複素多面体

幾何学において、複素多面体とは、実空間の多面体を複素ヒルベルト空間の類似の構造に一般化したものであって、各実次元には虚次元が伴うものである。

複素多面体は、複雑な点、線、平面などの集合として理解することができ、各点は複数の線と交差し、各線は複数の平面と交差するなどとなります。

正確な定義が存在するのは、配置である正複素多面体のみです。正複素多面体は完全に特徴付けられており、コクセターによって開発された記号表記法を用いて記述できます。

完全に規則的ではない複雑な多面体もいくつか説明されています。

定義と概要

複素直線は、 実座標を持つ1次元と虚座標を持つもう1次元を持ちます。両方の次元に実座標を適用すると、実数上の2次元空間が得られると言われます。虚軸に実数としてラベルが付けられた実平面は、アルガン図と呼ばれます。このため、複素平面と呼ばれることもあります。したがって、複素2次元空間（複素平面と呼ばれることもあります）は実数上の4次元空間であり、高次元でも同様です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

複素n空間における複素n多面体は、実n空間における実n多面体の類似体です。しかし、実直線上の点の順序（あるいはそれに伴う組合せ論的性質）に自然に類似する複素多面体は存在しません。そのため、複素多面体は連続面とはみなすことができず、実多面体のように内部を囲むこともできません。

正多面体の場合、対称性の概念を用いることで正確な定義が可能です。任意の正多面体に対して、対称群（ここではシェパード群と呼ばれる複素鏡映群）は、旗、つまり平面に含まれる直線に含まれる点などの入れ子になった列に推移的に作用します。

より詳しくは、 n次元の複素ユニタリ空間Vのアフィン部分空間（または平坦面）の集合Pが以下の条件を満たすとき、正則複素多面体であると言う：^{[1] [2]}

• すべての−1 ≤ i < j < k ≤ nに対して、Fがi次元のPのフラットであり、Hがk次元のPのフラットでF ⊂ Hが成り立つ場合、 j次元のPのフラットGが少なくとも 2 つ存在し、F ⊂ G ⊂ Hが成り立ちます。
• −1 ≤ i < j − 2, j ≤ nとなる任意のi 、 jに対して、F ⊂ GがPのi、j次元のフラットである場合、 FとGの間のフラットの集合は連結であり、これはこの集合の任意の要素から他の任意の要素へ包含のシーケンスによって到達できるという意味である。
• Pを固定するVのユニタリ変換のサブセットは、PのフラットのフラグF ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n上で推移的である（すべてのiに対して、 i次元のF _i）。

（ここでは、次元−1の平面は空集合を意味するものとする。）したがって、定義により、正則複素多面体は複素ユニタリ空間における配置である。 ^[3]

正則複素多面体はShephard (1952)によって発見され、その理論は Coxeter (1974) によってさらに発展させられました。

正複素多角形 ₄ {4} ₂の3つのビュー、

この複素多角形には、 a .. hとラベル付けされた 8 つの辺（複素線）と 16 個の頂点があります。各辺には 4 つの頂点があり、各頂点で 2 つの辺が交差しています。左の図では、輪郭線で囲まれた正方形は多面体の要素ではなく、同じ複素線上にある頂点を識別するためにのみ含まれています。左の図の八角形の周囲は多面体の要素ではありませんが、ペトリ多角形です。[4]中央の図では、各辺が実線として表されており、各線の 4 つの頂点がより明確に確認できます。

16個の頂点を大きな黒い点で、8個の4辺を各辺内の境界付き正方形で表した透視図。緑色のパスは、左側の画像の八角形の周囲を表しています。

複素多面体は、同次元の複素空間に存在します。例えば、複素多角形の頂点は複素平面（各点が2つの複素数を座標として持つ平面。複素数のアルガン平面とは別物）上の点であり、辺は複素平面の（アフィン）部分空間として存在し、頂点で交差する複素直線です。したがって、1次元複素空間である辺には独自の座標系を与えることができ、その座標系内では辺の各点は単一の複素数で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

正複素多面体では、辺に接続する頂点は、その重心に対して対称的に配置されます。重心 は、辺の座標系の原点としてよく使用されます (実際のケースでは、重心は辺の中点です)。この対称性は、重心の複素反射から生じます。この反射では、任意の頂点の大きさは不変ですが、その引数が一定量だけ変化し、次の頂点の座標に移動します。したがって、(適切なスケールを選択した後) 辺上の頂点は次の式を満たしていると想定できます。ここで、 pは接続頂点の数です。したがって、辺のアルガン図では、頂点は原点を中心とする正多角形の頂点にあります。 ${\displaystyle x^{p}-1=0}$

上図は、正複素多角形 4{4}2 の 3 つの実射影図で、辺はa、b、c、d、e、f、g、hです。多角形には 16 個の頂点がありますが、分かりやすくするために個別には示していません。各辺には 4 つの頂点があり、各頂点は 2 つの辺に接しているため、各辺は他の 4 つの辺と接しています。最初の図では、各辺は正方形で表されています。正方形の辺は多角形の一部ではなく、4 つの頂点を視覚的に関連付けやすくするために描かれています。辺は対称的に配置されています。（この図は、テッセラクトのB ₄コクセター平面射影に似ていますが、構造は異なります。）

中央の図では、明瞭さを優先するため、八角形の対称性は放棄されています。各辺は実線として示され、2本の直線の交点はそれぞれ頂点として示されています。各辺のつながりは明瞭に示されています。

最後の図は、3 次元に投影された構造の様子を示しています。頂点の 2 つの立方体は実際には同じサイズですが、4 次元では異なる距離から遠近法で見られています。

正則複素1次元多面体

複素1次元多面体を、アルガン平面においてp = 2、3、4、5、6の正多角形として表し、頂点を黒で示しています。p頂点の重心は赤で示されています。多角形の辺は対称性生成器の1つの適用を表し、各頂点を反時計回りの次のコピーにマッピングします。これらの多角形の辺は多面体の辺要素ではありません。複素1次元多面体は辺を持たない場合があり（多くの場合、複素辺です）、頂点要素のみで構成されます。

実1次元多面体は、実直線上の2つの端点または頂点によって定義される、実直線上の閉線分として存在する。そのシュレーフリ記号は{}である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

同様に、複素1次元多面体は、複素直線上のp個の頂点の集合として存在する。これらは、アルガンド図( x , y )= x + iy上の点の集合として表すことができる。正則複素1次元多面体_p {}は、アルガンド平面上に凸正多角形{ p }を形成するように配置されたp（p≥2 ）個の頂点を持つ。^[5] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

実数直線上の点とは異なり、複素直線上の点には自然な順序付けがない。したがって、実多面体とは異なり、内部構造を定義することはできない。^[6]それにもかかわらず、複素1次元多面体は、ここでのように、アルガン平面上の有界正多角形として描かれることが多い。

実辺は、点と鏡を挟んだその反射像を結ぶ直線として生成されます。ユニタリ反射次数2は、中心を中心とする180度回転と見ることができます。生成点が反射直線上または中心にある場合、辺は非アクティブです。

正則な実1次元多面体は、空のシュレーフリ記号{}、またはコクセター・ディンキン図で表される。 コクセター・ディンキン図の点またはノード自体は反射生成点を表し、ノードの周りの円は生成点が反射上にないことを意味し、したがってその反射像はそれ自身とは異なる点である。拡張すると、 の正則複素1次元多面体はコクセター・ディンキン図を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ は、 p個の頂点を含む、2 以上の任意の正の整数pに対して成り立ちます。pは2 の場合は省略できます。また、空のシュレーフリ記号_p {}、} _p {、{} _p、または_p {2} ₁で表されることもあります。1 は表記上のプレースホルダーであり、存在しない反射、または周期 1 の恒等生成子を表します。（0 多面体（実数または複素数）は点であり、} { または₁ {2} ₁として表されます。）

対称性はコクセター図で示される であり、コクセター記法では_p [], [] _pまたは] _p [, _p [2] ₁または_p [1] _pと記述することもできる。この対称性は巡回群と同型で、位数はpである。^[7] _p []の部分群は任意の整数約数d、_d []（ただしd ≥ 2）である。

ユニタリ演算子生成器は反時計回りに2π/ pラジアン回転し、辺は、単一のユニタリ鏡映を連続的に適用することで生成されます。p 頂点を持つ 1-多面体のユニタリ鏡映生成元はe 2π ^{i / p =} cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p )です。p = 2 の場合、生成元はe ^{π i} = –1 となり、これは実平面における点鏡映と同じです。

高次の複素多面体では、1-多面体はp辺を形成します。2-辺は、2つの頂点を含む点で通常の実辺に似ていますが、実直線上に存在する必要はありません。

正複素多角形

1 次元多面体はp を無制限に持つことができますが、二重プリズム多角形_p {4} ₂を除く有限正複素多角形は 5 辺 (五角形辺) の要素に制限され、無限正アペイロゴンには 6 辺 (六角形辺) の要素も含まれます。

表記

シェパードの修正シュレーフリ記法

シェパードは_{、正多面体に対する}シュレーフリ記法の修正版を最初に考案した。p 1辺で囲まれた多角形、頂点図形としてp ₂集合、全体の対称群の位数がgである多角形を、 p ₁ ( g ) p ₂と表記する。

頂点の数Vはg / p ₂、辺の数Eはg / p ₁です。

上に示した複素多角形は、8つの直角辺（p ₁ =4）と16の頂点（p ₂ =2）を持ちます。このことからg = 32となり、修正シュレーフリ記号は4(32)2となります。

Coxeter の改訂された修正シュレーフリ記法

より現代的な記法_{p 1} { q } _{p 2}はコクセター[ ^8]によるもので、群論に基づいています。対称群としての記号は_{p 1} [ q ] _{p 2}です。

対称群_{p 1} [ q ] _{p 2は2つの生成元 R 1} , R ₂で表され、ここで R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I です。q が偶数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2}です。q が奇数の場合、 (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁です。q が奇数の場合、p ₁ = p ₂です。

₄ [4] ₂の場合、R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I、(R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ²となる。

₃ [5] ₃についてはR ₁ ³ = R ₂ ³ = I、(R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁となる。

コクセター・ディンキン図

コクセターはコクセター・ディンキン図の複素多面体への応用も一般化した。例えば複素多角形_p { q } _rは次のように表される。そして、同値な対称群_p [ q ] _{r は}環のない図式である。ノードpとrは、平面にpとrの像を生成する鏡像を表します。図中のラベルのないノードには、暗黙的に2つのラベルが付けられます。例えば、実正多角形は₂ { q } ₂または { q } または。

一つの制限として、奇数分岐順序で接続されたノードは、同じ分岐順序を持つ必要があります。そうでない場合、グループは要素が重なり合う「星型」のポリゴンを作成します。そのため、そして普通ですが、星が輝いています。

12 既約シェパード群

12の既約シェパード群とその部分群のインデックス関係。^[9]インデックス2の部分群は、実反射を除去することによって関係付けられます。p
_[ 2 q ] ₂ → _p [ q ] _p、インデックス2。p
_[ 4] _q → _p [ q ] _p、インデックスq。

_p [4] _2つのサブグループ: p=2,3,4...
_p [4] ₂ → [ p ]、インデックスp
_p [4] ₂ → _p []× _p []、インデックス 2

コクセターは、この正複素多角形のリストを で列挙しました。正複素多角形_p { q } _rまたは ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$はp辺とr角形の頂点図形を持ちます。p { q } _rは、 ( p + r ) q > pr ( q -2 )のとき有限多面体です。

_{その対称性はp} [ q ] _rと書かれ、シェパード群と呼ばれ、コクセター群に類似しており、ユニタリ反射も許可します。

非星間群の場合、群の位数_p [ q ] _rは次のように計算できる。^[10] ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

_p [ q ] _rのコクセター数は なので、群位数は と計算することもできます。正複素多角形は、h角対称の直交投影で描くことができます。 ${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$ ${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

複雑なポリゴンを生成するランク 2 のソリューションは次のとおりです。

グループ	G 3 =G( q ,1,1)	G 2 =G( p ,1,2)	G4​	G6​	G5​	G8​	G 14	G9​	G 10	G 20	G 16	G 21	G 17	G 18
	2 [ q ] 2、q =3,4...	p [4] 2 , p =2,3...	3 [3] 3	3 [6] 2	3 [4] 3	4 [3] 4	3 [8] 2	4 [6] 2	4 [4] 3	3 [5] 3	5 [3] 5	3 [10] 2	5 [6] 2	5 [4] 3
注文	2 q	2ページ2ページ	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
h	q	2ページ	6	12			24			30		60

qが奇数でpとrが等しくない除外解は6 _[ 3] _2、6 [3] _3、9 [ ₃ ] _3、12 [3 ] ₃、...、₅ [5 _{] 2、6 [5 ] 2、8 [} 5 ] 2、9 [ ₅ ] _2、4 [ 7 ] _2、9 [ ₅ ] _2、3 [ ₉ ] ₂、_および3 _{[ 11} ] ₂で_ある。

等しくないpとrを持つ他の整数q は、重複する基本領域を持つ星型グループを作成します。、、、、、 そして。

_p { q } _rの双対多角形は_r { q } _pである。p _{ q } _pの形をした多角形は自己双対である。p [ 2 q ] 2 の形をした群は_半対称性p _[ q _] pを持つ_ので、正多角形は準正規形と同じ同様に、同じノード順序を持つ正多角形は、、交互構造を持つ隣接する辺を異なる色にすることができる。^[11]

群位数gは、頂点と辺の総数を計算するために使用されます。頂点の数はg / r個、辺の数はg / p個になります。p = rのとき、頂点と辺の数は等しくなります。この条件は、qが奇数の場合に必要です。

行列ジェネレータ

グループp [ q ] r、は2つの行列で表すことができる: ^[12]

名前	R1​	R2​
注文	p	r
マトリックス	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\\0&e^{2\pi i/r}\\\end{smallmatrix}}\right]}$

と

k= ${\displaystyle {\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

例

名前 R1​ R2​ 注文 p q マトリックス ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&e^{2\pi i/q}\\\end{smallmatrix}}\right]}$	名前 R1​ R2​ 注文 p 2 マトリックス ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	名前 R1​ R2​ 注文 3 3 マトリックス ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}\\0&{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\\\end{smallmatrix}}\right]}$
名前 R1​ R2​ 注文 4 4 マトリックス ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&i\\\end{smallmatrix}}\right]}$	名前 R1​ R2​ 注文 4 2 マトリックス ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]}$	名前 R1​ R2​ 注文 3 2 マトリックス ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-2\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]}$

正複素多角形の列挙

コクセターは正則複素多面体の表IIIに複素多角形を列挙した。^[13]

グループ	注文	コクセター 数	ポリゴン		頂点	エッジ		注記
G(q,q,2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q=2,3,4,...	2 q	q	2 { q } 2		q	q	{}	実正多角形 同じ 同じqが偶数の場合

グループ	注文	コクセター 数	ポリゴン			頂点	エッジ		注記
G( p ,1,2) p [4] 2p =2,3,4,...	2ページ2ページ	2ページ	p (2 p 2 )2	p {4} 2		2ページ	2ページ	p {}	p {}× p {}と同じ、または ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$p - p デュオプリズムとしての表現
			2(2 p 2 ) p	2 {4}ページ		2ページ	2ページ	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$p - p 二 重ピラミッドとして表現
G(2,1,2) 2 [4] 2 = [4]	8	4		2 {4} 2 = {4}		4	4	{}	{}×{}と同じまたは 実数正方形
G(3,1,2) 3 [4] 2	18	6	6(18)2	3 {4} 2		9	6	3 {}	3 {}× 3 {}と同じ、または ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$3-3デュオプリズムとしての表現
			2(18)3	2 {4} 3		6	9	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$3-3デュオピラミッドとして表現
G(4,1,2) 4 [4] 2	32	8	8(32)2	4 {4} 2		16	8	4 {}	4 {}× 4 {}と同じ、または ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$4-4デュオプリズムまたは{4,3,3}として表現
			2(32)4	2 {4} 4		8	16	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$4-4デュオピラミッドまたは{3,3,4}として表現
G(5,1,2) 5 [4] 2	50	25	5(50)2	5 {4} 2		25	10	5 {}	5 {}× 5 {}と同じまたは ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$5-5デュオプリズムとしての表現
			2(50)5	2 {4} 5		10	25	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$5-5デュオピラミッドとして表現
G(6,1,2) 6 [4] 2	72	36	6(72)2	6 {4} 2		36	12	6 {}	6 {}× 6 {}と同じまたは ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$6-6デュオプリズムとしての表現
			2(72)6	2 {4} 6		12	36	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$6-6デュオピラミッドとして表現
G 4 =G(1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3(24)3	3 {3} 3		8	8	3 {}	メビウス・カントール配置は 自己双対であり、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}${3,3,4}として表現
G 6 3 [6] 2	48	12	3(48)2	3 {6} 2		24	16	3 {}	同じ
				3 {3} 2					星空多角形
			2(48)3	2 {6} 3		16	24	{}
				2 {3} 3					星空多角形
G 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	3 {4} 3		24	24	3 {}	自己双対、同じ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}${3,4,3}として表現される
G 8 4 [3] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4		24	24	4 {}	自己双対、同じ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}${3,4,3}として表現される
G 14 3 [8] 2	144	24	3(144)2	3 {8} 2		72	48	3 {}	同じ
				3 {8/3} 2					星型多角形、同じ
			2(144)3	2 {8} 3		48	72	{}
				2 {8/3} 3					星空多角形
G 9 4 [6] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2		96	48	4 {}	同じ
			2(192)4	2 {6} 4		48	96	{}
				4 {3} 2		96	48	{}	星空多角形
				2 {3} 4		48	96	{}	星空多角形
G 10 4 [4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3		96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3					星空多角形
		24	3(288)4	3 {4} 4		72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4					星空多角形
G 20 3 [5] 3	360	30	3(360)3	3 {5} 3		120	120	3 {}	自己双対、同じ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}${3,3,5}として表現
				3 {5/2} 3					自己双対、星型多角形
G 16 5 [3] 5	600	30	5(600)5	5 {3} 5		120	120	5 {}	自己双対、同じ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}${3,3,5}として表現
		10		5 {5/2} 5					自己双対、星型多角形
G 21 3 [10] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2		360	240	3 {}	同じ
				3 {5} 2					星空多角形
				3 {10/3} 2					星型多角形、同じ
				3 {5/2} 2					星空多角形
			2(720)3	2 {10} 3		240	360	{}
				2 {5} 3					星空多角形
				2 {10/3} 3					星空多角形
				2 {5/2} 3					星空多角形
G 17 5 [6] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2		600	240	5 {}	同じ
		20		5 {5} 2					星空多角形
		20		5 {10/3} 2					星空多角形
		60		5 {3} 2					星空多角形
		60	2(1200)5	2 {6} 5		240	600	{}
		20		2 {5} 5					星空多角形
		20		2 {10/3} 5					星空多角形
		60		2 {3} 5					星空多角形
G 18 5 [4] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3		600	360	5 {}
		15		5 {10/3} 3					星空多角形
		30		5 {3} 3					星空多角形
		30		5 {5/2} 3					星空多角形
		60	3(1800)5	3 {4} 5		360	600	3 {}
		15		3 {10/3} 5					星空多角形
		30		3 {3} 5					星空多角形
		30		3 {5/2} 5					星空多角形

正多角形の視覚化

_p {2 r } _qの形をした多角形は、p辺のq色集合で視覚化できます。各p辺は正多角形として見えますが、面は存在しません。

複雑な多角形の2次元直交投影₂ { r } _q

₂ {4} _qの形の多角形は、一般化正多角形と呼ばれます。これらの多角形は、4次元のq - q 二重ピラミッドと頂点を共有し、頂点同士は2辺で結ばれています。

• 
  ₂ {4} ₂、4つの頂点と4つの辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₃、6つの頂点と9つの辺を持つ^[14]
• 
  ₂ {4} ₄、8つの頂点と16の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₅、10個の頂点と25個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₆、12個の頂点と36個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₇、14個の頂点と49個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₈、16個の頂点と64個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₉、18個の頂点と81個の辺を持つ
• 
  ₂ {4} ₁₀、20個の頂点と100個の辺を持つ

複素多角形_p {4} ₂

_p {4} ₂の形をした多角形は、一般化超立方体（多角形用の正方形）と呼ばれます。これらの多角形は、4次元p - p デュオプリズムと頂点を共有し、頂点はp辺で結ばれています。頂点は緑色で描かれ、p辺は赤と青の交互色で描かれます。奇数次元では、重なり合う頂点を中心からずらすため、遠近法はわずかに歪んでいます。

• 
  ₂ {4} ₂、または4つの頂点と4つの2辺を持つ
• 
  ₃ {4} ₂、または9つの頂点と6つの（三角形の）3辺を持つ^[14]
• 
  ₄ {4} ₂、または16個の頂点と8個の（正方形の）4辺を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ ,または25の頂点と10の（五角形の）5辺を持つ
• 
  ₆ {4} ₂ ,または36の頂点と12の（六角形の）6辺を持つ
• 
  ₇ {4} ₂ ,または49個の頂点と14個の（七角形の）7辺を持つ
• 
  ₈ {4} ₂ ,または64個の頂点と16個の（八角形の）8辺を持つ
• 
  ₉ {4} ₂ ,または81個​​の頂点と18個の（9角形）9辺を持つ
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,または100個の頂点と20個の（十角形）10辺を持つ

複素多角形_p {4} ₂の3D透視投影。双対多角形₂ {4} _p

エッジの内側に頂点を追加したり、頂点の代わりにエッジを追加したりすることで確認できます。

• 
  ₃ {4} ₂、 または9つの頂点、6つの3辺、2つの色セット
• 
  ₂ {4} ₃、6つの頂点、3セットの9つの辺を持つ
• 
  ₄ {4} ₂、または16個の頂点、2セットの色を持つ8個の4辺、および塗りつぶされた正方形の4辺を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ ,または25個の頂点、2セットの色で10個の5辺を持つ

その他の複雑な多角形_p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂、または24個の頂点が黒で、16個の3辺が赤と青の2組の3辺で色分けされている^[15]
• 
  ₃ {8} ₂、または72個の頂点が黒で、48個の3辺が赤と青の2組の3辺で色分けされている^[16]

複雑な多角形の2次元直交投影、_p { r } _p

_p { r } _pの形の多角形は、頂点と辺の数が等しい。また、自己双対である。

• 
  ₃ {3} ₃、または8つの頂点は黒で、8つの3辺は赤と青の2組の3辺で色分けされている^[17]
• 
  ₃ {4} ₃、または24個の頂点と24個の3辺が3組の色で表示され、1組は塗りつぶされている^[18]
• 
  ₄ {3} ₄、または24個の頂点と24個の4辺が4つの色で表示される^[18]
• 
  ₃ {5} ₃、または120個の頂点と120個の3辺を持つ^[19]
• 
  ₅ {3} ₅、または120個の頂点と120個の5辺を持つ^[20]

正則複素多面体

一般に、正則複素多面体はコクセター図によって_p { z ₁ } _q { z ₂ } _r { z ₃ } _s ...として表される。...、対称性_p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _sを持つ... または.... ^[21]

あらゆる次元に現れる正則複素多面体の族は無限に存在し、実空間における超立方体と交差多面体を一般化する。シェパードの「一般化直交面」は超立方体を一般化し、その記号はγで表される。^p
_n= _p {4} ₂ {3} ₂ ... ₂ {3} ₂および図...。その対称群は図_p [4] ₂ [3] ₂ ... ₂ [3] ₂を持つ。シェパード・トッド分類では、これは符号付き置換行列を一般化した群G( p , 1, n )である。その双対正則多面体である「一般化交差多面体」は記号βで表される。^p
_n= ₂ {3} ₂ {3} ₂ ... ₂ {4} _pと図.... ^[22]

1次元正則複素多面体は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$p個の頂点を持つ多角形{ p }。コクセターはこれに記号γも与えた。₁^ページ目
またはβ₁^ページ目
1次元の一般化超立方体または交差多面体として表される。その対称性は_p []またはは位数pの巡回群である。高次の多面体では、_p {} または2辺を持つp辺要素を表す{}または2つの頂点間の通常の実辺を表す。^[22]

双対複素多面体は、n多面体のk元と( n -1- k )元を交換することで構築されます。たとえば、双対複素多面体は各辺を頂点の中心とし、新しい辺は古い頂点を中心とします。v価頂点は新しいv辺を作成し、e辺はe価頂点になります。 [ ^23]正則複素多面体の双対は反転した記号を持ちます。対称記号を持つ正則複素多面体、つまり_p { q } _p、_p { q } _r { q } _p、_p { q } _r { s } _r { q } _pなどは自己双対です。

正複素多面体の列挙

いくつかのランク3シェパード群とその群順序、および反射的部分群関係

コクセターは、の5つのプラトン立体を含む、星のない正多面体のリストを に列挙した。^[24] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

正複素多面体、_p { n ₁ } _q { n ₂ } _rまたは、 もっている顔、エッジ、そして 頂点図形。

複素正多面体_p { n1 } _q { n2 _{} r}では_、g1 ₌ order( _p [ n1 _{] q} )とg2 ₌ order( _q [ n2 _{] r} )の両方が有限である必要があります。

g = order( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r )とすると、頂点の数はg / g ₂、面の数はg / g ₁、辺の数はg / prです。

空間	グループ	注文	コクセター数	ポリゴン		頂点	エッジ		顔		頂点 図形	ヴァン・オスポリゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G(1,1,3) 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3]	24	4	α 3 = 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3}		4	6	{}	4	{3}	{3}	なし	実四面体 同じ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G 23 2 [3] 2 [5] 2 = [3,5]	120	10	2 {3} 2 {5} 2 = {3,5}		12	30	{}	20	{3}	{5}	なし	真二十面体
				2 {5} 2 {3} 2 = {5,3}		20	30	{}	12	{5}	{3}	なし	実十二面体
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	G(2,1,3) 2 [3] 2 [4] 2 = [3,4]	48	6	β2 3= β 3 = {3,4}		6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	実八面体 {}+{}+{} と同じ、次数 8 と同じ、注文番号24
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$				γ2 3= γ 3 = {4,3}		8	12	{}	6	{4}	{3}	なし	実数キューブ {}×{​​}×{} と同じ、または
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	6ページ3	3ページ	β3ページ = 2 {3} 2 {4} p		3ページ	3ページ2ページ	{}	3ページ	{3}	2 {4}ページ	2 {4}ページ	一般化八面体p {}+ p {}+ p {}と同じ、順序p 3と同じ 、注文6ページ2
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ3ページ = p {4} 2 {3} 2		3ページ	3ページ2ページ	p {}	3ページ	p {4} 2	{3}	なし	一般化立方体p {}× p {}× p {} と同じ、または
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	β3 3= 2 {3} 2 {4} 3		9	27	{}	27	{3}	2 {4} 3	2 {4} 3	3 {}+ 3 {}+ 3 {}、順序27 と同じ、注文番号54
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ3 3= 3 {4} 2 {3} 2		27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	なし	3 {}× 3 {}× 3 {}または
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(4,1,3) 2 [3] 2 [4] 4	384	12	β4 3= 2 {3} 2 {4} 4		12	48	{}	64	{3}	2 {4} 4	2 {4} 4	4 {}+ 4 {}+ 4 {}、64の順序 と同じ、注文番号96
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ4 3= 4 {4} 2 {3} 2		64	48	4 {}	12	4 {4} 2	{3}	なし	4 {}× 4 {}× 4 {}または
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	15	β5 3= 2 {3} 2 {4} 5		15	75	{}	125	{3}	2 {4} 5	2 {4} 5	5 {}+ 5 {}+ 5 {}、125の順序 と同じ、注文番号150
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ5 3= 5 {4} 2 {3} 2		125	75	5 {}	15	5 {4} 2	{3}	なし	5 {}× 5 {}× 5 {}または
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	18	β6 3= 2 {3} 2 {4} 6		36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	6 {}+ 6 {}+ 6 {}、順序216 と同じ、注文番号216
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$				γ6 3= 6 {4} 2 {3} 2		216	108	6 {}	18	6 {4} 2	{3}	なし	6 {}× 6 {}× 6 {}または
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	G 25 3 [3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3		27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	同じ2 21ヘッセ多面体として表現 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	18	2 {4} 3 {3} 3		54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
				3 {3} 3 {4} 2		72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	同じ[25] 1 22として表現 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

正複素多面体の視覚化

複素多面体の2次元直交投影、_p { s } _t { r } _r

• 
  実数{3,3}、または4つの頂点、6つの辺、4つの面を持つ
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃、またはは27個の頂点、72個の3辺、27個の面を持ち、そのうち1つの面が青くハイライトされている。^[26]
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃、54個の頂点、216個の単純辺、72個の面があり、そのうち1つの面が青くハイライトされている。^[27]
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂、またはは72個の頂点、216個の3辺、54個の頂点を持ち、1つの面が青く強調表示されている。^[28]

一般化された八面体

一般化された八面体は、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,4}、または6つの頂点、12の辺、8つの面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₃、または9つの頂点、27の辺、27の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₄、または12個の頂点、48個の辺、64個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₅、または15個の頂点、75個の辺、125個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₆、または18個の頂点、108個の辺、216個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₇、または21個の頂点、147個の辺、343個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₈、または24個の頂点、192個の辺、512個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₉、または27個の頂点、243個の辺、729個の面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、または30個の頂点、300個の辺、1000個の面を持つ

一般化されたキューブ

一般化された立方体は、次のような規則的な構造を持つ。および角柱構造は、3つのp角形1次元多面体の積です。元は低次元の一般化された立方体です。

• 
  実数{4,3}、または8つの頂点、12の辺、6つの面を持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂、または27個の頂点、27個の3辺、9個の面を持つ^[26]
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂、または64個の頂点、48個の辺、12個の面を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂、または125個の頂点、75個の辺、15個の面を持つ
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂、または216個の頂点、108個の辺、18個の面を持つ
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂、または343の頂点、147の辺、21の面を持つ
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂、または512の頂点、192の辺、24の面を持つ
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂、または729の頂点、243の辺、27の面を持つ
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂、または1000個の頂点、300個の辺、30個の面を持つ

正則複素4次元多面体の列挙

コクセターは、の6つの凸正4次元多面体を含む、の非星状正複素4次元多面体のリストを列挙した。^[24] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

空間	グループ	注文	コクセター 数	多面体	頂点	エッジ	顔	細胞	ヴァン・オスポリゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	G(1,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3,3]	120	5	α 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	なし	実数5セル（単体）
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	G 28 2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 = [3,4,3]	1152	12	2 {3} 2 {4} 2 {3} 2 = {3,4,3}	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	リアル24セル
	G 30 2 [3] 2 [3] 2 [5] 2 = [3,3,5]	14400	30	2 {3} 2 {3} 2 {5} 2 = {3,3,5}	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	リアル600セル
				2 {5} 2 {3} 2 {3} 2 = {5,3,3}	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}		リアル120セル
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	G(2,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p =[3,3,4]	384	8	β2 4= β 4 = {3,3,4}	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	実数16セル 同じ、注文番号192
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$				γ2 4= γ 4 = {4,3,3}	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	なし	実四次元方陣 {} 4または、注文番号16
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(p,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	24ページ4	4ページ	β4ページ = 2 {3} 2 {3} 2 {4} p	4ページ	6ページ2ページ {}	4ページ3ページ {3}	p 4 {3,3}	2 {4}ページ	一般的な4-オルソプレックス 同じ、注文24ページ3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				γ4ページ = p {4} 2 {3} 2 {3} 2	4ページ	4ページ3 ページ{}	6 p 2 p {4} 2	4ポイント p {4} 2 {3} 2	なし	一般化四次元方言 p { } 4または、注文p 4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	β3 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	2 {4} 3	一般的な4-オルソプレックス 同じ、注文番号648
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				γ3 4= 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	81	108 3 {}	54 3 {4} 2	12 3 {4} 2 {3} 2	なし	3 { } 4または、注文番号81
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	16	β4 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	2 {4} 4	同じ、命令1536
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				γ4 4= 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	256	256 4 {}	96 4 {4} 2	16 4 {4} 2 {3} 2	なし	4 {} 4と同じまたは、注文番号256
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15000	20	β5 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	2 {4} 5	同じ、注文番号3000
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				γ5 4= 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	625	500 5 {}	150 5 {4} 2	20 5 {4} 2 {3} 2	なし	5と同じ{} 4または、注文番号625
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	β6 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	2 {4} 6	同じ、注文番号5184
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$				γ6 4= 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	1296	864 6 {}	216 6 {4} 2	24 6 {4} 2 {3} 2	なし	6 { } 4または、命令1296
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	G 32 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	155520	30	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	240	2160 3 {}	2160 3 {3} 3	240 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 3	多面体表現を4 21として ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$

正則複素4次元多面体の可視化

• 
  実数{3,3,3}、は、5つの頂点、10の辺、10の{3}面、5つの{3,3}セルを持っていた。
• 
  実数{3,4,3}、は、24個の頂点、96個の辺、96個の{3}面、および24個の{3,4}セルを持っていた。
• 
  実数{5,3,3}、600個の頂点、1200個の辺、720個の{5}面、120個の{5,3}セルを持つ。
• 
  実数{3,3,5}、、120個の頂点、720個の辺、1200個の{3}面、および600個の{3,3}セルを持っていた。
• 
  ウィッティング多面体、は、240個の頂点、2160個の3辺、2160個の3{3}3面、および240個の3{3}3{3}3セルを持つ。

一般化された4-オルソプレックス

一般化された4-オルソプレックスは、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,3,4}、または8つの頂点、24の辺、32の面、16のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃、または12個の頂点、54個の辺、108個の面、81個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄、または16個の頂点、96個の辺、256個の面、256個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅、または20個の頂点、150個の辺、500個の面、625個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆、または24個の頂点、216個の辺、864個の面、1296個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇、または28個の頂点、294個の辺、1372個の面、2401個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈、または32個の頂点、384個の辺、2048個の面、4096個のセルを持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉、または36頂点、486辺、2916面、6561セル
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、または40個の頂点、600個の辺、4000個の面、10000個のセルを持つ

一般化された4キューブ

一般化された四次元方陣は、次のように規則的に構成される。および角柱構造は、4つのp角形1次元多面体の積です。元は低次元の一般化された立方体です。

• 
  実数{4,3,3}、または16個の頂点、32個の辺、24個の面、8個のセルを持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または81個​​の頂点、108個の辺、54個の面、12個のセルを持つ
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または256個の頂点、96個の辺、96個の面、16個のセルを持つ
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または625個の頂点、500個の辺、150個の面、20個のセルを持つ
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または1296頂点、864辺、216面、24セル
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または2401個の頂点、1372個の辺、294個の面、28個のセルを持つ
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または4096頂点、2048辺、384面、32セル
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または6561個の頂点、2916個の辺、486個の面、36個のセルを持つ
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂、または10000頂点、4000辺、600面、40セル

正則複素5次元多面体の列挙

以上の正則複素 5 次元多面体には、実単体、一般化超立方体、および正多面体の 3 つのファミリが存在します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$

空間	グループ	注文	多面体	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	ヴァン・オスポリゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	G(1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α 5 = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	なし	実数5単体
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	β2 5= β 5 = {3,3,3,4}	10	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{4}	リアル5-オルソプレックス 同じ、1920年の命令
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$			γ2 5= γ 5 = {4,3,3,3}	32	80 {}	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	なし	実数5立方体 {} 5または、注文番号32
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	G(p,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	120ページ5	β5ページ = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} p	5ページ	10ページ2ページ {}	10ページ3ページ {3}	5 p 4 {3,3}	p 5 {3,3,3}	2 {4}ページ	一般化5-オルソプレックス 同じ、注文番号120、p 4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$			γ5ページ = p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	5ページ	5ページ4 ページ{}	10 p 3 p {4} 2	10 p 2 p {4} 2 {3} 2	5ポイント p {4} 2 {3} 2 {3} 2	なし	一般化5キューブp {} 5 と同じまたは、注文p 5
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	G(3,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	29160	β3 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	15	90 {}	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	2 {4} 3	同じ、注文番号9720
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$			γ3 5= 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	243	405 3 {}	270 3 {4} 2	90 3 {4} 2 {3} 2	15 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	なし	3 { } 5または、注文番号243
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	G(4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	β4 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	20	160 {}	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	2 {4} 4	同じ、注文番号30720
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$			γ4 5= 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	1024	1280 4 {}	640 4 {4} 2	160 4 {4} 2 {3} 2	20 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	なし	4 { } 5または、注文番号1024
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	G(5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375000	β5 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {5} 5	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	2 {5} 5	同じ、注文番号75000
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$			γ5 5= 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	3125	3125 5 {}	1250 5 {5} 2	250 5 {5} 2 {3} 2	25 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	なし	5と同じ{} 5または、注文番号3125
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	G(6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	β6 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	30	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	2 {4} 6	同じ、注文番号 155520
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$			γ6 5= 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	7776	6480 6 {}	2160 6 {4} 2	360 6 {4} 2 {3} 2	30 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	なし	6 { } 5または、注文番号7776

正則複素5次元多面体の可視化

一般化された5-オルソプレックス

一般化された5-オルソプレックスは、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,3,3,4}、10個の頂点、40個の辺、80個の面、80個のセル、32個の4面体
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃、15個の頂点、90個の辺、270個の面、405個のセル、243個の4面体を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄、20個の頂点、160個の辺、640個の面、1280個のセル、1024個の4面体を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅、25個の頂点、250個の辺、1250個の面、3125個のセル、3125個の4面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆、30頂点、360辺、2160面、6480セル、77764面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇、35頂点、490辺、3430面、12005セル、168074面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈、40頂点、640辺、5120面、20480セル、32768の4面体
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉、45頂点、810辺、7290面、32805セル、59049四面体
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、50頂点、1000辺、10000面、50000セル、1000004面

一般化された5キューブ

一般化された5次元立方体は、次のように規則的に構成される。および角柱構造は、5つのp角形1次元多面体の積である。元は低次元の一般化立方体である。

• 
  実数{4,3,3,3}、32個の頂点、80個の辺、80個の面、40個のセル、10個の4面を持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、243の頂点、405の辺、270の面、90のセル、15の4面を持つ
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、1024個の頂点、1280個の辺、640個の面、160個のセル、20個の4面体
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、3125個の頂点、3125個の辺、1250個の面、250個のセル、25個の4面を持つ
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、7776頂点、6480辺、2160面、360セル、30の4面体

正則複素6次元多面体の列挙

空間	グループ	注文	多面体	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	ヴァン・オスポリゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	G(1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	α 6 = {3,3,3,3,3}	7	21 {}	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	なし	実数6単体
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	β2 6= β 6 = {3,3,3,4}	12	60 {}	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{4}	実6-オルソプレックス 同じ、注文番号23040
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$			γ2 6= γ 6 = {4,3,3,3}	64	192 {}	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	なし	実数6立方体 {} 6または、注文番号64
${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	G(p,1,6) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	720ページ6	β6ページ = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} p	6ページ	15ページ2 {}	20ページ3ページ {3}	15ページ4 {3,3}	6 p 5 {3,3,3}	p 6 {3,3,3,3}	2 {4}ページ	一般化6-オルソプレックス 同じ、注文番号720 p 5
${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$			γ6ページ = p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	6ページ	6ページ5 ページ{}	15 p 4 p {4} 2	20 p 3 p {4} 2 {3} 2	15 p 2 p {4} 2 {3} 2 {3} 2	6ポイント p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	なし	一般化6キューブp { } 6 または、注文p 6

正則複素6次元多面体の可視化

一般化された6-オルソプレックス

一般化された6-オルソプレックスは、次のような規則的な構造を持つ。および準正規形としてすべての要素は単体です。

• 
  実数{3,3,3,3,4}、12個の頂点、60個の辺、160個の面、240個のセル、192個の4面、64個の5面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃、18個の頂点、135個の辺、540個の面、1215個のセル、1458個の4面、729個の5面を持つ。
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄、24個の頂点、240個の辺、1280個の面、3840個のセル、6144個の4面、40​​96個の5面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅、30個の頂点、375個の辺、2500個の面、9375個のセル、18750個の4面、15625個の5面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆、36頂点、540辺、4320面、19440セル、46656面、46656面を持つ。
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇、42個の頂点、735個の辺、6860個の面、36015個のセル、100842個の4面、117649個の5面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈、48頂点、960辺、10240面、61440セル、196608の4面、262144の5面
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉、54個の頂点、1215個の辺、14580個の面、98415個のセル、354294個の4面、531441個の5面を持つ
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀、60頂点、1500辺、20000面、150000セル、600000個の4面体、1000000個の5面体

一般化された6キューブ

一般化された6次元立方体は、次のような規則的な構成を持つ。および角柱構造は、6つのp角形1次元多面体の積である。元は低次元の一般化立方体である。

• 
  実数{3,3,3,3,3,4}、64個の頂点、192個の辺、240個の面、160個のセル、60個の4面、12個の5面を持つ
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、729個の頂点、1458個の辺、1215個の面、540個のセル、135個の4面、18個の5面を持つ。
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、4096頂点、6144辺、3840面、1280セル、240の4面、24の5面を持つ
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂、15625頂点、18750辺、9375面、2500セル、375の4面、30の5面を持つ

規則的な複合アペイロトープの列挙

コクセターは、星のない規則的な複雑なアペイロトープまたはハニカムのリストを列挙しました。^[29]

各次元にはδで表される12個のアペイロトープが存在する。^p、r
_n+1は任意の次元、またはp = q =2のときに存在する。コクセターはこれをn >2の一般化立方ハニカムと呼んでいる。 ^[30] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

それぞれの要素の比例カウントは次のように与えられます。

k-faces = 、ここで、n ! はnの階乗を表します。 ${\displaystyle {n \choose k}p^{n-k}r^{k}}$ ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}}$

正則複素1次元多面体

唯一の正則な複素1次元多面体は_∞ {}、つまり実数表現はアペイロゴン、{∞}、または。

規則的な複合アペイロゴン

非対称シェパード群のいくつかのサブグループ

11個の複素アペイロゴン_p { q } _r の辺の内部は水色で、1つの頂点の周囲の辺はそれぞれ個別に色付けされています。頂点は小さな黒い四角形で示されています。辺はp辺正多角形、頂点図形はr角形で示されています。

準正規アペイロゴン2つの通常のアペイロゴンの混合であるそしてここでは青とピンクの縁取りが施されています。qが奇数なので辺の色は 1 色のみとなり、二重被覆となります。

階数2の複素アペイロゴンは対称性_p [ q ] _rを持ち、1/ p + 2/ q + 1/ r = 1である。コクセターはこれをδと表現する。^p、r
₂ここでqはq = 2/(1 – ( p + r )/ pr )を満たすように制約される。^[31]

解決策は 8 つあります。

2 [∞] 2	3 [12] 2	4 [8] 2	6 [6] 2	3 [6] 3	6 [4] 3	4 [4] 4	6 [3] 6

奇数qと不等pとrの2つの除外解が存在する：₁₀ [5] ₂と₁₂ [3] ₄、または そして 。

正則複素アペイロゴン_p { q } _{r は}、p辺とr角形の頂点図形を持つ。p _{ q } _{rの双対アペイロゴンはr} { q } _pである。p _{ q } _pの形をとるアペイロゴンは自己双対である_。p [ 2 q ] ₂の形をとる群は半対称性_p [ q ] _pを持つので、正則アペイロゴンは準正規形と同じ。^[32]

アペイロゴンはアルガンド平面上で表現され、₄つの異なる頂点配置を共有します。2 { q } _rの形のアペイロゴンは、頂点配置が { q /2, p } となります。p { q } ₂の形のアペイロゴンは、頂点配置が r{ p , q /2} となります。p _{ 4 } _rの形のアペイロゴンは_、頂点配置が { p , r } となります。

アフィンノードとを含めると、さらに3つの無限解が存在する：_∞ [2] _∞、_∞ [4] ₂、_∞ [3] ₃、および ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$、、 そして最初の群は2番目の群の指数2の部分群である。これらのアペイロゴンの頂点は に存在する。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$

ランク2

空間	グループ	アペイロゴン		角	${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$報告[33]	写真	注記
${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$	2 [∞] 2 = [∞]	δ2,2 2= {∞}		{}			実在のアペイロゴン 同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$/ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	∞ [4] 2	∞ {4} 2		∞ {}	{4,4}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	∞ [3] 3	∞ {3} 3		∞ {}	{3,6}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	p [ q ] r	δp,r 2= p { q } r		p {}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	3 [12] 2	δ3,2 2= 3 {12} 2		3 {}	r{3,6}		同じ
		δ2,3 2= 2 {12} 3		{}	{6,3}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	3 [6] 3	δ3,3 2= 3 {6} 3		3 {}	{3,6}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	4 [8] 2	δ4,2 2= 4 {8} 2		4 {}	{4,4}		同じ
		δ2,4 2= 2 {8} 4		{}	{4,4}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	4 [4] 4	δ4,4 2= 4 {4} 4		4 {}	{4,4}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	6 [6] 2	δ6,2 2= 6 {6} 2		6 {}	r{3,6}		同じ
		δ2,6 2= 2 {6} 6		{}	{3,6}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	6 [4] 3	δ6,3 2= 6 {4} 3		6 {}	{6,3}
		δ3,6 2= 3 {4} 6		3 {}	{3,6}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$	6 [3] 6	δ6,6 2= 6 {3} 6		6 {}	{3,6}		同じ

規則的な複アペイロヘドラ

_p { a } _q { b } _rの形式をとる正複素アペイロヘドラは22個あります。そのうち8個は自己双対（p = rかつa = b）であり、14個は双対多面体ペアとして存在します。3個は完全に実数（p = q = r =2 ）です。

コクセターは12個をδとして表す。^p、r
₃または_p {4} ₂ {4} _rは積アペイロトープδの正規形である。^p、r
₂× δ^p、r
₂または_p { q } _r × _p { q } _r（qはpとrから決定されます） 。

と同じです、 同様に、p、r =2、3、4、6の場合。また、＝。^[34]

ランク3

空間	グループ	アペイロヘドロン		頂点	角		顔		ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	2 [3] 2 [4] ∞	∞ {4} 2 {3} 2				∞ {}		∞ {4} 2		∞ {}× ∞ {}× ∞ {}または 実数表現{4,3,4}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	p [4] 2 [4] r	p {4} 2 {4} r		2ページ	2名様	p {}	r 2	p {4} 2	2 { q } r	同じ, p , r =2,3,4,6
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	[4,4]	δ2,2 3= {4,4}		4	8	{}	4	{4}	{∞}	実際の正方形のタイル張り 同じまたはまたは
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	3 [4] 2 [4] 2   3 [4] 2 [4] 3 4 [4] 2 [4] 2   4 [4] 2 [4] 4 6 [4] 2 [4] 2   6 [4] 2 [4] 3   6 [4] 2 [4] 6	3 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 3 4 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 4 4 {4} 2 {4} 4 6 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 6		9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	3 {} {} 3 {} 4 {} {} 4 {} 6 {} {} 6 {} 3 {} 6 {}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	3 {4} 2 {4} 3 {4} 2 4 {4} 2 {4} 4 {4} 2 6 {4} 2 {4} 6 {4} 2 3 {4} 2 6 {4} 2	p { q } r	同じまたはまたは 同じ 同じ 同じまたはまたは 同じ 同じ 同じまたはまたは 同じ 同じ 同じ 同じ

空間	グループ	アペイロヘドロン		頂点	角		顔		ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	2 [4] r [4] 2	2 {4} r {4} 2		2		{}	2	p {4} 2'	2 {4} r	同じそして, r=2,3,4,6
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	[4,4]	{4,4}		2	4	{}	2	{4}	{∞}	同じそして
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	2 [4] 3 [4] 2 2 [4] 4 [4] 2 2 [4] 6 [4] 2	2 {4} 3 {4} 2 2 {4} 4 {4} 2 2 {4} 6 {4} 2		2	9 16 36	{}	2	2 {4} 3 2 {4} 4 2 {4} 6	2 { q } r	同じそして 同じそして 同じ そして[35]

空間	グループ	アペイロヘドロン		頂点	角		顔		ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	2 [6] 2 [3] 2 = [6,3]	{3,6}		1	3	{}	2	{3}	{∞}	実際の三角形のタイル
		{6,3}		2	3	{}	1	{6}	なし	本物の六角形のタイル
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	3 [4] 3 [3] 3	3 {3} 3 {4} 3		1	8	3 {}	3	3 {3} 3	3 {4} 6	同じ
		3 {4} 3 {3} 3		3	8	3 {}	1	3 {4} 3	3 {12} 2
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	4 [3] 4 [3] 4	4 {3} 4 {3} 4		1	6	4 {}	1	4 {3} 4	4 {4} 4	自己双対、同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	4 [3] 4 [4] 2	4 {3} 4 {4} 2		1	12	4 {}	3	4 {3} 4	2 {8} 4	同じ
		2 {4} 4 {3} 4		3	12	{}	1	2 {4} 4	4 {4} 4

規則的な複合体3-アペイロトープ

には16個の規則的な複合アペイロトープが存在する。コクセターはそのうち12個をδで表現する。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$^p、r
₃ここでqはq = 2/(1 – ( p + r )/ pr )を満たすように制約される。これらは積アペイロトープとして分解することもできる。＝最初のケースは立方ハニカムです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ランク4

空間	グループ	3-アペイロトープ	頂点	角	顔	細胞	ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	p [4] 2 [3] 2 [4] r	δp、r 3= p {4} 2 {3} 2 {4} r		p {}	p {4} 2	p {4} 2 {3} 2	p { q } r	同じ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	2 [4] 2 [3] 2 [4] 2 =[4,3,4]	δ2,2 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 2		{}	{4}	{4,3}		キュービックハニカム 同じまたはまたは
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	3 [4] 2 [3] 2 [4] 2	δ3,2 3= 3 {4} 2 {3} 2 {4} 2		3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		同じまたはまたは
		δ2,3 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 3		{}	{4}	{4,3}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	3 [4] 2 [3] 2 [4] 3	δ3,3 3= 3 {4} 2 {3} 2 {4} 3		3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	4 [4] 2 [3] 2 [4] 2	δ4,2 3= 4 {4} 2 {3} 2 {4} 2		4 {}	4 {4} 2	4 {4} 2 {3} 2		同じまたはまたは
		δ2,4 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 4		{}	{4}	{4,3}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	4 [4] 2 [3] 2 [4] 4	δ4,4 3= 4 {4} 2 {3} 2 {4} 4		4 {}	4 {4} 2	4 {4} 2 {3} 2		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 2	δ6,2 3= 6 {4} 2 {3} 2 {4} 2		6 {}	6 {4} 2	6 {4} 2 {3} 2		同じまたはまたは
		δ2,6 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 6		{}	{4}	{4,3}		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 3	δ6,3 3= 6 {4} 2 {3} 2 {4} 3		6 {}	6 {4} 2	6 {4} 2 {3} 2		同じ
		δ3,6 3= 3 {4} 2 {3} 2 {4} 6		3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		同じ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 6	δ6,6 3= 6 {4} 2 {3} 2 {4} 6		6 {}	6 {4} 2	6 {4} 2 {3} 2		同じ

ランク4、例外的なケース

空間	グループ	3-アペイロトープ	頂点	角	顔	細胞	ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	2 [4] 3 [3] 3 [3] 3	3 {3} 3 {3} 3 {4} 2	1	24 3 {}	27 3 {3} 3	2 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 6	同じ
		2 {4} 3 {3} 3 {3} 3	2	27 {}	24 2 {4} 3	1 2 {4} 3 {3} 3	2 {12} 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	2 [3] 2 [4] 3 [3] 3	2 {3} 2 {4} 3 {3} 3	1	27 {}	72 2 {3} 2	8 2 {3} 2 {4} 3	2 {6} 6
		3 {3} 3 {4} 2 {3} 2	8	72 3 {}	27 3 {3} 3	1 3 {3} 3 {4} 2	3 {6} 3	同じまたは

規則的な複合体4-アペイロトープ

には15個の規則的な複合アペイロトープが存在する。コクセターはそのうち12個をδで表現する。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$^p、r
₄ここでqはq = 2/(1 – ( p + r )/ pr )を満たすように制約される。これらは積アペイロトープとして分解することもできる。＝最初のケースは、テッセラティックハニカムです。16セルハニカムと24セルハニカムは実数解です。最後の解はウィッティング多面体元で生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

ランク5

空間	グループ	4-アペイロトープ	頂点	角	顔	細胞	4面	ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	p [4] 2 [3] 2 [3] 2 [4] r	δp、r 4= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {4} r		p {}	p {4} 2	p {4} 2 {3} 2	p {4} 2 {3} 2 {3} 2	p { q } r	同じ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 2	δ2,2 4= {4,3,3,3}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	テッセラティックハニカム 同じ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	1	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		本物の16セルハニカム と同じ
		{3,4,3,3}	3	24 {}	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		本物の24セルハニカム と同じまたは
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	1	80 3 {}	270 3 {3} 3	80 3 {3} 3 {3} 3	1 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 6	${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$表現5 21

通常の複雑な5-アペイロトープ以上

またはそれ以上の規則的な複合アペイロトープは12個しかなく、^[36]はδで表される。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$^p、r
_nここでqはq = 2/(1 – ( p + r )/ pr )を満たすように制約される。これらはn個のアペイロゴンの積に分解することもできる。...＝...最初のケースは、実超立方体ハニカムです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ランク6

空間	グループ	5-アペイロトープ	頂点	角	顔	細胞	4面	5面	ヴァン・オス・ アペイロゴン	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	p [4] 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] r	δp、r 5= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} r		p {}	p {4} 2	p {4} 2 {3} 2	p {4} 2 {3} 2 {3} 2	p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	p { q } r	同じ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 2 =[4,3,3,3,4]	δ2,2 5= {4,3,3,3,4}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	5立方ハニカム 同じ

ファン・オス多角形

正八面体の辺と中心の平面にある赤い正方形のファン・オス多角形。

ファン・オス多角形は、平面（実平面またはユニタリ平面）上の正多角形であり、その多面体の辺と重心の両方が存在し、その多面体の要素によって形成される。すべての正多面体がファン・オス多角形を持つわけではない。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

例えば、正八面体のファン・オス多角形は、その中心を通る3つの正方形の平面から構成されます。一方、立方体にはファン・オス多角形は存在しません。これは、辺と中心を結ぶ平面が2つの正方形の面を斜めに横切り、その平面上にある立方体の2つの辺が多角形を形成しないためです。

無限ハニカムにもファン・オス・アペイロゴンが存在する。例えば、実数正方形タイリングと実数三角形タイリングには、アペイロゴン{∞}ファン・オス・アペイロゴンが存在する。 ^[37]

存在する場合、形式_p { q } _r { s } _t ...の正複素多面体のファン・オス多角形にはp辺があります。

非正規複素多面体

積複素多面体

複素積多面体の例

複雑な積多角形または {}× 5 {} には 5 つの 2 辺と 2 つの 5 辺で接続された 10 個の頂点があり、実際の表現は 3 次元五角柱です。

双対多角形{}+ 5 {}は、元の多角形の辺を中心とする7つの頂点を持ち、10本の辺で結ばれています。実数で表すと、五角形両錐体となります。

いくつかの複素多面体は直積として表すことができます。これらの直積多面体は複数の面型を持つため厳密には正則ではありませんが、すべての直交多面体が同一である場合、正則形式のより低い対称性を表すことができます。例えば、積_p {} × _p {} または2つの1次元多面体の正則_p {4} ₂またはより一般的な積、例えば_p {} × _q {} は、4次元p - q デュオピラミッドとして実数表現されます。積多面体の双対は、和_p {} + _q {} と表すことができ、4次元p - q デュオピラミッドとして実数表現されます。p {} + p {} は_、対称_性を2倍にして、正則複素多面体₂ {4} _pまたは。

同様に、複素多面体は三重積として構成することができます: _p {}× _p {}× _p {} または ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$通常の一般化立方体、_p {4} ₂ {3} ₂または_、積p {4} ₂ × _p {}または。^[38]

準正多角形

準正多角形は正多角形を切り取ったものである。準正多角形は正多角形の交互の辺を含むそして準正多角形は、正多角形のp辺上にp頂点を持ちます。

準正多角形の例

p [ q ] r	2 [4] 2	3 [4] 2	4 [4] 2	5 [4] 2	6 [4] 2	7 [4] 2	8 [4] 2	3 [3] 3	3 [4] 3
通常	4つの2辺	9 3エッジ	16 4辺	25 5エッジ	36 6辺	49 8エッジ	64 8辺
準正規形	＝ 4+4 2エッジ	6 2エッジ 9 3エッジ	2エッジ8個、 4エッジ16個	2エッジ10個、 5エッジ25個	2エッジ12個、 6エッジ36個	2エッジ14個、 7エッジ49個	2辺16個、 8辺64個	＝	＝
通常	4つの2辺	6 2エッジ	8 2エッジ	10 2エッジ	12 2エッジ	14 2エッジ	16 2エッジ

準正則アペイロゴン

正アペイロゴンとその正双対の辺が交互に並ぶ、準正複素アペイロゴンは7種類あります。これらのアペイロゴンの頂点配置は、ユークリッド平面の正則および一様タイリングで実数表現されます。6{3}6アペイロゴンの最後の列は自己双対であるだけでなく、その双対は重なり合う六角形の辺で自身と一致します。そのため、その準正則形も重なり合う六角形の辺を持ち、他のアペイロゴンのように2色ずつ交互に描くことはできません。自己双対族の対称性は2倍にすることができ、正双対形と同一の幾何学的形状を作成します。＝

p [ q ] r	4 [8] 2	4 [4] 4	6 [6] 2	6 [4] 3	3 [12] 2	3 [6] 3	6 [3] 6
通常 またはp { q } r
準正規形		＝				＝	＝
レギュラーデュアル またはr { q } p

準正多面体

3次元一般化八面体の切断の例₂ {3} ₂ {4} ₃、、その修正された極限まで、開始時に緑の輪郭線で囲まれた三角形の面と青の₂ {4} ₃、頂点図形が新たな面として拡大します。

実多面体と同様に、複雑な準正多面体は正多面体の平行化（完全な切断）として構築できます。頂点は正多面体の辺の中央に作成され、正多面体とその双対の面は共通の辺を挟んで交互に配置されます。

例えば、p一般化立方体、は、 p ^{3 個}の頂点、3 個のp ²個の辺、および 3 個のp p -一般化正方形面を持ち、一方、p -一般化八面体は、は、3 p 個の頂点、3 p ²個の辺、p ^{3 個の}三角形面を持ちます。中間の準正方形状は、p一般化立方八面体です。は、3 p ^{2 の}頂点、3 p ³の辺、3 p + p ^{3 の}面を持ちます。

またヘッセ多面体の修正 、 は、正複素多面体の形状を共有する準正多面体。

準正規例

一般化された立方体/八面体						ヘッセ多面体
	p=2（実数）	p=3	p=4	p=5	p=6
一般化された キューブ （通常）	キューブ 8 つの頂点、12 の 2 辺、および 6 つの面があります。	27個の頂点、27個の3辺、9個の面があり、そのうち1つは顔が青と赤	64 個の頂点、48 個の 4 辺、および 12 個の面。	125 個の頂点、75 個の 5 辺、および 15 個の面。	216 個の頂点、108 個の 6 辺、および 18 個の面があります。	27 個の頂点、72 個の 6 辺、および 27 個の面。
一般化された 立方八面体 （準正規）	立方八面体 12 個の頂点、24 個の 2 辺、6+8 個の面。	27個の頂点、81個の2辺、9+27個の面があり、そのうち1つは顔が青くなる	48個の頂点、192個の2辺、12+64個の面があり、そのうち1つは顔が青くなる	、頂点 75 個、2 辺 375 個、面 15+125 個。	、頂点は 108 個、2 辺は 648 個、面は 18+216 個です。	＝72 個の頂点、216 個の 3 辺、54 個の面があります。
一般化された 八面体 （通常）	八面体 、6 つの頂点、12 の 2 辺、および 8 つの {3} 面。	9 個の頂点、27 個の 2 辺、および 27 個の {3} 面。	、12 個の頂点、48 個の 2 辺、および 64 個の {3} 面。	、頂点 15 個、2 辺 75 個、{3} 面 125 個。	、18 個の頂点、108 個の 2 辺、および 216 個の {3} 面。	27 個の頂点、72 個の 6 辺、および 27 個の面。

周期2のユニタリー反射を持つ他の複素多面体

線形コクセターグラフを作らないユニタリ鏡映群内では、他の非正則複素多面体も構成できる。ループを持つコクセター図では、コクセターは特別な周期内部を次のように記す。または記号(1 ₁ 1 1) ³、群[1 1 1] ³。^{[39] [40]}これらの複素多面体は、いくつかの例を除いて体系的に研究されていません。

グループ_{は、3 つのユニタリ反射 R 1}、 R ₂、 R ₃（すべて 2 次の順序）によって定義されます。 R ₁ ² = R ₁ ² = R ₃ ² = (R ₁ R ₂ ) ³ = (R ₂ R ₃ ) ^{3 = (R} ₃ R ₁ ) ³ = (R ₁ R ₂ R ₃ R ₁ ) ^p = 1。 周期p は、実際の2 重回転として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

ウィトフ構成（鏡映によって生成される多面体）のすべてと同様に、単環コクセター図多面体の頂点数は、群の位数を環節点を除いた部分群の位数で割った値に等しい。例えば、実立方体はコクセター図を持つ。八面体対称性を持つ 48次の順序と部分群二面体対称性6の位数なので、立方体の頂点の数は48/6=8です。面は、環状ノードから最も遠いノードを1つ削除することで構築されます。例えば、立方体の場合、頂点図形はリングノードを削除し、1つ以上の接続ノードをリング化することで生成され、キューブ用。

コクセターはこれらの群を以下の記号で表す。いくつかの群は同じ順序を持つが構造が異なり、複素多面体における頂点の配置は同じだが、辺や高次元が異なる。そしてp ≠3である。 ^[41]

ユニタリー反射によって生成される群

コクセター図	注文	シェパードとトッド（1954）の表VIIにおける記号または位置
、（そして）、、...	p n − 1 n !, p ≥ 3	G ( p , p , n )、[ p ]、[1 1 1] p、[1 1 ( n −2) p ] 3
、	72.6!、108.9!	No.33、34、[1 2 2] 3、[1 2 3] 3
、（そして）、（そして）	14・4！、3・6！、64・5！	24、27、29号

コクセターは、これらの複合多面体のいくつかを、正多面体と正多面体図形を持つため、ほぼ正多面体と呼んでいます。最初のものは、 における一般化交差多面体の対称性の低い形です。2番目は、p辺を単一の頂点に縮小し、通常の 2 辺を残す、分数一般化立方体です。これらのうち3つは、における有限正多面体と関連しています。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

いくつかのほぼ規則的な複多面体^[42]

空間	グループ	注文	コクセター 記号	頂点	エッジ	顔	頂点 図形	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1ページ] 3 p =2、3、4...	6ページ2	（1 1 1 1 p）3	3ページ	3ページ2ページ	{3}	{2ページ}	シェパード記号 (1 1; 1 1 ) p βと同じ3ページ ＝
			（1 1 1 1 p）3	2ページ		{3}	{6}	シェパード記号 (1 1 1; 1) p 1/ p γ3ページ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	[1 1 1 2 ] 3	24	（1 1 1 1 2）3	6	12	8 {3}	{4}	βと同じ2 3＝= 実八面体
			（1 1 1 1 2）3	4	6	4 {3}	{3}	1/2 γ2 3＝= α 3 = 実四面体
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1] 3	54	（1 1 1 1）3	9	27	{3}	{6}	シェパード記号 (1 1; 1 1 ) 3 βと同じ3 3＝
			（1 1 1 1）3	9	27	{3}	{6}	シェパード記号 (1 1 1; 1) 3 1/3 γ3 3= β3 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1 4 ] 3	96	（1 1 1 1 4）3	12	48	{3}	{8}	シェパード記号 (1 1; 1 1 ) 4 βと同じ4 3＝
			（1 1 1 1 4）3	16		{3}	{6}	シェパード記号 (1 1 1; 1) 4 1/4 γ4 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1 5 ] 3	150	（1 1 1 1 5）3	15	75	{3}	{10}	シェパード記号 (1 1; 1 1 ) 5 βと同じ5 3＝
			（1 1 1 1 5）3	25		{3}	{6}	シェパード記号 (1 1 1; 1) 5 1/5 γ5 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1 6 ] 3	216	（1 1 1 1 6）3	18	216	{3}	{12}	シェパード記号 (1 1; 1 1 ) 6 βと同じ6 3＝
			（1 1 1 1 6）3	36		{3}	{6}	シェパード記号 (1 1 1; 1) 6 1/6 γ6 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1 4 ] 4	336	（1 1 1 1 4）4	42	168	112 {3}	{8}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$表現{3,8|,4} = {3,8} 8
			（1 1 1 1 4）4	56		{3}	{6}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1 5 ] 4	2160	（1 1 1 1 5）4	216	1080	720 {3}	{10}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$表現 {3,10|,4} = {3,10} 8
			（1 1 1 1 5）4	360		{3}	{6}
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 1 4 ] 5		（1 1 1 1 4）5	270	1080	720 {3}	{8}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$表現 {3,8|,5} = {3,8} 10
			（1 1 1 1 4）5	360		{3}	{6}

コクセターは、反ユニタリー構成を持つ他の群を定義しており、例えば以下の3つが挙げられる。最初の群は1966年にピーター・マクマレンによって発見・描かれた。 ^[43]

よりほぼ規則的な複素多面体^[42]

空間	グループ	注文	コクセター 記号	頂点	エッジ	顔	頂点 図形	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 1 4 1 4 ] (3)	336	(1 1 1 4 1 4 ) (3)	56	168	84 {4}	{6}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$表現 {4,6|,3} = {4,6} 6
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 5 1 4 1 4 ] (3)	2160	(1 1 5 1 4 1 4 ) (3)	216	1080	540 {4}	{10}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$表現 {4,10|,3} = {4,10} 6
${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	[1 4 1 5 1 5 ] (3)		(1 1 4 1 5 1 5 ) (3)	270	1080	432 {5}	{8}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$表現 {5,8|,3} = {5,8} 6

いくつかの複雑な4次元多面体^[42]

空間	グループ	注文	コクセター 記号	頂点	その他の 要素	細胞	頂点 図形	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	[1 1 2ページ] 3 p =2、3、4...	24ページ3	（1 1 2 2 p）3	4ページ				シェパード (2 2 1; 1) p βと同じ4ページ ＝
			（1 1 1 2 p）3	3ページ				シェパード (2 1; 1 1 ) p 1/ p γ4ページ
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	[1 1 2 2 ] 3 =[3 1,1,1 ]	192	(1 1 2 2 2 ) 3	8	24辺 32面	16		β2 4＝、実数16セル
			(1 1 1 2 2 ) 3					1/2 γ2 4＝= β2 4、実数16セル
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	[1 1 2] 3	648	(1 1 2 2 ) 3	12				シェパード (2 2 1; 1) 3 βと同じ3 4＝
			(1 1 1 2 3 ) 3	27				シェパード（2 1; 1 1）3 1/3 γ3 4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	[1 1 2 4 ] 3	1536	(1 1 2 2 4 ) 3	16				シェパード（2 2 1; 1）4 βと同じ4 4＝
			（1 1 1 2 4）3	64				シェパード（2 1; 1 1）4 1/4 γ4 4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	[1 4 1 2] 3	7680	（2 2 1 4 1）3	80				シェパード（2 2 1; 1）4
			（1 1 4 1 2）3	160				シェパード（2 1; 1 1）4
			（1 1 1 4 2）3	320				シェパード（2 1 1 ; 1）4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	[1 1 2] 4		(1 1 2 2 ) 4	80	640辺 1280三角形	640
			（1 1 1 2）4	320

いくつかの複雑な5次元多面体^[42]

空間	グループ	注文	コクセター 記号	頂点	エッジ	ファセット	頂点 図形	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	[1 1 3ページ] 3 p =2、3、4...	120ページ4	（1 1 3 3 p）3	5ページ				シェパード (3 3 1; 1) p βと同じ5ページ ＝
			（1 1 1 3 p）3	4ページ				シェパード (3 1; 1 1 ) p 1/ p γ5ページ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	[2 2 1] 3	51840	(2 1 2 2 ) 3	80				シェパード（2 1; 2 2）3
			（2 1 1 2）3	432				シェパード（2 1 1 ; 2）3

いくつかの複雑な6次元多面体^[42]

空間	グループ	注文	コクセター 記号	頂点	エッジ	ファセット	頂点 図形	注記
${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	[1 1 4ページ] 3 p =2、3、4...	720ページ5	（1 1 4 4 p）3	6ページ				シェパード (4 4 1; 1) p βと同じ6ページ ＝
			（1 1 1 4ページ）3	5ページ				シェパード (4 1; 1 1 ) p 1/ p γ6ページ
${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	[1 2 3] 3	39191040	(2 1 3 3 ) 3	756				シェパード（2 1; 3 3）3
			（2 2 1 3）3	4032				シェパード（2 2 1; 3）3
			（2 1 1 3）3	54432				シェパード（2 1 1 ; 3）3

視覚化

• 
  (1 1 1 ₁ ⁴ ) ⁴ ,この 14 角形投影では、42 個の頂点、168 個の辺、112 個の三角形の面が見られます。
• 
  (1 ⁴ 1 ⁴ 1 ₁ ) ⁽³⁾、この 14 角形投影では、56 個の頂点、168 個の辺、84 個の正方形面が見られます。
• 
  (1 1 2 ₂ ) ⁴ ,この20角形投影では、80個の頂点、640個の辺、1280個の三角形の面、および640個の四面体セルが見られます。^[44]

参照

• 四元数多面体

注記

1. Peter Orlik , Victor Reiner, Anne V. Shepler. Shephard群の符号表現. Mathematische Annalen . 2002年3月, 第322巻, 第3号, pp 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
2. コクセター著『正則複素多面体』115ページ
3. シェパード（1952）、83ページ
4. Coxeter, Regular Complex Polytopes、11.3 Petrie Polygon、任意の非星状正複素多角形p ₁ { q } p 2_の2 つの生成反射の積に対する旗状軌道 (O ₀、O ₀ O ₁ ) によって形成される単純な h 角形。
5. 複素正多面体、11.1複素正多角形p.103
6. Shephard, 1952;「このような考察から、多面体の内部という概念が導き出され、数がそのように順序付けられないユニタリー空間では、そのような内部の概念は不可能であることがわかる。[段落区切り] したがって、ユニタリー多面体を配置として考える必要がある。」
7. コクセター著『正則複素多面体』96ページ
8. コクセター『正則複素多面体』p. xiv
9. コクセター著『複素正多面体』177ページ、表III
10. レーラー＆テイラー 2009、87ページ
11. コクセター著「正則複素多面体」表IV. 正多角形。pp. 178–179
12. 複素多面体、8.9 2次元の場合、p. 88
13. 正則複素多面体、コクセター、pp. 177-179
14. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108
15. コクセター著『正則複素多面体』109ページ
16. コクセター著『正則複素多面体』111ページ
17. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 30 図と p. 47 8 個の 3 辺の添字
18. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 110
19. コクセター著『正則複素多面体』48ページ
20. コクセター著『正則複素多面体』49ページ
21. Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 116–140。
22. Coxeter、「Regular Complex Polytopes」、pp. 118–119。
23. 複素正多面体、p.29
24. Coxeter、「Regular Complex Polytopes」、表V。非星状正多面体と4次元多面体。p. 180。
25. Coxeter, Kaleidoscopes — Selected Writings of HSM Coxeter、論文 25 Surprising relations among unitary reflection groups、p. 431。
26. Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 131
27. コクセター著『正則複素多面体』126ページ
28. コクセター著『正則複素多面体』125ページ
29. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 表VI. The regular honeycombs. p. 180.
30. 複素正多面体、p.174
31. Coxeter, Regular Complex Polytopes, 表VI. The regular honeycombs. p. 111, 136.
32. コクセター著「正則複素多面体」表IV. 正多角形。pp. 178–179
33. コクセター『正則複素多面体』11.6 アペイロゴン、pp. 111-112
34. コクセター『複素正多面体』p.140
35. コクセター著『正則複素多面体』139-140頁
36. 複素正多面体、p.146
37. 複素正多面体、p.141
38. Coxeter, Regular Complex Polytopes、pp. 118–119, 138。
39. Coxeter, Regular Complex Polytopes、第14章「ほぼ正則多面体」、pp. 156–174。
40. コクセター「第2周期のユニタリー反射によって生成される群」、1956年
41. Coxeter ,ユニタリー反射によって生成される有限群, 1966, 4.グラフィカル表記法, n 個のユニタリー反射によって生成されるn次元群の表。pp. 422-423
42. Coxeter, 周期2のユニタリ反射によって生成される群（1956年）、表III：いくつかの複素多面体、p.413
43. Coxeter, Complex Regular Polytopes, (1991), 14.6 マクマレンの84個の正方形面を持つ2つの多面体、pp.166-171
44. コクセター『複素正多面体』172-173頁

参考文献

• Coxeter, HSMおよび Moser, WOJ、「離散群の生成元と関係」（1965 年）、特に 67 ～ 80 ページ。
• コクセター、HSM（1991）、Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSMとShephard, GC; 複雑多面体のファミリーの肖像、Leonardo Vol 25, No 3/4、(1992)、pp 239–244、
• Shephard, GC; Regular complex polytopes , Proc. London math. Soc. Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.
• GC Shephard、JA Todd、「有限ユニタリ反射群」、Canadian Journal of Mathematics. 6(1954), 274-304, doi :10.4153/CJM-1954-028-3
• グスタフ・I・レーラーとドナルド・E・テイラー著『ユニタリ反射群』ケンブリッジ大学出版局、2009年

さらに読む

• F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・イヴィッチ・ワイス編：万華鏡—HSMコクセター選集、論文25、ユニタリー反射によって生成される有限群、p 415-425、ジョン・ワイリー、1995年、ISBN 0-471-01003-0
• マクマレン、ピーター；シュルテ、エゴン（2002年12月）、Abstract Regular Polytopes（第1版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-81496-0第9章ユニタリ群とエルミート形式、pp. 289–298

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Complex_polytope&oldid=1324084176"