正4次元多面体

数学において、正4次元多面体（せい4だいちょうたい、せいポリクロロン）は、正 4次元多面体の一種である。これらは、3次元の正多面体および2次元の正多角形の4次元版である。

凸正4 次元多面体は 6 個、星型正4 次元多面体は 10個あり、合計 16 個になります。

歴史

凸正四面体は、19世紀半ばにスイスの数学者ルートヴィヒ・シュレーフリによって初めて記述されました。 ^[1]彼は、そのような図形が正確に6つあることを発見しました

シュレーフリはまた、正則な星型4次元多面体のうち4つを発見した。すなわち、大120細胞、大星型120細胞、大600細胞、そして大大星型120細胞である。彼は残りの6つを除外した。なぜなら、細胞や頂点図形においてオイラー特性を満たさない形状（零穴トーラスの場合：F − E + V = 2）を許容しなかったからである。これには、大十二面体{5, ⁠ のような細胞や頂点図形は含まれない。5/2⁠ } と小さな星型十二面体{ ⁠5/2⁠ ,5}

エドムント・ヘス（1843–1903）は、1883年にドイツ語で出版した著書『Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder』の中で、この完全なリストを出版しました

構築

正4次元多面体の存在は、そのセルを形成する正多面体の存在と二面角制約によって制約される $\{p,q,r\}$ $\{p,q\},\{q,r\}$

\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}

セルが集まって閉じた 3 次元表面を形成するようにします。

記述された 6 つの凸多面体と 10 個の星型多面体は、これらの制約に対する唯一の解です。

有効なセル{p,q}と頂点図形{q,r}を持ち、二面体テストに合格するが有限図形を生成できない非凸シュレーフリ記号{p,q,r}が4つあります: {3, ⁠5/2⁠ ,3}, {4,3, ⁠5/2⁠ }, { ⁠5/2⁠ ,3,4}, { ⁠5/2⁠、3、⁠5/2⁠ }.

正凸4次元多面体

正凸4次元多面体は、3次元のプラトン立体と2次元の凸正多角形の4次元版です

それぞれの凸正四次元多面体は、すべて同じ種類と大きさのプラトン立体である三次元セルの集合によって囲まれています。これらのセルは、それぞれの面（面と面が接する面）に沿って規則的に組み合わされ、四次元多面体の表面を形成します。この表面は、閉じた曲面を持つ三次元空間です（地球の表面が閉じた曲面を持つ二次元空間であるのと同様です）。

プロパティ

3次元の類似体と同様に、凸正4次元多面体は、同じ半径の4次元含有量（超体積）の尺度として、自然に大きさで順序付けることができます。数列内の大きな多面体はそれぞれ、前の多面体よりも丸みを帯びており、同じ半径内により多くの含有量を囲んでいます。^[2] 4次元単体（5セル）の含有量が最も小さく、120セルの含有量が最も大きくなります

正凸4次元多面体
対称群	A ₄	B ₄		F ₄	H ₄
名前	5細胞超四面体 5点	16細胞超八面体 8点	8セルハイパーキューブ 16ポイント	24セル 24点	600セル超二十面体 120点	120セル超十二面体 600ポイント
シュレーフリ記号	{3、3、3}	{3、3、4}	{4、3、3}	{3、4、3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
コクセターミラー
ミラー二面角	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
グラフ
頂点	5つの四面体	8面体	16面体	24立方体	120正20面体	600個の四面体
辺	10個の三角形	24個の正方形	32 三角形	96 三角形	720 五角形	1200 三角形
面	三角形 10個	三角形 32個	正方形 24個	96個の三角形	1200個の三角形	720個の五角形
セル	四面体5個	四面体16個	立方体8個	八面体24個	600個の正四面体	120個の正十二面体
トーラス	1個の5面体	2 8面体	2 4キューブ	4 6面体	20 30四面体	12 10面体
刻印あり	120セルに120	120セルに675	16セル2個	8セル×3	24セル×25	600セル×10
素晴らしい多角形		2つの正方形×3	長方形4つ×4	4つの六角形×4	12角形×6	不規則な六角形100 個x 4
ペトリー多角形	五角形1個× 2	八角形1個× 3	八角形2個×4	十二角形2個×4	30角形4個×6	20 30角形x 4
長半径	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
辺の長さ	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
短半径	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
面積	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
巻	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-内容	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

次の表は、6つの凸正則4次元多面体のいくつかの性質を示しています。これらの4次元多面体の対称群はすべてコクセター群であり、その論文で説明されている記法で与えられています。群名の後の数字は群の位数です

名前	家族	シュレーフリ・コクセター	V	E	F	C	垂直図	双対	対称群
5細胞五分円、五分円、4単体	n単体（A_nファミリー）	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	自己双対	A ₄ [3,3,3]	120
16細胞ヘキサデカコロン 4オルソプレックス	n -オルソプレックス（B_nファミリー）	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8セル	B ₄ [4,3,3]	384
8セル八分円四次元方陣 4立方体	超立方体 n立方体 (B _n族)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16細胞	B ₄ [4,3,3]	384
24細胞イコシトラコリン八重鎖多八面体 (pO)	F _nファミリー	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	自己双対	F ₄ [3,4,3]	1152
600細胞からなるヘキサコシコロンの四重らせん多四面体 (pT)	n五角形多面体（H _n族）	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120セル	H ₄ [5,3,3]	14400
120細胞ヘカトニコサコロン、ドデカコンタコリン、ドデカプレックス、ポリドデカヘドロン（pD）	n五角形多面体（H _n族）	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600細胞	H ₄ [5,3,3]	14400

ジョン・コンウェイは、単体、正複合体、四面体、八面体または多八面体（pO）、四面体または多四面体（pT）、十二面体または多十二面体（pD）という名称を提唱しました。^[3]

ノーマン・ジョンソンは、nセル、ペンタクロロン、ヘキサデカクロロン、テッセラクトまたはオクタクロロン、イコシトラクロロン、ヘキサコシクロロン、ヘカトニコサクロロン（またはドデカコンタクロロン）という名称を提唱し、3次元多面体と2次元多角形の4次元的な類似性としてポリクロロンという用語を作り出した。これはギリシャ語のポリ（「多くの」）とコロス（「部屋」または「空間」）に由来する。^[4]^[5]

すべての4次元多面体のオイラー特性はゼロなので、オイラーの多面体公式の4次元版は次のようになります。

N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,

ここで、N _{k は}多面体のk面の数を表します(頂点は 0 面、辺は 1 面など)。

任意の4次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[6]

配置として

正4次元多面体は、その構成要素の数を含む配置行列として完全に記述できます。行と列は、頂点、辺、面、およびセルに対応します。対角線上の数字（左上から右下）は、4次元多面体全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角線上の数字は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示します。例えば、任意の正4次元多面体では、各辺に2つの頂点があり（各辺には2つの頂点があります）、各面には2つのセルが接しています（各面は2つのセルに属しています）。双対多面体の構成は、行列を180度回転させることによって得られます。^[7]^[8]

5セル {3,3,3}	16セル {3,3,4}	8セル {4,3,3}	24セル {3,4,3}	600セル {3,3,5}	120セル {5,3,3}
${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

視覚化

次の表は、これらの4次元多面体の2次元投影を示しています。その他の様々な視覚化は、以下の外部リンクでご覧いただけます。コクセター・ディンキン図のグラフも、シュレーフリ記号の下に示されています

A ₄ = [3,3,3]	B ₄ = [4,3,3]		F ₄ = [3,4,3]	H ₄ = [5,3,3]
5細胞	16細胞	8セル	24セル	600セル	120セル
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}

立体3D正投影図
四面体エンベロープ（セル/頂点中心）	立方体エンベロープ（セル中心）	立方体エンベロープ（セル中心）	立方八面体エンベロープ（セル中心）	ペンタキス二十面体エンベロープ（頂点中心）	切頂菱形三十面体のエンベロープ（セル中心）
ワイヤーフレームシュレーゲル図（透視投影）
セル中心	セル中心	セル中心	セル中心	頂点中心	セル中心
ワイヤーフレーム立体投影（3次元球面）

正星 (シュレーフリ・ヘス) 4 多面体

シュレーフリ・ヘスの4次元多面体は、10個の正則な自己交差する星型多面体（4次元多面体）の完全な集合である。 ^{[10]これらは発見者である}ルートヴィヒ・シュレーフリとエドムント・ヘスにちなんで名付けられた。それぞれはシュレーフリ記号{ p , q , r }で表され、そのうちの1つは⁠5/2⁠。したがって、これらはケプラー・ポアンソ多面体（正凸でないケプラー・ポアンソ多面体）に類似しており、ケプラー・ポアンソ多面体は五芒星に類似しています

名前

ここで挙げた名称は、ジョン・コンウェイによって与えられたもので、ケイリーのケプラー・ポアンソ多面体に対する名称を拡張したものである。彼は星型多面体と巨大多面体に加えて、巨大多面体という修飾語を付け加えている。コンウェイは以下の操作的定義を提示した。

星形化– 同じ線上にある長い辺に辺を置き換えます。（例：五角形が星形化して五芒星になります）
面を大きくする– 同じ平面にある面を大きな面に置き換えます。（例：正二十面体が大きくなり、大正二十面体になります）
拡大– 同じ3つのスペースにあるセルを大きなセルに置き換えます。（例：600セルを 600セルに拡大します）

ジョン・コンウェイは、3つの正多面体からなる4次元多面体から10個の形態に名前を付けました。pT=多四面体{3,3,5}（正四面体の600セル）、pI=多二十面体{ 3,5,5/2⁠ }（120個の細胞を持つ20面体）、およびpD=多十二面体{5,3,3}（120個の細胞を持つ12面体）で、接頭辞修飾語はそれぞれg、a、sで、それぞれgreat、(ag)grand、stellatedを表します。最終的な星型、great grand stellated多十二面体は、 gaspDとしてこれらすべてを含みます

対称性

10個のポリコーラはすべて[3,3,5]( H4 ₎のヘキサコシコーラ対称性を持ちます。これらは、6つの関連するグルサ四面体有理数順序対称群[3,5,5/2]、[5,5/2,5]、[5,3,5/2]、[5/2,5,5/2]、[5,5/2,3]、[3,3,5/2]から生成されます

各グループには2つの正則星型ポリコーラが含まれますが、自己双対のグループ（1つしか存在しない）を除く2つのグループには、正則星型ポリコーラが存在します。したがって、10個の正則星型ポリコーラには、4つの双対型と2つの自己双対型があります。

プロパティ

注：

120セルと600セルの頂点配置に一致する、2つの固有の頂点配置があります
4 つの固有のエッジ配置があり、ワイヤーフレームの 正投影として表示されます。
7 つの固有の面配置があり、立体(面色) の正投影として表示されます。

セル (多面体)、その面 (多角形)、多角形のエッジ図形、および多面体の頂点図形は、シュレーフリ記号によって識別されます。

名前 Conway（略称）	シュレーフリ・コクセター	C {p, q}	F {p}	E {r}	V {q, r}	密度	χ
正二十面体、120セルの多二十面体（π）	{3.5.5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2 }	120 {5.5/2}	4	480
小さな星状の120細胞星型多十二面体（spD）	{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
120細胞からなる大多十二面体（gpD）	{5.5/2.5}	120 {5.5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
120セルのグランドポリ十二面体（apD）	{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3.5/2}	20	0
大星状120細胞大星状多十二面体（gspD）	{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
大星状120細胞大星状多十二面体（aspD）	{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5.5/2}	66	0
120細胞からなる巨大な多十二面体（gapD）	{5,5/2,3}	120 {5.5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
大二十面体、120胞の大多二十面体（gpI）	{3.5/2.5}	120 {3.5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
600セルのグランドポリテトラヘドロン（apT）	{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3.5/2}	191	0
120細胞からなる大星状多十二面体（gaspD）	{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

注釈

参考文献

引用

^ Coxeter 1973, p. 141, §7-x. 歴史的考察
^ Coxeter 1973, pp. 292–293, 表I(ii): 4次元における16個の正多面体 { p,q,r }
^ コンウェイ、バーギエル、グッドマン・ストラウス 2008、第26章。さらに高い
^ 「凸多面体と抽象多面体」、プログラムと概要、MIT、2005年
^ ジョンソン、ノーマン・W. (2018). 「§ 11.5 球面コクセター群」.幾何学と変換. ケンブリッジ大学出版局. pp. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5。
^ リシュソン、デイヴィッド・S. (2012). 「23. アンリ・ポアンカレと位相幾何学の台頭」. オイラーの宝石：多面体公式と位相幾何学の誕生. プリンストン大学出版局. pp. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2。
^ Coxeter 1973, § 1.8 構成
^ コクセター『複素正多面体』p.117
^ コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝ストラウス 2008、p. 406、図26.2
^ コクセター、星型多面体とシュレーフリ関数 f{α,β,γ) p. 122 2.シュレーフリ・ヘスのポリトープ

参考文献

コクセター、HSM (1973) [1948].正多面体（第3版）. ニューヨーク：ドーバー
コクセター, HSM (1969).幾何学入門（第2版）. Wiley. ISBN 0-471-50458-0。
DMYサマービル(2020) [1930]. 「X. 正多面体」. n次元幾何学入門. クーリエ・ドーバー. pp. 159– 192. ISBN 978-0-486-84248-6。
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス（2008年）「26. 正則スターポリトープ」『事物の対称性』 404～ 408頁。ISBN 978-1-56881-220-5。
ヘス、エドマンド（1883年）。「弾丸と弾丸の理論に関する、特定の用途向けの弾丸テイルングに関する入門書」
ヘス、エドマンド(1885)。「ポリトープヘヘラーアートを定期的に使用する」。Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg : 31– 57.
シャーク、F・アーサー; マクマレン、ピーター; トンプソン、アンソニー・C; ワイス、アジア・アイヴィック編 (1995).万華鏡：H・S・M・コクセター選集. ワイリー. ISBN 978-0-471-01003-6。
- （論文10）コクセター、HSM（ 1989 ）「スター多面体とシュラフリ関数f(α,β,γ)」『数学入門』44 (2): 25–36
コクセター, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39490-1。
マクマレン、ピーター；シュルテ、エゴン（2002）「抽象正多面体」（PDF）

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「正多角形」。MathWorld
ジョナサン・バウワーズ、16個の正4次元多面体
通常の4次元多面体折り図は、2011年7月17日にWayback Machineにアーカイブされています。
多面体画像のカタログ 4 次元多面体の立体投影のコレクション。
均一多面体のカタログ
ディメンションズ 4次元についての2時間の映画（すべての正4次元多面体の立体投影が含まれています）
正多面体
正星多面体
超立体

[FOOTNOTECoxeter1973141§7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973, p. 141, §7-x. 歴史的考察

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-2] Coxeter 1973, pp. 292–293, 表I(ii): 4次元における16個の正多面体 { p,q,r }

[3] コンウェイ、バーギエル、グッドマン・ストラウス 2008、第26章。さらに高い

[4] 「凸多面体と抽象多面体」、プログラムと概要、MIT、2005年

[5] ジョンソン、ノーマン・W. (2018). 「§ 11.5 球面コクセター群」.幾何学と変換. ケンブリッジ大学出版局. pp. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5。

[richeson-6] リシュソン、デイヴィッド・S. (2012). 「23. アンリ・ポアンカレと位相幾何学の台頭」. オイラーの宝石：多面体公式と位相幾何学の誕生. プリンストン大学出版局. pp. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2。

[7] Coxeter 1973, § 1.8 構成

[8] コクセター『複素正多面体』p.117

[9] コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝ストラウス 2008、p. 406、図26.2

[10] コクセター、星型多面体とシュレーフリ関数 f{α,β,γ) p. 122 2.シュレーフリ・ヘスのポリトープ

正4次元多面体

歴史

構築

正凸4次元多面体

プロパティ

配置として

視覚化

正星 (シュレーフリ・ヘス) 4 多面体

名前

対称性

プロパティ

関連項目

注釈

参考文献

引用

参考文献

外部リンク