Statistical estimator for ratio of means
比 推定量は 、2つの確率変数の平均の比を推定する統計的推定量です。比推定値は バイアス を 含む ため 、 実験 や調査研究で使用する場合は補正が必要です。比推定値は非対称であるため、 t検定 などの対称的な検定は 信頼区間の作成に使用すべきではありません。
バイアスはO (1/ n ) のオーダー（ 大きな O 表記を 参照）なので、サンプル サイズ（ n ）が増加すると、バイアスは漸近的に 0 に近づきます。したがって、推定値は大きなサンプル サイズに対してほぼ不偏です。
意味 データセットの各サンプル要素について、 x と y という2つの特性 が観測されると仮定する。比 R は
R = μ ¯ y / μ ¯ x {\displaystyle R={\bar {\mu }}_{y}/{\bar {\mu }}_{x}} y 変量（ θy ） の値の比推定 値は
θ y = R θ x {\displaystyle \theta _{y}=R\theta _{x}} ここで θx は x変数の対応 する 値である 。θy は 漸近的に正規分布することが知られている。 [1]
統計的特性 標本比（ r ）は標本から推定される。
r = y ¯ x ¯ = ∑ i = 1 n y i ∑ i = 1 n x i {\displaystyle r={\frac {\bar {y}}{\bar {x}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}} 比率が偏っていることは、次のように ジェンセンの不等式 で示されます（ と が独立であると仮定 ） 。 x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} y ¯ {\displaystyle {\bar {y}}}
E ( y ¯ x ¯ ) = E ( y ¯ 1 x ¯ ) = E ( y ¯ ) E ( 1 x ¯ ) ≥ E ( y ¯ ) 1 E ( x ¯ ) = E ( y ¯ ) E ( x ¯ ) = E ( y ) E ( x ) = m y m x {\displaystyle E\left({\frac {\bar {y}}{\bar {x}}}\right)=E\left({\bar {y}}{\frac {1}{\bar {x}}}\right)=E({\bar {y}})E\left({\frac {1}{\bar {x}}}\right)\geq E({\bar {y}}){\frac {1}{E({\bar {x}})}}={\frac {E({\bar {y}})}{E({\bar {x}})}}={\frac {E(y)}{E(x)}}={\frac {m_{y}}{m_{x}}}} ここで 、 は変量 の平均であり 、 は変量 の平均です 。 m x {\displaystyle m_{x}} x {\displaystyle x} m y {\displaystyle m_{y}} y {\displaystyle y}
単純ランダムサンプリングでは、バイアスは O ( n −1 )のオーダーとなる。推定値の相対バイアスの上限は、 変動係数（ 標準偏差 と 平均値 の比 ）によって与えられる。 [2] 単純ランダムサンプリングでは、相対バイアスは O ( n −1/2 )である。
平均値の偏りの補正 補正方法は、 x変数 と y 変数の分布に応じて効率が異なるため、全体的に最適な方法を推奨することは困難です。rの推定値にはバイアスがあるため、 以降 の計算では補正されたバージョンを使用する必要があります。
一次精度のバイアス補正は [ 要出典 ]
r c o r r = r − s x y m x {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r-{\frac {s_{xy}}{m_{x}}}} ここで、 m x は 変量x の平均であり 、 s xy はx と y の 共分散 です 。
表記を簡略化するために、 変数 x と y間の共分散を表すために、以降は s xy が 使用されます。
テイラー展開 に基づく別の推定量は [3] である。
r c o r r = r − ( 1 − n − 1 N − 1 ) r s x 2 − s x y n m x 2 {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r-(1-{\frac {n-1}{N-1}}){\frac {rs_{x}^{2}-s_{xy}}{nm_{x}^{2}}}} ここで、 n はサンプル サイズ、 N は母集団のサイズ、 m x はx 変量 の平均、 s x 2 と s y 2はそれぞれ x 変量と y 変量の サンプル 分散 です。
この推定値の計算的にはより単純だが、やや精度の劣るバージョンは
r c o r r = r − N − n N r s x 2 − s x y n m x 2 {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r-{\frac {N-n}{N}}{\frac {rs_{x}^{2}-s_{xy}}{nm_{x}^{2}}}} ここで、 N は母集団サイズ、 n は標本サイズ、 m x はx 変量の平均 、 s x 2 と s y 2はそれぞれ x 変量と y 変量の 標本 分散 です。これらのバージョンは、分母の因子（ N - 1）のみが異なります。Nが大きい場合、 その 差は無視できます。
x と yが ポアソン分布 に従う単位のないカウントである 場合、 2次の補正は [4]である。
r c o r r = r [ 1 + 1 n ( 1 m x − s x y m x m y ) + 1 n 2 ( 2 m x 2 − s x y m x m y [ 2 + 3 m x ] + s x 2 y m x 2 m y ) ] {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r\left[1+{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{m_{x}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {2}{m_{x}^{2}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\left[2+{\frac {3}{m_{x}}}\right]+{\frac {s_{x^{2}y}}{m_{x}^{2}m_{y}}}\right)\right]} バイアス補正の他の方法も提案されている。表記を簡略化するために、以下の変数を使用する。
θ = 1 n − 1 N {\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{N}}} c x 2 = s x 2 m x 2 {\displaystyle c_{x}^{2}={\frac {s_{x}^{2}}{m_{x}^{2}}}} c x y = s x y m x m y {\displaystyle c_{xy}={\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}} パスクアルの推定量: [5]
r c o r r = r + N − 1 N m y − r m x n − 1 {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r+{\frac {N-1}{N}}{\frac {m_{y}-rm_{x}}{n-1}}} ビールの推定値: [6]
r c o r r = r 1 + θ c x y 1 + θ c x 2 {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r{\frac {1+\theta c_{xy}}{1+\theta c_{x}^{2}}}} ティンの推定値: [7]
r c o r r = r ( 1 + θ ( c x y − c x 2 ) ) {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r\left(1+\theta \left(c_{xy}-c_{x}^{2}\right)\right)} サフーの推定値: [8]
r c o r r = r 1 + θ ( c x 2 − c x y ) {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\frac {r}{1+\theta (c_{x}^{2}-c_{xy})}}} サフーは他にもいくつかの推定値を提案している。 [9]
r c o r r = r ( 1 + θ c x y ) ( 1 − θ c x 2 ) {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r(1+\theta c_{xy})(1-\theta c_{x}^{2})} r c o r r = r ( 1 − θ c x 2 ) 1 − θ c x y {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\frac {r(1-\theta c_{x}^{2})}{1-\theta c_{xy}}}} r c o r r = r ( 1 − θ c x y ) ( 1 + θ c x 2 ) {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\frac {r}{(1-\theta c_{xy})(1+\theta c_{x}^{2})}}} x と yが ポアソン分布に従う単位なしのカウントであり、 mx と my が 両方とも10より大きい場合、次の近似はO(n−3)の順序 で 正しい 。 [ 4 ]
r c o r r = r [ 1 − 2 n 2 m x ( 1 m x − s x y m x m y ) ( 1 + 13 2 n + 8 n m x ) ] {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r\left[1-{\frac {2}{n^{2}m_{x}}}\left({\frac {1}{m_{x}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)\left(1+{\frac {13}{2n}}+{\frac {8}{nm_{x}}}\right)\right]} 漸近的に正しい推定量は [3]である。
r c o r r = r + c x 2 m y m x − s x y m x 2 {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r+c_{x}^{2}{\frac {m_{y}}{m_{x}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}^{2}}}}
ジャックナイフ推定 比率のジャックナイフ推定値は、単純な推定値よりもバイアスが少ない。比率のジャックナイフ推定 値 は
r c o r r = n r − n − 1 n ∑ i ≠ j = 1 n r i {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=nr-{\frac {n-1}{n}}\sum _{i\neq j=1}^{n}r_{i}} ここで n はサンプルサイズであり、 r iは 一度に1組の変量を省略して推定される。 [10]
代替の方法は、サンプルを それぞれ pの大きさの g個のグループに分割し、 n = pg とすることである 。 [11] r i を i 番目の グループの推定値とする 。 すると推定値は
r c o r r = g r − g − 1 g ∑ i = 1 g r i = g ( r − r ¯ ) + r ¯ {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=gr-{\frac {g-1}{g}}\sum _{i=1}^{g}r_{i}=g\left(r-{\bar {r}}\right)+{\bar {r}}} ここで g グループの 比率 rgの平均 は 最大 O ( n −2 )の偏りを持つ。 r ¯ {\displaystyle {\bar {r}}}
サンプルを g グループに分割することに基づく他の推定値は次のとおりです。 [12]
r c o r r = g g + 1 r − 1 g ( g − 1 ) ∑ i = 1 g r i {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\frac {g}{g+1}}r-{\frac {1}{g(g-1)}}\sum _{i=1}^{g}r_{i}} r c o r r = r ¯ + n n − 1 m y − r ¯ m x m x {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\bar {r}}+{\frac {n}{n-1}}{\frac {m_{y}-{\bar {r}}m_{x}}{m_{x}}}} r c o r r = r g ¯ + g ( m y − r g ¯ m x ) m x {\displaystyle r_{\mathrm {corr} }={\bar {r_{g}}}+{\frac {g(m_{y}-{\bar {r_{g}}}m_{x})}{m_{x}}}} ここで g グループ の 比率 r gの平均であり、 r ¯ {\displaystyle {\bar {r}}}
r g ¯ = ∑ r i ′ g {\displaystyle {\bar {r_{g}}}=\sum {\frac {r_{i}'}{g}}} ここで、 r i 'は i 番目の グループを省略したサンプル比率の値です 。
その他の推定方法 比率推定値を推定する他の方法としては、 最大尤度法 や ブートストラッピング法 などがある。 [10]
合計の推定 y 変量（ τ y ） の推定総和は
τ y = r τ x {\displaystyle \tau _{y}=r\tau _{x}} ここで、( τ x )はx 変数の合計です 。
分散推定値 サンプル比率の分散はおおよそ次のようになります。
var ( r ) = 1 s x 2 + m x 2 [ ( s y 2 − s x 2 [ y 2 / x 2 ] ) − ( s x [ y / x ] ) 2 + 2 m y s x [ y / x ] − s x 2 m x 2 ( m y − s x [ y / x ] 2 ) ] {\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{s_{x}^{2}+m_{x}^{2}}}\left[(s_{y}^{2}-s_{x^{2}[y^{2}/x^{2}]})-(s_{x[y/x]})^{2}+2m_{y}s_{x[y/x]}-{\frac {s_{x}^{2}}{m_{x}^{2}}}(m_{y}-s_{x[y/x]}^{2})\right]} ここで、 s x 2 と s y 2はそれぞれ x 変量 と y 変量の分散 、 m x と m y はそれぞれx 変量と y 変量 の平均、 s xy はx と y の共分散です 。
以下に示す比率のおおよその分散推定値には偏りがありますが、サンプル サイズが大きい場合、この推定値の偏りは無視できます。
var ( r ) = 1 n N − n N 1 m x 2 ∑ i = 1 n ( y i − r x i ) 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}{\frac {N-n}{N}}{\frac {1}{m_{x}^{2}}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-rx_{i})^{2}}{n-1}}} ここで、 N は母集団のサイズ、 n はサンプルのサイズ、 m x はx 変量の平均です 。
テイラー展開 に基づく分散のもう一つの推定値 は
var ( r ) = 1 n ( 1 − n − 1 N − 1 ) r 2 s x 2 + s y 2 − 2 r s x y m x 2 {\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}(1-{\frac {n-1}{N-1}}){\frac {r^{2}s_{x}^{2}+s_{y}^{2}-2rs_{xy}}{m_{x}^{2}}}} ここで、 n はサンプルサイズ、 N は母集団サイズ、 s xy はx と y の共分散です 。
O( n −2 ) の精度の推定値は [3]
var ( r ) = 1 n [ s y 2 m x 2 + m y 2 s x 2 m x 4 − 2 m y s x y m x 3 ] {\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}\left[{\frac {s_{y}^{2}}{m_{x}^{2}}}+{\frac {m_{y}^{2}s_{x}^{2}}{m_{x}^{4}}}-{\frac {2m_{y}s_{xy}}{m_{x}^{3}}}\right]} 確率分布がポアソン分布に従う場合、O( n −3 )の精度の推定値は [4]
var ( r ) = r 2 [ 1 n ( 1 m x + 1 m y − 2 s x y m x m y ) + 1 n 2 ( 6 m x 2 + 3 m x m y + s x y [ 4 m y 2 − 8 m x m y − 16 m x 2 m y + 5 s x y m x 2 m y 2 ] + 4 s x 2 y m x 2 m y − 2 s x y 2 m x m y 2 ) ] {\displaystyle \operatorname {var} (r)=r^{2}\left[{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{m_{x}}}+{\frac {1}{m_{y}}}-{\frac {2s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {6}{m_{x}^{2}}}+{\frac {3}{m_{x}m_{y}}}+s_{xy}\left[{\frac {4}{m_{y}^{2}}}-{\frac {8}{m_{x}m_{y}}}-{\frac {16}{m_{x}^{2}m_{y}}}+{\frac {5s_{xy}}{m_{x}^{2}m_{y}^{2}}}\right]+{\frac {4s_{x^{2}y}}{m_{x}^{2}m_{y}}}-{\frac {2s_{xy^{2}}}{m_{x}m_{y}^{2}}}\right)\right]} 分散のジャックナイフ推定値は
var ( r ) = ( n − 1 ) n ∑ i = 1 n ( r i − r J ) 2 {\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {(n-1)}{n}}\sum _{i=1}^{n}(r_{i}-r_{J})^{2}} ここで、 r iは i 番目 の変量ペアを省略した 比であり、 r J は比のジャックナイフ推定値である。 [10]
合計の差異 推定合計の分散は
var ( τ y ) = τ y 2 var ( r ) {\displaystyle \operatorname {var} (\tau _{y})=\tau _{y}^{2}\operatorname {var} (r)}
平均の分散 y 変量の推定平均の分散 は
var ( y ¯ ) = m x 2 var ( r ) = N − n N ∑ i = 1 n ( y i − r x i ) 2 n − 1 = N − n N ( s y 2 + r 2 s x 2 − 2 r s x y ) n {\displaystyle \operatorname {var} ({\bar {y}})=m_{x}^{2}\operatorname {var} (r)={\frac {N-n}{N}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-rx_{i})^{2}}{n-1}}={\frac {N-n}{N}}{\frac {(s_{y}^{2}+r^{2}s_{x}^{2}-2rs_{xy})}{n}}} ここで、 m x はx 変量の平均 、 s x 2 と s y 2はそれぞれ x 変量と y 変量 の標本分散、 s xy はx と y の共分散です 。
歪度 比の歪 度 と 尖度は、 x変数 と y 変数の分布に依存します 。 正規分布する x 変数と y変数についてはこれらのパラメータの推定値が得られていますが、他の分布については未だ式は導出されていません。一般に、比変数は右に歪んでおり、 尖度が高く 、分母の 変動 係数が大きくなると非正規性が高まることが分かっています 。
正規分布する x 変数と y 変数の場合、比の歪度はおよそ [7]である。
γ = ( m y ω n m x m y ω 2 + m x 2 m y ) ( 6 + 1 n m x [ 44 + 1 1 + ω 2 m y / m x ] ) {\displaystyle \gamma =\left({\frac {m_{y}\omega }{\sqrt {nm_{x}m_{y}\omega ^{2}+m_{x}^{2}m_{y}}}}\right)\left(6+{\frac {1}{nm_{x}}}\left[44+{\frac {1}{1+\omega ^{2}m_{y}/m_{x}}}\right]\right)} どこ
ω = 1 − m x cov ( x , y ) {\displaystyle \omega =1-m_{x}\operatorname {cov} (x,y)}
信頼区間への影響 比率推定値は一般的に歪んでいるため、分散検定やt検定などの対称検定で作成された信頼区間は不正確です。 [10] これらの信頼区間は、左側の信頼区間の大きさを過大評価し、右側の信頼区間の大きさを過小評価する傾向があります。
比率推定値が 単峰性 である場合（よくあるケース）、 Vysochanskiï–Petunin不等式 を使用して95%信頼区間の保守的な推定を行うことができます。
バイアス軽減の代替方法 比率推定値のバイアスを低減または除去する別の方法は、サンプリング方法を変更することです。これらの方法を用いた比率の分散は、前述の推定値とは異なります。Lohr [13]で議論されているような多くの応用は、サンプルグループのサイズなど、正の 整数 のみに限定されることを意図しています が、Midzuno-Sen法は整数であるかどうかにかかわらず、任意の正の数の列に対して有効です。Lahiri法は バイアスのある結果を返すため、 有効であるという意味は明確ではありません。
ラヒリの方法 これらのサンプリング方式の最初のものは、1951年にラヒリによって導入されたサンプリング方法を二重に使用したものだ。 [14] ここでのアルゴリズムは、ローアによる説明に基づいている。 [13]
数値 M = max( x 1 , ..., x N ) を選択します。ここで、 N は人口サイズです。 [1, N ]上の 均一分布から iを ランダムに 選択します 。 [1, M ]上の 一様分布から kを ランダムに 選択します 。 k ≤ x i の場合 、 x i はサンプルに保持されます。そうでない場合は、棄却されます。 必要なサンプル サイズが得られるまで、手順 2 からこのプロセスを繰り返します。 同じ希望サンプルサイズに対して同じ手順が y 変量で実行されます。
ローアが説明したラヒリの手法は バイアスが高く 、歴史的な理由からのみ興味深いものです。代わりに、以下に説明するミズノ・センの手法が推奨されます。
水津野仙法 1952年にミズノとセンは独立して、この比率の偏りのない推定値を提供するサンプリングスキームを説明しました。 [15] [16]
最初の標本は、 x 変量の大きさに比例する確率で選択される 。残りの n -1個の標本は、母集団の残りの N -1個の要素から非復元的に無作為に選択される 。この方法による選択確率は、
P = ∑ x i ( N − 1 n − 1 ) X {\displaystyle P={\frac {\sum x_{i}}{{N-1 \choose n-1}X}}} ここで、 Xは N個の x 変量 の合計であり、 x iは標本の n 個の要素です。このようにして選択された y 変量の合計と x 変量の合計の比は 、比推定値の不偏推定値となります。
シンボルで表すと
r = ∑ y i ∑ x i {\displaystyle r={\frac {\sum y_{i}}{\sum x_{i}}}} ここで 、x i と y i は上記の方式に従って選択されます。
この方式によって与えられる比率推定値は偏りがありません。
サーンダル、スウェンソン、レットマンは、この方法につながる洞察についてラヒリ、ミズノ、センの功績を認めているが [17] 、ラヒリの手法は高く評価されている。
その他の比率推定値 ティン（1965） [18] は、ビール（1962） [19] とケヌイユ（1956） [20] が提案した比率推定法について説明・比較し、改良法（現在ティン法と呼ばれている）を提案した。これらの比率推定法は、水路のサンプリングから汚濁負荷量を算出する際に広く用いられており、特に水質よりも流量の測定頻度が高い場合に有効である。例えば、クイルベ他（2006） [21]を参照のこと。
通常の最小二乗回帰 x 変数と y 変数の間に線形関係 が存在し、 回帰 方程式が原点を通る場合、回帰方程式の推定分散は常に比率推定値の分散よりも小さくなります [ 要出典 ] 。分散間の正確な関係は、 x 変数と y 変数の関係の線形性に依存します 。関係が線形でない場合、比率推定値の分散は回帰によって推定される分散よりも低くなる可能性があります。
用途 比率推定器はさまざまな状況で役立ちますが、特に次の 2 つの場合に役に立ちます。
変量 x と yが 原点 を通じて 高度に 相関して いる場合。 調査方法 において、 分母が総人口規模を反映する重みの合計を示すが、総人口規模は不明な場合に 加重平均 を推定する場合。
歴史 比率推定法の最初の使用例は イギリス の ジョン・グラント によるもので、彼は 1662 年に初めて比率 y / x を推定しました。ここで 、y は 総人口、 x は 前年に同じ地域で登録された出生総数です。
その後、メサンス（1765年頃）とモホー（1778年）は、特定の地区の人口調査と、国全体の出生数、死亡数、婚姻数に基づいて、 フランス の人口を非常に慎重に推計した。人口と出生数の比率を算出した地区は、あくまでもサンプルに過ぎなかった。
1802年、 ラプラスは フランスの人口を推定しようとした。当時、 人口調査 は実施されておらず、ラプラスにはすべての人口を数えるだけの資源がなかった。そこで彼は、住民総数が2,037,615人である30の 教区 をサンプルとして抽出した。教区の洗礼登録は出生数の信頼できる推定値と考えられていたため、彼は3年間の出生数の総計を用いた。このサンプル推定値は、この期間の年間洗礼数71,866,333件で、28.35人あたり1件の登録洗礼という比率であった。フランス全体の洗礼登録数の総計も入手できたため、彼は出生数と人口の比率は一定であると仮定した。そして、サンプルから得られた比率を用いて、フランスの人口を推定した。
カール・ピアソンは 1897年に、比率推定値は偏っていると述べ、その使用に警告を発した。 [22]
参照
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![{\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r\left[1+{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{m_{x}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {2}{m_{x}^{2}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\left[2+{\frac {3}{m_{x}}}\right]+{\frac {s_{x^{2}y}}{m_{x}^{2}m_{y}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6509e79203c58302b15e205b74e7f7dda6819cbd)
![{\displaystyle r_{\mathrm {corr} }=r\left[1-{\frac {2}{n^{2}m_{x}}}\left({\frac {1}{m_{x}}}-{\frac {s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)\left(1+{\frac {13}{2n}}+{\frac {8}{nm_{x}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12260e7e4f85f6c4073565b18979cab073d35e0)
![{\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{s_{x}^{2}+m_{x}^{2}}}\left[(s_{y}^{2}-s_{x^{2}[y^{2}/x^{2}]})-(s_{x[y/x]})^{2}+2m_{y}s_{x[y/x]}-{\frac {s_{x}^{2}}{m_{x}^{2}}}(m_{y}-s_{x[y/x]}^{2})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea1c42bc763c9f51b15977d44c4ee759944c33f)
![{\displaystyle \operatorname {var} (r)={\frac {1}{n}}\left[{\frac {s_{y}^{2}}{m_{x}^{2}}}+{\frac {m_{y}^{2}s_{x}^{2}}{m_{x}^{4}}}-{\frac {2m_{y}s_{xy}}{m_{x}^{3}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186722f33f3dc6685c9222efa183c5f4b1dd3a8e)
![{\displaystyle \operatorname {var} (r)=r^{2}\left[{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{m_{x}}}+{\frac {1}{m_{y}}}-{\frac {2s_{xy}}{m_{x}m_{y}}}\right)+{\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {6}{m_{x}^{2}}}+{\frac {3}{m_{x}m_{y}}}+s_{xy}\left[{\frac {4}{m_{y}^{2}}}-{\frac {8}{m_{x}m_{y}}}-{\frac {16}{m_{x}^{2}m_{y}}}+{\frac {5s_{xy}}{m_{x}^{2}m_{y}^{2}}}\right]+{\frac {4s_{x^{2}y}}{m_{x}^{2}m_{y}}}-{\frac {2s_{xy^{2}}}{m_{x}m_{y}^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1da31282b552bccd4219cc4eb6d75f414da8db)
![{\displaystyle \gamma =\left({\frac {m_{y}\omega }{\sqrt {nm_{x}m_{y}\omega ^{2}+m_{x}^{2}m_{y}}}}\right)\left(6+{\frac {1}{nm_{x}}}\left[44+{\frac {1}{1+\omega ^{2}m_{y}/m_{x}}}\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5ec21fcb3feb2f92e1636b99a0079c55386f84)
