂₁の四面体の中心上の点によって構成され、平行化された 1 ₃₂と同じになります。

これらの多面体は、7次元の127（2 ⁷ −1）個の凸一様多面体族の一部であり、一様6次元多面体面と頂点図形で構成され、このコクセター・ディンキン図の環のすべての順列によって定義されます。。

3₂₁多面体

3 21多面体
タイプ	一様7次元多面体
家族	k 21多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	3月21日
コクセター図
6面	合計702: 126 3 11 576 {3 5 }
5面	6048: 4032 {3 4 } 2016 {3 4 }
4面	12096 {3 3 }
細胞	10080 {3,3}
顔	4032 {3}
エッジ	756
頂点	56
頂点図形	2 21多面体
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	E 7、[3 3,2,1 ]、注文 2903040
プロパティ	凸状

7次元幾何学において、3 _≒21多面体は一様多面体です。56個の頂点と702個の面（126個の3 ≒ ₁₁と576個の6元単体）を持ちます。

この7次元多面体は、視覚化のために、56個の頂点が18角形の正多角形（ペトリー多角形と呼ばれる）に収まる特殊な歪んだ正投影方向で表示されることが多い。756本の辺は、18個の頂点からなる3つの環と、中心の2つの頂点の間に描かれる。この投影図から、特定の高次要素（面、セルなど）を抽出して描画することもできる。

3 ₂₁多面体の1-スケルトンはゴセット グラフです。

この多面体は、 7 単体とともに、3 ₃₁とコクセター・ディンキン図で表される 7 次元空間をモザイク状に並べることができます。。

別名

• これを最初に発見したエドマンド・ヘスにちなんで、ヘス多面体とも呼ばれます。
• これは1900年の論文でソロルド・ゴセットによって列挙され、彼はこれを7-ic半正則図形と呼んだ。^[1]
• ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV ₅₆（56頂点）と名付けました。^[2]
• HSM Coxeter は、長さ 3、2、1 の 3 つの枝を持ち、3 番目の枝の最終ノードに単一のリングを持つ、分岐Coxeter-Dynkin 図から、これを3 _{21と呼びました。}
• ヘカトニコシヘキサ-ペンタコシヘプタコンタヘキサ-エクソン（略称：naq） - 126-576ファセットポリエクソン（ジョナサン・バウアーズ）^[3]

座標

56 個の頂点は、座標とその逆の 28 通りの順列によって得られる 8 次元空間で最も簡単に表現できます。

± (−3, −3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

工事

その構成はE7群に基づいています。コクセターは、3ノード列の末端に単一の環を持つ分岐コクセター・ディンキン図から、これを3 ₂₁と名付けました。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると6単体が残り、。

2長枝の末端の節点を除去すると、6-オルソプレックスは交互形態となる：3 ₁₁、。

すべての単体面は 6 つのオルソプレックス面と接しますが、オルソプレックスの交互面は単体または別のオルソプレックスに接します。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、2 ₂₁多面体が得られる。。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[4]

E 7		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5		f 6		k桁	注記
E 6		（）	f 0	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 21	E 7 / E 6 = 72x8!/72x6! = 56
D 5 A 1		{ }	f 1	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5デミキューブ	E 7 /D 5 A 1 = 72x8!/16/5!/2 = 756
A 4 A 2		{3}	f 2	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	整流5セル	E 7 /A 4 A 2 = 72x8!/5!/2 = 4032
A 3 A 2 A 1		{3,3}	f 3	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	三角柱	E 7 /A 3 A 2 A 1 = 72x8!/4!/3!/2 = 10080
A 4 A 1		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	二等辺三角形	E 7 /A 4 A 1 = 72x8!/5!/2 = 12096
A 5 A 1		{3,3,3,3}	f 5	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{ }	E 7 /A 5 A 1 = 72x8!/6!/2 = 4032
A5​				6	15	20	15	6	*	2016	0	2		E 7 / A 5 = 72x8!/6! = 2016
A6​		{3,3,3,3,3}	f 6	7	21	35	35	21	10	0	576	*	（）	E 7 / A 6 = 72x8!/7! = 576
D6​		{3,3,3,3,4}		12	60	160	240	192	32	32	*	126		E 7 / D 6 = 72x8!/32/6! = 126

画像

コクセター平面投影

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

関連する多面体

3 _21は、半正多面体の次元系列の5番目の次元です。各漸進的​​一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構成されます。ソロルド・ゴセットは1900年に、この系列がすべての正多面体の面、つまりすべての単体と正多面体を含むと特定しました。

n次元のk 21個の図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
エン​	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	−1 21	0 21	1 21	2 21	321	4 21	5月21日	6 21

これは、コクセターによって3 _{k 1}級数として表現される、一様な多面体とハニカムの次元級数である。（退化した4次元のケースとして、3球面タイリング、正四面体ホソヘドロンが存在する。）

3k _1次元図形

空間	有限				ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8	9
コクセター グループ	A 3 A 1	A5​	D6​	E 7	${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$=E 7 +	${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$=E 7 ++
コクセター 図
対称	[3 −1,3,1 ]	[3 0,3,1 ]	[[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 2,3,1 ]	[3 3,3,1 ]	[3 4,3,1 ]
注文	48	720	46,080	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	3 1,-1	3 10	3 11	321	3月31日	341

修正3₂₁多面体

修正された3 21多面体
タイプ	一様7次元多面体
シュレーフリ記号	t 1 {3,3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	t 1 (3 21 )
コクセター図
6面	758
5面	44352
4面	70560
細胞	48384
顔	11592
エッジ	12096
頂点	756
頂点図形	5デミキューブプリズム
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	E 7、[3 3,2,1 ]、注文 2903040
プロパティ	凸状

別名

• 整流された126-576ファセットポリエクソン（頭字語：ranq）としての整流されたヘカトニコシヘキサ-ペンタコシヘプタコンタヘキサエクソン（Jonathan Bowers）^[5]

工事

その構成はE7群に基づいています。コクセターは、3ノード列の末端に1つのノードを持つ分岐コクセター・ディンキン図から、これを3 ₂₁と名付けました。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると6単体が残り、。

2長枝の末端の節点を除去すると、整流された6-オルソプレックスは交互形態で残る：t ₁ 3 ₁₁、。

3長枝の端のノードを削除すると、2 ₂₁が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、5次元半立方体プリズムが形成される。。

画像

コクセター平面投影

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

複直線化3₂₁多面体

3 21多面体 の双平行化
タイプ	一様7次元多面体
シュレーフリ記号	t 2 {3,3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	t 2 (3 21 )
コクセター図
6面	758
5面	12348
4面	68040
細胞	161280
顔	161280
エッジ	60480
頂点	4032
頂点図形	5セル三角形デュオプリズム
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	E 7、[3 3,2,1 ]、注文 2903040
プロパティ	凸状

別名

• 126-576面体ポリエクソン（略称：branq）としての二重化ヘカトニコシヘキサ-ペンタコシヘプタコンタヘキサエクソン（Jonathan Bowers）^[6]

工事

その構成はE7群に基づいています。コクセターは、3ノード列の末端に1つのノードを持つ分岐コクセター・ディンキン図から、これを3 ₂₁と名付けました。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短枝上のノードを削除すると、6次元の双対単体が残ります。。

2長枝の末端の節点を除去すると、6重直鎖状複素環が交互形態t ₂ (3 ₁₁ )となる。。

3次元枝の末端のノードを除去すると、修正された2 ₂₁多面体は交代形t ₁ (2 ₂₁ )、。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、修正された5セル三角形のデュオプリズムが得られる。。

画像

コクセター平面投影

E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[12/2]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

参照

• E7多面体のリスト

注記

1. ゴセット著、1900年
2. エルテ、1912年
3. クリッツィング、(o3o3o3o *c3o3o3x - naq)
4. コクセター『正多面体』11.8 6次元、7次元、8次元のゴセット図形、pp. 202–203
5. クリツィング。 (o3o3o3o *c3o3x3o - ランク)
6. クリッツィング、(o3o3o3o *c3x3o3o - ブラン)

参考文献

• T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
• Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
• HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover New York, 1973
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • (論文24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45] p. 342 (図3.7c) Peter mcMullen著: (18角形ノードエッジグラフ 3 ₂₁ )
• Klitzing, Richard. 「7D 均一多面体 (ポリエクサ)」o3o3o3o *c3o3o3x - naq、o3o3o3o *c3o3x3o - ranq、o3o3o3o *c3x3o3o - branq

外部リンク

• vZomeにおけるゴセット多面体

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 321
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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