2 22 ハニカム

2 ₂₂ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一なテッセレーション
コクセターシンボル	2 ₂₂
シュレーフリ記号	{3,3,3 ^2,2 }
コクセター図
6面タイプ	2 ₂₁
5面タイプ	2 ₁₁ {3 ⁴ }
4面タイプ	{3 ³ }
細胞の種類	{3,3}
顔のタイプ	{3}
顔の形	{3}×{3}デュオプリズム
エッジ図	{3 ^2,2 }
頂点図形	1 ₂₂
コクセターグループ	${\チルダ {E}}_{6}$ 、 [[3,3,3 ^2,2 ]]
プロパティ	頂点推移的、ファセット推移的

幾何学において、2 ₂₂ハニカムは、6次元ユークリッド空間の一様モザイク状である。シュレーフリ記号{3,3,3 ^2,2 }で表される。2 21_個 の面から構成され、 1 _{22 個の} 頂点図形を持ち、各頂点の周りには54個の2 _{21 個の}多面体が存在する。

その頂点配置はE6 格子であり、E6 _リー群のルート系であるため、 E6ハニカム_とも呼ばれます。

工事

これは、6 次元空間の 7 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

2ノードの枝の端にあるノードを削除すると、 2 ₂₁という唯一のファセットタイプが残ります。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、1 ₂₂、。

辺図形は頂点図形の頂点図形であり、ここでは双平行化5単体、t ₂ {3 ⁴ }、。

面図形は辺図形の頂点図形であり、ここでは三角形のデュオプリズム、{3}×{3}である。。

キスナンバー

このモザイク状の各頂点は、6 次元で知られている最も稠密なパッキングの 5 次元球の中心であり、接線数は72 で、頂点図 1 ₂₂の頂点で表されます。

E₆格子

2× ₂₂ハニカムの頂点配置はE6格子と呼ばれます。 [ ₁^]

[[3,3,3 ^2,2 ]]対称性を持つE 6 ₂格子は^、_{2つのE 6}格子の結合によって構築できます。

∪

E 6 ^*格子^[2]_（または E ₆³）は [[3,3 ^2,2,2 ]] 対称性を持つ。E ₆^*格子のボロノイセルは 1 _{22 の}多面体であり、ボロノイ分割は222 のハニカム格子である。^[3]これは、コクセター図の3つの枝それぞれから1つずつ、E ₆格子の頂点を3つコピーして構成される。

∪

= デュアル

。

幾何学的な折り畳み

グループは幾何学的な折り畳みによってに関連付けられているため、このハニカムは 4 次元の16 セルハニカムに投影できます。 ${\チルダ {E}}_{6}$ ${\tilde {F}}_{4}$

${\チルダ {E}}_{6}$	${\tilde {F}}_{4}$

{3,3,3 ^2,2 }	{3,3,4,3}

関連するハニカム

2_・22ハニカムは、対称性を持つ127個の均一ハニカム（39個が固有）のうちの1つです。そのうち24個は、2つの枝が等しいリングを持つ二重対称性（[3,3,3 ^{2,2 ]]）を持ち、7個は3つの枝すべてが同一のリングを持つ六重対称性（3}!）（[3,3 ^2,2,2 ]]を持ちます。コクセター図は非線形グラフであるため、このファミリーには正則ハニカムは存在しませんが、2・₂₂と双平行化2・22は同位体であり、それぞれ 2・₂₁と平行化1 _・22多面体という1種類の面のみを持ちます。 ${\チルダ {E}}_{6}$

対称	注文	ハニカム
[3 ^2,2,2 ]	満杯	8:、、、、、、、。
[[3,3,3 ^2,2 ]]	×2	24:、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、。
[[3,3 ^2,2,2 ]]	×6	7:、、、、、、。

二次元化2₂₂ハニカム

2 ₂₂ハニカム
（画像なし）
タイプ	均一なテッセレーション
コクセターシンボル	0 ₂₂₂
シュレーフリ記号	{3 ^2,2,2 }
コクセター図
6面タイプ	0 ₂₂₁
5面タイプ	0 ₂₂ 0 ₂₁₁
4面タイプ	0 ₂₁ 24セル0 ₁₁₁
細胞の種類	四面体0 ₂₀ 八面体0 ₁₁
顔のタイプ	三角形0 ₁₀
頂点図形	プロプリズム{3}×{3}×{3}
コクセターグループ	6× 、[[3,3 ^2,2,2 ]] ${\チルダ {E}}_{6}$
プロパティ	頂点推移的、ファセット推移的

2 × ₂₂ハニカム、1 22の多面体面を修正しました。、固有プリズム{3}×{3}×{3}頂点図形。

そのファセットは、次のように E6* 格子の頂点配置を中心としています。

∪

工事

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、{3}×{3}×{3}のプロプリズムが形成される。。

3ノードの枝の端にあるノードを削除すると、整流された1 ₂₂（唯一のファセットタイプ）が残ります。。

2 番目の終了ノードを削除すると、2 種類の 5 面(双平行 5 単体、0 ₂₂および双平行 5 直交複合体、0 ₂₁₁ ) が定義されます。

3 番目の終了ノードを削除すると、修正された 5 セル(0 ₂₁ ) と24 セル(0 ₁₁₁₎の 2 種類の 4 面が定義されます。

4 番目の終了ノードを削除すると、八面体(0 ₁₁ ) と四面体(0 _{20 )}の 2 種類のセルが定義されます。

け₂₂多面体

2 _{22ハニカムは、}コクセターによってk ₂₂級数として表現された次元一様多面体の4番目の級数です。最後はパラコンパクト双曲型ハニカム、3 ₂₂です。各漸進的一様多面体は、前の多面体を頂点図形として構成されます。

n次元のk _22の図形
空間	有限			ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8
コクセターグループ	A ₂ A ₂	E ₆	${\チルダ {E}}_{6}$ =E ₆⁺	${\bar {T}}_{7}$ =E ₆⁺⁺
コクセター図
対称	[[3 ^2,2,-1 ]]	[[3 ^2,2,0 ]]	[[3 ^2,2,1 ]]	[[3 ^2,2,2 ]]	[[3 ^2,2,3 ]]
注文	72	1440	103,680	∞
グラフ				∞	∞
名前	−1 ₂₂	0 ₂₂	1 ₂₂	222	3 ₂₂

2 ₂₂ハニカムは、別の次元シリーズ 2 _2kの 3 番目です。

2 _{2 k}次元のn次元図形
空間	有限			ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8
コクセターグループ	A ₂ A ₂	A5	E ₆	${\チルダ {E}}_{6}$ =E ₆⁺	E ₆⁺⁺
コクセター図
グラフ				∞	∞
名前	2 _2,-1	2 ₂₀	2 ₂₁	222	223

注記

^ 「ラティスE6」。
^ 「ラティスE6*」。
^ E6*格子とE7*格子のボロノイセル Archived 2016-01-30 at the Wayback Machine、Edward Pervin

参考文献

コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築）
コクセター 正多面体（1963年）、マクミラン社
- 正多面体、第3版、（1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8（第5章：万華鏡）
万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6、Googleブック
- （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
RT Worley, E6*のボロノイ領域. J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 43 (1987), 268–278.
コンウェイ, ジョン・H. ;スローン, ニール・JA (1998). 『球面パッキング、格子、群』（第3版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98585-9。pp. 125–126, 8.3 6次元格子：E6とE6*
クリッツィング、リチャード。「6D ヘキサコーム x3o3o3o3o *c3o3o - jakoh」。
クリッツィング、リチャード。「6D ヘキサコーム o3o3x3o3o *c3o3o - ramoh」。

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\チルダ {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\チルダ {E}}_{n-1}$
E ²	均一なタイリング	0 _[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	六角
E ³	均一な凸型ハニカム	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E4	均一な4ハニカム	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24セルハニカム
E ⁵	均一な5ハニカム	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	均一な6ハニカム	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	222
E ⁷	均一な7ハニカム	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	均一な8ハニカム	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	均一な9ハニカム	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	均一な10ハニカム	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	均一な（n −1）ハニカム	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _{k 2} • 2 _{k 1} • k ₂₁

[1] 「ラティスE6」。

[2] 「ラティスE6*」。

[3] E6*格子とE7*格子のボロノイセル Archived 2016-01-30 at the Wayback Machine、Edward Pervin